قوانین مثلثات به زبان ساده + مثال و تمرین

مثلث‌ها، یکی از شکل‌های جالب و پرکاربرد در دنیای هندسه و ریاضی هستند. مثلث قائم‌الزاویه، یکی از انواع مثلث‌ها است که یک زاویه قائمه و دو زاویه حاده دارد. رابطه بین ضلع‌ها و زاویه‌های این نوع مثلث، توسط توابع مثلثاتی نمایش داده می‌شوند. از معروف‌ترین توابع مثلثاتی می‌توان به سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت اشاره کرد. این توابع، در بسیاری از حوزه‌های علوم پایه، مهندسی و پزشکی کاربرد دارند. توابع مثلثاتی، مانند دیگر مفاهیم ریاضی، از یک‌سری قاعده و قانون پیروی می‌کنند. به عنوان مثال، کتانژانت یک زاویه، عکس تانژانت آن زاویه است. البته تمام قوانین مثلثات، به این سادگی نیستند. در این مقاله، به معرفی مهم‌ترین قوانین مثلثات می‌پردازیم. به علاوه، چندین مثال و تمرین متنوع مرتبط با این مبحث را نیز حل می‌کنیم.

مثلثات چیست ؟

«مثلثات» (Trigonometry)، شاخه‌ای از علوم ریاضی است که به مطالعه رابطه بین زاویه‌ها و ضلع‌های مثلث می‌پردازد. این علم، در حوزه‌های مختلفی نظیر مهندسی، فیزیک، نجوم، نقشه‌برداری و غیره، به منظور اندازه‌گیری غیرمستقیم فاصله بین دو نقطه مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

مثلث قائم‌الز اویه زیر را در نظر بگیرید. رابطه بین زاویه‌های حاده و ضلع‌ها در مثلث‌های قائم‌الزاویه، توسط نسبت‌های مثلثاتی بیان می‌شود. در مثلث زیر، زاویه‌های α و β، حاده هستند. بنابراین، امکان به دست آوردن رابطه بین این زاویه‌ها بر حسب اندازه ضلع‌های دیگر (BC ،AB و BC) وجود دارد.

به عنوان مثال، در مثلث بالا، اگر زاویه راس A را داشته باشیم، می‌توانیم نسبت ضلع مقابل این زاویه به ضلع مجاور این زاویه را به دست بیاوریم. به این نسبت، تانژانت می‌گوییم. از دیگر نسبت‌های مثلثاتی اصلی می‌توانیم به سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، کسکانت و سکانت اشاره کنیم. این نسبت‌ها به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$\sin ( A ) = \frac { B C } { A C }$$

$$\cos ( A ) = \frac { A B } { A C }$$

$$\tan ( A ) = \frac { B C } { A B }$$

$$\cot ( A ) = \frac { A B } { B C }$$

$$\sec ( A ) = \frac { A C } { A B }$$

$$\csc ( A ) = \frac { A C } { B C }$$

عبارت‌های مورد استفاده در روابط بالا عبارت هستند از:

• A: زاویه راس A (یکی از زاویه‌های حاده مثلث قائم‌الزاویه)
• $$\sin ( A )$$: سینوس زاویه راس A
• $$\cos ( A )$$: کسینوس زاویه راس A
• $$\tan ( A )$$: تانژانت زاویه راس A
• $$\cot ( A )$$: کتانژانت زاویه راس A
• $$\sec ( A )$$: سکانت زاویه راس A
• $$\csc ( A )$$: کسکانت زاویه راس A
• BC: ضلع مقابل به زاویه راس A
• AB: ضلع مجاور به زاویه راس A
• AC: وتر مثلث قائم‌الزاویه

تا به اینجا، با اصلی‌ترین قوانین مثلثات آشنا شدیم. در بخش‌های بعدی، قوانین بیشتری را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

