آمار ریاضی چیست؟ – به زبان ساده

یکی از شاخه‌های مهم در تئوری و نظریه آمار، «آمار ریاضی» (Mathematical Statistics) است. این بخش از علم آمار، با تکیه بر نظریه احتمال و ریاضیات، در مقابل روش‌های تحلیلی و کار روی داده‌ها به حل مسائل و اثبات قضیه‌هایی می‌پردازد که به مفاهیم ریاضیاتی آمار نزدیک‌تر هستند. در این نوشتار با عنوان آمار ریاضی چیست؟ به این پرسش پاسخ داده و کاربردهای آمار ریاضی را بازگو خواهیم کرد.

آمار ریاضی چیست؟

بعد از اینکه اطلاعات و داده‌ها جمع‌آوری شدند، عمل تحلیل آن‌ها به کمک روش‌های آمار ریاضی صورت می‌گیرد. معمولا این بخش از تحلیل داده‌ها (Data Analysis) را به دو قسمت تقسیم می‌کنند:

• آمار توصیفی (Descriptive Statistics): توصیف رفتار داده‌ها و محاسبه شاخص‌های تمرکز و پراکندگی در این قسمت تجزیه و تحلیل می‌شود.
• آمار استنباطی (Inferential Statistics): استخراج تحلیل‌ها و نسبت دادن نتایج حاصل از نمونه به جامعه آماری مرتبط با آمار استنباطی است. مدل‌سازی و بررسی صحت و سازگاری مدل با داده‌ها در این بخش صورت می‌گیرد.

هر دو این قسمت‌ها مرتبط با آمار ریاضی هستند. با توجه به این موضوع، می‌توان آمار ریاضی را وابسته به شاخه‌های زیر در نظر گرفت:

• توزیع‌های احتمالی
• استنباط و تحلیل آماری
• تحلیل رگرسیون
• روش‌های ناپارامتری

در ادامه هر یک از این شاخه‌ها را معرفی کرده و نقش آن‌ها را در آمار ریاضی بیان می‌کنیم.

توزیع‌های احتمالی در آمار ریاضی

در بیشتر پدیده‌های علمی و حتی جامعه شناختی، با داده‌های تصادفی مواجه هستیم. همچنین ممکن است داده‌های اندازه‌گیری شده از پدیده‌های قطعی، با خطای اندازه‌گیری مواجه باشد. در این صورت تشخیص رفتار تصادفی و احتمالاتی آن‌ها امری ضروری است.

بسیاری از الگوهای احتمالاتی برای پدیده‌های مختلف معرفی شده و مدل ریاضی آن‌ها استخراج شده است. «توزیع احتمال» (Probability Distribution) در حقیقت توابع ریاضی برای نمایش رفتار تصادفی داده‌ها محسوب می‌شود.

به بیان دقیق‌تر می‌توان گفت که توزیع احتمال، تابعی است که به هر یک از مقادیر تصادفی (یا پیشامدها) یک عدد در فاصله صفر تا یک نسبت می‌دهد که متناسب با میزان یا نرخ رخداد و مشاهده آن مقدار است. واضح است که این پدیده‌های تصادفی مربوط به پیشامدهای ناشی از یک تحقیق یا آزمایش تصادفی هستند.

معمولا به توزیع احتمال برای متغیرها تصادفی که مرتبط با مقادیر گسسته یا طبقه‌ای (Discrete Random Variable) هستند، «تابع احتمال» (Probability Function) گفته می‌شود. در عوض برای متغیرهای تصادفی با مقادیر پیوسته (Continues Random Variable) از عبارت «تابع چگالی احتمال» (Density Probability Function) استفاده می‌شود.

از طرفی ممکن است تابع احتمال به صورت «تک متغیره» (Univariate) یا «چند متغیره» (Multivariate) در نظر گرفته شود. تابع احتمال تک متغیره، مربوط به یک پدیده تصادفی است در حالیکه، برداری از متغیرهای تصادفی مرتبط با هم، دارای یک تابع احتمال چند متغیره خواهند بود. گاهی تابع احتمال چند متغیره را با صورت «تابع احتمال توام» (Joint Probability Distribution) نیز به کار می‌برند.

استنباط و تحلیل در آمار ریاضی

عملیات و محاسباتی که طی آن‌ها یک نتیجه یا تصمیم از داده‌ها استخراج می‌شود، مرتبط با استنباط آماری و به عنوان یکی از شاخه‌های آمار ریاضی است. بیشتر موضوعات مربوط به استنباط آماری، به متغیر تصادفی و تغییرات آن بستگی داشته و محاسبات شاخص‌های مربوط به نمونه تصادفی را به جامعه آماری نسبت می‌دهند. همانطور که آماری توصیفی، رفتار نمونه تصادفی را توصیف می‌کند، استنباط آماری، رفتار متغیرها و داده‌های حاصل از آن را در جامعه آماری بررسی می‌کند.

از نتایج حاصل از استنباط آماری برای اتخاذ انجام یا عدم اجرای یک تصمیم کمک می‌گیریم. این قسمت از استنباط آماری مربوط به آزمون‌های فرض آماری می‌شود. نحوه انتخاب آماره آزمون، تعیین توزیع آماره آزمون و ... همگی از بخش‌های اصلی آمار ریاضی هستند.

مدل‌های آماری استخراج شده از استنباط آماری برای پدیده‌های تصادفی برای تولید داده‌های جدید مانند شبیه‌سازی (Simulation) و پیش‌بینی رفتار آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این ترتیب درک ما از چنین پدیده‌های که بدون قاعده به نظر می‌رسند بیشتر شده و قوانین تصادفی آن‌ها را درک می‌کنیم.

رگرسیون در آمار ریاضی

$$\large E( Y | X = x ) = a + b x$$

این امر نشان می‌دهد که مقدار متغیر وابسته به شرط مشاهده مقادیر متغیرهای مستقل، یک پدیده تصادفی است و مدل رگرسیونی، متوسط این مقادیر را به عنوان پیش‌بینی برای متغیر وابسته در نظر می‌گیرد.

شیوه‌های رگرسیونی با توجه به شرایط مسئله متفاوت است و در بیشتر مواقع، با توجه به محدودیت‌هایی که وجود دارد، مدل مناسب و تکنیک بهینه برای تشخیص این رابطه توسط محقق انتخاب می‌شود.

روش‌های ناپارامتری در آمار ریاضی

فیلم آموزش آمار ریاضی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با آمار ریاضی و حوزه نفوذ آن در آمار و تحلیل‌های آماری آشنا شدیم. همانطور که مشخص است بیشتر قضیه‌ها و نامساوی‌های احتمالاتی در آمار ریاضی اثبات و مطرح شده‌اند. آمار استنباطی و مدل‌سازی نیز بخشی از آمار ریاضی است که با استفاده از توزیع احتمالی جامعه آماری، دست به تصمیم‌سازی می‌زند. البته هر یک از شاخه‌های آمار ریاضی دارای نظریه‌ای خاص خود هستند که در دیگر نوشتارهای فرادرس به آن‌ها پرداخته خواهد شد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالبی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• آموزش آمار و احتمال مهندسی
• مجموعه آموزش‌های آمار و احتمالات
• توزیع‌های آماری — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس
• توزیع نرمال یک و چند متغیره — مفاهیم و کاربردها
• فاصله اطمینان (Confidence Interval) — به زبان ساده

^^