تابع همساز چیست؟ – به زبان ساده + مثال و تمرین

تابع همساز یا هارمونیک در ریاضیات پیشرفته به تابعی حقیقی گفته می‌شود که مشتقات جزئی مرتبه دوم داشته باشد و این مشتق‌ها در معادله لاپلاس صدق کنند. در این آموزش از مجله فرادرس، با «تابع همساز» (Harmonic Function) آشنا می‌شویم.

عملگر لاپلاسین و مفهوم آن

عملگرهای مهمی در ریاضیات وجود دارد که هر مهندس و فیزیکدانی باید با آن‌ها آشنایی داشته باشد. یکی از این عملگرها لاپلاسین است که در اینجا سعی می‌کنیم به‌خوبی با آن آشنا شویم. لاپلاسین عملگری است که در بسیاری از مسائل و فرمول‌های فیزیک ظاهر می‌شود. اما لاپلاسین دقیقاً چیست و چه ارتباطی با توابع هارمونیک دارد؟

$$\nabla \cdot \nabla f = \nabla ^ { 2 } f = \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } }$$

نمادی که معمولاً برای نشان دادن لاپلاسین به کار می‌بریم، یا مربع عملگر دل ($$\nabla$$) یا مثلث رو به بالا ($$\Delta$$) است.

توجه داشته باشید که این شکل لاپلاسین فقط برای مختصات دکارتی است. وقتی از دستگاه مختصات دیگری مانند قطبی، استوانه‌ای یا کروی استفاده می‌کنیم، فرمول لاپلاسین تغییر می‌کند.

دیدیم که لاپلاسین در مختصات دکارتی این‌گونه است:

$$\nabla ^ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } }$$

لاپلاسین در مختصات استوانه‌ای به‌شکل زیر خواهد بود:

$$\nabla ^ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial { z } ^ { 2 } }$$

در مختصات کروی نیز، تعریف زیر را برای لاپلاسین داریم:

$$\nabla ^ { 2 } = \frac { 1 } { { r } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left ( { r } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial r } \right ) + \frac { 1 } { { r } ^ { 2 } \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left ( \sin \theta \frac { \partial } { \partial \theta } \right ) + \frac { 1 } { { r } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } }$$

به‌جای به خاطر سپردن همه این فرمول‌ها — که ضروری هم نیست — بر مفهم لاپلاسین و آنچه این عملگر واقعاً نشان می‌دهد، تمرکز خواهیم کرد. مطمئناً شکل لاپلاسین ممکن است برای دستگاه‌های مختصات مختلف تغییر کند، اما مفهوم آن ثابت است. 

می‌دانیم که گرادیان یک تابع اسکالر، یک میدان برداری است که در جهت بزرگ‌ترین شیب صعودی نمودار آن تابع است.

اگر در یک کمینه (مینیمم) محلی یک تابع باشیم، پیکان‌های میدان گرادیان آن در همه جهات از آن نقطه دور خواهند شد. اگر ما در بیشینه (ماکزیمم) محلی باشیم، همه آن‌ها در آن نقطه همگرا می‌شوند، زیرا هیچ نقطه بالاتر دیگری در آن نزدیکی وجود ندارد. شکل زیر، یک تابع اسکالر (نمودار آبی) و میدان گرادیان آن (پیکان‌ها در صفحه x-y) را نشان می‌دهد. 

بنابراین، دیورژانس یک میدان برداری در یک نقطه خاص، میزان تمایل میدان برداری به «گسترش» یا «واگرایی» در آن نقطه است.

$$\nabla \cdot \vec { A } = \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial A _ { y } } { \partial y } + \frac { \partial A _ { z } } { \partial z }$$

به بیان ساده، اگر پیکان‌های میدان برداری تمایل به همگرا شدن در یک نقطه داشته باشند، واگرایی در آن نقطه منفی خواهد بود. در مقابل، اگر پیکان‌ها از هم جدا شوند، واگرایی مثبت خواهد بود.

به موضوع اصلی برمی‌گردیم. قبل‌تر لاپلاسین را به‌عنوان واگرایی گرادیان یک تابع اسکالر تعریف کردیم. با نگاهی همه مواردی که در بالا گفتیم، به‌راحتی می‌توان دریافت که واگرایی گرادیان در نقاطی که شبیه کمینه‌های محلی هستند مثبت و بسیار زیاد است، در حالی که در نقاطی که شبیه بیشینه‌های محلی هستند، منفی و کم است.

اگر کمی در این مفهوم تأمل کنیم به این نتیجه می‌رسیم که لاپلاسین یک تابع اسکالر در یک نقطه اندازه‌گیری و سنجه‌ای است که مقدار تابع در آن نقطه با میانگین مقادیر همسایه‌اش تفاوت دارد.

اگر لاپلاسین در یک نقطه مثبت (منفی) باشد، به این معنی است که میانگین مقادیر همسایه آن نقطه بزرگ‌تر (کوچک‌تر) از مقدار در آن نقطه است. برای مثال، فرض کنید تابع $$f = f (x , y) = y ^ x$$ را داریم و نقطه‌ دلخواهی را از نمودار آن انتخاب می‌کنیم. طبق مفهوم لاپلاسین، دایره‌‌ای از نقاط در اطراف آن نقطه (همه همسایه‌های آن) را در نظر می‌گیریم و این پرسش را مطرح می‌کنیم: «میانگین مقادیر آن نقطه‌ها از مقدار تابع در نقطه انتخابی ما کوچک‌تر است یا مساوی یا بزرگ‌تر؟

البته همه این مفاهیم به ابعاد بالاتر نیز قابل تعمیم است.

از ریاضیات دوره دبیرستان می‌دانیم که علامت مشتق دوم تابع یک‌متغیره مربوط به تقعر آن است. اگر مشتق دوم مثبت باشد، تابع به سمت بالا تقعر دارد و اگر مشتق دوم آن منفی باشد، به پایین تقعر خواهد داشت. شهودِ پسِ این رابطه همان شهودی است که برای درک لاپلاسین داشتیم. دقیقاً مانند لاپلاسین، علامت مشتق دوم یک تابع در یک بُعد، رابطه مقدار در آن نقطه و میانگین همسایه‌هایش را نشان می‌دهد،.

بنابراین، می‌توانیم بگوییم که لاپلاسین در یک بُعد مشابه مشتق دوم است.

معادله لاپلاس و مفهوم تابع همساز

معادله لاپلاس به همراه معادله گرما و معادله موج، سه معادله اساسی در ریاضی فیزیک را تشکیل می‌دهند. معادله لاپلاس یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است که بیان می‌کند لاپلاسین تابع $$f$$ برابر با صفر است.

$$\Delta f = 0$$ یا $$\nabla ^ { 2 } f = 0$$

جواب‌های این معادله به توابع همساز یا هارمونیک (Harmonic Functions) معروف هستند. توابع همساز توابعی هستند که لاپلاسین آن‌ها در تمام نقاط برابر با صفر است. طبق آنچه تاکنون بحث کردیم، در نمودار یک تابع همساز، جدای از این مسئله که کدام نقطه را انتخاب کنیم، همسایه‌های آن به طور متوسط مقدار یکسانی خواهند داشت. تابع $$f = f (x , y ) = e ^ x \sin (y)$$ مثالی از یک تابع همساز دومتغیره است که در شکل زیر نشان داده شده است. 

اگر بخواهیم مشابه توابع همساز را در یک بعد پیدا کنیم باید به دنبال توابعی بگردیم که مشتق دوم آن‌ها در همه نقاط برابر با صفر باشد. بدیهی است که تنها توابعی که این شرط را برآورده می‌کنند، توابع ثابت و خطی هستند. توابع ثابت و خطی در یک بعد توابع همساز هستند، زیرا مشتق دوم آن‌ها در همه نقاط برابر با صفر است.

«رویه مینیمال» (Minimal Surface) رویه‌ای است که به‌طور موضعی مساحت خود را کمینه می‌کند. این تعریف معادل است با داشتن انحنای میانگین صفر. یک مثال ساده برای درک و پیش‌بینی شکل یک تابع همساز، مقایسه آن با حباب‌های صابون یا دقیق‌تر از آن، فیلم‌های صابون است که در شکل زیر نشان داده شده است. 

فیلم صابون این ویژگی را دارد که رویه مینیمال باشد. بسته به ساختاری که فیلم صابون روی آن پخش می‌شود، شکل فیلم سعی می‌کند کوچک‌ترین سطح ممکن را داشته باشد تا کشش کلی را به حداقل برساند. همان‌طور که گفتیم، سطوح مینیمال در همه جا انحنای متوسط خود را صفر می‌کنند، یعنی در معادله لاپلاس صدق می‌کنند. هنگامی که یک تابع همساز دومتغره را به‌صورت سه‌بعدی تجسم کنیم خواهیم دید که در واقع توابع همساز رویه مینیمال هستند و دقیقاً شبیه حباب‌های صابون‌اند. 

تعریف تابع همساز

تابع $$f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$$ را یک تابع همساز یا هارمونیک می‌گوییم، اگر مجموع مشتقات دوم آن برابر با صفر باشد. بنابراین، تابع همساز باید معادله را برآورده کند:

$$\begin {equation} \frac { \partial ^ 2 f } { \partial x _ 1 ^ 2 } + \frac { \partial ^ 2 f }{ \partial x _ 2 ^ 2 } + \cdots + \frac { \partial ^ 2 f } { \partial x _ n ^ 2 } = 0 \end {equation}$$

یا

$$\Delta f = 0$$

که برای تابع دومتغیره بعدی $$f(x,y)$$، بسته به نحوه نوشتن مشتقات، $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$ یا $$f_{xx} + f_{yy} = 0$$ خواهد بود. این معادله یک معادله دیفرانسیل است. با این حال، این یک نوع خاص از معادلات دیفرانسیل است. زیرا $$f$$ دارای چند متغیره است و به آن معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) می‌گویند. در میان معادلات دیفرنسیل جزئی، معادله اخیر معادله لاپلاس نیز نامیده می‌شود که به آن اشاره کردیم.

تابع همساز یک‌متغیره

در این بخش، جواب معادله لاپلاس را در یک بعد بررسی می‌کنیم تا نحوه رفتار آن را بهتر درک کنیم. در یک بعد، ما به‌دنبال $$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$$ هستیم که $$f''(x) = 0$$ را برآورده کند. پیدا کردن آن چندان سخت نیست: