اخبار 62195 بازدید

دنباله فیبوناچی (Fibonacci Sequence) یک سری از اعداد است.

فیلم آموزش دنباله فیبوناچی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

در هر مرحله، عدد بعدی با جمع کردن دو عدد قبل عدد مورد نظر، به دست می‌آید.

  • 2 از جمع دو عدد قبل خود ( 1 + 1 ) به دست آمده است.
  • به طور مشابه، 3 از جمع دو عدد قبل خود ( 2 + 1 ) به دست آمده است.
  • و 5 از جمع ( 3 + 2 ) به دست می‌آید.
  • و به همین ترتیب ادامه می‌یابد!

مثال: عدد بعدی در دنباله فیبوناچی بالا، برابر است با:

21 + 34 = 55

لیست بلند تری از اعضای دنباله بالا به صورت زیر است:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

شما چند عدد دیگر را می‌توانید به دست بیاورید؟

این دنباله یک مارپیچ تشکیل می دهد

هنگامی که مربع‌هایی با اضلاع جمله‌های دنباله تشکیل دهیم، یک مارپیچ زیبا به دست می‌آید:

مشاهده می‌کنید که چگونه مربع‌ها در کنار هم قرار گرفته‌اند؟ برای مثال 5 و 8، 13 را تشکیل می دهند و 8 و 13 نیز 21 را تشکیل می‌دهند و همین طور تا آخر.


این ماریپیچ در طبیعت نیز یافت می‌شود.

ضابطه

می توان برای دنباله فیبوناچی «ضابطه» نیز نوشت. ابتدا، اعضا را از صفر رو به بالا شماره‌گذاری می‌کنیم.

دنباله فیبوناچی

بدین ترتیب عضو ششم که آن را X6 می‌نامیم (برابر 8) است.

مثال: عضو هشتم برابر عضو هفتم بعلاوه عضو ششم است:

X8 = X7 + X6

 دنباله فیبوناچی

پس می‌توانیم ضابطه را به صورت زیر بنویسیم:

Xn = Xn-1 + Xn-2

Xn = عضو n ام

Xn-1 = عضو قبل از n

Xn-2 = دو عضو قبل از n

مثال: عضو نهم به این شکل محاسبه می‌شود:

X9 = X9-1 + X9-2

= X8 + X7

= 21 + 13

= 34

نسبت طلایی

 نکته جالب در مورد دنباله فیبوناچی این است که هرچه اعضای دنباله فیبوناچی بزرگتر می‌شوند، نسبت هر عدد به عدد قبلی خود رفته رفته به عدد طلایی “φ” که حدوداً برابر با …1.618034 است، نزدیک می‌شود.

در واقع، هر  چه جفت اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، نسبت بین آنها تقریب بهتری از نسبت طلایی خواهد بود. در ادامه برخی از این نسبت‌ها را بررسی کرده‌ایم:

A
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1.666666666…
5
8
1.6
8
13
1.625
144
233
1.618055556…
233
377
1.618025751…

دقت کنید که  اگر دو عدد تصادفی همانند 192 و 16 را نیز به عنوان جمله‌های ابتدای دنباله انتخاب کنیم، همچنان با بزرگتر شدن جملات، نسبت بین جمله‌های متوالبی به نسبت طلایی نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. برای مثال دنباله زیر را در نظر بگیرید:

192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, …

A
B
B / A
192
16
0.08333333…
16
208
13
208
224
1.07692308…
224
432
1.92857143…
7408
11984
1.61771058…
11984
19392
1.61815754…

البته در این حالت ممکن است کمی زمان لازم باشد تا نسبت بین اعداد متوالی به نسبت طلایی نزدیک شوند؛ اما این مسئله نشان می‌دهد که این فقط دنباله پیشفرض فیبوناچی نیست که می‌تواند چنین خصوصیتی را داشته باشد!

استفاده از نسبت طلایی برای محاسبه اعداد فیبوناچی

نکته شگفت‌انگیز دیگر  در مورد دنباله فیبوناچی این است که ما هر عدد فیبوناچی را می‌توانیم به وسیله نسبت طلایی به دست آوریم.

دنباله فیبوناچی

پاسخ همواره به شکل یک عدد صحیح در می‌آید که دقیقاً برابر با حاصل جمع دو عضو قبلی است. برای مثال:

دنباله فیبوناچی

اگر از ماشین حساب کمک بگیرید، با وارد کردن عدد طلایی با 6 رقم اعشار، پاسخ را به صورت  8.00000033 دریافت می‌کنید. اگر از این هم دقیق‌تر  محاسبه کنید پاسخ به عدد 8 نزدیک‌تر خواهد بود. می‌توانید این مسئله را خودتان امتحان کنید.

برخی نکات جالب

در تصویر زیر یک دنباله فیبوناچی را شاهد هستیم:

دنباله فیبوناچی

الگوی جالبی در آن وجود دارد:

  • به عدد X3 = 2 نگاه کنید. هر عدد با 3 فاصله مضربی از 2 است ( … ,610 ,144 ,34 ,8 ,2)
  • به عدد X4 = 3 نگاه کنید. هر عدد با 4 فاصله مضربی از 3 است ( … ,144 ,21 ,3)
  • به عدد X5 = 5 نگاه کنید. هر عدد با 5 فاصله مضربی از 5 است ( … ,610 ,55 ,5)

و به این ترتیب این الگو ادامه می یابد  و هر عدد با n فاصله مضربی از Xn است.

1/89 = 0.011235955056179775…

آیا دقت کردید که تعداد اقام پس از اعشار به صورت نخستین ارقام دنباله فیبوناچی (0,1,1,2,3,5) هستند؟

0.0
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
0.000000021
    … etc …
0.011235955056179775…  =  1/89

جمله‌های کمتر از صفر

این دنباله برای اعداد کمتر از صفر نیز صادق است، مانند:

دنباله فیبوناچی

در واقع دنباله کمتر از صفر ،همان اعداد در دنباله بیشتر از صفر را دارد، به غیر از این که جمله‌های دنباله کمتر از صفر از الگوی  +  + پیروی می‌کنند. ضابطه آن را می‌توان به شکل زیر نوشت:

X-n = (1)n+1 Xn

که می گوید عضو n– برابر با 1 به توان n+1 بار عضو n است، و مقدار 1 به توان n+1 به طور مرتب الگوی … ,1– ,1 ,1– ,1 را تشکیل می دهد.

تاریخچه

باید اشاره کنیم که فیبوناچی اولین شخصی نبود که این دنباله را کشف کرده است و این دنباله صدها سال پیش از وی در هند شناخته شده بوده است.

در مورد فیبوناچی

نام واقعی وی لئوناردو پیزانو بگولو (Leonardo Pisano Bogollo) بود و در سالهای مابین 1170 و 1250 در ایتالیا زندگی می‌کرده است.در واقع فیبوناچی لقب وی به معنی پسر بوناچی بوده است. فیبوناچی علاوه بر شهرتی که به خاطر دنباله فیبوناچی دارد، به خاطر برای گسترش اعداد هندی – عربی (همان اعدادی که الان استفاده می‌کنیم: 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ) در اروپا به جای اعداد رومی ( … I, II, III, IV, V) مشهور شده است. این اتفاق اروپایی‌ها و آمریکایی‌ها را از بسیاری از مشکلات نجات داده است و به همین خاطر باید از لئوناردو متشکر باشند.

روز فیبوناچی

روز 23 نوامبر (2 آذر) به نام روز فیبوناچی نام گذاری شده است. چرا که این روز در تقویم میلادی 11/23 نشان دهنده ابتدای دنباله فیبوناچی است :  3 , 2 , 1 ,1 .

اگر این نوشته مورد توجه شما قرار گرفته است، پیشنهاد می‌کنیم موارد زیر را نیز ملاحظه کنید:

==

بر اساس رای 95 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “دنباله فیبوناچی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  1. سایت خوبیه ممنون از سایت خوبتون

    فقط یه چند تا کلمروا اشتباه تایپ کردین (:

    ب عنوان مثال تو قسمت در مورد فیبوناچی
    به خاطر رو به خطار نوشتین
    با تشکر فراوان از سایت خوبتون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *