علوم پایه، فیزیک 2623 بازدید

در راستای تکمیل مجموعه مقالات مجله فرادرس در خصوص مسائل یک بعدی مکانیک کوانتومی و حل معادله شرودینگر، در این مقاله در نظر داریم تا با زبانی ساده به بررسی مسئله سد پتانسیل (Potential Barrier) بپردازیم. رویکرد بررسی این مسئله همانند مسئله پله پتانسیل است. از این حیث پیشنهاد می‌کنیم تا قبل از مطالعه این مقاله، نگاهی بر مقاله «پله پتانسیل (Potential Step) — به زبان ساده» داشته باشید.

سد پتانسیل

یکی دیگر از مهم‌ترین مسائلی که در فیزیک کوانتومی بررسی می‌شود، مسئله سد پتانسیل است. این مسئله به بررسی ذره‌ای (غالباً الکترون) می‌پردازد که در تمامی فضا آزاد ولی در بازه‌ای خاص یکباره با پتانسیل $$V_{0}$$ روبه‌رو می‌شود. شماتیک مرتبط با این مسئله را می‌توان در شکل زیر نشان داد. توجه شود که انرژی الکترونی که در شکل (۱) نشان داده شده است، می‌تواند از انرژی سد نیز بزرگ‌تر باشد.

سد پتانسیل
شکل (۱): شماتیکی از یک الکترون که با انرژی کمتر از انرژی سد به سمت آن می‌آید.

هدف از بررسی مسئله سد پتانسیل و اثرات آن، بررسی دینامیکی شاری از ذرات یکسان با جرم $$m$$ است که با سرعت یکسان $$v$$ از سمت چپ به راست (به سمت سد پتانسیل) حرکت می‌کنند. همانند مسئله پله پتانسیل، در اینجا نیز متناسب با دو شکل (3) و (5)، دو حالت کلی بررسی می‌شوند. حالت اول این است که انرژی ذرات بیشتر از انرژی سد پتانسیل باشد و حالت دوم این است که انرژی ذرات کمتر از انرژی سد پتانسیل باشد. انرژی سد پتانسیل شکل (۱) را می‌توان به صورت زیر به زبان ریاضی بیان کرد:

$$\large V ( x ) = \begin{cases} 0\ \ & x < 0, \\ V_{0}\ \ & 0 \leq x \leq a, \\ 0 \ \ & x > a. \end{cases}$$
(1)

شکل زیر شاید طرحی ملموس‌‌تر جهت درک فیزیک سد پتانسیل باشد. سیم حامل جریان الکتریکی را در نظر بگیرید که قسمتی از آن در محدوده $$0< x < L$$ به پتانسیل $$V_{ 0 } < 0$$ متصل شده است. نواحی $$x < 0$$ و $$x > 0$$ نیز دارای پتانسیل صفر هستند. از آنجایی که بار الکترون منفی و ولتاژ ناحیه $$0 < x < L$$ نیز منفی است، انرژی پتانسیل طبق رابطه $$U = qV$$ مثبت می‌شود. نمودار انرژی پتانسیل مطابق با شکل (۲) را می‌توان بسته به مقدار انرژی الکترون در شکل (3) یا (۷) مدل کرد. دقت داشته باشید که در ادامه این مقاله، انرژی پتانسیل را با نماد $$V$$ نشان خواهیم داد. لذا آن را با ولتاژ اشتباه نگیرید.

سد پتانسیل چیست
شکل (۲): ایجاد سد پتانسیل در یک سیم که جریان (الکترون با بار منفی) از آن می‌گذرد. الکترون در ناحیه با انرژی پتانسیل مثبت مواجه می‌شود. در این شکل $$V$$ ولتاژ بوده و طبق رابطه $$U = qV$$ به انرژی پتانسیل مربوط می‌شود.

حالت $$\large E > V_{0}$$

در این قسمت در نظر داریم تا به بررسی مسئله سد پتانسیل در حالتی بپردازیم که انرژی ذره (الکترون) بیشتر از انرژی سد پتانسیل باشد. در اینجا نیز دو دیدگاه فیزیک کلاسیک و فیزیک کوانتومی را بیان می‌کنیم. حالت $$E > V_{0}$$ را می‌توان در شکل (3) نمایش داد.

دیدگاه فیزیک کلاسیک

با توجه به شکل (3)، از نقطه نظر فیزیک کلاسیک، تکانه ذراتی که با انرژی ثابت $$E > V_{0}$$ از سمت چپ به سمت سد پتانسیل حرکت می‌کنند، برای نواحی $$x < 0$$ برابر با مقدار ثابت $$P_{1} = \sqrt{ 2 m E }$$ است.

هنگامی که ذرات در محدوده $$0 < x < a$$ قرار می‌گیرند، تکانه‌شان به مقدار ثابت $$P_{2} = \sqrt{ 2 m ( E – V_{0} ) }$$ کاهش پیدا می‌کند. به عبارت دیگر، تکانه $$P_{1}$$ در نقطه $$x = 0$$ به مقدار مذکور $$P_{2}$$ کاهش پیدا کرده و تا نقطه $$x = a$$ تکانه $$P_{2}$$ را حفظ می‌کند.

هنگامی که ذره از نقطه $$a$$ عبور می‌کند و وارد ناحیه $$x > a$$ می‌شود، به دلیل حذف شدن پتانسیل، شتاب گرفته و تکانه‌اش به مقدار ثابت $$P_{3} = \sqrt{ 2 m E }$$ می‌رسد. به عبارت دیگر در تمامی ناحیه $$x > a$$ ذرات دارای تکانه $$P_{3}$$ می‌شوند. از آنجایی که انرژی ذرات بیشتر از انرژی سد پتانسیل است ($$E > V_{0}$$)، هیچ ذره‌ای به سمت عقب بازتاب نشده و تمامی ذرات در ناحیه $$x > a$$ مشاهده می‌شوند. در واقع از دیدگاه فیزیک کلاسیک، در اینجا شاهد عبور کامل خواهیم بود.

با توجه به اهمیت فیزیک کوانتومی در دروس دانشگاهی به خصوص رشته فیزیک، «فرادرس» اقدام به انتشار فیلم آموزش مکانیک کوانتومی ۱ در قالب آموزشی با زمان ۱۷ ساعت کرده که در ادامه متن به آن اشاره شده است.

دیدگاه فیزیک کوانتومی

همان‌طور که در مقاله «معادله شرودینگر — به زبان ساده» دیدیم، ماهیت فیزیک و مکانیک کوانتومی، موجی فرض کردن ذرات است. به عبارت دیگر، معادله شرودینگر، به بررسی امواج وابسته به ماده یا به اصطلاح امواج ماده (Matter wave) می‌پردازد. جهت یاد‌آوری، لویی دوبروی (Louis de Broglie) به هر ذره که دارای تکانه (اندازه حرکت) $$P$$ باشد، موجی با طول موج $$\lambda = \frac{ h }{ p }$$ نسبت داد که در آن $$h$$ ثابت پلانک با مقدار $$h = 6{,}626068 \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} = 4{,}13567 \cdot 10^{-15} \rm{eVs}$$ است.

حل معادله شرودینگر
شکل (۳): نمایشی از یکی از موج‌های فرودی، عبوری و بازتابی در سد پتانسیل با شرط $$E > V_{0}$$

با این اوصاف، فیزیک کوانتومی بیان می‌کند که در سه ناحیه مذکور در معادله (1)، با طرحی موجی یا نوسانی روبه‌رو خواهیم بود. در ادامه خواهیم دید که ذره هنگام ورود به ناحیه‌ای جدید، دچار کاهش دامنه می‌شود.

همان‌طور که در مقدمه مقاله بیان کردیم، رویکردی که در بررسی مسئله سد پتانسیل پیش می‌گیریم، همانند رویکرد حل مسئله پله پتانسیل است. معادله شرودینگر در یک بعد به صورت زیر است:

$$\large – \frac{ \hbar^{2} }{2m} \frac{\text{d}^{2} \psi ( x) }{\text{d}x^{2}} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)$$
(2)

با کمی عملیات ریاضی می‌توانیم معادله موج فوق را به صورت ساده‌تر زیر بنویسیم.

$$\large \frac{\text{d}^{2} \psi ( x) }{\text{d}x^{2}} + k^{2} \psi (x) = 0$$
(3)

در معادله فوق، $$k$$ به عدد موج موسوم است. عمومی‌ترین پاسخ برای معادله فوق، متناسب با سه ناحیه مذکور در معادله (1) به صورت زیر است:

$$\large \Psi ( x ) = \begin{cases} \psi_{1} ( x ) = A e^{ i k_{1} x } + B e^{ – i k_{1} x }\ \ & x \leq 0, \\ \psi_{2} ( x ) = C e^{ i k_{2} x } + D e^{ – i k_{2} x }\ \ & 0 < x < a, \\ \psi_{3} ( x ) = E e^{ i k_{1} x }\ \ & x \geq a. \end{cases}$$
(4)

عدد موج $$k_{1}$$ و $$k_{2}$$ به صورت زیر تعریف می‌شوند. دقت داشته باشید که در ناحیه $$x > a$$، به دلیل غیاب پتانسیل، عدد موج $$k_{3}$$ برابر با عدد موج $$k_{1}$$ می‌شود.

$$\large k_{1} = \sqrt{ 2 m E / \hbar^{2} }$$
(5)

$$\large k_{2} = \sqrt{ 2 m ( E – V_{0} ) / \hbar^{2} }$$
(6)

متناسب با شکل (3)، از آنجایی که هیچ ذره‌ای در ناحیه $$x > a$$ به سمت چپ بازتابیده نمی‌شود، تابع موج $$\psi_{3} ( x )$$ تنها شامل یک جمله است. به عبارت دیگر جمله $$F e^{ – i k_{1} x }$$ به دلیل صفر بودن $$F$$ حذف شده است.

جهت به دست آوردن ضرایب ثابت $$B$$، $$C$$، $$D$$ و $$E$$ برحسب ضریب $$A$$ می‌توانیم از دو شرط مرزی پیوستگی تابع موج و مشتق آن در دو نقطه $$x = 0$$ و $$x = a$$ استفاده کنیم. یعنی:

$$\large \psi_{1} ( 0 ) = \psi_{2} ( 0 )\ \ \ \ ,\ \ \ \ \frac{ d \psi_{1} ( 0 ) }{ d x } = \frac{ d \psi_{2} ( 0 ) }{ d x }$$
(7)

$$\large \psi_{2} ( a ) = \psi_{3} ( a )\ \ \ \ ,\ \ \ \ \frac{ d \psi_{2} ( a ) }{ d x } = \frac{ d \psi_{3} ( a ) }{ d x }$$
(8)

با استفاده شرایط مرزی فوق برای تابع موج معادله (4) روابط زیر نتیجه می‌شوند:

$$\large A + B = C + D$$
(9)

$$\large i k_{1} ( A – B ) = i k_{2} ( C – D )$$
(10)

$$\large C e^{ i k_{2} a } + D e^{ – i k_{2} a } = E e^{ i k_{1} a }$$
(11)

$$\large i k_{2} (C e^{ i k_{2} a } – D e^{ – i k_{2} a } ) = i k_{1} E e^{ i k_{1} a }$$
(12)

در اینجا قصد داریم تا ضریب عبور (Transmission Coefficient) را محاسبه کنیم. همان‌طور که در مقاله پله پتانسیل بیان کردیم، ضریب عبور $$T$$، نسبت باریکه عبوری به باریکه فرودی تعریف می‌شود. جهت یادآوری:

$$\large T = | \frac{ Transmitted\ Current\ Density }{ Incident\ Current\ Density } | = | \frac{ J_{Transmitted} }{ J_{Incident} } |$$
(13)

پارامتر $$J$$ نیز به طور کلی چگالی جریان بوده که به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large J = \frac{ i \hbar }{ 2 m } (\psi \triangledown \psi^{*} – \psi^{*} \triangledown \psi)$$
(14)

با محاسبه چگالی جریان عبوری و فرودی، ضریب بازتاب به صورت زیر نتیجه می‌شود:

$$\large \begin{equation} \begin{aligned} T = \frac{ k_{1} |E|^{2} }{ k_{1} |A|^{2} }  \end{aligned} \end{equation}$$
(15)

با توجه به رابطه فوق، نیاز داریم تا ضریب $$E$$ را از دو رابطه (۱۱) و (12) تنها برحسب ضریب $$A$$ مرتب کنیم. از این حیث برای ضریب $$E$$ داریم (دقت داشته باشید که این $$E$$ تنها یک ضریب در تابع موج است و آن را با انرژی ذره $$E$$ اشتباه نگیرید):

$$\large \begin{equation} \begin{aligned} E &= 4 k_{1} k_{2} A e^{-i k_{1} a}\left[\left( k_{1} + k_{2} \right )^{2} e^{-i k_{2} a} – \left(k_{1}-k_{2}\right)^{2} e^{i k_{2} a}\right]^{-1} \\ &= 4 k_{1} k_{2} A e^{-i k_{1} a}\left[4 k_{1} k_{2} \cos \left(k_{2} a\right) – 2 i \left( k_{1}^{2} + k_{2}^{2}\right ) \sin \left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{aligned} \end{equation}$$
(16)

در نتیجه ضریب عبور $$T$$ به صورت زیر در می‌آید:

$$\large \begin{equation} \begin{aligned} T &= \frac{ k_{1} |E|^{2} }{ k_{1} |A|^{2} } = \left[1+\frac{1}{4} \left(\frac{ k_{1}^{2}-k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} }\right)^{2} \sin ^{2}\left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{aligned} \end{equation}$$
(17)

چگالی احتمال سد پتانسیل
شکل (۴): چگالی احتمال برای برای سد پتانسیل

با توجه به تعریف دو عدد موج $$k_{1}$$ و $$k_{2}$$ از معادلات (5) و (6)، ضریب جمله سینوس را می‌توانیم به صورت زیر برحسب دو انرژی $$E$$ و $$V_{0}$$ بنویسیم:

$$\large (\frac{ k_{1}^{2} – k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} })^{2} = \frac{ V_{0}^{2} }{ E ( E – V_{0} ) }$$
(18)

در نتیجه رابطه ضریب عبور $$T$$ به صورت مفهوم‌تر و قابل تحلیل زیر در می‌آید:

$$\large T = \begin{equation} \left[ 1 + \frac{ V_{0}^{2} }{ 4 E \left( E – V_{0} \right) } \sin ^{2} ( a \sqrt{ 2 m V_{0} / \hbar^{2} } \sqrt{ E / V_{0} -1 } )\right]^{-1} \end{equation}$$
(19)

حال با استفاده از دو نمادگذاری $$\varepsilon$$ و λ، رابطه فوق را به صورت ساده‌تر زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin{equation} T = \left[1 + \frac{ 1 }{ 4 \varepsilon ( \varepsilon – 1 ) } \sin ^{2}(\lambda \sqrt{ \varepsilon – 1 })\right]^{ -1 } \end{equation}$$
(20)

$$\large \lambda = a \sqrt{ 2 m V_{0} / \hbar^{2} }$$
(21)

$$\large \varepsilon = \frac{ E }{ V_{0} }$$
(22)

با رویکردی مشابه بالا، می‌توانیم ضریب بازتاب $$R$$ را به دست آوریم. همان‌طور که می‌دانید، ضریب بازتاب $$R$$، نسبت باریکه بازتابیده شده به باریکه فرودی تعریف می‌شود. در این حالت باید چگالی جریان بازتابیده شده را با توجه به معادله (14) محاسبه کرد.

$$\large \begin{equation} R = \frac{ \sin ^{2} ( \lambda \sqrt{ \varepsilon-1} ) }{ 4 \varepsilon ( \varepsilon – 1) + \sin ^{2}( \lambda \sqrt{ \varepsilon – 1} ) } = \left[1 + \frac{ 4 \varepsilon (\varepsilon – 1)}{ \sin ^{2}( \lambda \sqrt{\varepsilon – 1 })}\right]^{-1} \end{equation}$$
(23)

حالت‌های خاص

در صورتی که انرژی ذرات بسیار بزرگ‌تر از انرژی سد پتانسیل باشد ($$E >> V_{0}$$)، پارامتر $$\varepsilon$$ بسیار بزرگ‌تر از یک شده ($$\varepsilon >> 1$$) و در نتیجه ضریب عبور $$T$$ به سمت یک میل می‌کند. در این حالت، ضریب بازتاب $$R$$ تقریباً برابر با صفر می‌شود ($$R \approx 0\ ,\ T \approx 1$$). به طور کلی در انرژی‌های خیلی بزرگ و سد‌های پتانسیل ضعیف، می‌توان گفت که ذرات سد پتانسیل را حس نکرده و در این حالت عبور کامل داریم.

ضریب عبور سد کوانتومی
شکل (۵): نمودار ضریب عبور $$T$$ برای سد پتانسیل ($$V_{0} > 0$$)

جدا از حالت فوق، در صورتی که جمله سینوسی برابر با صفر شود، بازهم ضریب عبور $$T$$ به سمت یک میل کرده و می‌توان گفت که با عبور کامل روبه‌رو هستیم.

$$\large \sin ( \lambda \sqrt{ \varepsilon – 1} ) = 0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \lambda \sqrt{ \varepsilon – 1} = n \pi$$
(24)

در سد پتانسیل، با توجه به شکل (۵)، هرگاه مقدار انرژی فرودی ذره به صورت زیر باشد، عبور کامل رخ می‌دهد ($$T \approx 1$$):

$$\large \varepsilon_{n} = \frac{ E_{n} }{ V_{0} } = \frac{ n^{ 2 } \pi^{ 2 } \hbar^{ 2 } }{ 2 m a^{2} V_{0} } + 1\ \Leftrightarrow\ E_{n} = V_{0} + \frac{ n^{ 2 } \pi^{ 2 } \hbar^{ 2 } }{ 2 m a^{2} }\ \ \ ,\ \ \ n = 1 , 2 , 3 , …$$
(25)

همان‌طور که در رابطه فوق مشاهده می‌کنید، بیشینه ضریب عبور با ویژه مقدارهای انرژی (energy eigenvalues) چاه پتانسیل مربعی نامتناهی مطابق است که این حالت به حالت تشدید (resonances) موسوم است. پدیده تشدید از تداخل سازنده امواج فرودی و بازتابی حاصل شده و در فیزیک کلاسیک نمی‌تواند رخ دهد.

این اثر به صورت تجربی نیز به هنگام پراکندگی الکترون‌های کم‌انرژی از اتم‌های بی‌اثر (noble atoms) در اثر رامسائور – تاوسند (Ramsauer – Townsend effect) و یا پراکندگی نوترون‌ها از هسته می‌تواند رخ دهد. جهت آشنایی با ساختار هسته به مقاله «هسته اتم (Atomic Nucleus) یا نوکلید (Nuclide) — به زبان ساده» مراجعه کنید.

همچنین هنگامی که پارامتر $$\varepsilon$$ به سمت یک میل کند، خواهیم داشت:

$$\large \varepsilon\ \rightarrow\ 1\ \ \Rightarrow\ \ \sin ( \lambda \sqrt{ \varepsilon – 1 }) \sim \lambda \sqrt{ \varepsilon – 1 }$$
(26)

که در نتیجه دو رابطه ضریب بازتاب $$R$$ و ضریب عبور $$T$$ به صورت زیر در می‌آیند:

$$\large T = ( 1 + \frac{ m a^{2} V_{0} }{ 2 \hbar^{2}} )^{-1}$$
(27)

$$\large R = ( 1 + \frac{ 2 \hbar^{2}}{ m a^{2} V_{0} } )^{-1}$$
(28)

چاه پتانسیل ($$V_{0} < 0$$)

ضریب عبور $$T$$ که در معادله (20) نتیجه شد، برای حالتی است که با یک سد پتانسیل مواجه هستیم. به عبارت دیگر در سد پتانسیل با انرژی پتانسیل مثبت $$V_{0}$$ مواجه هستیم.

در صورتی که انرژی پتانسیل $$V_{0}$$ کوچکتر از صفر باشد، اصطلاحاً با چاه پتانسیل (potential well) روبه‌رو خواهیم بود. در مقاله «چاه پتانسیل (Potential Well) یا ذره در جعبه — به زبان ساده» با مسئله چاه پتانسیل بی‌نهایت آشنا شدیم. منظور از بی‌نهایت این است که پتانسیل در نقاط کوچکتر از $$x = 0$$ و بزرگتر از $$x = a$$ بی‌نهایت است. شماتیک یک چاه پتانسیل بی‌نهایت را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.

چاه پتانسیل بینهایت
شکل (6): یک سیم نازک که بخشی از آن در پتانسیل صفر و دو طرف آن در پتانسیل منفی خیلی زیادی است. اگر فرض کنیم یک تک الکترون در قسمت پتانسیل صفر حضور داشته باشد می‌توانیم وضعیت آن را با چاه پتانسیل یک بعدی شبیه‌سازی کنیم.

در اینجا از آنجایی که پتانسیل بی‌نهایت نبوده و تنها عددی منفی است، با چاه پتانسیل محدود (متناهی) مواجه هستیم. همانند رویکردی که در به دست آوردن ضریب عبور $$T$$ برای حالت $$V_{0} > 0$$ (سد پتانسیل) پیش گرفتیم، می‌توانیم ضریب عبور را برای حالت $$V_{0} < 0$$ (چاه پتانسیل محدود) به صورت زیر به دست آوریم.

$$\large T_{W} = [ 1 + \frac{ 1 }{ 4 \varepsilon ( \varepsilon + 1 )} \sin^{2} ( \lambda \sqrt{ \varepsilon + 1 } ) ]^{-1}$$
(29)

$$\large \varepsilon = \frac{ E }{ | V_{0} | }$$
(30)

$$\large \lambda = a \sqrt{ \frac{ 2 m | V_{0} |}{ \hbar^{ 2 } } }$$
(31)

لازم به ذکر است که با توجه به رابطه (29)، هنگامی عبور کامل را مشاهده می‌کنیم که شرط زیر محقق شود:

$$\large \sin ( \lambda \sqrt{ \varepsilon + 1 } ) = 0\ \Rightarrow\ \lambda \sqrt{ \varepsilon + 1 } = n \pi$$
(32)

ضریب عبور چاه پتانسیل محدود
شکل (7): ضریب عبور $$T$$ برای چاه پتانسیل محدود ($$V_{0} < 0$$)

همچنین مطابق با شکل فوق، هنگامی عبور کامل رخ می‌دهد که برای $$\varepsilon_{n}$$ داشته باشیم:

$$\large \varepsilon_{n} = \frac{ E_{n} }{ | V_{0} | } = \frac{ n^{ 2 } \pi^{ 2 } \hbar^{ 2 } }{ 2 m a^{2} V_{0} } – 1$$
(33)

به عبارت دیگر انرژی فرودی ذره برابر با مقدار زیر باشد:

$$\large E_{n} = \frac{ n^{ 2 } \pi^{ 2 } \hbar^{ 2 } }{ 2 m a^{2} } – | V_{0} |\ \ \ ,\ \ \ n = 1 , 2 , 3 , …$$
(34)

حالت $$\large E < V_{0}$$: تونل زنی کوانتومی

در این قسمت در نظر داریم تا به بررسی حالتی بپردازیم که انرژی ذرات $$E$$ کوچک‌تر از انرژی سد پتانسیل باشد. یکی از مهم‌ترین پدیده‌های صرفاً کوانتومی این حالت، پدیده تونل زنی کوانتومی است که از آن در میکروسکوپ‌های کوانتومی استفاده می‌شود.

دیدگاه فیزیک کلاسیک

از نقطه نظر فیزیک کلاسیک، در حالتی که انرژی ذره کمتر از انرژی سد پتانسیل باشد، انتظار بازتاب کامل داریم. به عبارت دیگر در نقطه $$x = 0$$، یعنی هنگامی که ذرات به سد پتانسیل می‌رسند، متوقف شده و به سمت عقب باز می‌گردند (بازتاب می‌شوند).

از دیدگاه فیزیک کلاسیک، ذرات نمی‌توانند در ناحیه‌ای که انرژی جنبشی آن منفی است، حضور داشته باشند.

دیدگاه فیزیک کوانتومی

در این حالت نیز، دیدگاه کوانتومی متفاوت با دیدگاه حالت کلاسیکی است. از آنجایی که تابع موج به دست آمده از حل معادله شرودینگر در ناحیه سد و بعد از آن صفر نیست، مکانیک کوانتومی بیان می‌کند که احتمال حضور ذره در ناحیه سد و بعد از سد وجود دارد. به عبارت دیگر، برای ذرات با انرژی $$E < V_{0}$$ این احتمال وجود دارد که از سد عبور کنند. این پدیده به اثر تونل زنی موسوم است. حالت $$E < V_{0}$$ را می‌توان در شکل زیر نشان داد.

سد پتانسیل و تونل زنی
شکل (8): نمایشی از موج‌های فرودی، عبوری، بازتابی و کاهش یافته در سد پتانسیل با شرط $$E < V_{0}$$

همانند رویکردی که در قسمت قبل پیش گرفتیم، در اینجا توابع موج را از حل معادله شرودینگر به دست می‌آوریم. تابع موج کلی برای تشریح مسئله سد پتانسیل با شرط $$E < V_{0}$$ به صورت زیر نتیجه می‌شود:

$$\large \Psi ( x ) = \begin{cases} \psi_{1} ( x ) = A e^{ i k_{1} x } + B e^{ – i k_{1} x }\ \ & x \leq 0, \\ \psi_{2} ( x ) = C e^{ k_{2} x } + D e^{ – k_{2} x }\ \ & 0 < x < a, \\ \psi_{3} ( x ) = E e^{ i k_{1} x }\ \ & x \geq a. \end{cases}$$

$$\large k_{ 1 }^{ 2 } = \frac{ 2 m E }{ \hbar^{ 2 } }$$

$$\large k_{ 2 }^{ 2 } = \frac{ 2 m ( V_{ 0 } – E ) }{ \hbar^{ 2 } }$$
(35)

دقت داشته باشید که در محدوده سد پتانسیل ($$0 < x < a$$) تابع موج مولفه $$ i = \sqrt{ – 1 }$$ نداشته و حقیقی است. متناسب با معادله (35) انتظار می‌رود که چگالی احتمال در دو ناحیه $$x < 0$$ و $$x > 0$$ به صورت نوسانی و در ناحیه سد ($$0 < x < a$$) به صورت نمایی کاهش پیدا کند (شکل 9).

در اینجا نیز جهت تحلیل مسئله سد پتانسیل با شرط $$E < V_{0}$$ نیاز به دو ضریب عبور $$T$$ و بازتاب $$R$$ داریم. از بخش قبل و همچنین مقاله «پله پتانسیل» به یاد داریم که ضریب عبور و بازتاب به صورت زیر تعریف می‌شوند.

$$\large T = \frac{ | E |^{2} }{ | A |^{2} }$$
(36)

$$\large R = \frac{ | B |^{2} }{ | A |^{2} }$$
(37)

در نتیجه نیاز به تعیین دو ضریب $$B$$ و $$E$$ برحسب ضریب $$A$$ داریم. در اینجا نیز با استفاده از دو شرط مرزی پیوستگی تابع موج و مشتق آن، می‌توانیم ضرایب معادله (35) را تعیین کنیم. با استفاده از دو شرط مرزی مذکور خواهیم داشت:

$$\large A + B = C + D$$
(38)

$$\large i k_{1} ( A – B ) = i k_{2} ( C – D )$$
(39)

$$\large C e^{ k_{2} a } + D e^{ – k_{2} a } = E e^{ i k_{1} a }$$
(40)

$$\large k_{2} (C e^{ k_{2} a } – D e^{ – k_{2} a } ) = i k_{1} E e^{ i k_{1} a }$$
(41)

از دو معادله (40) و (41) نتیجه می‌شود:

$$\large C = \frac{ E }{ 2 } ( 1 + i \frac{ k_{1} }{ k_{2} } ) e^{ ( i k_{1} – k_{2} ) a }$$
(42)

$$\large D = \frac{ E }{ 2 } ( 1 – i \frac{ k_{1} }{ k_{2} } ) e^{ ( i k_{1} + k_{2} ) a }$$
(43)

حال با استفاده از دو رابطه فوق و معادلات (38) و (39) و کمی عملیات ریاضی ساده، نتیجه می‌شود:

$$\large 1 + \frac { B }{ A } = \frac{ E }{ A } e^{ i k_{1} a } [\cosh ( k_{2} a ) – i \frac { k_{1} }{ k_{2} } \sinh ( k_{2} a ) ]$$
(44)

$$\large 1 – \frac { B }{ A } = \frac{ E }{ A } e^{ i k_{1} a } [\cosh ( k_{2} a ) + i \frac { k_{1} }{ k_{2} } \sinh ( k_{2} a ) ]$$
(45)

حال به سادگی می‌توانیم نسبت $$\frac{ | E |^{2} }{ | A |^{2} }$$ و $$\frac{ | B |^{2} }{ | A |^{2} }$$ را جهت محاسبه ضریب عبور $$T$$ و بازتاب $$R$$ محاسبه کنیم.

$$\large \begin{equation} \frac{ B }{ A } = – i \frac{ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} } \sinh \left( k_{2} a \right)\left[ 2 \cosh \left( k_{2} a \right) + i \frac{k_{2}^{2} – k_{1}^{2}}{k_{1} k_{2}} \sinh \left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{equation}$$
(46)

$$\large \begin{equation} \frac{ E }{ A } = 2 e^{ – i k_{1} a}\left[2 \cosh \left(k_{2} a\right) + i \frac{k_{2}^{2} – k_{1}^{2}}{k_{1} k_{2}} \sinh \left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{equation}$$
(47)

از دو نسبت فوق برای ضریب عبور $$T$$ و بازتاب $$R$$ داریم:

$$\large \begin{equation} T = \frac{ |E|^{2} }{ |A|^{2} } = 4 \left[ 4 \cosh ^{2} \left( k_{2} a \right) + \left(\frac{ k_{2}^{2} – k_{1}^{2} }{ k_{1} k_{2} }\right)^{2} \sinh ^{2}\left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{equation}$$
(48)

$$\large \begin{equation} R = \left( \frac{ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2}}\right)^{2} \sinh ^{2} \left(k_{2} a\right)\left[ 4 \cosh ^{2}\left(k_{2} a\right) + \left(\frac{ k_{2}^{2}-k_{1}^{2} }{ k_{1} k_{2} }\right)^{2} \sinh ^{2}\left(k_{2} a\right)\right]^{-1} \end{equation}$$
(49)

با توجه به رابطه $$\cosh^{2} ( k_{2} a ) = 1 + \sinh^{2} ( k_{2} a )$$، ضریب عبور $$T$$ به صورت زیر ساده‌تر می‌شود:

$$\large T = [ 1 + \frac { 1 }{ 4 } (\frac{ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} })^{2} \sinh^{2} ( k_{2} a )]^{ – 1 }$$
(50)

همچنین می‌توانیم ضریب بازتاب $$R$$ را به حسب ضریب عبور $$T$$ به دست آوریم. یعنی:

$$\large R = \frac { 1 }{ 4 } T (\frac{ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} })^{2} \sinh^{2} ( k_{2} a )$$
(51)

با توجه به رابطه (50)، نتیجه می‌شود که ضریب عبور $$T$$ متناهی است. این امر بدین معنی است که احتمال حضور ذره در نقاط $$0 < x < a$$ صفر نیست. این در حالی است که فیزیک کلاسیک بیان می‌کند، ذره به هیچ عنوان نمی‌تواند در ناحیه‌های $$x > 0$$ وجود داشته باشد. از دیدگاه فیزیک کلاسیک نقاط $$x > 0$$ برای ذره با انرژی $$E < V_{0}$$ ناحیه ممنوعه به حساب می‌آید.

تونل زنی کوانتومی
شکل (9): چگالی احتمال برای برای سد پتانسیل با شرط $$E < V_{0}$$.

همان‌طور که پیش‌تر اشاره کردیم، وجود احتمال حضور ذره در ناحیه $$x > 0$$، به پدیده یا اثر تونل زنی (Tunneling Effect) معروف است. این اثر به دلیل جنبه موجی ذرات میکروسکوپی است. به بیان ساده، برای اجسام کوانتومی نظیر یک فوتون یا الکترون، این احتمال وجود دارد که از یک دیوار آجری عبور کنند، این در حالی است که ذرات بزرگ نظیر یک توپ تنیس از دیوار عبور نکرده و به هنگام برخورد از آن بازتاب می‌شوند.

لازم به ذکر است که از نقطه نظر مکانیک کوانتومی، برای توپ تنیس هم‌ می‌توان ضریب عبور مطابق با مطالب فوق تعریف کرد، اما با توجه به انرژی توپ و دیوار، احتمالی بسیار پایین و نزدیک به صفر وجود دارد که توپ تنیس از دیوار عبور کند.

پدیده تونل زنی در بسیاری از شاخه‌های فیزیک مدرن از فیزیک ذرات و هسته‌ای گرفته تا فیزیک حالت جامد کاربردهای بسیار زیادی دارد. به طور مثال در پدیده‌های واپاشی رادیواکتیو یا تبادل (ترابرد – transport) بار الکتریکی در ادوات الکترونیکی حالت جامد، تونل زنی کوانتومی نقش بسیار زیادی را بازی می‌کند.

همانند حالت قبل با توجه به تعریف دو عدد موج $$k_{1}$$ و $$k_{2}$$ در معادله (35)، می‌توانیم ضرایب عبور $$T$$ و بازتاب $$R$$ را بر حسب انرژی $$E$$ و $$V_{0}$$ بنویسیم. در نتیجه داریم:

$$\large (\frac{ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} }{ k_{1} k_{2} })^{2} = (\frac{ V_{0} }{ \sqrt{ E ( V_{0} – E ) } })^{2} = \frac{ V_{0}^{2} }{ E ( V_{0} – E ) }$$
(52)

با جایگذاری عبارت فوق در معادلات (50) و (51) نتیجه می‌شود:

$$\large T = [ 1 + \frac{ 1 }{ 4 } \frac{ V_{0}^{2} }{ E ( V_{0} – E ) } \sinh^{2} ( \frac{ a }{ \hbar } \sqrt{ 2 m ( V_{0} – E } ) ]^{ – 1 }$$
(53)

$$\large R = \frac{ 1 }{ 4 } \frac{ V_{0}^{2} T }{ E ( V_{0} – E ) } \sinh^{2} ( \frac{ a }{ \hbar } \sqrt{ 2 m ( V_{0} – E } )$$
(54)

همچنین با دو نماد گذاری $$\varepsilon = \frac{ E }{ V_{0} }$$ و $$\lambda = \sqrt{ 2 m V_{0} / \hbar^{2}}$$ داریم:

$$\large T = [ 1 + \frac{ 1 }{ 4 \varepsilon ( 1 – \varepsilon ) } \sinh^{2} ( \lambda \sqrt{ 1- \varepsilon })]^{ – 1 }$$
(55)

$$\large R =\frac{ T }{ 4 \varepsilon ( 1 – \varepsilon ) } \sinh^{2} ( \lambda \sqrt{ 1- \varepsilon })$$
(56)

حالت‌های خاص

  • در صورتی که انرژی ذرات بسیار کمتر از انرژی سد پتانسیل باشند خواهیم داشت:

    $$\large E < < V_{0}\ \rightarrow\ \varepsilon < < 1\ \ or\ \ \lambda \sqrt{ 1 – \varepsilon } > > 1$$
    (57)

    $$\large \Rightarrow \sinh ( \lambda \sqrt{ 1 -\varepsilon } ) \approx \frac{ 1 }{ 2 } e^{ \lambda \sqrt{ 1 -\varepsilon } }$$
    (58)

    $$\large \begin{equation} \begin{aligned} T & \simeq\left\{\frac{1}{4 \varepsilon(1-\varepsilon)}\left[\frac{1}{2} e^{\lambda \sqrt{1-\varepsilon}}\right]^{2}\right\}^{-1} = 16 \varepsilon(1-\varepsilon) e^{-2 \lambda \sqrt{1-\varepsilon}} \\ &= \frac{ 16 E }{V_{0}}\left(1-\frac{E}{V_{0}}\right) e^{ – ( 2 a / \hbar ) \sqrt{2 m\left(V_{0}-E\right)}} \end{aligned} \end{equation}$$
    (59)

    همان‌طور که در بالا مشاهده می‌کنید، ضریب عبور در این حالت نیز صفر نبوده و مقداری متناهی دارد. از نقطه نظر مکانیک کوانتومی اثر تونل زنی می‌تواند برای ناحیه $$x > 0$$ رخ دهد.

  • برای حالتی که انرژی ذرات در محدوده انرژی سد باشد ($$E \approx V_{0}$$)، $$\varepsilon$$ تقریباً برابر با یک شده و می‌توان نشان داد که دو رابطه (55) و (56) روابط زیر را نتیجه می‌دهند:

    $$\large T = ( 1 + \frac{ m a^{2} V_{0} }{ 2 \hbar^{2}} )^{-1}$$
    (60)

    $$\large R = ( 1 + \frac{ 2 \hbar^{2}}{ m a^{2} V_{0} } )^{-1}$$
    (61)

  • در حالت حد کلاسیکی، یعنی میل کردن ثابت پلانک کاهش یافته به سمت صفر ($$\hbar\ \rightarrow\ 0$$)، مشاهده می‌شود که دو رابطه ضریب عبور $$T$$ و بازتاب $$R$$ در دو معادله (55) و (56) به حالت کلاسیکی خود، یعنی $$T\ \rightarrow\ 1$$ و $$R\ \rightarrow\ 1$$ تبدیل می‌شوند.

فیلم آموزش مکانیک کوانتومی

همان‌طور که می‌دانید امروزه با پیشرفت تکنولوژی، مفاهیم مکانیک کوانتومی بیشتر از هر زمان دیگری در علوم و صنایع مختلف (تجاری و نظامی) مورد استفاده قرار می‌گیرند و از این حیث اهمیت درک مفاهیم آن بر هیچکس پوشیده نیست. به طور مثال پدیده تونل زنی کوانتومی که در بالا به آن اشاره کردیم، به وفور در صنعت نیمه‌هادی‌ها به هنگام توسعه پردازنده‌ها و حافظه‌های SSD به عنوان یک گلوگاه دخیل است. یا میکروسکوپ‌های الکترونی که از فیزیک و مفاهیم تونل زنی کوانتومی جهت تهیه تصویر استفاده می‌کنند. سایر مفاهیم کوانتومی نظیر درهمتنیدگی، برهمنهی و … در رادارهای نظامی کوانتومی و توسعه کامپیوترهای کوانتومی استفاده می‌شود.

در صورتی که علاقه‌مند به یادگیری پایه‌ای و اصولی مفاهیم مکانیک کوانتومی هستید، دوره ویدئوی زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم. این دوره تمامی سرفصل‌های مربوط به واحد دانشگاهی مکانیک کوانتوم ۱ را بر اساس دو مرجع بسیار معروف زیتلی (Zettili) و گریفیث (Griffiths) پوشش می‌دهد. در این دوره تمامی مسائل یک بعدی مکانیک کوانتومی نظیر، چاه پتانسیل، پله پتانسیل و سد پتانسیل به تفضیل بررسی شده‌اند.

درس مکانیک کوانتومی یکی از درس‌های اصلی و بسیار مهم دوره کارشناسی است که در قالب درسی ۳ یا ۴ واحدی برای دانشجویان رشته‌های فیزیک (محض و کاربردی تمامی گرایش‌ها) و فیزیک مهندسی (اپتیک و لیزر، جامد و پلاسما) ارائه می‌شود. همچنین مفاهیم این درس، به خصوص مباحث مکانیک کوانتومی ۱، در قالب درس الکترونیک کوانتومی برای دانشجویان دوره تحصیلات تکمیلی رشته مهندسی برق الکترونیک ارائه می‌شود. علاوه بر آنچه گفته شد، دانشجویان دوره تحصیلات تکمیلی معماری کامپیوتر، در قالب درس محاسبات کوانتومی با برخی از مفاهیم کوانتومی مواجه می‌شوند. در اغلب دانشگاه‌ها پیش‌نیاز درس مکانیک کوانتومی، فیزیک مدرن و مکانیک تحلیلی است. در صورتی که احساس می‌کنید که نیاز است تا دانش خود را در مباحث پایه‌ای فیزیک توسعه دهید، دوره‌های ویدیویی زیر را نیز به شما پیشنهاد می‌کنیم.

لازم به ذکر است که دوره ویدیویی «آموزش مکانیک کوانتومی ۱» در ۱۷ ساعت و ۱۴ دقیقه و طی ۶ فصل، به شرح ذیل تدوین شده است:

درس اول از دوره فوق، به جنبه‌های تاریخی و سرآغاز مکانیک کوانتومی نظیر تابش جسم سیاه، نظریه پلانک، اثر فوتوالکتریک، اثر کامپتون، مدل اتمی بور و … می‌پردازد. درس دوم مروری بر مفاهیم اساسی مکانیک کلاسیکی، نظیر معادلات بسیار مهم لاگرانژ و هامیلتونی است. این مفاهیم برای درک بهتر اصول مکانیک کوانتومی حائز اهمیت هستند. درس سوم به ابزارهای ریاضی جهت فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی اختصاص دارد. همچنین در این فصل با معادله شرودینگر و جریان احتمال آشنا می‌شوید.

درس چهارم و پنجم از دوره مذکور نیز به ترتیب به مکانیک موجی در یک و سه بعد می‌پردازند. در این فصول مثال‌هایی کاربردی نظیر چاه پتانسیل، سد پتانسیل، نوسانگر‌ هماهنگ کوانتومی، اتم هیدروژن و … بحث می‌شوند. آخرین درس نیز به بررسی ذرات بدون برهمکنش و مبانی آمار کوانتومی، نظیر گاز ایده‌آل کوانتومی، همبستگی آماری و … می‌پردازد.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«اشکان ابوالحسنی» دانشجو مقطع دکتری واحد علوم و تحقیقات تهران در رشته مهندسی برق مخابرات، گرایش میدان و امواج است. علاقه خاص او به فرکانس‌های ناحیه اپتیکی و مکانیک کوانتومی باعث شده که در حال حاضر در دو زمینه‌ مخابرات نوری و محاسبات کوانتومی تحقیق و پژوهش کند. او در حال حاضر، آموزش‌هایی را در دو زمینه فیزیک و مهندسی برق (مخابرات) در مجله فرادرس می‌نویسد.

بر اساس رای 6 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها