سیکل برایتون (Brayton Cycle) و محاسبات مربوط به آن — از صفر تا صد

آخرین به‌روزرسانی: ۵ آبان ۱۳۹۷
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
brayton

«سیکل برایتون» (Brayton Cycle) عبارت است از سیکلی حرارتی که مبتنی بر دو فرآیند فشار ثابت کار می‌کند. اسم این سیکل برگرفته از نام مهندس آمریکایی، «جرج برایتون» (George Brayton) است. او شخصی بود که برای اولین بار سیکلِ موتورِ مبتنی بر فرآیند‌های فشار ثابت را ارائه کرد.

Brayton

شکل بالا نمونه اولیه موتور مبتنی بر سیکل برایتونی را نشان می‌دهد که مربوط به سال ۱۸۷۲ است. سیستم نشان داده شده در بالا اولین موتور احتراق داخلی است که به منظور تولید توان از آن استفاده می‌شود. در سال ۱۸۷۵، «John Holland» از این موتور به منظور ایجاد نیروی پیشران اولین زیردریایی خودکششی استفاده کرد.

اصول و مفاهیم

در حالت کلی سیکل برایتون شامل چهار فرآیند است. این فرآیند‌ها به همراه اجزاء اصلی آن‌ها در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

Brayton

فرآیند‌های تشکیل‌دهنده سیکل برایتون به ترتیب زیر هستند. این مراحل مطابق با شکل بالا بیان شده‌اند.

  • در ابتدا جریان طی فرآیند a-b به صورتی شبه پایا و برگشت‌پذیر فشرده می‌شود.
  • در مرحله b-c، فرآیند احتراق و دریافت گرما در فشار ثابت اتفاق می‌افتد.
  • در مرحله c-d انبساط شبه‌پایا، آدیاباتیک و برگشت‌پذیر رخ می‌دهد.
    ۱. مقداری کار از هوا گرفته می‌شود و بخشی از آن به کمپرسور داده می‌شود.
    ۲. مابقی کار تولید شده، در موتورهای جت صرف شتاب دادن به هوا و در نیروگاه‌ها صرف تولید توان می‌شود.
  • در مرحله d-a سیال کاری (در اکثر کاربردها از هوا استفاده می‌شود) در فشار ثابت سرد شده و به حالت اولیه برمی‌گردد.

شکل زیر مولفه‌های سیکل برایتونی را نشان می‌دهد که به عنوان سیستم پیشرانش در جت مورد استفاده قرار می‌گیرد.

Brayton

مدل ترمودینامیکی سیکل برایتون را به صورت زیر نشان می‌دهند.

Brayton

بایستی بدانید که در حالت کلی می‌توان از سیکل برایتون در دو حالت باز و بسته استفاده کرد. مدل‌های ترمودینامیکی سیکل برایتون باز و بسته در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

Brayton

چگونه کار و راندمان را در سیکل برایتون محاسبه کنیم؟

هدف ما در این قسمت محاسبه کار، راندمان و گرمای دریافت شده توسط سیکل است. فرض کنید مطابق شکل زیر سیکلی فرآیند‌های زیر را طی کرده و نهایتا به حالت اولیه خود باز می‌گردد.

Brayton
شکل ۱

با نوشتن قانون اول ترمودینامیک برای این سیکل داریم:

Brayton

توجه داشته باشید که معادلات بالا در واحد جرم نوشته شده‌اند. سمت چپ معادله بالا تغییرات انرژی کل سیستم را نشان می‌دهد که در این حالت برابر با صفر است. دلیل صفر بودن این عبارت این است که انرژی کل یک سیستم تابع حالت بوده و از آنجایی که سیستم به حالت اولیه خود باز می‌گردد، بنابراین تغییر خالصی در انرژی آن اتفاق نیفتاده است. از این رو با صفر قرار دادن سمت چپ، داریم:

Brayton

مقادیر q1 و q2 عبارتند از میزان حرارتی که سیال کاری در دو مرحله مختلف جذب کرده است. البته بایستی توجه داشته باشید که علامت q1 منفی است چرا که میزان حرارتی را نشان می‌دهد که توسط سیستم از دست رفته. هم‌چنین گفتنی است که این انتقال حرارت‌ها در فرآیند‌های b-c و d-a اتفاق می‌افتند.

همان‌طور که در مطلب سیکل‌های ترمودینامیکی نیز بیان کردیم، برای یک فرآیند فشار ثابت و شبه‌پایا میزان حرارت منتقل شده بر واحد جرم را می‌توان با استفاده از رابطه زیر توصیف کرد.

Brayton

رابطه بالا نشان می‌دهد که تغییرات آنتالپی یک فرآیند فشار ثابت، معادل با انتقال حرارت خالص سیال کاری با محیط اطرافش است. از این رو با فرض این‌که سیال کاری، گاز کامل باشد، حرارت دریافت شده در محفظه احتراق را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

Brayton

به همین شکل حرارت از دست رفته در فرآیند d-a نیز با استفاده از رابطه زیر قابل توصیف است.

Brayton

حال با استفاده از رابطه مربوط به قانون اول که در بالا بیان شد، می‌توان کار انجام شده را به شکل زیر محاسبه کرد.

Brayton

با بدست آمدن حرارت خالص دریافتی و کار انجام شده، زمان آن فرا رسیده تا راندمان سیکل را محاسبه کنیم. بنابراین می‌توان نوشت.

رابطه (1)

رابطه بالا راندمان سیکل مورد بررسی را بر حسب دماهای چند نقطه نشان می‌دهد، اما با توجه به این‌که در بررسی سیکل برایتونِ ایده‌آل، سیال کاری را به عنوان گاز ایده‌آل در نظر گرفته‌ایم، بنابراین می‌توان با استفاده از روابط بین دما، فشار و حجم راندمان را به شکلی راحت‌تر محاسبه کرد.

برای نمونه فرض کردیم که فرآیند d-a فشار ثابت است، از این رو فشار دو نقطه a و d با یکدیگر برابر هستند. با همین استدلال فشار دو نقطه b و c نیز با یکدیگر برابر است [با توجه به شکل ۱ می‌توان این روابط را مشاهده کرد]. بنابراین می‌توان گفت:

Brayton

از طرفی دو فرآیند دیگرِ این سیکل به صورت آدیاباتیک رخ می‌دهند. هم‌چنین از ترمودینامیک می‌دانیم که رابطه زیر در یک فرآیند آدیاباتیک برقرار است.

brayton

با توجه به این که Pa=Pd و Pb=Pc است، روابط میان دماهای a ,b ,c ,d به شکل زیر بدست می‌آیند.

Brayton

بنابراین نهایتا می‌توان گفت که نسبت دماها نیز به صورت زیر است.

Brayton

با استفاده از عبارت بالا و رابطه 1 می‌توان معادله مربوط به راندمان سیکل را به شکل زیر محاسبه کرد.

Brayton

نرخ دمای خروجی به ورودی کمپرسور را «نسبت دما می‌نامند» و آن را با TR نشان می‌دهند. در حقیقت رابطه TR برابر است با:

Brayton

معمولا در سیکل برایتون نسبت فشار خروجی به فشار ورودی کمپرسور را «نسبت فشار» می‌نامند و آن را با PR نشان می‌دهند. با توجه به رابطه 1 که راندمان سیکل برایتون را نشان می‌دهد، می‌توان مقدار آن را همان‌گونه که در زیر بیان شده به صورت تابعی از PR و TR نشان داد.

Brayton
رابطه (2)

شکل زیر دما و فشار سیال را در بخش‌های مختلف یک موتور جت نشان می‌دهد. موتور زیر از نوع PW4000 است که در بوئینگ ۷۴۷ از آن استفاده می‌شود.

Brayton

معادله (2) نشان می‌دهد که می‌توان با افزایش نسبت فشار در کمپرسور، راندمان سیکل برایتون را افزایش داد. شکل زیر راندمان موتور مبتنی بر سیکل برایتون را بر حسب نسبت فشارِ کمپرسورش نشان می‌دهد.

Brayton

جالب است بدانید که در طول ۵ دهه اخیر ضریبِ نسبت فشارِ استفاده شده در کمپرسور‌های توربین‌های گازی و موتور‌های جت افزایش یافته است. شکل زیر این افزایش را نشان می‌دهد.

pressure ratio

تکنولوژی توربین گاز و محدودیت‌های ترمودینامیکی

دمای ورودی به توربین گاز که با TC نشان داده می‌شود با توجه به تکنولوژی و مواد به کار رفته در توربین تعیین می‌شود. شکل‌ زیر دمای ورودی به توربین‌های ساخته شده توسط شرکت «Rolls Royce» را با گذشت زمان نشان می‌دهد.

Brayton

یکی از سوالات مهم در طراحی توربین گازی و یا موتور جت این است که با فرض معلوم بودن بیشترین دمای مجاز ورودی به توربین، بر چه اساسی می‌توان نسبت فشار ایده‌آل کمپرسور را یافت؟ با توجه به کدام پارامتر این نسبت ایده‌آل یافت شود؟ بیشترین راندمان؟ بیشترین کار؟ یا شاید بتوان با بررسی ترکیبی از این پارامتر‌ها به نسبت ایده‌آل رسید.