مثال ۱: محاسبه نسبت های مثلثاتی از روی اندازه ضلع‌ها

مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید. نسبت‌های مثلثاتی زوایای غیرقائمه آن را به دست بیاورید. سپس به سوالات زیر پاسخ دهید:

• در چه صورتی می‌توانیم اندازه زاویه‌های غیرقائمه را تعیین کنیم؟
• اگر سینوس زاویه ۳۶/۸۷ درجه برابر با ۰/۶ و تانژانت زاویه ۵۳/۱۳ درجه برابر با ۰/۷۵ باشد، اندازه زاویه راس‌های غیرقائمه چگونه است؟

زاویه‌های رئوس A و C، غیرقائمه هستند. بنابراین، برای زاویه راس A، داریم:

$$\sin ( A ) = \frac { B C } { A C } = \frac { ۴ } { ۵ } = ۰/۸$$

$$\cos ( A ) = \frac { A B } { A C } = \frac { ۳ } { ۵ } = ۰/۶$$

$$\tan ( A ) = \frac { B C } { A B } = \frac { ۴ } { ۳ } = ۱/۳۳$$

$$\cot ( A ) = \frac { A B } { B C } = \frac { ۳ } { ۴ } = ۰/۷۵$$

$$\sec ( A ) = \frac { A C } { A B } = \frac { ۵ } { ۳ } = ۱/۶۷$$

$$\csc ( A ) = \frac { A C } { B C } = \frac { ۵ } { ۴ } = ۱/۲۵$$

برای زاویه راس C نیز داریم:

$$\sin ( C ) = \frac { A B } { A C } = \frac { ۳ } { ۵ } = ۰/۶$$

$$\cos ( C ) = \frac { B C } { A C } = \frac { ۴ } { ۵ } = ۰/۸$$

$$\tan ( C ) = \frac { A B } { B C } = \frac { ۳ } { ۴ } = ۰/۷۵$$

$$\cot ( C ) = \frac { B C } { A B } = \frac { ۴ } { ۳ } = ۱/۳۳$$

$$\sec ( C ) = \frac { A C } { B C } = \frac { ۵ } { ۴ } = ۱/۲۵$$

$$\csc ( C ) = \frac { A C } { A B } = \frac { ۵ } { ۳ } = ۱/۶۷$$

به این ترتیب، نسبت‌های مثلثاتی زوایای غیرقائمه مثلث ABC را به دست آوردیم. نسبت‌های مثلثاتی برای یک زاویه خاص، همواره مقدار مشخصی دارد. از این‌رو، اگر بدانیم کدام زاویه‌ها، دارای نسبت‌های مثلثاتی بالا هستند، می‌توانیم در مورد اندازه زاویه راس‌های مثلث اظهار نظر کنیم.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

سینوس زاویه ۳۶/۸۷ درجه برابر با ۰/۶ است. با توجه به محاسبات بالا، این مقدار با سینوس زاویه راس C برابری می‌کند. بنابراین، می‌توانیم بگوئیم زاویه راس C برابر با ۳۶/۸۷ درجه است. تانژانت زاویه ۵۳/۱۳ درجه برابر با ۰/۷۵ است. این مقدار، با تانژانت زاویه راس A برابری می‌کند. در نتیجه، زاویه راس A برابر با ۵۳/۱۳ است. به این ترتیب، داریم:

• زاویه راس A برابر با ۵۳/۱۳ درجه
• زاویه راس B برابر با ۹۰ درجه
• زاویه راس C برابر با ۳۶/۸۷ درجه

قانون فیثاغورس در مثلثات

یکی از مهم‌ترین و شناخته شده‌ترین قوانین مثلثات، امکان بیان قضیه فیثاغورس بر حسب توابع مثلثاتی است.

فیلم آموزش ریاضی 3 – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

این قانون به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\sin ^ ۲ ( \theta ) + \cos ^ ۲ ( \theta ) = ۱$$

از روابط مشابه با این قانون می‌توان به اتحادهای زیر اشاره کرد: