استنباط و آزمون فرض آماری – مفاهیم و اصطلاحات

مفاهیم اولیه در آزمون فرض آماری

از تحلیل آماری در زمینه‌های زیر استفاده می‌شود:

• برآورد برای خصوصیات و روابطی که در جامعه آماری حاکم است.
• انجام آزمون فرض که قضاوتی در مورد جامعه آماری است.

ولی مشکلی که در این میان وجود دارد، کمبود اطلاعاتی است که از جامعه آماری داریم، زیرا نمونه گرفته شده از جامعه آماری همه اطلاعات آن را منعکس نمی‌کند و نمونه فقط می‌تواند بخشی از اطلاعات جامعه آماری را به ما نشان دهد. بنابراین برآورد و آزمون‌ها همواره دارای درجه‌ای از خطا هستند.

البته هرچه اندازه نمونه بزرگتر باشد، اطلاعات بیشتری نیز از جامعه آماری به همراه دارد ولی انتخاب نمونه‌های بزرگ از جامعه آماری، هزینه و زمان زیادی می‌برد. هر چند با استفاده از تحلیل‌های آماری، به کمک یک نمونه با صرفه از لحاظ زمان و هزینه، سعی در برآورد یا انجام آزمون آماری داریم که کمترین خطا را داشته باشد.

در ادامه به تعریف چند واژه می‌پردازیم که در تحلیل‌های آماری زیاد به کار می‌روند.

جامعه آماری (Population)

توزیع آماری (Statistical Distribution)

پارامترهای جامعه آماری (Statistical Parameters)

هر توزیع آماری دارای ویژگی‌های خاصی است. این ویژگی‌ها که می‌توانند به شکلی منحصر بفرد، توزیع مقدارها در جامعه آماری را نشان دهند، پارامتر جامعه آماری نامیده می‌شود. برای مثال میانگین و واریانس می‌توانند پارامترهای توزیع آماری جامعه باشند.

نمونه تصادفی (Random Sample)

آماره (Statistic)

انواع تحلیل‌های آماری

همانطور که گفته شد، هدف از تحلیل آماری، شناخت جامعه آماری براساس مقدارهای حاصل از نمونه‌های تصادفی است. در این میان دو رویکرد در تحلیل‌های آماری بوجود می‌آید.

فیلم آموزش آزمون‌ فرض میانگین در SPSS در فرادرس

کلیک کنید

برآوردیابی

اگر هدف از تحلیل آماری، برآورد پارامتر جامعه آماری باشد بطوری که دقت برآورد نیز قابل محاسبه باشد، «برآوردیابی» (Estimation) انجام شده است. آماره‌ای که برای عمل برآوردیابی به کار گرفته شده نیز «برآوردگر» (Estimator) و نتیجه حاصل از آماره توسط مقدارهای نمونه تصادفی را «برآورد» (Estimate) پارامتر جامعه می‌گویند.

برآوردگر نقطه‌ای

به منظور برآورد نقطه‌ای از شیوه‌های مختلفی در آمار استفاده می‌شود. روش‌ «گشتاوری» (Moment) یکی از این روش‌ها است که توسط آماردان انگلیسی «کارل پیرسون» (Karl Pearson)  در سال 1894 به کار گرفته شد. از روش‌های دیگر می‌توان به روش «حداکثر تابع درستنمایی» (Maximum Likelihood Function) اشاره کرد که توسط آماردان انگلیسی «رونالد فیشر» (Ronald Fisher) در سال‌های 1912 تا 1920 مورد استفاده قرار گرفت و قضیه‌های زیادی را براساس آن اثبات کرد.

برای این که نشان داده شود، برآورد، چقدر از پارامتر دور یا نزدیک است، از ملاک‌هایی مانند «میانگین مربعات خطا» (Mean Squared Error) که به MSE نیز معروف است، استفاده می‌شود. به این ترتیب برای مقایسه دو برآوردگر کافی است که مقدار MSE را برای هر یک محاسبه کنیم و برآوردگری را انتخاب کنیم که دارای MSE کمتری است. البته انتخاب بهترین برآوردگر به معیارهای دیگری نیز احتیاج دارد که در این نوشتار به آن‌ها نمی‌پردازیم.

برآوردگر فاصله‌ای

ممکن است برای برآورد پارامتر جامعه، از یک فاصله تصادفی استفاده شود. دو سر این فاصله، توسط توابعی از نمونه تصادفی ساخته می‌شود. بنابراین اگر $$g_1$$ یک سر فاصله و $$g_2$$ تابع مربوط به سر دیگر فاصله اطمینان باشد، خواهیم نوشت:

$$P(g_1(X_1,X_2,\ldots,X_n)<\theta$$

در این حالت می‌گوییم فاصله تصادفی $$g_1$$ تا $$g_2$$ با احتمال $$1-\alpha$$ پارامتر $$\theta$$ را در بر می‌گیرد. از آنجایی که این فاصله براساس نمونه تصادفی محاسبه شده است، با انتخاب نمونه دیگر تغییر خواهد کرد. ولی با توجه به مفهوم احتمال می‌توانیم بگوییم اگر ۱۰۰ فاصله تصادفی برای پارامتر $$\theta$$ براساس ۱۰۰ نمونه تصادفی تولید کنید، $$(1-\alpha)$$ درصد از آن‌ها میانگین جامعه را شامل خواهد شد. همانطور که در تصویر زیر دیده می‌شود اگر خط آبی مقدار واقعی پارامتر جامعه باشد، در بین ۲۰ فاصله اطمینان تولید شده با احتمال ۹۵٪ ، تنها یکی از فواصل، شامل پارامتر جامعه آماری نیست.

به میزان $$\alpha$$ «سطح معنی‌داری» (significance level) یا «سطح آزمون» (Level of Test) و به $$1-\alpha$$‌ «سطح اطمینان» (confidence level) گفته می‌شود. معمولا سطح معنی‌داری را ۵٪ و یا سطح اطمینان را ۹۵٪ انتخاب می‌کنند. هر چه سطح اطمینان را بیشتر کنید طول فاصله اطمینان یعنی $$g_2-g_1$$ بیشتر می‌شود. در حقیقت بازه‌ای که برای پارامتر جامعه در نظر گرفته شده، دقت کمتری را خواهد داشت. و برعکس هر چه سطح اطمینان کاهش یابد، طول فاصله اطمینان کاهش یافته و دقت بیشتری برای مشخص کردن مقدار پارامتر جامعه آماری فراهم می‌شود.

آزمون فرض آماری

در روش‌های مربوط به آزمون فرض آماری، یک گزاره در مورد پارامتر جامعه آماری مورد بررسی قرار می‌گیرد و برعکس روش‌های برآوردیابی، برای پارامتر جامعه مقداری را محاسبه نمی‌کند.

برای مثال، عبارت زیر نمونه‌ای از گزاره‌ای است که می‌توان برای یک آزمون فرض آماری نوشت:

$$H_0: \mu=5$$

این گزاره بیان می‌کند که میانگین جامعه یا همان $$\mu$$ برابر با ۵ است. گزاره مورد اشاره توسط نمونه تصادفی و روش‌های آزمون فرض سنجیده شده و صحیح یا ناصحیح بودن آن با در نظر گرفتن سطح اطمینان مشخصی، تعیین می‌شود.

معمولا این گونه گزاره‌ها را با حرف H‌ که مخفف کلمه Hypothesis‌ یا فرضیه است، شروع می‌کنند. به همین دلیل گاهی به این گزاره‌ها، فرضیه آماری نیز می‌گویند. اگر با فرض صحیح بودن این گزاره، بتوان توزیع جامعه آماری را مشخص کرد، به آن گزاره، «فرضیه ساده» (Simple Hypothesis) گفته می‌شود و در غیر اینصورت آن را «فرضیه مرکب» (Composite hypothesis) می‌خوانند. برای مثال گزاره زیر یک فرضیه مرکب است.

$$H_0: \mu<5$$

آزمون فرض آماری دارای دو گزاره یا دو فرضیه است. ابتدا «فرضیه صفر» (Null Hypothesis) ظاهر می‌شود که معمولا نظری است که از قبل در مورد پارامتر یا جامعه آماری وجود داشته. برای مشخص شدن اینکه یک گزاره، فرضیه صفر است از علامت $$H_0$$ در ابتدای آن استفاده می‌شود. معمولا هدف از انجام فرض آماری یک محقق این است که به کمک نمونه تصادفی نشان دهد که فرض صفر صحیح نیست. زیرا در غیر اینصورت تحقیق او چیزی بیش از تایید گزاره‌های قبلی در مورد جامعه آماری نخواهد بود.

بعد از فرضیه صفر، «فرضیه مخالف» (Alternate Hypothesis) یا فرض مقابل قرار دارد که هدف محقق از آنجام فرض آماری را نشان می‌دهد. معمولا این فرضیه نقیض فرضیه صفر است و آن را به علامت $$H_a$$ یا $$H_1$$ نشان می‌دهند.

برای مثال فرض مخالف برای فرض صفر قبلی می‌تواند به صورت $$H_a: \mu=6$$ نوشته شود که یک فرضیه ساده است. همچنین می‌تواند به صورت $$H_a: \mu>5$$ باشد که یک فرضیه مرکب است. مهم این است که دو گزاره یا فرضیه صفر و مخالف، همپوشانی در مورد پارامتر جامعه آماری نداشته باشند.

به این ترتیب یک آزمون فرض آماری برای مثلا پارامتر میانگین جامعه آماری می‌تواند به یکی از صورت‌های زیر نوشته شود:

$$\begin{cases} H_0: \mu =a\\ H_1: \mu= b\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} H_0: \mu =a\\ H_1: \mu>a\\ \end{cases}$$