خمش الاستوپلاستیک | با مثال های کاربردی
در مباحث «تحلیل تنش برشی در تیرهای بال پهن»، «تحلیل خمش در تیرهای نامتقارن» و «تعیین تنش برشی در تیرهای جدار نازک با مقطع باز» تیرهایی را مورد بررسی قرار دادیم که مواد سازنده آنها از قانون هوک پیروی میکرد (مواد الاستیک خطی). در این مقاله به بررسی خمش در تیرهای الاستوپلاستیک خواهیم پرداخت. در انتها نیز چند مثال کاربردی را درباره خمش الاستوپلاستیک تشریح خواهیم کرد.
مقدمه
توزیع تنش در تیرهای الاستوپلاستیک، به صورت خطی نیست و با توجه به شکل منحنی تنش کرنش تغییر میکند. در مبحث «تحلیل الاستو پلاستیک در سازه های معین و نامعین استاتیکی»، مواد الاستوپلاستیک را مورد بررسی قرار دادیم. همانطور که در آن مبحث نیز اشاره شد، این مواد قبل از رسیدن به تنش تسلیم σY، از قانون هوک پیروی میکنند. سپس تحت تنش ثابت به صورت پلاستیک تسلیم میشوند. با توجه به شکل زیر میتوان مشاهده کرد که مواد الاستوپلاستیک دارای یک محدوده الاستیک خطی در میان نواحی پلاستیک کامل خود هستند. در این مقاله فرض میکنیم تنش تسلیم σY و کرنش تسلیم ϵY در هر دو حالت کشش و فشار برابر است.
فولاد سازهای را میتوان به عنوان یکی از بهترین مثالهای مواد الاستوپلاستیک در نظر گرفت؛ چراکه در نمودار تنش-کرنش این فولاد نقاط تسلیم به طور کامل مشخص هستند و کرنشهای بزرگی در حین تسلیم رخ میدهند. نهایتاً، رفتار سخت شوندگی کرنش در این مواد شروع به میشود و دیگر فرض پلاستیسیته کامل برای آنها معتبر نخواهد بود. سخت شوندگی کرنش امکان افزایش مقاومت را فراهم میکند. از اینرو، فرض پلاستیک کامل بسیار خوشبینانه است.
گشتاور تسلیم
شکل زیر، یک تیر ساخته شده از مواد الاستوپلاستیک را نمایش میدهد که در معرض گشتاور خمشی M قرار گرفته است.
گشتاور M باعث ایجاد خمش در صفحه x-y میشود. در صورت کوچک بودن گشتاور خمشی، حداکثر تنش موجود در تیر از تنش تسلیم σY کمتر و وضعیت آن مشابه یک تیر تحت خمش الاستیک با توزیع تنش یکنواخت (شکل زیر) خواهد بود.
در این شرایط، محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع عبور میکند و تنشهای نرمال از طریق رابطه خمش (σ=My/I) محاسبه میشوند. به دلیل مثبت بودن گشتاور خمشی، تنشهای بالای محور z فشاری و تنشهای پایین این محور کششی هستند. حالت قبل تا زمانی باقی میماند که تنش موجود در دورترین نقطه از محور خنثی (در فشار یا کشش) به تنش تسلیم σY برسد (شکل زیر).
گشتاور خمشی در لحظه رسیدن به تنش تسلیم با عنوان «گشتاور تسلیم» (Yield Moment) شناخته شده و با MY نمایش داده میشود. مقدار این گشتاور از رابطه زیر به دست میآید:
c: دورترین فاصله از محور خنثی؛ S: مدول مقطع مربوطه
گشتاور پلاستیک و محور خنثی
هنگامی که گشتاور خمشی از گشتاور تسلیم MY بیشتر میشود، کرنش درون تیر همچنان افزایش مییابد و مقدار حداکثری آن به کرنش تسلیم εY میرسد. اگرچه به دلیل رخ دادن تسلیم پلاستیک کامل، مقدار تنش ماکسیمم ثابت و برابر σY باقی میماند (شکل زیر). توجه داشته باشید که در این حالت، نواحی خارجی تیر به صورت کاملاً پلاستیک و در مقابل هسته مرکزی آن (هسته الاستیک) به صورت الاستیک خطی باقی میماند.
اگر محور تقارن سطح مقطع بر روی محور z منطبق نباشد، هنگام عبور گشتاور از نقطه تسلیم، محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع دور میشود. جابجایی محور خنثی برای مقطع ذوزنقهای بزرگ نبوده و به اندازهای کوچک است که در شکل آن مشاهده نمیشود. در مقاطع دارای تقارن مضاعف، محور خنثی در هنگام عبور گشتاور از نقطه تسلیم نیز از مرکز هندسی سطح مقطع عبور میکند. با افزایش بیشتر گشتاور خمشی، ناحیه پلاستیک بزرگتر و به محور خنثی نزدیکتر میشود. این تغییرات تا رسیدن به حالت نمایش داده شده در شکل زیر ادامه مییابند. در این مرحله، حداکثر کرنش موجود در تیر (در دورترین فاصله از محور خنثی) حدود 10 تا 15 برابر کرنش تسلیم εY و هسته الاستیک تقریباً محو میشود.
به این ترتیب، ظرفیت تیر برای مقاومت در برابر گشتاور به مقدار نهایی میرسد و وضعیت نهایی توزیع تنش (توزیع تنش ایده آل) به شکل دو مستطیل در میآید (شکل زیر). گشتاور خمشی متناظر با این توزیع تنش با عنوان «گشتاور پلاستیک» (Plastic Moment) شناخته شده و با علامت MP نمایش داده میشود. این گشتاور بیانگر حداکثر گشتاوری است که یک تیر الاستوپلاستیک میتواند تحمل کند.
برای محاسبه گشتاور پلاستیک MP، ابتدا باید مختصات محور خنثی سطح مقطع تیر را تحت شرایط کاملاً پلاستیک تعیین کرد. به این منظور، سطح مقطع نمایش داده شده در شکل زیر را با فرض انطباق محور خنثی بر روی محور z در نظر بگیرید.
تمام نقاط موجود در بالای محور خنثی تحت تنش فشاری σY و تمام نقاط زیر این محور تحت تنش کششی σY قرار دارند (شکل زیر). برآیند نیروی فشاری C برابر با حاصلضرب σY در مساحت سطح مقطع A1 (بالای محور خنثی) و برآیند نیروی کشش T برابر با حاصلضرب σY در مساحت سطح مقطع A2 (پایین محور خنثی) است.
به دلیل صفر بودن نیروی برآیند اعمال شده بر روی سطح مقطع، خواهیم داشت:
مساحت کل سطح مقطع A از حاصل جمع A1 و A2 به دست میآید. بنابراین:
از اینرو در شرایط کاملاً پلاستیک، محور خنثی سطح مقطع را به دو ناحیه برابر تقسیم میکند. به همین دلیل، امکان متفاوت بودن محل قرارگیری محور خنثی برای گشتاور پلاستیک MP با خمش الاستیک خطی وجود دارد. به عنوان مثال، در مقاطع ذوزنقهای که عرض سطح مقطع بخش بالایی کمتر از بخش پایینی است؛ محور خنثی در حالت خمش کاملاً پلاستیک کمی پایینتر از محور خنثی در حالت خمش الاستیک خطی خواهد بود.
به دلیل برابر بودن گشتاور پلاستیک MP با برآیند گشتاور تنشهای اعمال شده بر سطح مقطع، مقدار MP از انتگرال بر روی سطح A تعیین میشود:
y: مختصات المان سطح dA (با فرض مثبت بودن جهت رو به بالا)؛ y-1 و y-2؛ فاصله محور خنثی تا مراکز هندسی سطوح A1 و A2 (نقاط c1 و c2)
روش سادهتر محاسبه گشتاور پلاستیک، استفاده از گشتاور نیروهای C و T حول محور خنثی است:
با جایگذاری روابط C و T داریم: