نمودار تانژانت و کتانژانت – به زبان ساده با مثال و تمرین

۸۵ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۳

زمان مطالعه: ۳۰ دقیقه

دانلود PDF مقاله

نمودار تانژانت و کتانژانت – به زبان ساده با مثال و تمرین

در مطالب قبلی مجله فرادرس با نحوه رسم نمودار سینوس و کسینوس آشنا شدیم. در این نوشته به بررسی نمودار دو تابع مثلثاتی دیگر به نام تانژانت (tan) و کتانژانت (cot) می‌پردازیم. توابع تانژانت و کتانژانت در محاسبات موردنیاز جهت پیدا کردن فواصل مختلف، مانند ارتفاع ساختمان‌ها کاربرد گسترده‌ای دارند. بنابراین بهتر است با مراحل رسم نمودار تانژانت و کتانژانت نیز آشنا شویم.

فهرست مطالب این نوشته

نمودار تانژانت و کتانژانت

چگونه مثلثات در متوسطه را با فرادرس بهتر یاد بگیریم؟

رسم نمودار Y= tan(x)

رسم نمودار Y= cot(x)

مراحل رسم نمودار تانژانت و کتانژانت

حل مثال و تمرین رسم نمودار سینوس و کسینوس

مسیر یادگیری ریاضیات پایه دانشگاهی با فرادرس

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس ابتدا یاد می‌گیریم ویژگی‌های توابع تانژانت و کتانژانت از لحاظ دامنه و برد، دوره تناوب و زوج یا فرد بودن به چه صورت است. سپس با در نظر گرفتن همین ویژگی‌ها، نشان می‌دهیم مراحل رسم نمودار تانژانت و کتانژانت چیست و چگونه می‌توانیم محل قرارگیری مجانب‌ قائم یا تغییراتی مانند کشیدگی یا فشردگی نمودار، جابجایی روی محور قائم یا شیفت فاز در راستای افق را برای این توابع محاسبه کنیم.

نمودار تانژانت و کتانژانت

تطابق $\theta \rightarrow \tan \theta$ یا $\theta \rightarrow \cot \theta$ برای متغیری مانند $\theta$ ، تابعی به نام تانژانت یا کتانژانت را تعریف می‌کند. در مقایسه با توابع سینوس و کسینوس، تانژانت و کتانژانت در نقاط خاصی دارای مقادیر تعریف نشده‌اند و هر جا که بی‌نهایت شوند، مجانب قائم داریم.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر نشان می‌دهد چگونه می‌توانیم هر نوع نمودار تانژانت و کتانژانت را با پیدا کردن پنج نقطه و اتصال آن‌ها به هم، رسم کنیم:

مراحل رسم نمودار	tan	cot
مقایسه و تعیین $a$ و $b$ و $c$ و $d$	$y=a\tan (bx-c)+d$	$y=a\cot (bx-c)+d$
محاسبه دوره تناوب	$p=\frac{\pi}{b}$	$p=\frac{\pi}{b}$
محاسبه مکان اولین مجانب	$‌bx-c=-\frac{\pi}{2}$	$‌bx-c=0$
محاسبه مکان دومین مجانب	$‌bx-c=+\frac{\pi}{2}$	$‌bx-c=\pi$
میزان جابجایی روی محور عمودی	$d$	$d$
مختصات نقطه شروع دوره اول	$(x_1, y_1)=(-\frac{\pi}{2b}+\frac{c}{b}, \pm∞)$	$(x_1, y_1)=(\frac{c}{b}, \pm∞)$
مختصات نقطه پایانی دوره اول	$(x_2, y_2)=(\frac{\pi}{2b}+\frac{c}{b}, \pm∞)$	$(x_2, y_2)=(\frac{\pi}{b}+\frac{c}{b}, \pm∞)$
مختصات نقطه مرکزی دوره اول	$(x_3, y_3)=(\frac{c}{b},d )$	$(x_3, y_3)=(\frac{c}{b} +\frac{\pi}{2b},d )$
نقطه بین یک و سه در تناوب اول	$(x_4, y_4)=(-\frac{\pi}{4b}+\frac{c}{b},d\pm\|a\| )$	$(x_4, y_4)=(\frac{c}{b} +\frac{\pi}{4b},d\pm\|a\| )$
نقطه بین سه و دو در تناوب اول	$(x_5, y_5)=(\frac{\pi}{4b}+\frac{c}{b},d\pm\|a\| )$	$(x_5, y_5)=(\frac{c}{b}+\frac{3\pi}{4b},d\pm\|a\| )$

پیش از اینکه به توضیح مراحل رسم نمودار تانژانت و کتانژانت بپردازیم، ابتدا لازم است با این دو نوع تابع مثلثاتی و خصوصیات آن‌ها مانند دوره تناوب، زوج یا فرد بودن و ... آشنا شویم. دانستن این ویژگی‌ها در رسم نمودار تانژانت و کتانژانت بسیار موثر است.

معرفی توابع مثلثاتی تانژانت و کتانژانت

در ابتدای نوشته به این نکته اشاره کردیم که از توابع تانژانت و کتانژانت جهت محاسبه فواصلی مانند ارتفاع ساختمان‌ها و ... استفاده می‌شود. اما اگر بخواهیم فاصله‌ یا مسافتی که دائما در حال تکرار است را اندازه‌گیری کنیم، باز هم این توابع می‌توانند به ما کمک کنند.

درختی موازی ضلع مجاور زاویه قائمه در یک مثلث قائم‌الزاویه قرار دارد.

برای مثال، موقعیتی را تصور کنید که یک ماشین پلیس در کنار ساختمانی پارک کرده است، در حالی که چراغ هشدار آن مرتبا در حال چرخیدن و تولید نور قرمز است. نور حاصل از این چراغ روی دیوار ساختمان فواصلی را می‌پیماید که به‌طور دوره‌ای در حال تکرار هستند.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم در فرادرس

کلیک کنید

در واقع اگر در این آزمایش ورودی را زمان در نظر بگیریم، خروجی مسافتی خواهد بود که پرتو نور می‌پیماید. در چنین شرایطی تابع تانژانت می‌تواند این فواصل را به‌طور تقریبی تعیین کند. به علاوه دانستن مجانب‌های نمودار تانژانت و کتانژانت در به تصویر کشیدن این دوره‌های تکرار شده لازم است. بنابراین یکی از مهم‌ترین کاربردهای نمودار تانژانت و کتانژانت، ترسیم و نمایش فواصل تکرار شده است.

توابع تانژانت و کتانژانت هم مانند توابع سینوس و کسینوس، می‌توانند بر حسب متغیری مانند $x$ یا $\theta$ بیان شوند. در هر دو حالت، جنس این متغیر‌ از زاویه است، یعنی توابع تانژانت و کتانژانت هر دو بر حسب زاویه رسم می‌شوند که این زاویه می‌تواند بر حسب درجه یا رادیان باشد.

تصویری از نمودارهای تانژانت و کتانژانت در کنار هم — برای مشاهده تصویر در ابعاد بزرگتر، روی آن کلیک کنید.

نحوه نمایش کلی این توابع نیز به شکل $y=\tan x$ و $y=\cot x$ است، یعنی معمولا تانژانت یا کتانژانت متغیری مانند $x$ را با متغیر دیگری به نام $y$ برابر قرار می‌دهیم. به این ترتیب، رسم نمودار تانژانت و کتانژانت با رسم $y$ بر حسب $x$ انجام خواهد شد.

تابع تانژانت از تقسیم تابع مثلثاتی سینوس بر کسینوس حاصل می‌شود:

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

پس مقادیر تابع تانژانت با استفاده از تعریف بالا به‌دست می‌آیند. در بخش رسم نمودار توضیحات بیشتری در این زمینه خواهیم داد. این در حالی است که تابع کتانژانت از تقسیم تابع مثلثاتی کسینوس بر سینوس به‌دست می‌آید:

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

پس همینجا می‌توانیم به‌راحتی رابطه بین توابع تانژانت و کتانژانت را نتیجه‌گیری کنیم. تابع کتانژانت همواره عکس تابع تانژانت است:

$\tan x=\frac{1}{\cot x}$

مطلب پیشنهادی:

سینوس، کسینوس و تانژانت یک زاویه — به زبان ساده

شروع مطالعه

دوره تناوب توابع تانژانت و کتانژانت

یکی از مهم‌ترین خصوصیات توابع مثلثاتی، دوره‌ای یا تناوبی بودن آن‌ها است. به تابعی مانند $f$ یک تابع متناوب گفته می‌شود، در صورتی که تساوی $f(x+p)=f(x)$ به ازای عدد مثبتی مانند $p$ ‌ همواره برای آن برقرار باشد. در این صورت به کوچکترین مقدار $p$ در صورتی که وجود داشته باشد، دوره تناوب تابع $f$ گفته می‌شود.

گفتیم تمام توابع مثلثاتی متناوب‌اند. برای مثال، توابع سینوس و کسینوس دوره تناوبی برابر با $2\pi$ رادیان یا $360$ درجه دارند، در حالی که دوره تناوب توابع تانژانت و کتانژانت معادل است با $\pi$ رادیان یا $180$ درجه. بنابراین شکل خاص نمودار تانژانت و کتانژانت پس از $\pi$ رادیان مجددا تکرار می‌شود.

جدول زیر نشان می‌دهد که چگونه می‌توانیم دوره‌ای بودن توابع مثلثاتی را در قالب ریاضیات و با در نظر گرفتن $n$ به‌عنوان یک عدد صحیح، نشان دهیم:

تابع مثلثاتی	رابطه دوره‌ای بودن تابع مثلثاتی	دوره تناوب
تابع سینوس	$\sin x=\sin (x+2\pi n)$	$2\pi$
تابع کسینوس	$\cos x=\cos (x+2\pi n)$	$2\pi$
تابع تانژانت	$\tan x=\tan (x+\pi n)$	$\pi$
تابع کتانژانت	$\cot x=\cot (x+\pi n)$	$\pi$

بنابراین هر بخش از تابع متناوب شامل نقطه‌ای مانند $x$ تا نقطه‌ای‌ به‌صورت $x+p$ (با توجه به اینکه گفتیم $p$ دوره تناوب تابع است)، یک دوره یا یک چرخه از تابع نامیده می‌شود. برای مثال در مورد تابع تانژانت با دوره تناوب $\pi$ ، دوره می‌تواند از $0$ تا $\pi$ باشد و یا ممکن است از $-\frac{\pi}{2}$ تا $\frac{\pi}{2}$ به‌عنوان دوره در نظر گرفته شود. بنابراین نقاط شروع و انتهای دوره در نمودار تانژانت و کتانژانت می‌توانند متفاوت باشند، اما در هر حال می‌دانیم فاصله بین این دو نقطه همواره با $\pi$ برابر است.

مطلب پیشنهادی:

تابع متناوب و خصوصیات آن | به زبان ساده

شروع مطالعه

زوج یا فرد بودن توابع تانژانت و کتانژانت

برای اینکه بتوانیم رسم نمودار تانژانت و کتانژانت را به‌درستی انجام دهیم، دانستن زوج یا فرد بودن این توابع مهم است. می‌دانیم تابعی مانند $f$ وقتی زوج است که داشته باشیم:

$f(x)=f(-x)$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

رابطه بالا بیان می‌کند که اگر برای تابع $f$ ، ورودی منفی شود یا $x$ به $-x$ تبدیل شود، اما در خروجی آن تغییری ایجاد نشود، در این صورت $f$ زوج است. این در حالی است که برای تابع فرد تعریف به شکل زیر خواهد بود:

$f(-x)=-f(x)$

یعنی اگر برای تابع $f$ ، ورودی منفی شود یا $x$ به $-x$ تبدیل شود و نتیجه اثر تابع روی متغیر هم منفی شود، در این صورت $f$ یک تابع فرد است. برای تشخیص زوج یا فرد بودن توابع تانژانت و کتانژانت می‌توانیم از دانش خود در مورد زوج یا فرد بودن تابع سینوس و کسینوس و اینکه چطور توابع تانژانت و کتانژانت از این دو تابع ساخته می‌شوند، استفاده کنیم. می‌دانیم سینوس یک تابع فرد و کسینوس یک تابع زوج است، یعنی داریم:

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\cos (-x)=\cos (x)$

پس با در نظر گرفتن رابطه تانژانت با این دو تابع و تبدیل $x$ به $-x$ برای $\tan (x)$ ، خواهیم داشت:

$\tan (-x)=\frac{\sin (-x)}{\cos (-x)}=\frac{-\sin (x)}{\cos (x)}=-\tan (x)$

اگر رابطه بالا را با تعریف تابع فرد مقایسه کنیم، متوجه می‌شویم که تانژانت یک تابع فرد است. حالا می‌توانیم همین روند را برای تابع کتانژانت هم اعمال کنیم تا زوج یا فرد بودن این تابع نیز مشخص شود:

بر اساس رای ۰ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

Math.libretexts Math.libretexts Mrseehafer GeeksforGeeks Mathhints Greenemath Statisticshowto Mathmonks

فهیمه سکاکی (+)

«فهیمه سکاکی» دانش‌آموخته مقطع دکتری فیزیک گرایش حالت جامد است. از جمله مباحث مورد علاقه او فیزیک لایه‌های نازک در سلول‌های خورشیدی است. او در حال حاضر، در زمینه آموزش‌های فیزیک در مجله فرادرس می‌نویسد.