فرادرسمفاهیم مقدماتی حسابان (بخش ششم) — به زبان ساده
در بخش‌های قبلی این سری مطالب به بررسی مسائل تجزیه حسابان با دیدگاهی گام به گام پرداختیم. اینک که با نمادهای رسمی آشنا شدیم، نوبت آن رسیده است که چگونه حساب و جبر را به یک مرحله بالاتر ببریم.
ضرب و تقسیم به روش بهتر
ضرب موجب می‌شود که تصمیم‌گیری آسان‌تر شود. به جای اینکه با سؤال‌هایی مانند 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 سر و کار داشته باشیم می‌توانیم به سادگی بنویسیم 13 × 2.
بدین ترتیب می‌توانیم به سادگی 13 کپی از یک عدد را داشته باشیم. ضرب موجب می‌شود که عمل جمع تکراری آسان‌تر شود. اما یک محدودیت بزرگ دارد و آن این است که همه بخش‌ها باید یکسان و هم‌اندازه باشند.
- 13 × 2 یعنی 13 کپی از عنصر یکسان داشته باشیم.
- 5 / 100 یعنی 100 را به 5 بخش مساوی تقسیم کنیم.
بخش‌های مساوی برای مسائل کتاب‌های درسی مناسب هستند که در آن شما می‌توانید سرعت 30 کیلومتر بر ساعت را به مدت 3 ساعت حفظ کنید. دنیای واقعی آن قدر هم یکنواخت نیست. حسابان به ما امکان می‌دهد که اشکال مختلف را بر اساس شکل واقعی‌شان و نه مقدار میانگین جمع بزنیم یا تجزیه کنیم. بدین ترتیب:
- مشتق نوع بهتری از تقسیم است که یک شکل را بر اساس یک مسیر (به بخش‌های احتمالاً غیر هم‌اندازه) افراز می‌کند.
- انتگرال نوع بهتری از جمع است که یک توالی از مراحل (که می‌توانند اندازه‌های متفاوتی داشته باشند) را جمع می‌زند.
| عملیات | مثال | توضیح |
| تقسیم | $$y \over x$$ | یک کلیت را به اجزای مساوی تقسیم می‌کند. |
| مشتق‌گیری | $${d \over dx} y$$ | یک کلیت را به اجزای (احتمالاً نامساوی) تقسیم می‌کند. |
| ضرب | $$ y \cdot x$$ | مراحل مساوی را تجمیع می‌کند. |
| انتگرال | $$ ∫y dx $$ | مراحل (بالقوه نامساوی) را تجمیع می‌کند. |
در ادامه مثال تقسیم دایره به حلقه را که در بخش‌های قبلی مطرح شد، مجدداً مورد بررسی قرار می‌دهیم. حساب/جبر چه ارتباطی با حسابان دارد؟
تقسیم از الگوی تقسیم حلقه با اندازه متوسط پیروی می‌کند. مشتق فرمولی ($$2 \pi r$$) ارائه می‌کند که هر حلقه را توصیف می‌کند. به طور مشابه ضرب به ما امکان می‌دهد که یک عنصر میانگین را به مقدار کلی افزایش مقیاس بدهیم. انتگرال اجازه می‌دهد که الگو را به صورت مستقیم با هم جمع بزنیم.
برخی اوقات می‌خواهیم از آیتم میانگین استفاده کنیم و نه این که مراحل حسابان را طی کنیم، چون بازنمایی ساده‌تری از کل به دست می‌دهد. این حالت در مواردی که گزینه منسجمی باشد اشکالی ندارد.
فرمول‌های بهتر
اگر حسابان بتواند نسخه بهتر و دقیق‌تری از ضرب و تقسیم ارائه کند، آیا بهتر نیست که فرمول‌های موجود را بر همین مبنا بازنویسی کنیم؟
| جبر | حسابان |
| سرعت × زمان = مسافت | dt سرعت ∫ = مسافت |
| زمان/ مسافت = سرعت | مسافت $$ d \over dt$$ = سرعت |
| طول × عرض = مساحت | dw ارتفاع ∫ = مساحت |
| چگالی × طول× عرض × ارتفاع = وزن | dx dy dz چگالی ∭ = وزن |
یک معادله مانند «سرعت × زمان = مسافت» به ما کمک می‌کند شیوه یافتن مسافت با فرض وجود سرعت میانگین را به دست آوریم. معادله‌ای مانند « dt سرعت ∫ = مسافت» به ما می‌گوید که چگونه مسافت کلی طی شده را با تجزیه آن به کوتاه‌ترین زمان‌های ممکن به دست آوریم و مسافت‌های کوچک طی شده در هر زمان را با تجمیع کنیم.
به طور مشابه در معادله زیر:
مسافت $$ d \over dt$$ = سرعت
بیان شده است که می‌توانیم مسیر خود را به قطعه‌های زمانی افراز کنیم و مقدار طی شده در هر قطعه زمانی برابر با سرعت خواهد بود.
تعریفی که غالباً بیان می‌شود یعنی «انتگرال مساحت ناحیه زیر منحنی است» این موضوع را بهتر روشن می‌کند. ضرب، به این دلیل که با کمیت‌های استاتیک سر و کار دارد، تنها می‌تواند مساحت مستطیل‌ها را اندازه‌گیری کند. انتگرال‌ها امکان اندازه‌گیری منحنی‌های با فراز و نشیب را می‌دهند و صرف نظر از شکلشان میزان مشارکتشان را محاسبه می‌کنیم.
یک سری از ضرب‌های پشت سر هم را می‌توان به یک سری از انتگرال‌ها تبدیل کرد که انتگرال چندگانه نامیده می‌شود. بررسی مفهوم انتگرال چندگانه فراتر از این مقاله مقدماتی است؛ اما در همین حد بگوییم که همانند انجام پشت سر هم ضرب‌ها، انتگرال‌ها را نیز می‌توان به صورت خطی پشت سر هم انجام داد.
ریاضیات و به طور خاص حسابان، زبان علم است چون روابط را بسیار به خوبی توصیف می‌کند. زمانی که فرمولی می‌بینید که دارای انتگرال یا مشتق است، می‌توانید آن را به صورت ذهنی به ضرب یا تقسیم تبدیل کنید.
جبر بهتر
جبر به ما امکان می‌دهد که محاسبه خود را بر اساس یک واقعیت آغاز کرده و آن را به واقعیت‌های دیگر تعمیم دهیم. تصور کنید می‌خواهیم مساحت یک مربع ناشناخته را بدانیم. ما نمی‌توانیم مساحت را اندازه‌گیری کنیم، اما می‌دانیم که یک ضلع آن 13.3 سانتی‌متر است.
| جبر | فرایند تفکر |
| مساحت مربع=؟ | مساحت مربع را نمی‌دانیم |
| جذر مساحت = 13.3 | اما جذر مساحت را می‌دانیم. |
| مجذور (جذر مساحت) = $$ 2^{13.3 }$$ | هر دو ضلع را مربع می‌کنیم |
| مساحت = 176.89 | بدین ترتیب مساحت اصلی را بازسازی کردیم. |
آیا در بخش‌های قبل به خاطر دارید که این فرایند را با استفاده از جمع/تفریق/ضرب/تقسیم اجرا کردیم؟ ما می‌توانیم از توان و جذر نیز استفاده کنیم و به این ترتیب دو روش جدید برای تبدیل یک تابع داریم.
حسابان دو عملیات بیشتر در اختیار جبر قرار می‌دهد که انتگرال و مشتق هستند. اینک می‌توانیم مساحت دایره را نیز به سبک جبری به دست آوریم:
| جبر + حسابان | فرایند تفکر |
| مساحت دایره =؟ | مساحت دایره نامشخص است. |
| مشتق مساحت نسبت به r یعنی $$ {d \over dr} Area$$ = 2πr | اما می‌دانیم که می‌توان آن را به حلقه‌هایی در راستای شعاع تقسیم کرد |
| $$ ∫{d \over dr} Area = ∫2πr$$ | از هر دو طرف انتگرال می‌گیریم. |
| مساحت = $$ πr^2$$ | و می‌توانیم مساحت اصلی دایره را بازسازی کنیم. |
نمادگذاری خلاصه فوق به ما کمک می‌کند که تصویر بزرگ‌تری به دست بیاوریم. اگر تابع زیر انتگرال از یک متغیر منفرد استفاده می‌کند، می‌توانیم فرض کنیم که dr از r=0 تا r=r است. بدین ترتیب انتگرال‌ها و مشتق‌ها مانند مربع و جذر مربع خواهند بود که همدیگر را حذف می‌کنند.
بدین ترتیب می‌بینیم که دو عملیات چسباندن و افراز کردن در واقع متضاد هم هستند.
با استفاده از نمادگذاری ساده می‌توانیم به جای $$\int^{r}_{0} ({d\over dr} Area) dr=Area$$ از عبارت $$\int ({d\over dr} Area)=Area$$ استفاده کنیم.
یادگیری قواعد
در حساب، تکنیک‌های خاصی برای ترکیب کردن اعداد کامل، اعشاری، تابع‌ها، ریشه/توان‌ها آموخته‌ایم. با این که 3 + 9 = 12 است اما این مسئله موجب نمی‌شود که رابطه $$ \sqrt{3} + \sqrt{9} = \sqrt{12} $$ نیز برقرار باشد.
به طور مشابه باید قواعد مربوط به طرز کار انتگرال‌ها و مشتق‌ها را نیز هنگام جمع، ضرب و موارد دیگر بدانیم. همچنین قواعد خاصی برای دسته‌بندی‌های خاص وجود دارند. این موضوعات را در بخش‌های آتی این سری مطالب آموزش حسابان یاد خواهیم گرفت.
برای مطالعه بخش بعدی این راهنما به مطلب زیر مراجعه کنید:
مفاهیم مقدماتی حسابان (بخش هفتم) --- به زبان ساده
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات
- آموزش جامع حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش دانشگاهی
- مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
- آموزش مشتق گیری و انتگرال گیری عددی در محاسبات عددی
- آموزش محاسبات انتگرال با Matlab و Maple
- مفاهیم مقدماتی حسابان (بخش اول) — به زبان ساده
- مشتق — به زبان ساده
==