نمودار زیر را تصور کنید.

Brayton

این نمودار دو سیکل برایتون را نشان می‌دهد. طبق روابطی که در بالا محاسبه کردیم (رابطه 2) بیشترین راندمان کمپرسور به ازای دمای ثابت ورودیِ TC زمانی حاصل می‌شود که نسبت فشار، بالاترین حد ممکن باشد. این جمله به این معنی است که دمای Tb به دمای Tc میل کند ($$T_b \rightarrow T_c$$). مستطیل کوچکی که در نمودار قرار گرفته این نزدیک شدن را نشان می‌دهد. چنین سیکلی بیشترین راندمان را دارد، اما به راستی کاری انجام می‌دهد؟

همان‌گونه که از ترمودینامیک می‌دانید، مقدار کار انجام شده توسط یک فرآیند برابر با $$\int pdv$$ است که برابر با مساحت سطح سیکل است. در شکل بالا هاشور مشکی رنگ کار انجام شده در حالت نرمال و قرمز رنگ میزانِ کار را در حالتی نشان می‌دهد که دمای Tb به دمای Tc نزدیک شده است. همان‌طور که در شکل نیز می‌بینید مقدار کار انجام شده در این حالت به صفر نزدیک می‌شود! بنابراین اگر معیار ما برای طراحی یک موتور مبتنی بر سیکل برایتون، فقط راندمان باشد، به سیکلی دست می‌یابیم که کار خروجی آن به صفر نزدیک است.

از این رو سناریوی دوم را به منظور دست‌یابی به بهترین سیکل ممکن، معادل با بیشترین کار خروجی در نظر می‌گیریم. در بالا رابطه کار خروجی یک سیکل را به شکل زیر محاسبه کردیم.

Brayton
رابطه (3)

در معادله بالا Tc نشان دهنده بیشترین دمای ورودی به توربین و Ta دمای اتمسفر را نشان می‌دهد. با فرض ثابت بودن دمای Ta نسبت فشار ایده‌آل کمپرسور را می‌توان با پیدا کردن دمای ایده‌آل خروجی از کمپرسور (Tb) تعیین کرد. از این رو از رابطه بالا نسبت به Tb مشتق می‌گیریم.

Brayton

عبارت اول و چهارمِ سمت راست معادله بالا برابر با صفر هستند [دلیل صفر بودن این عبارات، ثابت بودن دمای ورودی توربین (Tc) و دمای اتمسفر (Ta) هستند]. بنابراین دمای معادل با بیشترین کار ممکن را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

Brayton
رابطه (4)

برای استفاده از رابطه بالا باید رابطه بین Td و Tb را بیابیم. در بالا نحوه بدست آمدن رابطه زیر را بین دماها نشان دادیم.

Brayton

حال می‌توان مشتق مورد نیاز را به صورت زیر محاسبه کرد.

Brayton

با قرار دادن مشتق محاسبه شده بالا در رابطه (4)، دمای کمپرسور به منظور رسیدن به بیشترین کار خروجی ممکن، برابر با $$T_b=\sqrt{T_aT_c}$$ بدست می‌آید. با استفاده از دمای بدست آمده نسبت دمای کمپرسور را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد.

Brayton

شرایط لازم برای دست‌یابی به بیشترین کار خروجی در یک سیکل برایتون و شرایط لازم برای رسیدن به ماکزیمم راندمانِ ممکن، با یکدیگر متفاوت هستند. با توجه به نسبت دمای بدست آمده، بیشترین کار خروجی ممکن برای یک سیکل را می‌توان با جایگذاری این نسبت در رابطه 3 بدست آورد.

Brayton

با فاکتورگیری Ta از رابطه بالا، عبارت زیر حاصل می‌شود.

Brayton

واضح است که برای محاسبه توان موتور مبتنی بر این سیکل، می‌توان نسبت کار به جرم بدست آمده را در نرخ جریان ($$\dot {m}$$) ضرب کرد. بنابراین میزان توان بدست آمده از این سیکل برابر با مقدار زیر خواهد بود.

Brayton

brayton

در شکل زیر می‌توانید تغییرات کار ایده‌آل بدست آمده از یک سیکل برایتون را با توجه به نسبت دما و فشار کمپرسور مشاهده کنید.

Brayton

توجه کنید که در حالت واقعی نمی‌توان به این مقدار ایده‌آل دست یافت، اما نکته این‌جا است که با توجه به روابط بالا نسبت فشار مناسب به‌منظور طراحی یک کمپرسور بدست می‌آید. نمودار زیر رابطه بین دمای ورودی به توربین و کار ایده‌آل خروجی را نشان می‌دهد. هم‌چنین در این نمودار توان خروجی چند توربین واقعی نیز بر حسب دمای ورودی به توربین نشان داده شده.

Brayton

سیکل برایتون در موتور رم‌جت

عمدتا موتور‌های جت، مبتنی بر سیکل برایتون کار می‌کنند. «رم‌جت» (Ramjet) یک نوع موتور جت است که در سرعت‌های بالا مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این موتور‌ها از کمپرسور استفاده نمی‌شود؛ بنابراین از حرکت رو به جلوی موتور به‌منظور فشرده‌سازی هوا استفاده می‌شود. در زیر شماتیکی از این موتور نشان داده شده است.

brayton

جالب است بدانید که در این نوع از موتور، بخش متحرکی وجود ندارد. فرآیند‌های انجام شده در موتور رم‌جت به شرح زیر هستند.

$$0 \to 3$$: فشرده‌سازی آیزنتروپیک به همراه کاهش شدید عدد ماخ ($$M_0 \to M_3<<1$$)

$$3 \to 4$$: احتراق فشار ثابت

$$4 \to 5$$: انبساط آیزنتروپیک در نازل

با توجه به این‌که عمدتا این موتور‌ها به منظور ایجاد سرعت‌‌های بالا تولید می‌شوند، بنابراین راندمان آن‌ها را بر حسب عدد ماخ ورودی به موتور (M0) بیان می‌کنند. در ادامه رابطه بین راندمان یک موتور رم‌جتِ مبتنی بر سیکل برایتون و ماخ ورودی به آن، شرح داده شده.

Brayton

مثال‌

مطابق با شکل زیر سیکل برایتونی را تصور کنید که هوا با دمای ۲۷ درجه و فشار ۰.۱ مگاپاسکال به آن وارد می‌شود. با فرض این‌که نسبت فشارِ کمپرسور و توربین، ۶.۲۵ و ماکزیمم دمای سیکل ۸۰۰ درجه باشد، موارد زیر مطلوب است:

  1. کار خالص انجام شده توسط توربین
  2. کار مصرفی کمپرسور
  3. مقدار حرارت اضافه شده در فرآیند احتراق
  4. راندمان سیکل

Brayton

از آنجایی که سیال در کمپرسور فرآیندی آیزنتروپیک را تجربه می‌کند، بنابراین می‌توان با استفاده از نسبت فشار ارائه شده برای آن، نسبت دمایش را محاسبه کرد و پس از آن با توجه به معلوم بودن دمای ورودی، دمای خروجی کمپرسور را بدست آورد. این مراحل به صورت زیر انجام می‌شوند.

Brayton

از قانون اول می‌دانیم که انرژی منتقل شده به سیال در کمپرسور، برابر با کار انجام شده روی سیال است. در نتیجه کارِ کمپرسور را می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

Brayton

دقیقا به همین شکل می‌توان دمای خروجی از توربین را یافت و پس از آن، کار انجام شده توسط توربین را محاسبه کرد. در نتیجه می‌توان گفت:

Braytonاز آنجایی که دمای خروجی از محفظه احتراق (همان دمای ماکزیمم که در صورت مسئله بیان شده) و دمای ورودی به آن معلوم است، انتقال حرارت صورت گرفته در محفظه احتراق به صورت زیر بدست می‌آید.

Brayton

با بدست آمدن حرارت ورودی به سیستم و کار خروجی از توربین، راندمان به شکل زیر قابل محاسبه است.

Brayton

مثال بالا نمونه‌ای بسیار ساده از محاسبات مربوط به سیکل برایتون است. در حالت واقعی، فرآیند‌ها دقیقا به صورت فشار ثابت و آیزنتروپیک نیستند، بنابراین برای آن‌ها ضرایبی از خطا را در نظر می‌گیرند. برای فراگیری روابط حاکم بر دیگر سیکل‌های ترمودینامیکی می‌توانید از آموزش ترمودینامیک ۲ استفاده کنید.

هم‌چنین در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

^^

بر اساس رای ۳۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
MIT university
۵ thoughts on “سیکل برایتون (Brayton Cycle) و محاسبات مربوط به آن — از صفر تا صد

خیلی ممنون
واقعا عالی بود
دست گلتون درد نکنه

کاش فیلم هم داشت:(

خیلی ممنون
واقعا عالی بود
دست گلتون درد نکنه

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *