پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به تابع جریان توضیح داده شد. در مطلب تابع جریان بیان شد که چطور می‌توان شکل یک جریان را با استفاده از یک تابع اسکالر توصیف کرد. در این مطلب قصد داریم تا یک تابع اسکالر دیگر تحت عنوان تابع پتانسیل را تعریف کنیم که جریانی خاص، تحت عنوان جریان پتانسیل را مورد بررسی قرار می‌دهد. بنابراین جریان پتانسیل و تابع پتانسیل المان‌هایی هستند که می‌توان با استفاده از آن‌ها جریان‌های غیرچرخشی را توصیف کرد. البته پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب معادلات ناویر استوکس، قانون بقا و جرم، سینماتیک سیالات و تابع جریان را مطالعه فرمایید.

مفهوم تابع پتانسیل

در مطلب لایه‌مرزی توضیح داده شد که در هنگام عبور جریان از روی یک جسم، ناحیه‌ای اطراف جسم تشکیل می‌شود که تاثیرات ویسکوزیته در آن وجود دارد. جهت یادآوری شکل زیر را در نظر بگیرید.

Potential-flow

همان‌طور که در شکل فوق نیز نشان داده شده، برای یک جریان خارجی، فرض غیرلزج بودن سیال در بیرون از لایه‌مرزی می‌تواند صحیح باشد. البته این گفته تا زمانی صادق است که گرادیان فشار معکوس، واماندگی یا جدایش جریان رخ ندهد.

با توجه به گفته‌های فوق، برای جریان در نواحی غیر لزج و غیرچرخشی، می‌توان تابعی تحت عنوان «تابع پتانسیل» (Potential Function) تعریف کرده و با استفاده از آن میدان سرعت و فشار را بدست آورد. هدف از این مطلب، توضیح نحوه بدست آوردن این تابع و نهایتا تحلیل جریان است. توجه داشته باشید که مفهوم تابع پتانسیل را تنها می‌توان برای جریان‌های غیرچرخشی و غیرلزج تعریف کرد.

تعریف تابع پتانسیل

چرخش یک میدان برداری، همچون سرعت برای یک سیال را می‌توان با استفاده از کرل میدان بدست آورد. از این رو چرخش میدان سرعت برابر است با:

$$ \large \omega = \nabla × V $$

در نواحی‌ که جریان غیرلزج بوده و سرعت آن پایین باشد، می‌توان این فرض را داشت که جریان غیرچرخشی است. بنابراین در نواحی مذکور عبارت زیر قابل بیان است:

$$ \large 0 = \nabla × V $$

در این حالت می‌توان تابعی اسکالر تحت عنوان «تابع پتانسیل» را به جریان نسبت داد. در حقیقت گرادیان این تابع برابر با میدان سرعت در نظر گرفته می‌شود. بنابراین برای یک جریان غیرچرخشی رابطه زیر را می‌توان در نظر گرفت:

$$ \large V = \overrightarrow \nabla \phi $$

طبق رابطه فوق، مولفه‌های سرعت نیز به شکل زیر بدست می‌آیند:

$$ \large u = \frac { \partial \phi } { \partial x } \ \ , \ \ v = \frac { \partial \phi } { \partial y } \ \ , \ \ w = \frac { \partial \phi } { \partial z } $$

در رابطه بالا، u,v,w نشان دهنده مولفه‌های سرعت هستند. بدیهی است که سرعت‌های فوق بایستی رابطه پیوستگی را ارضا کنند. بنابراین قانون پیوستگی را می‌توان در قالب تابع پتانسیل، به صورت زیر نوشت.

$$ \large \overrightarrow \nabla . \overrightarrow V = 0 \Rightarrow \overrightarrow \nabla .(\nabla . \phi) = \nabla ^2 \phi = 0 $$

در نتیجه معادله لاپلاس را می‌توان برای تابع پتانسیل، مطابق با رابطه زیر ارائه کرد.

$$ \large \nabla ^ 2 \phi = 0 \Rightarrow \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial x ^ 2 } + \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial y ^ 2 } + \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial z ^ 2 } = 0 $$

پیش‌تر در بلاگ فرادرس، مفهوم تابع جریانِ $$ \psi $$ را به صورت زیر تعریف کردیم:

$$ \large u = \frac { \partial \psi } { \partial y } \ \ , \ \ v = – \frac { \partial \psi } { \partial x } \ \ $$

بنابراین رابطه بین $$ \psi $$ و $$ \phi $$ را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

$$ \large {\displaystyle { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } = { \frac { \partial \psi } { \partial y } } \ \ \ \ \ \ \ , \qquad { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } = – { \frac { \partial \psi } { \partial x } } \, } $$

توجه داشته باشید که تابع جریان و تابع پتانسیل را می‌توان در مختصات قطبی به صورت زیر نیز بیان کرد:

$$ \large v _ r = \frac { \partial \phi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } $$

هم‌چنین سرعت در جهت $$ \theta $$ نیز به شکل زیر است.

$$ \large v _ { \theta } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \theta } = – \frac { \partial \psi } { \partial r } $$

هم‌چنین معادله لاپلاس برای تابع $$ \phi $$ به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$ \large \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r \frac { \partial \phi } { \partial r } ) + \frac { 1 } { r ^ 2 } \frac { \partial ^ 2 \phi } { \partial \theta ^ 2 } = 0 $$

دقیقا رابطه فوق را می‌توان برای $$ \psi $$ نیز نوشت. در ادامه توابع جریان، پتانسیل و میدان سرعت را برای چند نوعِ مختلف از جریان‌ها مورد بررسی قرار خواهیم داد.

جریانِ یکنواخت

مطابق با شکل زیر جریانی را در نظر بگیرید که در راستای x با سرعت یکنواخت U در حال حرکت است.

شکل ۱. خط‌ چین‌ها ϕ و خطوط قرمز رنگ ψ را نشان می‌دهند.

بنابراین شکلِ برداری سرعت را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \overrightarrow u = U \widehat { i } $$

با توجه به بیان شدن شکل برداری سرعت، روابط مربوط به $$ \psi $$ و $$ \phi $$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large u = U = \frac { \partial \phi } { \partial x } = \frac { \partial \psi } { \partial y } \ , \ v = 0 = \frac { \partial \phi } { \partial y } =- \frac { \partial \psi } { \partial x } $$

با انتگرال‌گیری از روابط فوق، توابع $$ \phi $$ و $$ \psi $$ به شکل زیر بدست می‌آیند.

$$ \large \psi = U y \ \ , \ \ \phi = U x $$

توجه داشته باشید در تمامی جریان‌ها خطوط $$ \psi $$ و $$ \phi $$ به یکدیگر عمود هستند.

چاه و چشمه

نقطه‌ای را در نظر بگیرید که جریان به صورت شعاعی مطابق با شکل زیر از آن خارج یا به آن وارد می‌شود. البته در شکل زیر جریان در حال خارج شدن از منبع است.

source-sink
شکل ۲. خط‌ چین‌ها ϕ و خطوط قرمز رنگ ψ را نشان می‌دهند.

به ترتیب به حالتی که جریان به نقطه وارد و از آن خارج می‌شود، چاه و چشمه گفته می‌شود. بنابراین شکل فوق یک چشمه را نشان می‌دهد. در این حالت بهتر است تا توابع جریان و پتانسیل در مختصات قطبی بیان شوند. در ابتدا فرض کنید Q برابر با دبی جریان، r فاصله از مبدا و b طول در راستای عمود به صفحه باشد. در این صورت سرعت شعاعی را می‌توان با استفاده از تعریف دبی جریان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large v _ r = \frac { Q } { 2 \pi r b } = \frac { m } { r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = \frac {\partial \phi } { \partial r } $$

از طرفی با توجه به شکل واضح است که سرعتی در راستای زاویه‌ای وجود ندارد. با صفر قرار دادن این سرعت، دیگر مشتقات توابع جریان و پتانسیل به شکل زیر قابل محاسبه خواهند بود.

$$ \large v _ { \theta } = 0 = – \frac { \partial \psi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta } $$

با حل دو رابطه بالا، دو تابع $$ \psi \ , \ \phi $$ به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$ \large \psi \ = m \theta \ \ , \ \ \phi = m \ln r $$
رابطه ۱

در رابطه فوق m مقداری ثابت و برابر با $$ m = \frac { Q } { 2 \pi b } $$ است. توجه داشته باشید که m برای چاه، منفی و برای چشمه، مثبت در نظر گرفته می‌شود. همان‌طور که در شکل ۲ نیز نشان داده شده، خطوط $$ \psi $$ به صورت شعاعی و خطوط $$ \phi $$ به شکل دایره‌ای هستند.

ورتکس

«ورتکس» (Vortex) دو بعدی، به جریانی گفته می‌شود که خطوط جریان در آن به صورت دایره‌ای با مرکزی واحد هستند. در این جریان سرعت زاویه‌ای به صورت $$ v_ \theta = f ( r ) $$ در نظر گرفته شده و سرعت جریان در راستای شعاع نیز برابر با صفر است ($$ v_ r = 0 $$). انیمیشن زیر نحوه حرکت ذرات سیال در یک ورتکس را نشان می‌دهند.

Rotational-vortex

برای جریان ورتکس، عددی ثابت تحت عنوان «گردش» (Circulation) تعریف می‌شود که آن را با K یا $$ \Gamma $$ نمایش می‌دهند. این عدد در حقیقت معیاری از میزان سرعت زاویه‌ای جریان است. بنابراین سرعت زاویه‌ای جریانی با گردش K برابر است با:

$$\large v_ \theta = \frac { K } { r } $$

با توجه به صفر بودن سرعت شعاعی، روابط زیر را می‌توان برای توابع $$ \psi $$ و $$ \phi $$ نوشت.

$$ \large v _ r = 0 = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = \frac { \partial \phi } { \partial r } \ , \ v _ { \theta } = \frac { K } { r } = – \frac { \partial \psi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \partial \theta } $$

همچون جریان یکنواخت، تابع پتانسیلِ ورتکس نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \psi = – K \ln r \ , \ \phi = K \theta $$

همان‌طور که از شکل این تابع و تابع بدست آمده برای چاه و چشمه نیز می‌توان دید، روابط مربوط به این دو تابع عکس هم هستند.

جریان دوتایی

«جریان دوتایی» (Doublet) یا دوقطبی به جریانی گفته می‌شود که از برآیند دو جریان چاه و چشمه تشکیل شده است. مطابق با شکل زیر فرض کنید یک چشمه در مختصات $$ ( – a , 0 ) $$ و یک چاه در $$ ( a , 0 ) $$ قرار گرفته‌اند.

جریان پتانسیل و تابع پتانسیل
شکل ۳. خط‌ چین‌ها ϕ و خطوط قرمز رنگ ψ را نشان می‌دهند.

معادله لاپلاس به شکلی خطی است؛ از این رو حاصل جمع آن‌ها نیز برابر با معادله لاپلاس است. در ابتدا معادله ۱ را در مختصات کارتزینی نوشته و آن‌ها را به صورت زیر با هم جمع می‌کنیم.

$$ \large \psi = \psi _ { so u r c e } + \psi _ { s i n k } = m \tan ^ { – 1 } \frac { y } { x + a } – m \tan ^ { – 1 } \frac { y } { x – a } $$
رابطه ۲

به همین صورت، تابع پتانسیل جریان دوتایی نیز برابر است با:

$$ \large \phi = \phi _ { so u r c e } + \phi _ { s i n k } = \frac { 1 } { 2 } m \ln [ ( x + a ) ^ 2+ y ^ 2 ] – \frac { 1 } { 2 } m \ln [ ( x – a ) ^ 2+ y ^ 2 ] $$
رابطه ۳

به منظور ساده‌تر کردن توابع فوق، می‌توان از قوانین لگاریتمی و مثلثاتی استفاده کرد. می‌دانیم در ریاضیات، رابطه زیر برای تانژانت معکوس توابع وجود دارد.

$$ \large \tan ^ { – 1 } a + \tan ^ { – 1 } b = \tan ^ { – 1 } ( \frac { a + b } { 1- a b } ) $$

با استفاده از رابطه فوق، تابع جریان در رابطه ۲ را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$ \large \psi = – m \tan ^ { – 1 } { \frac { 2 a y } { x ^ 2 + y ^ 2 – a ^ 2 } } $$

با استفاده از قوانین لگاریتم، تابع پتانسیل نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \phi = \frac { 1 } { 2 } m \ln { \frac { ( x + a ) ^ 2 + y ^ 2 } { ( x – a ) ^ 2 + y ^ 2 } } $$

با استفاده از توابع بدست آمده می‌توان از آن‌ها مشتق گرفته و سرعت‌های u و v و حتی میدان فشار را بدست آورد. در جریان دوقطبی از اصل برهم‌نهی استفاده شد. در این روش، پتانسیل‌های چند جریانِ مختلف جمع زده شده و پتانسیلِ جریان معادل آن‌ها بدست می‌آید.

مثال

جریان گردابه‌ای ایجاد شده در یک طوفان را می‌توان با جمع‌ زدن جریان یک چاه و جریان ورتکس بدست آورد. حاصل جمع توابع جریان دو تابع برابر است با:

$$ \large \psi = m \theta – K \ln r \ \ , \ \ \phi = m \ln r + K \theta $$

فرض کنید به دنبال بدست آوردن میدان سرعت در طوفان هستید. در این صورت در ابتدا سرعت شعاعی را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large v _ r = \frac { \partial \phi } { \partial r } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial \theta } = \frac { m } { r } $$

به همین صورت سرعت زاویه‌ای برابر است با:

$$ \large v _ { \theta } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \phi } { \theta } = – \frac { \partial \psi } { \partial r } = \frac { K } { r } $$

با توجه به مولفه‌های بدست آمده، رابطه کلیِ سرعت را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$ \large V = v _ r \widehat { \small r } + v _ { \theta } \widehat { \small \theta } \ = \ \frac { m } { r }
\widehat { \small r } + \frac { K }{ r } \widehat { \small \theta } $$

Vortex
طبق روابط بدست آمده در بالا سرعت جریان در مرکز یک گردباد به بینهایت میل می‌کند!

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 18 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *