زاویه محاطی چیست؟ — اثبات قضیه + حل تمرین و مثال های متنوع

به زاویه‌ای که راس آن بر روی محیط دایره قرار داشته باشد و ضلع‌های آن، وترهای دایره را تشکیل دهند، زاویه محاطی می‌گویند. زاویه‌های محاطی، برای بسیاری از قضایای هندسی (تالس، قوت یک نقطه و غیره) مورد استفاده قرار می‌گیرد. این زاویه‌ها، در هنر و معماری نیز کاربرد بسیار گسترده‌ای دارند. در این مقاله، به معرفی زاویه محاطی و محاسبات مرتبط با آن به همراه حل چندین مثال می‌پردازیم. علاوه بر این، قضیه زاویه محاطی را برای سه حالت مختلف اثبات می‌کنیم.

زاویه و انواع آن چیست؟

زاویه، شکلی شامل دو نیم‌خط (ضلع) است که یکدیگر را در یک نقطه (راس) قطع می‌کنند. یکی از معیارهای تقسیم‌بندی انواع زاویه، وضعیت قرارگیری اجزای آن (راس و ضلع‌های زاویه) نسبت به دایره است.

بر این اساس، زاویه‌ها به انواع زیر تقسیم می‌شوند:

• زاویه مرکزی
  • زاویه‌ای که راس آن، مرکز دایره و ضلع‌های آن، دو شعاع دایره است.
• زاویه داخلی
  • زاویه‌ای که راس و ضلع‌های آن درون دایره قرار دارند.
• زاویه خارجی
  • زاویه‌ای که راس آن، خارج از دایره قرار دارد و هر یک از ضلع‌های آن، محیط دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند.
• زاویه محیطی
  • زاویه‌ای که ضلع‌های آن، مماس‌های دایره هستند و راس آن، خارج دایره قرار دارد.
• زاویه ظلی
  • زاویه‌ای که راس آن روی دایره قرار دارد. یکی از ضلع‌های این زاویه، مماس بر دایره و ضلع دیگر آن شامل وتری از دایره می‌شود.
• زاویه محاطی

در صورت علاقه به یادگیری بیشتر در مورد انواع زاویه‌ها، مطالعه مطلب «انواع زاویه چیست؟ — معرفی تمام زاویه‌ها — به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

زاویه محاطی چیست؟

«زاویه محاطی» (Inscribed Angle)، زاویه‌ای است که راس آن، بر روی کمان دایره قرار می‌گیرد و ضلع‌های آن، دو وتر دایره را تشکیل می‌دهد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، نمونه‌ای از یک زاویه محاطی و زاویه مرکزی متناظر را نمایش می‌دهد. از آنجایی که این دو زاویه، مقابل به کمان AB قرار دارند، اندازه آن‌ها، با توجه به اندازه این کمان مشخص می‌شود.

بر اساس تعریف، زاویه APB، یک زاویه محاطی است؛ چراکه راس آن در نقطه P بر روی محیط دایره قرار گرفته و ضلع‌های آن، دایره را در نقاط A و B قطع می‌کنند. اندازه زاویه محاطی بالا برابر با β و اندازه زاویه مرکزی متناظر با آن برابر با α است. این دو اندازه، یک رابطه مشخص با یکدیگر دارند که در بخش‌های بعدی، به معرفی و اثبات آن خواهیم پرداخت.

اجزای زاویه محاطی چه هستند؟

زاویه‌های محاطی نیز مانند دیگر انواع زاویه‌ها، از یک راس و دو ضلع تشکیل می‌شوند. نکته متمایز در اینجا، کمان مقابل به زاویه محاطی است. تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، چهار پاره‌خط (وتر) و چهار نقطه بر روی یک دایره را نمایش می‌دهد.

در تصویر بالا، چهار زاویه محاطی وجود دارد. این زاویه‌ها و اجزای آن‌ها عبارت هستند از:

• زاویه CAD
  • راس A
  • ضلع AD
  • ضلع AC
• زاویه CBD
  • راس B
  • ضلع BD
  • ضلع BC
• زاویه ADB
  • راس D
  • ضلع DA
  • ضلع DB
• زاویه ACB
  • راس C
  • ضلع CA
  • ضلع CB

همانطور که مشاهده می‌کنید، زاویه‌های CAD و CBD، در مقابل کمان DC قرار می‌گیرند. به DC، کمان مقابل به زاویه محاطی CAD و CBD می‌گویند. زاویه‌های ADB و ACB نیز در مقابل کمان AB قرار دارند. به عبارت دیگر، AB، کمان مقابل به این زاویه‌های محاطی است.

مثال ۱: تعیین زاویه های محاطی

زاویه‌های محاطی مقابل به کمان AE را نام ببرید.

به منظور یافتن زاویه‌های محاطی، از تعریف آن‌ها کمک می‌گیریم. در تصویر بالا، پنج نقطه بر روی دایره مشخص شده است. از میان این نقاط، ابتدا باید راس‌های زاویه‌های مورد نظر را پیدا کنیم. A و E، نقاط انتهایی کمان AE هستند و نمی‌توان آن‌ها را به عنوان راس زاویه مقابل به کمان AE در نظر گرفت.

به این ترتیب، راس‌های C ،B و D باقی می‌مانند. در ادامه، وضعیت هر یک از این راس‌ها را تشریح می‌کنیم:

• راس B، توسط پاره‌خط‌های BA و BE به دو انتهای کمان AE متصل شده است. بنابراین، ABE، یک زاویه محاطی مقابل به کمان AE محسوب می‌شود.
• راس C، توسط پاره‌خط‌های CA و CE به دو انتهای کمان AE متصل شده است. بنابراین، زاویه ACE نیز یک زاویه محاطی به شمار می‌رود.
• راس D، توسط پاره‌خط‌های DA و DE، به دو انتهای کمان AE متصل می‌شود. به این ترتیب، زاویه ADE نیز مانند دو زاویه دیگر، محاطی است.

در نتیجه، سه زاویه ACE ،ABE و ADE، زاویه‌های محاطی مقابل به کمان AE هستند. بر اساس خواص زاویه‌های محاطی، به دلیل مشترک بودن کمان مقابل این سه زاویه، اندازه آن‌ها نیز با یکدیگر برابر است.

رسم زاویه محاطی چگونه انجام می‌شود؟

رسم زاویه محاطی، با استفاده از سه نقطه بر روی محیط دایره انجام می‌گیرد. به این منظور، ابتدا، توسط یک پرگار، دایره‌ای به مرکز C و شعاع دلخواه رسم می‌کنیم.

سه نقطه از محیط را به عنوان نقاط تقاطع زاویه محاطی با دایره در نظر می‌گیریم. پس از علامتگذاری نقاط، آن‌ها را مانند زیر نامگذاری می‌کنیم (نقاط B ،A و P).

نقطه P را به عنوان راس زاویه محاطی در نظر می‌گیریم. به‌منظور تشکیل ضلع‌های این زاویه، از روی نقطه P، دو پاره‌خط تا نقاط A و B رسم می‌کنیم.

با این کار، زاویه APB به وجود می‌آید. راس این زاویه بر روی محیط دایره قرار دارد. ضلع‌های آن نیز محیط دایره را قطع می‌کنند. از برخورد ضلع‌های APB با دایره، کمان AB تشکیل می‌شود. بنابراین، زاویه APB، یک زاویه محاطی مقابل به کمان AB است. در صورت تمایل به یادگیری نحوه اندازه‌گیری زاویه‌ها، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• اندازه‌گیری زاویه با نقاله
• اندازه‌گیری زاویه با گونیا

مثال ۲: رسم چندین زاویه محاطی مقابل به یک کمان

سه زاویه محاطی مقابل به کمان AB رسم کنید.

به منظور رسم زاویه‌های محاطی مقابل به کمان AB، در ابتدا، باید راس هر زاویه را بر روی محیط دایره مشخص کنیم. محل قرارگیری راس می‌تواند هر نقطه‌ای به غیر از A و B باشد. از این‌رو، یک نقطه مانند P را در نظر می‌گیریم.

از نقطه P، دو پاره‌خط تا نقاط A و B رسم می‌کنیم.

به این ترتیب، یکی از زاویه‌های محاطی مقابل به کمان AB با عنوان APB ایجاد می‌شود. دو نقطه دیگر مانند Q و S را مانند تصویر زیر در موقعیت‌های دلخواه انتخاب می‌کنیم.

نقاط Q و S را نیز با رسم پاره‌خط به A و B اتصال می‌دهیم.

زاویه‌های AQB و ASB، دیگر زاویه‌های محاطی مقابل به کمان AB هستند. اکنون سه زاویه محاطی مقابل به کمان AB را داریم. به غیر از این زاویه‌ها، بی‌نهایت زاویه دیگر می‌توانیم رسم کنیم که محاطی و روبه‌روی AB باشند. به نظر شما، اندازه زاویه‌های مقابل به کمان AB، با یکدیگر ارتباط دارند؟ پاسخ این سوال را در بخش بعدی خواهید یافت.

خواص زاویه های محاطی چه هستند ؟

از خواص و ویژگی های مهم زوایای محاطی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد: