اثر مویینگی چیست؟ – به زبان ساده

اثر مویینگی چیست ؟

در تعریف بسیار بسیار ساده، به بالا رفتن مایع در فضایی باریک و در خلاف جهت جاذبه زمین، اثر مویینگی گفته می‌شود. برای درک بهتر این اثر به مثال‌های زیر توجه کنید. با مطالعه این مطلب، تعریف‌های پیچیده‌تر این اثر را نیز یاد می‌گیرد.

مثال ۱

در این قسمت نشان خواهیم داد که جوهر مشکی واقعا مشکی نیست. ابتدا با استفاده از ماژیک، خطی روی دستمال کاغذی و در قسمت پایین آن رسم و قسمت بالای دستمال را با استفاده از چسب کاغذی به نی وصل می‌کنیم. سپس، دستمال را از قسمت خط‌دار، داخل ظرف آب به گونه‌ای قرار می‌دهیم که خط داخل آب قرار نگیرد.

پس از آن‌که دستمال کاغذی خیس شد، آب شروع به بالا رفتن از آن خواهد کرد. آب از دستمال کاغذی بالا می‌رود و جوهر را خیس می‌کند. در اینجا، نکته جالبی را خواهید دید. جوهر پس از خیس شدن، همانند آب به سمت بالا حرکت می‌کند. پس از ۴۰ دقیقه با صحنه بسیار جالبی روبرو خواهیم شد. اثری از جوهر سیاه‌رنگ رو دستمال کاغذی باقی نمی‌ماند. به جای آن، با رنگین‌کمانی از رنگ‌های صورتی، آبی و زرد مواجه می‌شویم. در واقع، آب با حرکت به سمت بالا، چیزهای دیگری مانند رنگ‌های تشکیل‌دهنده جوهر را با خود همراه می‌کند.

برخی رنگ‌ها کوچک‌تر هستند، بنابراین سریع‌تر حرکت می‌کنند. در مقابل، رنگ‌های بزرگ‌تر با سرعت کمتری حرکت می‌کنند. در نتیجه، جداسازی رنگ‌های جوهر سیاه به وضوح انجام می‌شود.

آزمایش را بار دیگر تکرار می‌کنیم، اما در این حالت به جای رسم خط روی دستمال، کلمه‌ای را با ماژیک‌های مختلف روی آن می‌نویسیم.

پس از گذشت ۶۰ دقیقه و خیس شدن دستمال کاغذی تا انتها، تصویر زیر به‌دست می‌آید. کلمه ‌science بدون تغییر مانده، زیرا با ماژیک ضدآب نوشته شده است.

این آزمایش را می‌توانید با ماژیک‌های مختلف و رنگ‌های متنوع تکرار کنید.

مثال دوم

در این آزمایش، از وسیله‌های زیر استفاده می‌کنیم.

• هفت لیوان آب
• رنگ‌های مختلف
• دستمال کاغذی به تعداد مناسب

دوسوم لیوان‌ها را از آب پر می‌کنیم. سه لیوان آب ساده را روی میز قرار می‌دهیم و در مابقی لیوان‌ها، قلم‌موی آغشته به رنگ‌های مختلف مانند قرمز، زرد و آبی قرار می‌دهیم و قلم‌موها را تا پخش شدن رنگ به طور یکنواخت در آب، داخل آن‌ هم می‌زنیم. سپس لیوان‌ها را کنار یکدیگر روی میز قرار می‌دهیم.

مدت زمان انجام این آزمایش ممکن است طولانی باشد، بنابراین صبور باشید. با بررسی لیوان‌ها در مدت زمان‌های مختلف خواهید دید که مقدار آب درون آن‌ها تغییر می‌کند. در پایان، آب داخل تمام لیوان‌ها رنگی شده و مقدار آب داخل آن‌ها یکسان است. به این نتیجه می‌رسیم که آب به دلیل اثر مویینگی از دستمال کاغذی بالا رفته و بین لیوان‌ها حرکت کرده است.

در این آزمایش می‌توان از لیوان‌هایی با اندازه‌های مختلف یا به جای دستمال کاغذی، از پارچه استفاده کرد. به این نکته توجه داشته باشید که به هنگام انجام آزمایش، گاهی رنگ آب داخل لیوان مخلوطی از چند رنگ و گاهی لایه‌ای است.

برای توضیح این آزمایش باید بدانیم که عملکرد فضاهای کوچک با فضاهای بزرگ یکسان نیست. هنگامی که می‌شنویم مورچه‌ها دانه‌هایی در حدود ۱۰۰ برابر وزن خود را حمل می‌کنند، شگفت‌زده نخواهیم شد. اما اگر فردی اتومبیلی با وزنی چند برابر خود را حمل کند، به طور قطع شگفت‌زده خواهیم شد. این دو شرایط چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟ آیا مورچه از انسان قوی‌تر است؟ خیر، مورچه تنها از انسان کوچک‌تر است.

مثال سوم

انسان هزاران سال است که برای حرکت آب از سیفون استفاده می‌کند. در این آزمایش نحوه انتقال آب از مخزنی بسیار بزرگ به مخزنی کوچک‌تر را بدون تکان دادن مخزن بزرگ‌تر، بررسی خواهیم کرد. یک راه ساده برای انجام این کار قرار دادن شلنگی در مخزن بزرگ‌تر و مکیدن انتهای آزاد شلنگ است. اما این کار تنها برای چند دقیقه مفید و در ادامه خسته‌کننده و با به‌هم‌ریختگی بسیار همراه است. در این قسمت، با استفاده از نی، سیفونی ساده می‌سازیم.

دو لیوان با اندازه‌های مختلف را روی میز قرار می‌دهیم. لیوان بزرگ‌تر را پر از آب می‌کنیم. اگر نی را داخل آن قرار دهیم، اتفاق خاصی نمی‌افتد. اگر انتهای آزاد نی را که خارج از آب قرار دارد با انگشت اشاره بپوشانیم، اتفاق جالبی رخ خواهد داد. پس از مدت کوتاهی، انگشت خود را برمی‌داریم. آب از نی بالا می‌آید یا به بیان بهتر به سمت بالا می‌پرد.

اکنون انتهای آزاد نی را با انگشت می‌پوشانیم و آن را کامل داخل آب قرار می‌دهیم، سپس، انگشت خود را برمی‌داریم. آب از نی بالا می‌آید و داخل ظرف کوچک‌تر می‌ریزد. به راحتی با نی سیفون ساخته‌ایم و آب را بین دو لیوان انتقال داده‌ایم. شاید از خود بپرسید آیا با این روش می‌توان تمام آب داخل ظرف بزرگ‌تر را به ظرف کوچک‌تر انتقال داد یا انتقال آب در جایی متوقف خواهد شد.

با انجام این آزمایش خواهیم دید که تمام آب داخل ظرف بزرگ‌تر به ظرف کوچک‌تر منتقل نخواهد شد و انتقال آب پس از گذشت مدت زمان مشخصی متوقف می‌شود. انتقال آب چه زمانی متوقف خواهد شد؟ برای پاسخ به این پرسش، به تصویر زیر دقت کنید.

تا زمانی که آب به کمک نی از ارتفاع بیشتر به ارتفاع کمتر حرکت می‌کند، جریان آن ادامه خواهد داشت. زمانی که ارتفاع برابر شود، آب هیچ دلیلی برای بالا رفتن از نی ندارد. در ادامه، حالت دیگری از این آزمایش را بیان می‌کنیم.

در دو لیوان، آب به اندازه یکسان می‌ریزیم و داخل هر کدام نی به صورت نشان داده شده در تصویر قرار می‌دهیم، آب بین دو لیوان حرکت نخواهد کرد. زیرا ارتفاع آن‌ها یکسان و مقدار آب داخل نی یکسان است.

اکنون یکی از لیوان‌ها را در ارتفاع بالاتری نسبت به لیوان دیگر قرار می‌دهیم. با انجام این کار، تعادل سیستم را به هم می‌زنیم. آب داخل لوله در قسمتی از آن بیشتر از قسمت دیگر است. بنابراین، داخل لوله اختلاف وزن داریم و آب در اثر اختلاف وزن، بین دو لیوان حرکت خواهد کرد.

مثال چهارم

در آزمایش آخر می‌خواهیم با استفاده از وسایلی ساده، آبشار درست کنیم:

• لیوان
• آبِ رنگی برای دنبال کردن مسیر آن
• لوله پلاستیکی شفاف دو عدد
• بطری بزرگ به همراه درپوش
• ظرف کوچک برای جمع‌آوری آب
• چسب نواری

مراحل ساخت آبشار عبارت هستند از:

• دو حفره کوچک به اندازه عبور لوله‌های پلاستیکی، داخل سرپوش بطری درست کنید. سپس، لوله‌ها را از داخل هر حفره عبور دهید تا جایی که انتهای آن‌ها تا میانه بطری برسد.
•  لیوان را با آب پر کنید و چند قطره آبرنگ یا رنگ خوراکی مجاز داخل آن بریزید و تا پخش کامل رنگ داخل آب، آن را به هم بزنید.
• چند کتاب روی میز قرار دهید و لیوان آب را روی آن بگذارید.
• انتهای یکی از لوله‌های پلاستیکی شفاف را داخل لیوان آب قرار دهید.
• بطری را از قسمت سرپوش روی میز قرار دهید.

با قرار دادن سرپوش بطری روی میز، آبِ درون لیوان از طریق لوله پلاستیکی شفاف به داخل بطری می‌رود و از انتهای دیگر لوله، به شکل آبشاری خارج می‌شود.

جریان آب تا جایی ادامه می‌یابد که:

• آب داخل لیوان باشد.
• بطری از قسمت سرپوش، روی میز قرار داشته باشد.

اساس چهار آزمایش توضیح داده شده در بالا، اثر مویینگی است. تاکنون به صورت شهودی اثر مویینگی را فهمیده‌ایم. در ادامه، رابطه ریاضی حاکم بر آن را به‌دست می‌آوریم.

اثر مویینگی آب

سوالی که ممکن است برای شما مطرح شود آن است که آیا سطح تمام مایعات، مقعر است. پاسخ به این پرسش، خیر است. به عنوان مثال، داخل لوله آزمایشگاه به جای آب، جیوه بریزید و به سطح آن دقت کنید. برخلاف آب، سطح جیوه در نزدیکی شیشه پایین‌تر و با حرکت به سمت مرکز، سطح آن بالاتر می‌رود. بنابراین، سطح جیوه به شکل محدب است.

• تفاوت الکترونگاتیوی بین اکسیژن و سیلیکون در شیشه بیشتر از تفاوت آن بین اکسیژن و هیدروژن در آب است.
• بار جزیی اتم‌های اکسیژن در شیشه بیشتر از بار جزیی اتم‌های اکسیژن در آب است.

به نیروی بین مولکول‌های آب و شیشه، نیروی چسبندگی گفته می‌شود. همچنین، به نیروی بین مولکول‌های آب، نیروی پیوستگی می‌گوییم. توجه به این نکته مهم است که اگر آب را در ظرف پلاستیکی بریزیم، اثر مینیسک را مشاهده نمی‌کنیم، زیرا پلاستیک قطبی نیست.

نیروی چسبندگی ویژگی‌های جالبی دارد. ظرف بزرگی را از آب پر کنید و روی میز قرار دهید. لوله آزمایشگاهی نازکی را بردارید و آن را به صورت وارونه داخل آب فرو ببرید. اتفاق بسیار جالبی رخ می‌دهد و آب برخلاف نیروی جاذبه زمین، از لوله بالا می‌رود. همان‌طور که می‌دانیم به این پدیده، اثر مویینگی گفته می‌شود.

هر چه لوله باریک‌تر باشد، مقدار نیروی چسبندگی بین مولکول‌های آب و شیشه بیشتر خواهد بود. زیرا مولکول‌های بیشتری از آب در تماس با شیشه قطبی لوله قرار می‌گیرند.

اثر مویینگی به زبان ریاضی

در مطالب بالا گفتیم که اگر ظرفی بزرگی را با آب پر کنیم و لوله شیشه‌ای باریکی را به صورت وارونه در آن قرار دهیم، آب با استفاده از نیروی چسبندگی از لوله بالا می‌رود و بر نیروی جاذبه غلبه خواهد کرد. این اثر، مویینگی نامیده می‌شود. در این بخش، عامل‌های موثر بر اثر مویینگی را بیان می‌کنیم و رابطه ریاضی حاکم بر آن را می‌نویسیم.

قبل از به‌دست آوردن رابطه حاکم بر مویینگی، آزمایش ساده‌ای را با یکدیگر انجام می‌دهیم. ظرف پر شده با آب را روی میز قرار می‌دهیم و لوله‌های شیشه‌ای با اندازه‌های مختلف را به ترتیب و به صورت وارونه درون ظرف فرو می‌بریم. هر چه اندازه لوله مویین بزرگ‌تر باشد، ارتفاع آب درون آن کمتر خواهد بود. اگر اندازه لوله بزرگ باشد، ارتفاع آب بسیار کم و قابل چشم‌پوشی است.

می‌دانیم نیروی چسبندگی بین مولکول‌های آب و مولکول‌های شیشه، دلیل اصلی بالا رفتن آب از لوله است. علاوه بر نیروی چسبندگی، نیروی جاذبه زمین نیز به سمت پایین بر آب وارد می‌شود. مقدار این نیرو برابر حاصل‌ضرب جرم آب بالا رفته در لوله و شتاب جاذبه (g) است. برای به‌دست آوردن جرم آب از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\rho = \frac {m} {V} \ m = \rho \times V$$

در رابطه فوق:

• $$\rho$$ چگالی آب است.
• $$V$$ حجم آب بالا رفته در لوله است.

حجم آب داخل لوله برابر است با:

$$V = \pi r^2 h$$

که $$h$$ ارتفاع آب داخل لوله است. بنابراین، مقدار نیروی جاذبه وارد شده بر آب برابر است با:

$$W = \pi r^2 h \rho g$$

$$F_{up} = 2 \pi r A$$

$$A$$ ثابت نیروی چسبندگی نام دارد و نشان‌دهنده جاذبه بین مولکول‌های مایع (در اینجا آب)‌ و ماده تشکیل‌دهنده لوله (در اینجا شیشه) است. این دو نیرو در شرایط تعادلی با یکدیگر برابر هستند:

$$\pi r^2 h \rho g = 2 \pi r A$$

به رابطه دو نیروی وارد شده بر آب دقت کنید. هر دو نیرو با شعاع لوله متناسب هستند و مقدار آن‌ها با افزایش $$r$$، افزایش خواهد یافت. اما سرعت افزایش نیروی وارد شده به سمت پایین یا نیروی جاذبه با افزایش شعاع لوله، بیشتر از مقدار افزایش نیروی وارد شده به سمت بالا (نیروی چسبندگی) خواهد بود. بنابراین، با بزرگ‌تر شدن لوله، اندازه نیروی وزن از اندازه نیروی چسبندگی بزرگ‌تر می‌شود. معادله فوق را برای $$h$$، حل می‌کنیم:

$$h = \frac {2 A} {\rho g r}$$

معادله جورین

رابطه فوق در کتاب‌های درسی نوشته نشده است، ولی با ساده‌سازی، به معادله‌ای شبیه به معادله جورین رسیدیم. فیزیک‌دانی انگلیسی به نام «جیمز جورین» (James Jurin)‌ از نخستین فیزیک‌دانانی بود که روی اثر مویینگی کار کرد و رابطه معروف جورین را به‌دست آورد:

$$h = \frac {2 \gamma \cos \theta} {\rho g r}$$

همان‌طور که در معادله فوق دیده می‌شود، ارتفاع مایع در لوله مویین به طور معکوس با شعاع لوله، متناسب است. همچنین، ثابت چسبندگی، $$A$$، بر حسب کمیت‌های قابل اندازه‌گیری نوشته شده است:

• $$\gamma$$، ثابت کشش سطحی مایع و با دما متناسب است. این ثابت در مورد نیروهای پیوستگی بین مولکول‌های آب صحبت می‌کند.
• $$\cos \theta$$، زاویه بین شکل مینیسک (مقعر یا محدب) و امتداد لوله است. این زاویه به ماده تشکیل‌دهنده مایع و لوله بستگی دارد (آب و شیشه). با افزایش چسبندگی بین مایع و لوله، زاویه $$\theta$$ کوچک‌تر و $$\cos \theta$$ به یک نزدیک می‌شود. اگر چسبندگی مایع بسیار کوچک باشد، مقدار زاویه $$\theta$$ به ۹۰ درجه نزدیک و $$\cos \theta$$ به سمت یک خواهد رفت.

قانون جورین نه‌تنها برای آب، بلکه در مایعات دیگری مانند جیوه نیز مشاهده می‌شود.

آزمایش بالا را به جای آب، با جیوه تکرار می‌کنیم. ظرفی را با جیوه پر می‌کنیم و لوله باریکی را به صورت وارونه در آن قرار می‌دهیم. جیوه به جای بالا رفتن از لوله، از آن پایین می‌رود و مینیسک زیر سطح جیوه تشکیل می‌شود. دلیل این اتفاق آن است که جیوه به شیشه نمی‌چسبد و نیروی چسبندگی بین مولکول‌های جیوه و آب بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. همچنین، سطح جیوه شکل محدب به خود می‌گیرد.

فیلم آموزش مکانیک سیالات 1 در فرادرس

کلیک کنید

اثبات معادله جورین

در این قسمت معادله جورین را اثبات می‌کنیم. برای اثبات این معادله باید معادله با صورت معادله یانگ-لاپلاس در مرزهای کروی آشنا باشیم.

معادله یانگ لاپلاس

$$f = int_{S} (p_1 - p_2) \overrightarrow{n} dS + \gamma oint_C \overrightarrow{t}\times \overrightarrow{n} dr$$

در رابطه فوق، $$doverrightarrow{S} = \overrightarrow{n} dS$$ مولفه $$S$$ و $$doverrightarrow{r} = \overrightarrow{t} dr$$ مولفه $$C$$ است. جمله اول رابطه بالا، نیروی عمودی کل به دلیل تفاوت فشار بین دو محیط و جمله دوم، نیروی مماسی کل است. توجه به این نکته مهم است که از نیروهای ویسکوز چشم‌پوشی شده است، زیرا هر دو سیال ساکن هستند. مقدار نیروی کل وارد بر $$S$$ در شرایط تعادلی برابر صفر است، بنابراین داریم:

$$int_{S} (p_1 - p_2) \overrightarrow{n} dS = - \gamma oint_C \overrightarrow{t}\times \overrightarrow{n} dr$$

مقدار نیروی کل در حالت کلی و در شرایط غیرتعادلی نیز باید برابر صفر باشد، زیرا جرم فصل مشترک بسیار کم و برابر صفر است.

$$oint_C \overrightarrow{F}. doverrightarrow{r} = int_{S}\overrightarrow{\triangledown} \times \overrightarrow{F}. d \overrightarrow{S}$$

در رابطه فوق، $$\overrightarrow{F}$$ میدان برداری کلی است.

قضیه کرل به صورت زیر نیز نوشته می‌شود:

$$oint_C \overrightarrow{F}. \overrightarrow{‌t}dr = int_{S}\overrightarrow{\triangledown} \times \overrightarrow{F}. \overrightarrow{n} dS$$

فرض کنید $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{g}\times \overrightarrow{b}$$، که در آن $$\overrightarrow{b}$$ برداری دلخواه است. بنابراین، معادله فوق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$oint_C ({\overrightarrow{g} \times \overrightarrow{b}}). \overrightarrow{‌t}dr = int_{S}\overrightarrow{\triangledown} \times (\overrightarrow{g}\times \overrightarrow{b}). \overrightarrow{n} dS$$

با استفاده از رابطه برداری $$\overrightarrow{\triangledown}\times (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}) = (\overrightarrow{\triangledown}. \overrightarrow{B}) \overrightarrow{A}- (\overrightarrow{\triangledown}. \overrightarrow{A}) \overrightarrow{B}- (\overrightarrow{B}. \overrightarrow{\triangledown}) \overrightarrow{A}- (\overrightarrow{A}. \overrightarrow{\triangledown}) \overrightarrow{B}$$ و ثابت بودن $$\overrightarrow{b}$$ داریم:

$$\overrightarrow{\triangledown}\times (\overrightarrow{g}\times \overrightarrow{b}) = - (\overrightarrow{\triangledown}. \overrightarrow{g}) \overrightarrow{b}+ (\overrightarrow{b}. \overrightarrow{\triangledown}) \overrightarrow{g}$$

$$\overrightarrow{b}. oint_C \overrightarrow{t}\times \overrightarrow{g} dr = \overrightarrow{b}. int_S [ (\overrightarrow{\triangledown}\overrightarrow{g}). \overrightarrow{n }- (\overrightarrow{\triangledown}.overrightarrow{g}) \overrightarrow{n} ) d S$$

از آنجا که $$\overrightarrow{b}$$ برداری دلخواه و ثابتی است، از طرفین معادله بالا حذف می‌شود:

$$oint_C \overrightarrow{t}\times \overrightarrow{g} dr = int_S [ (\overrightarrow{\triangledown}\overrightarrow{g}). \overrightarrow{n }- (\overrightarrow{\triangledown}.overrightarrow{g}) \overrightarrow{n} ) d S$$

با تعریف $$\overrightarrow{g}= \gamma \overrightarrow {n}$$ و قرار دادن آن در معادله داریم: