تجزیه هان و کاربردهای آن — به زبان ساده

در ریاضیات و «نظریه اندازه» (Measure Theory)، «قضیه تجزیه هان» (Hahn Decomposition Theorem) نقش مهمی ایفا می‌کند. از آنجایی که در «نظریه احتمال» (Probability Theorem) نیز با یک اندازه استاندارد (در بازه صفر تا یک) مواجه هستیم، به کارگیری قضیه تجزیه هان هم مورد استفاده بوده و نتایج مهمی از آن ایجاد می‌شود. به همین علت نیز موضوع این نوشتار به این قضیه مهم در ریاضیات اختصاص یافته است. همانطور که خواهید دید، تجزیه هان عمل تفکیک مجموعه‌ها به دو مجموعه مثبت و منفی (با اندازه مثبت و منفی) و تجزیه جردن عمل تفکیک اندازه به دو اندازه مثبت و منفی (اندازه روی مجموعه مثبت و اندازه روی مجموعه منفی) را انجام می‌دهند، و در پیشبرد و کاربرد نظریه اندازه، بخصوص در نظریه احتمال، نقش مهمی ایفا می‌کنند.

برای آشنایی بیشتر با اصطلاحات به کار رفته در این مطلب، بهتر است به عنوان مقدمه، فضای توپولوژیک در ریاضیات - به زبان ساده و نظریه اندازه در ریاضیات — مفاهیم و کاربردها را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتارهای آزمایش تصادفی، پیشامد و تابع احتمال و فضای متریک و نامساوی مثلثی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

تجزیه هان و کاربردهای آن

ریاضیدان اتریشی «هانس هان» (Hans Hahn) در مقاله‌ای به نحوه تجزیه یا تفکیک یک «اندازه علامت‌دار» (Sign Measure) پرداخت و نشان داد که یک فضای اندازه‌پذیر (Measurable Space) مانند ($$X , \Sigma$$) و یک اندازه علامت‌دار مانند $$\mu$$ روی «سیگما میدان» (Sigma Field) حاصل از $$X$$ را می‌توان به دو مجموعه $$\mu$$-اندازه‌پذیر مثل $$P$$ ‌و $$N$$ تجزیه کرد. او همچنین نشان داد که این دو مجموعه، منحصر به فرد هستند و نحوه استخراج آن‌ها را نیز مشخص نمود.

فیلم آموزش فرایندهای تصادفی یا اتفاقی Stochastic Processes در فرادرس

کلیک کنید

به بیان دیگر گزاره‌های زیر برای چنین فضای اندازه‌پذیر و مجموعه‌های $$\mu$$, $$N$$ و $$P$$ برقرار است:

• $$P$$ و $$N$$ یک افراز روی $$X$$ ایجاد می‌کنند. یعنی:

$$\large {\displaystyle P\cup N=X}\;\; \text{ and } \;\; {\displaystyle P\cap N=\varnothing }$$

• برای هر مجموعه‌ای مانند $$E$$ در سیگما میدان $$\Sigma$$ که زیر مجموعه $$P$$ باشد، اندازه $$\mu$$ نامنفی است. یعنی مجموعه $$P$$ یک مجموعه مثبت برای اندازه $$\mu$$ است.

$$\large \forall E \in \Sigma , E \subseteq P \rightarrow \mu(E) \geq 0$$

• برای هر مجموعه‌ای مانند $$E$$ در سیگما میدان $$\Sigma$$ که زیر مجموعه $$N$$ باشد، اندازه $$\mu$$ نامثبت است. یعنی مجموعه $$N$$ یک مجموعه منفی برای اندازه $$\mu$$ است.

$$\large \forall E \in \Sigma , E \subseteq N \rightarrow \mu(E) \leq 0$$

از طرفی مجموعه‌های $$N$$ و $$P$$، منحصر به فرد هستند. به این ترتیب اگر $$N'$$ و $$P'$$ دو مجموعه دیگر با خواص ذکر شده باشند، تفاضل متقارن (Symmetric Differences)  آن‌ها ($$P \Delta P'$$) و ($$N \Delta N'$$) یک مجموعه با اندازه $$\mu$$ صفر خواهد بود. یعنی برای هر یک از این مجموعه‌ها  داریم: $$\mu(N \Delta N') = \mu ( P \Delta P') = 0$$. به این ترتیب $$P$$ و $$N$$ یا به طور دقیق‌تر زوج ($$P, N$$) را تجزیه هان روی $$X$$ برحسب اندازه علامت‌دار $$\mu$$ در فضای اندازه $$(X, \Sigma , \mu)$$ می‌شناسند.

یکی از نتایج حاصل از قضیه تجزیه هان، «تجزیه اندازه جردن» (Jordan Measure Decomposition) است که در ادامه این متن به آن هم اشاره خواهیم کرد. این دو قضیه نقش مهمی در آنالیز و نظریه اندازه ایفا می‌کنند.

صورت قضیه تجزیه هان

هر مجموعه در فضای اندازه ($$X ,\Sigma , \mu$$) که در آن $$\mu$$ یک اندازه علامت‌دار است را می‌توان به دو زیرمجموعه $$P$$ و $$N$$ افراز کرد بطوری که برای هر یک از آن‌ها، اندازه هر زیر مجموعه برای $$P$$، منفی و برای $$N$$ نامثبت است. در ضمن این افراز یکتا است.

همانطور که می‌دانید، اندازه (Measure) در ریاضیات تابعی مجموعه‌ای (Set Function) است که مقادیر نامنفی اختیار می‌کند. در مقابل «اندازه علامت‌دار» (Sign Measure) می‌تواند شامل مقادیر مثبت، منفی و صفر باشد و از طرفی همه خواص یک تابع اندازه (مثل خاصیت جمعی - Additive Property) را هم خواهد داشت. به این معنی که اندازه اجتماع متناهی از مجموعه‌ها برابر با مجموع اندازه‌های هر یک خواهد بود. ویژگی دیگری که ممکن است برای یک تابع اندازه در نظر گرفت، خاصیت سیگما-جمع‌پذیر بودن آن است که در ادامه مورد توجه قرار خواهد گرفت.

خاصیت سیگما-جمع (Additive-$$\sigma$$): فرض کنید دنباله‌ای از مجموعه‌های $$A_1 , A_2 , \ldots$$ دو به دو جدا از هم در میدان سیگمایی $$A$$ در اختیارمان قرار گرفته است. در صورتی که رابطه زیر برقرار باشد، $$\mu$$ را دارای خاصیت سیگما-جمع (Additive-$$\sigma$$) یا سیگما-جمع‌پذیر گویند.

$$\large {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

همین ویژگی را در زمانی که مجموع یا دنباله مجموعه‌ها، متناهی باشند به نام خاصیت جمع‌پذیری یک اندازه می‌شناسیم که به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{k }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{k }\mu (A_{n})}$$

اثبات قضیه تجزیه هان

اثبات قضیه تجزیه هان در سه بخش معرفی می‌شود. بخش اول در مورد وجود دو مجموعه $$N$$ و $$P$$‌ است. بخش دوم نحوه تشکیل این دو مجموعه را مشخص می‌کند و در نهایت و در بخش سوم، منحصر به فرد بودن یا یکتایی این دو مجموعه مورد بحث قرار می‌گیرد.

مقدمات: فرض کنید که $$\mu$$ یک اندازه است که مقدار $$-\infty$$ را نمی‌گیرد (در غیر اینصورت با اندازه $$-\mu$$ قرار خواهیم کرد). با توجه به تعریفی که از مجموعه منفی در قسمت قبل گفتیم، مجموعه $$A$$ متعلق به «سیگما میدان» (Sigma Field) را منفی می‌گویم، اگر برای هر زیر مجموعه‌ای از آن مثل $$B \in \Sigma$$ داشته باشیم، $$\mu(B) \geq 0$$.

ادعا: مجموعه $$A_0 = D$$ تعریف می‌کنیم. سپس به کمک استقرا فرض می‌کنیم که برای $$n \in N_0$$، مجموعه‌هایی مانند $$A_n$$ که زیر مجموعه‌هایی از $$D$$ ‌هستند نیز وجود دارند. منظور از $$N_0$$، مجموعه اعداد طبیعی به همراه عدد صفر است.

اثبات ادعا: از طرفی رابطه زیر را برحسب کوچکترین کران بالا (supremum) برای اندازه $$\mu(B)$$ روی همه زیرمجموعه‌های $$B$$ (روی $$A_n$$ها) در نظر بگیرید.

$$\large { \displaystyle t_{n} : = \sup( \{ \mu (B) \mid B \in \Sigma ~ { \text{ and }} ~ B \subseteq A_{n}\} )}$$

ممکن است این سوپریمم، بی‌نهایت باشد. از آنجایی که $$\emptyset$$ (مجموعه تهی) نیز می‌تواند یک کاندید برای مجموعه $$B$$ در تعریف $$t_n$$ باشد. در نظر داشته باشید که $$\mu(\emptyset) = 0$$ است. در نتیجه $$t_n \geq 0$$ است. از همین رو با توجه به تعریف $$t_n$$ می‌توان زیر مجموعه $$B_n \subseteq A_n$$ از سیگما-میدان اندازه‌پذیر $$\Sigma$$ را در نظر گرفت که رابطه زیر برایش برقرار باشد.

$$\large { \displaystyle \mu (B_{n}) \geq \min \! \left( 1 , { \frac {t_{n}}{2}} \right) }$$

مجموعه $$A_{n+1}$$ را از تفاضل $$B_n$$ از $$A_n$$ بسازید.

$$\large A_{n+1} := An \backslash B_n$$

سپس مجموعه $$A$$ را به شکل زیر تعریف کنید.

$$\large { \displaystyle A : = D { \Bigg \backslash } \bigcup _{ n = 0 }^{ \infty }B_{n} }$$

از آنجایی که دنباله $$(B_n)_{n=0}^{\infty}$$، ناسازگار (Disjoint) و زیر مجموعه‌هایی از $$D$$ هستند، از خاصیت جمع‌پذیری (سیگما-جمع) اندازه علامت‌دار $$\mu$$ در فضای سیگمایی استفاده کرده و خواهیم داشت:

$$\large { \displaystyle \mu (A) = \mu (D) - \sum _{ n = 0 }^{ \infty } \mu (B_{n}) \leq \mu (D) - \sum _{ n = 0 }^{ \infty } \min \! \left( 1 , { \frac {t_{n}}{2}} \right) }$$

این رابطه نشان می‌دهد که $$\mu(A) \leq \mu(D)$$ است. در نتیجه $$A$$ نمی‌تواند یک مجموعه با اندازه منفی باشد. پس باید یک زیر مجموعه مثل $$B \subseteq A$$ وجود داشته باشد که برای آن $$\mu(B) \geq 0$$. در این صورت $$t_n \geq \mu(B)$$ برای هر $$n \in N_0$$‌ است. بنابراین دنباله مربوط به طرف راست رابطه بالا، باید واگرا به $$+\infty$$ بوده، پس $$\mu(A) = -\infty$$ است. این امر یک تناقض در مورد نامنفی بودن مجموعه $$A$$ خواهد بود.

تشکیل مجموعه‌های حاصل از تجزیه هان

تشکیل مجموعه‌های $$P$$ و $$N$$ از طریق استقرا صورت می‌گیرد. $$N_0 = \emptyset$$ را در نظر بگیرید. آنگاه با فرض معلوم بودن $$N_n$$، $$s_n$$ را به صورت زیر برحسب بزرگترین کران پایین یا اینفیمم  (inf) مشخص می‌کنیم.

$$\large { \displaystyle s_{n} : = \inf( \{ \mu (D) \mid D \in \Sigma ~ { \text{ and }} ~ D \subseteq X \setminus N_{n}\} ) }$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

پیدا کردن اینفیمم $$\mu(D)$$ها روی همه زیرمجموعه‌های سیگما میدان حاصل از $$X$$ مانند $$D$$ به جز $$N_n$$ صورت می‌گیرد. ممکن است این کران پایین برابر با $$-\infty$$ باشد. از آنجایی که مجموعه تهی $$\emptyset$$ یک مجموعه مثبت و کاندید برای $$D$$ در تعریف $$s_n$$ است و $$\mu(\emptyset) = 0$$، پس $$s_n \leq 0$$ خواهد بود. بنابراین یک $$D_n$$ از چنین زیرمجموعه‌هایی وجود دارد که در رابطه زیر صدق کند.

$$\large { \displaystyle \mu (D_{n}) \leq \max \! \left( { \frac {s_{n}}{2}}, - 1 \right) \leq 0 }$$

توجه داشته باشید که در این حالت $$D_n \subseteq X \backslash N_n$$‌ است.

با ادعای که از قبل صورت گرفته بود، داریم: $$A_n \subseteq D_n$$ بطوری که $$\mu(A_n) \leq \mu(D_n)$$.

این بار $$N_{n+1} := N_n \cup A_n$$ و آخرین گام استقرا را انجام می‌دهیم. مجموعه $$N$$ را به شکل زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large { \displaystyle N : = \bigcup _{ n = 0 }^{ \infty }A_{n}}$$

از آنجایی که دنباله مجموعه‌های $$(A_n)^{\infty}_{n=0}$$ ناسازگار یا جدا از هم هستند، برای هر زیرمجموعه‌ای مانند $$B \subseteq N$$ که در سیگما میدان حاصل از $$X$$ باشد، داریم:

$$\large { \displaystyle \mu (B) = \sum _{ n = 0 }^{ \infty } \mu (B \cap A_{n})}$$

باز هم به کمک خاصیت جمع‌پذیری اندازه $$\mu$$ رابطه بالا نوشته شده است. در حالت کلی این روابط نشان می‌دهند که $$N$$ باید یک مجموعه منفی باشد. با تعریف $$P:=X \backslash N$$، مجموعه $$P$$ یک مجموع  مثبت خواهد بود زیرا اگر چنین نباشد، می‌توان مجموعه‌ای مانند $$D \subseteq P$$ پیدا کرد که $$\mu(D) <0$$ باشد. پس $$s_n \leq \mu(D)$$ برای همه $$n \in N_0$$‌ است و داریم:

$$\large { \displaystyle \mu (N) = \sum _{ n = 0 }^{ \infty } \mu (A_{n}) \leq \sum _{ n = 0 }^{ \infty } \max \! \left({ \frac {s_{n}}{2}}, - 1 \right) = -\infty ,}$$

که باز هم تناقض بوده در نتیجه $$P$$ یک مجموعه مثبت است.

اثبات یکتایی

فرض کنید زوج $$(P' , N')$$ تشکیل یک افراز دیگر با خصوصیات گفته شده روی $$X$$ باشند. آنگاه $$P \cap N'$$ یک مجموعه مثبت و همچنین یک مجموعه منفی است. در نتیجه برای هر زیر مجموعه اندازه‌پذیری، مقدار اندازه $$\mu$$ صفر خواهد شد. همین ویژگی را برای دو اشتراک $$N$$‌و $$P'$$ نیز خواهیم داشت:

$$\large \mu( N \cap P' ) = \mu (P \cap N') = 0$$

از طرفی با توجه به تعریف تفاضل متقارن برای دو مجموعه، روابط زیر نیز برقرار خواهند بود.

$$\large { \displaystyle P \triangle P' = N \triangle N' = (P \cap N') \cup (N \cap P'),}$$

که به این ترتیب اثبات کامل خواهد شد.

قضیه تجزیه جردن برای اندازه‌های علامت‌دار

فرض کنید $$\mu$$ یک اندازه علامت‌دار است. «قضبه تفکیک جردن» (Jordan Decomposition Theorem) بیان می‌کند که چنین اندازه‌ای که روی سیگما میدان $$\Sigma$$ حاصل از $$X$$ است را می‌توان به دو اندازه مثبت و منفی (مثلا با نمادهای $$\mu^+$$ و $$\mu^-$$) تجزیه نمود که حداقل یکی از آن‌ها متناهی است. به این ترتیب برای هر مجموعه $$E$$ در سیگما میدان $$\mu$$-اندازه‌پذیر که زیر مجموعه $$N$$ باشد، داریم $$\mu^+(E) = 0$$ و برای هر زیر مجموعه از $$P$$ مثل $$E$$ خواهیم داشت $$\mu^-(E) = 0$$. لازم به ذکر است که در اینجا زوج ($$P,N$$)، افراز یا تجزیه هان روی $$X$$ برحسب تابع اندازه $$\mu$$ هستند.

در این حال $$\mu^+$$ و $$\mu^-$$ را تجزیه جردن (یا گاهی تجزیه هان- جردن) برای اندازه $$\mu$$ در فضای اندازه‌پذیر ($$X,\Sigma$$) می‌گویند.

این دو اندازه را به کمک رابطه زیر می‌توان از روی اندازه $$\mu$$ برای هر مجموعه در سیگما میدان $$\Sigma$$ محاسبه کرد.

$$\large { \displaystyle {\mu ^{ + }}(E) : = \mu ( E \cap P ) \qquad { \text{ and} } \qquad { \mu ^{ - }}(E) : = - \mu ( E \cap N )}$$

نکته: توجه داشته باشید که در اینجا $$\mu$$ یک اندازه علامت‌دار بوده ولی $$\mu^-$$ و $$\mu^+$$ توابع اندازه (با مقادیر نامنفی) هستند. همچنین در نظر داشته باشید که در اینجا هم تجزیه جردن، اندازه‌های منحصر به فردی ارائه می‌کند.

تجزیه جردن دارای دو نتیجه مهم است: اول، نحوه تشکیل اندازه‌های $$\mu^+ , \mu^-$$ را بیان می‌کند:

$$\large { \displaystyle {\mu ^{ + } }(E) = \sup _{ B \in \Sigma , ~ B \subseteq E } \mu (B) \quad { \text{ and }} \quad { \mu ^{ - }}(E) = - \inf _{B \in \Sigma , ~ B \subseteq E} \mu (B)}$$

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

همچنین اگر $$\mu = \nu^+ - \nu^-$$ باشد که زوج ($$\nu^+ , \nu^-$$) اندازه‌های متناهی نامنفی روی $$X$$ هستند، آنگاه خواهیم داشت:

$$\large { \displaystyle \nu ^{ + } \geq \mu ^{ + }\quad { \text{ and }} \quad \nu ^{-} \geq \mu ^{ - }}$$

عبارت آخر مشخص می‌کند که تجزیه جردن، کوچکترین تجزیه $$\mu$$ به دو اندازه نامنفی نیز هست. این خاصیت به نام خاصیت کمینه (Minimality Property) در تجزیه جردن معروف است.

نکته: ویژگی‌های دیگر و همینطور اثبات این قضیه جردن را در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس دنبال کنید.

همانطور که مشخص شد، این دو قضیه (تفکیک یا افراز هان و تجزیه جردن) به دو شکل افراز را در فضای اندازه مشخص می‌کنند. قضیه تجزیه هان نشان می‌دهد که هر مجموعه اندازه‌پذیر را می‌توان برحسب یک اندازه علامت‌دار، به دو زیر مجموعه مثبت و منفی افراز کرد. در حالیکه قضیه تجزیه جردن بیان می‌کند که هر اندازه علامت‌دار را می‌توان به دو اندازه مثبت و منفی تجزیه کرده و رابطه بین آن‌ها را به صورت $$\mu = \mu^+ - \mu^-$$ بیان نمود. البته دو اندازه حاصل از تجزیه جردن روی مجموعه‌ها تشکیل شده از تفکیک هان عمل می‌کنند.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با قضیه تجزیه هان و کاربرد آن در نظریه اندازه (Measure Theory) و همینطور در قضیه تجزیه جردن آشنا شدیم. همچنین خصوصیات و اصطلاحاتی که برای مجموعه‌های اندازه‌پذیر وجود دارند نیز مورد بحث قرار گرفت. با توجه به نزدیکی نظریه احتمال و نظریه اندازه، این حوزه از ریاضیات بخصوص برای کسانی که با نظریه احتمالات سروکار دارند، جذاب بوده و مبانی نظریه احتمال (Probability Theory) را برایشان روشن‌تر می‌کند. تجزیه هان برای اثبات مشتق رادون-نیکودیم (Radon–Nikodym derivative) نیز به کار می‌رود. در این بین با تجزیه جردن (Jordan Measure Decomposition) نیز آشنا شدیم که به عنوان یک نتیجه از قضیه تفکیک هان مورد استفاده قرار می‌گیرد.