قضیه کوشی — به زبان ساده

قضیه کوشی یا به طور دقیق‌تر، «قضیه مقدار میانگین کوشی» (Cauchy’s Mean Value Theorem) تعمیم قضیه مقدار میانگین لاگرانژ است. این قضیه، قضیه مقدار میانگین گسترش یافته یا دوم نیز نامیده می‌شود و رابطه بین مشتق دو تابع و تغییرات این توابع را در یک بازه متناهی بیان می‌کند.

قضیه کوشی

دو تابع $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$ در بازه $$[a , b ] $$ پیوسته و در بازه $$ ( a , b ) $$ مشتق‌پذیر هستند و برای همه $$ x \in \left( {a,b} \right) $$، مقدار $$ g’\left( x \right) \ne 0 $$ را داریم. طبق قضیه کوشی، نقطه $$ x = c $$ در این بازه به گونه‌ای وجود دارد که

$$ \large { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } } = { \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } . } $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

اثبات: ابتدا باید گفت که مخرج کسر سمت چپ تساوی صفر نیست: $${g\left( b \right) – g\left( a \right)} \ne 0$$. در واقع، اگر $$ {g\left( b \right) = g\left( a \right)} $$ باشد، طبق قضیه رول، نقطه $$ d \in \left( {a,b} \right) $$ وجود خواهد داشت که در آن، $$g’\left( {d} \right) = 0 $$ است. این موضوع با فرض $$ g’\left( x \right) \ne 0 $$ برای همه $$ x \in \left( {a,b} \right) $$ در تعارض است.

تابع کمکی زیر را معرفی می‌کنیم:

$$ \large F \left ( x \right ) = f \left ( x \right ) + \lambda g \left ( x \right ) $$

و $$ \lambda $$ را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که شرط $$ { F \left ( a \right ) = F \left ( b \right ) } $$ برقرار باشد. در این حالت، خواهیم داشت:‌

$$ \large \begin {align*}
& f \left ( a \right ) + \lambda g \left ( a \right ) = f \left ( b \right ) + \lambda g \left ( b \right ) , \; \; \\ & \Rightarrow { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) = \lambda \left [ { g \left ( a \right ) – g \left ( b \right ) } \right ] , \; \; } \\ & \Rightarrow { \lambda = – \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } . }
\end {align*} $$

و تابع $$ F ( x ) $$ نیز به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { F \left ( x \right ) } = { f \left ( x \right ) – \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } g \left ( x \right ) . } $$

این تابع در بازه بسته $$ [ a , b ] $$ پیوسته و در بازه باز $$( a , b )$$ مشتق‌پذیر است و به ازای مقدار $$ \lambda$$ انتخاب شده، در مرزها مقدار یکسانی خواهد داشت. در نتیجه، طبق قضیه رول، نقطه $$  c $$ در بازه $$ ( a , b ) $$ به گونه‌ای وجود دارد که

$$ \large F’\left( c \right) = 0. $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { f’ \left ( c \right ) } - { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } g’ \left ( c \right ) = 0 } $$

یا

$$ \large { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } }{ { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } } = { \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } . } $$

با قرار دادن $$ g ( x ) = x $$ در فرمول کوشی، فرمول لاگرانژ به دست می‌آید:

$$ \large \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { b – a } } = f’ \left ( c \right ) . $$

تعبیر هندسی قضیه مقدار میانگین کوشی را نیز می‌توان بیان کرد. فرض کنید منحنی $$\gamma $$ با معادلات پارامتری $$x = f\left( t \right) $$ و $$ y = g \left ( t \right ) $$ تعریف شده باشد که در آن، پارامتر $$ t $$ در بازه $$[a , b ] $$ قرار دارد. وقتی پارامتر $$ t $$ تغییر می‌کند، نقطه روی منحنی شکل ۲ از $$ A\left( {f\left( a \right), g\left( a \right)} \right) $$ به $$B\left( {f\left( b \right),g\left( b \right)} \right) $$ جابه‌جا می‌شود.

مثال‌های قضیه کوشی

در این بخش، چند مثال را از قضیه کوشی حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

تابع $$ f ( x ) $$ در بازه $$ [ a , b ] $$ مشتق‌پذیر بوده و $$ a b > 0 $$ است. نشان دهید تساوی زیر برای این تابع برقرار است ($$c \in \left( {a,b} \right)$$):

$$ \large { \frac { 1 } { { a – b } } \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
a & b \\
{ f \left ( a \right ) } & { f \left ( b \right ) }
\end {array} } \right | } = { f \left ( c \right ) – c f’ \left ( c \right ) } $$

حل: از آنجا که $$ a b > 0 $$ است، بازه $$ [ a , b ] $$ شامل نقطه $$ x = 0 $$ نیست. دو تابع $$ F( x ) $$ و $$ G ( x ) $$ را به فرم زیر در نظر می‌گیریم:

$$ \large { F \left ( x \right ) = \frac { { f \left ( x \right ) } }{ x } , } \; \; \; \kern-0.3pt { G \left ( x \right ) = \frac { 1 } { x } . } $$

فرمول کوشی برای این توابع به شکل زیر نوشته می‌شود:

$$ \large { \frac { { F \left ( b \right ) – F \left ( a \right ) } } { { G \left ( b \right ) – G \left ( a \right ) } } } = { \frac { { F’ \left ( c \right ) } } { { G’ \left ( c \right ) } } , } $$

که در آن، $$ x = c $$ در بازه $$ ( a , b ) $$ قرار دارد.

مشتق دو تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { F’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { { f \left ( x \right ) } } { x} } \right ) ^ \prime } = \frac { { f’ \left ( x \right ) x – f \left ( x \right ) } } { { { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { G’ \left ( x \right ) = { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } = – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } . } $$

با جایگذاری در فرمول کوشی، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} & \frac { { \frac { { f \left ( b \right ) } } { b } – \frac { { f \left ( a \right ) } } { a } } } { { \frac { 1 } { b } – \frac { 1 } { a } } } = { \frac { { \frac { { c f’ \left ( c \right ) – f \left ( c \right ) } } { { { c ^ 2 } } } } } { { – \frac { 1 } { { {c ^ 2 } } } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { \frac { { a f \left ( b \right ) – b f \left ( a \right ) } } { { a b } } } } { { \frac { { a – b } } { { a b } } } } } = { – \frac { { \frac { { c f’ \left ( c \right ) – f \left ( c \right ) } }{ { { c ^ 2 } } } } } { { \frac { 1 } { { { c ^ 2 } } } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { a f \left ( b \right ) – b f \left ( a \right ) } } { { a – b } } = f \left ( c \right ) – c f’ \left ( c \right ) } \end {align*} $$

دترمینان سمت چپ تساوی به صورت زیر نوشته شده و تساوی اثبات می‌شود:

$$ \large { \frac { 1 } { { a – b } } \left | { \begin {array} { *{ 2 0 } { c } } a & b \\ { f \left ( a \right ) } & { f \left ( b \right ) } \end {array} } \right | } = { f \left ( c \right ) – c f’ \left ( c \right ) . } $$

مثال ۲

قضیه مقدار میانگین کوشی را برای دو تابع $$ f\left( x \right) = {x^4} $$ و $$g\left( x \right) = {x^2} $$ در بازه $$[ 1 , 2 ] $$ بررسی کنید.

حل: مشتق این دو تابع به صورت زیر است:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) = \left ( { { x ^ 4 } } \right ) = 4 { x ^ 3 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { g’ \left ( x \right ) = \left ( { { x ^ 2 } } \right ) = 2 x . } $$

توابع و مشتق‌های آن‌ها را در فرمول کوشی قرار داده و خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} & { \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } = \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } , \; \; } \Rightarrow { \frac { { { b ^ 4 } – { a ^ 4 } } } { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } = \frac { { 4 { c ^ 3 } } } { { 2 c } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { \cancel { \left ( { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } \right ) } \left ( { { b ^ 2 } + { a ^ 2 } } \right ) } } { \cancel { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } = 2 { c ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { { c ^ 2 } = \frac { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } }{ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { c = \pm \sqrt { \frac { { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } } { 2 } } . }
\end {align*} $$

با در نظر گرفتن مرزهای $$ a = 1 $$ و $$ b = 2 $$، داریم:

$$ \large { c = \pm \sqrt { \frac { { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } { 2 } } } = { \pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } } \approx \pm 1.58.} $$

در اینجا، مقدار مثبت $$ c = \sqrt {\large\frac{5}{2}\normalsize} \approx 1.58 $$ ریشه را در نظر می‌گیریم.

بدیهی است که این عدد در بازه $$ ( 1 , 2 ) $$ قرار دارد، یعنی قضیه کوشی برقرار است.

مثال ۳

قضیه کوشی را برای دو تابع $$f\left( x \right) = {x^3}$$ و $$g\left( x \right) = \arctan x$$ در بازه $$[ 0 , 1 ] $$ بررسی کنید.

حل: ابتدا مشتق دو تابع را می‌نویسیم:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } = 3 { x ^ 2 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { g’ \left ( x \right ) = { \left ( { \arctan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } . } $$

توابع $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$ و مشتق آن‌ها را در فرمول کوشی قرار می‌دهیم:

$$ \large \begin {align*}
& \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } = \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } , \; \; \Rightarrow { \frac { { { b ^ 3 } – { a ^ 3 } } } { { \arctan b – \arctan a } } = \frac { { 3 { c ^ 2 } } } { { \frac { 1 } { { 1 + { c ^ 2 } } } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { { b ^ 3 } – { a ^ 3 } } } { { \arctan b – \arctan a } } = \frac { { 1 + { c ^ 2 } } } { { 3 { c ^ 2 } } } . }
\end {align*} $$

برای $$ a = 0 $$ و $$ b = 1 $$ خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
& \frac { { { 1 ^ 3 } – { 0 ^ 3 } } } { { \arctan 1 – \arctan 0 } } = \frac { { 1 + { c ^ 2 } } } { { 3 { c ^ 2 } } } , \; \; \Rightarrow { \frac { { 1 – 0 } } { { \frac { \pi } { 4 } – 0 } } = \frac { { 1 + { c ^ 2 } } } { { 3 { c ^ 2 } } } , \; \; } \\\ & \Rightarrow { \frac { 4 } { \pi } = \frac { { 1 + { c ^ 2 } } } { { 3 { c ^ 2 } } } , \; \; } \Rightarrow { 1 2 { c ^ 2 } = \pi + \pi { c ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow { \left ( { 1 2 – \pi } \right ){ c ^ 2 } = \pi , \; \; } \\ & \Rightarrow { { c ^ 2 } = \frac { \pi }{ { 1 2 – \pi } } , \; \; } \Rightarrow { c = \pm \sqrt { \frac { \pi } { { 1 2 – \pi } } } . }
\end {align*} $$

از آنجا که بازه $$ [  0 , 1 ] $$ را داریم، مقدار مثبت را برای $$ c $$ انتخاب می‌کنیم. مطمئن می‌شویم که $$ c $$ در بازه $$ ( 0 , 1 ) $$ قرار دارد:

$$ \large { c = \sqrt { \frac { \pi } { { 1 2 – \pi } } } } { \approx \sqrt { \frac { { 3 . 1 4 } } { { 8 . 8 6 } } } \approx 0 . 6 0 . } $$

در نتیجه، قضیه مقدار میانگین کوشی بری توابع و بازه داده شده برقرار است.

مثال ۴

قضیه کوشی را برای دو تابع $$f\left( x \right) = \cos x$$ و $$g\left( x \right) = \sin x$$ در بازه $$ [ a , b ] $$ بررسی کنید.

حل: فرمول کوشی برای این توابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
& \frac { { f \left ( b \right ) – f \left ( a \right ) } } { { g \left ( b \right ) – g \left ( a \right ) } } = \frac { { f’ \left ( c \right ) } } { { g’ \left ( c \right ) } } , \; \; \Rightarrow { \frac { { \cos b – \cos a } } { { \sin b – \sin a } } = \frac { { { { \left ( { \cos c } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { \sin c } \right ) } ^ \prime } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { \cos b – \cos a } } { { \sin b – \sin a } } = – \frac { { \sin c } } { { \cos c } } } = { - \tan c , }
\end {align*} $$

که در آن، نقطه $$ c $$ در بازه $$ ( a , b ) $$ واقع شده است.

با استفاده از اتحادهای جمع به ضرب مثلثاتی، داریم:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} & { \frac { { – \cancel { 2 } \sin \frac { { b + a } } { 2 } \cancel { \sin \frac { { b – a } } { 2 } } } } { { \cancel { 2 } \cos \frac { { b + a } } { 2 } \cancel { \sin \frac { { b – a } } { 2 } } } } = – \tan c , \; \; } \Rightarrow { - \tan \frac { { a + b } } { 2 } = – \tan c , \; \; } \\ & \Rightarrow { c = \frac { { a + b } } { 2 } + \pi n , \; n \in Z . }
\end {align*} $$

با توجه به مسئله، می‌خواهیم جواب را در $$ n = 0 $$ به دست آوریم. بنابراین، داریم:

$$ \large c = \frac { { a + b } } { 2 } . $$

همان‌طور که می‌بینیم، $$ c $$ در میانه بازه $$ ( a , b ) $$ قرار دارد و در نتیجه، قضیه کوشی برقرار است.

جواب بالا تنها در صورتی صحیح است که $$ a $$ و $$ b $$ در شرایط زیر صدق کنند:‌

$$ \large \begin {align*}
& { \left \{ \begin {array} { l }
\cos \frac { { b + a } } { 2 } \ne 0 \\
\sin \frac { { b – a } } { 2 } \ne 0
\end {array} \right. , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ \begin {array} { l }
\frac { { b + a } } { 2 } \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi n \\
\frac { { b – a } } { 2 } \ne \pi k
\end {array} \right. , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \left \{ \begin {array} { l }
a + b \ne \pi + 2 \pi n \\
b – a \ne 2 \pi k
\end {array} \right. , \; \; } \Rightarrow
{ \left \{ \begin {array} { l }
a \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi n \\
b \ne \frac { \pi } { 2 } + \pi k
\end {array} \right . , }
\end {align*} $$

که در آن، $$n, k \in \mathbb{Z} $$ است.

مثال ۵

نشان دهید به ازای $$ x \neq 0 $$ نامساوی زیر برقرار است:‌

$$ \large 1 – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } \lt \cos x $$

حل: توابع زیر را در نظر می‌گیریم:

$$ \large { f \left ( x \right ) = 1 – \cos x , } \; \; \; \kern-0.3pt { g \left ( x \right ) = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } $$

و فرمول کوشی را در بازه $$[ 0 , x ] $$ اعمال می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
& \frac { { f \left ( x \right ) – f \left ( 0 \right ) } } { { g \left ( x \right ) – g \left ( 0 \right ) } } = \frac { { f’ \left ( \xi \right ) } } { { g’ \left ( \xi \right ) } } , \; \; \\ & \Rightarrow { \frac { { 1 – \cos x – \left ( { 1 – \cos 0 } \right ) } }{ { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } – 0 } } = \frac { { \sin \xi } } { \xi } , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { 1 – \cos x } } { { \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } } } = \frac { { \sin \xi } } { \xi } , }
\end {align*} $$

که $$\xi $$ در بازه $$ ( 0 , 1 ) $$ قرار دارد.

عبارت $$ {\large\frac{{\sin \xi }}{\xi }\normalsize} $$ $$ {\xi \ne 0} )$$) در سمت راست معادله همواره کوچک‌تر از یک است. در واقع، مطابق شکل ۳، $$ \xi $$ طول کمان حاصل از زاویه $$ \xi $$ در دایره واحد است و $$\sin \xi $$ تصویر بردار شعاع $$OM$$ روی محور $$ y $$ است. در این حالت، می‌توان نوشت:

$$ \large { \frac { { 1 – \cos x } } { { \frac { { { x ^ 2 } }} { 2 } } } = \frac { { \sin \xi } } { \xi } \lt 1 , \; \; } \Rightarrow { 1 – \cos x \lt \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 }
\; \; } \Rightarrow { 1 – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } \lt \cos x . } $$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• معادله خط در فضا — به زبان ساده
• مجانب تابع — به زبان ساده
• توابع محدب و مقعر — از صفر تا صد

^^