خودالقاوری چیست؟ – تعریف، فرمول و مثال به زبان ساده

هر پیچه یا مداری که تغییرات جریان با زمان در آن موجب تولید یک نیرو محرکه القایی شود، دارای خاصیت خودالقاوری است. به عبارت دیگر، خودالقاوری، خودالقایی یا Self-Inductance خاصیتی است که در قطعات الکتریکی به نام القاگر یا سلف و بر مبنای قوانین القای الکترومغناطیسی ایجاد می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس توضیح می‌دهیم خودالقاوری چیست، چگونه ایجاد می‌شود و چه فرمول‌هایی دارد.

به همین منظور پس از توضیح مفهوم آن، در اولین بخش توضیح می‌دهیم فرمول اصلی خودالقاوری چیست و چگونه می‌توان به کمک قانون القای فارادی و قانون لنز این فرمول را به‌دست آورد. سپس خودالقاوری را برای دو پیکربندی خاص مانند سیم‌لوله (یا سلونوئید) و حلقه سیم مستطیلی محاسبه می‌کنیم. همچنین نشان می‌دهیم انرژی ذخیره شده در یک القاگر چگونه تعیین می‌شود. بخش‌های بعد به بررسی مدارهایی شامل خاصیت خودالقاوری مانند مدارهای RL، مدارهای LC و مدارهای RLC اختصاص دارد. در انتهای این مطلب نیز به حل و بررسی چند مثال و کاربردهای این مفهوم پرداخته‌ایم تا کاملا یاد بگیرید خودالقاوری چیست و چه اثری روی محاسبات مدارهای الکتریکی دارد.

خودالقاوری چیست؟

می‌دانیم هر سیم حامل جریانی می‌تواند یک میدان مغناطیسی تولید کند. اگر جریان این سیم نسبت به زمان متغیر باشد، میدان مغناطیسی هم تغییر می‌کند و نتیجه تغییرات میدان، القای نوعی نیرو محرکه القایی به نام نیروی الکتروموتیو (emf) در سیم است. جهت این نیرو بر اساس قانون لنز به گونه‌ای است که با جهت جریان اولیه مخالفت می‌کند. بنابراین این نیرو محرکه روی جریان اولیه تاثیرگذار است و این اثر همان خودالقاوری یا خودالقایی است.

تصویر زیر نشان دهنده توضیحات بالا در مورد پیچه‌ای از یک سیم رسانا است که به یک منبع تغذیه AC متصل شده است. متغیر بودن منبع تغذیه باعث می‌شود جریان اولیه در پیچه متغیر باشد، در نتیجه با تغییر میدان مغناطیسی ناشی از آن، نیرو محرکه‌ای در مدار القا می‌شود که نتیجه آن تولید یک جریان القایی است. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، جهت این جریان القایی کاملا مخالف با جهت جریان اولیه است و این همان اثر خودالقاوری است.

می‌دانیم در تمام مدارها از عناصر الکتریکی مختلف مانند خازن، مقاومت‌ و ... استفاده می‌شود که هر کدام با یک نماد ویژه نمایش داده شده و یک یا چند خاصیت مهم را بسته به هدف ما در مدار ایجاد می‌کنند. خاصیت خودالقاوری نیز در مدار‌های الکتریکی توسط عنصری به نام القاگر یا سلف ایجاد می‌شود که نماد آن در محاسبات و فرمول‌ها $$L$$ است. همچنین تصویر زیر نشان می‌دهد نماد القاگر در مدار در مقایسه با قطعاتی مانند خازن یا مقاومت چگونه است. ملاحظه می‌کنید که این قطعه در ساده‌ترین حالت خود شبیه یک پیچه یا Coil است:

واحد استاندارد برای اندازه‌گیری خودالقاوری نیز به افتخار کشف «سلف - اندوکتانس» یا خودالقاوری توسط دانشمندی به نام «جوزف هنری» (Joseph Henry)، هانری با نماد $$H$$ انتخاب شد. یک هانری توسط روابط زیر به واحدهایی مانند وبر برای شار مغناطیسی یا تسلا برای میدان مغناطیسی مرتبط می‌شود:

$$1 \ H = 1 \frac{Wb}{A} = 1\ \frac{T.m^2}{A}$$

چگونه خودالقاوری در فیزیک متوسطه را با فرادرس بهتر بیاموزیم؟

برای اینکه بهتر متوجه شوید خاصیت خودالقاوری چیست و چگونه ایجاد می‌شود، ابتدا لازم است با قوانین القای الکترومغناطیسی کاملا آشنا شوید. این مبحث در کتاب درسی فیزیک پایه یازدهم به‌صورت کامل توضیح داده شده است و شما می‌توانید با مشاهده فیلم آموزشی این دوره در کنار آموزش تصویری و حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع پایه خود را در این زمینه کاملا تقویت کنید. در ادامه دوره‌های آموزشی مرتبط با این عناوین که توسط مجموعه فرادرس تهیه شده‌اند، به شما معرفی می‌شود:

• فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک پایه یازدهم – مرور و حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش رایگان جریان الکتریکی (فیزیک یازدهم) + مثال‌های کاربردی فرادرس

فرمول خودالقاوری چیست و چگونه به‌ دست می‌آید؟

پس از اینکه آموختیم خاصیت خودالقاوری چیست و چه مفهومی دارد، در این قسمت با فرمول آن آشنا می‌شویم. برای شروع از مفاهیم و فرمول‌های الکترومغناطیس کمک می‌گیریم. تصویری که در ادامه مشاهده می‌کنید، نشان دهنده خطوط میدان مغناطیسی ناشی از جریانی است که در سیمی به‌ شکل یک حلقه‌ دایره‌ای شکل جریان دارد. اگر این جریان ثابت باشد، شار مغناطیسی ناشی از آن نیز روی حلقه سیم ثابت است.

اما اگر این جریان نسبت به زمان تغییر کند، بلافاصله با بسته شدن کلید S شار مغناطیسی $$\phi _m$$ هم متقابلا با زمان تغییر می‌کند. در این شرایط طبق «قانون القای فارادی» می‌‌توانیم نیرو محرکه القایی یا $$\epsilon$$ القا شده در مدار را محاسبه کنیم:

$$\epsilon = - \frac{d\phi_m}{dt}$$

• نکته ۱: نیرو محرکه القایی یا emf برخلاف عنوانی که دارد، از جنس اختلاف پتانسیل یا ولتاژ است. به همین دلیل واحد استاندارد آن ولت ($$V$$) است.
• نکته ۲: واحد استاندارد شار مغناطیسی نیز وبر یا $$Wb$$ است.

با توجه به اینکه میدان مغناطیسی ناشی از یک سیم حامل جریان متغیر مستقیما با جریان همان سیم متناسب است، شار ناشی از این میدان نیز با آن جریان متناسب است:

$$\phi_m \propto I$$

ثابت این تناسب همان خودالقایی یا خودالقاوری حلقه سیم است که گفتیم با $$L$$ نشان داده می‌شود. اگر این حلقه دارای $$N$$ دور سیم باشد، در این صورت تناسب بالا به شکل زیر نوشته خواهد شد:

$$N\phi_m = L I$$

طبق قرارداد، جهت خطوط میدان مغناطیسی توسط قانون دست راست و با توجه به جهت جریان تعیین می‌شود. در شکل بالا خطوط میدان به سمت پایین حلقه جریان جهت‌گیری دارند و این مسئله موجب می‌شود $$\phi _m$$ در رابطه بالا مثبت شود. بنابراین می‌توانیم بگوییم در این حالت $$L$$ همواره مقدار مثبتی دارد. از طرفی برای حلقه‌ای با $$N$$ دور، فرمول نیرو محرکه را با احتساب تعداد دورها می‌توان به شکل زیر نوشت:

$$\epsilon = - N \frac{d\phi_m}{dt}$$

همچنین با کمک گرفتن از رابطه‌ای که برای شار مغناطیسی بر حسب خودالقاوری داشتیم، می‌توانیم فرمول جدیدی برای نیرو محرکه القایی به شکل زیر بنویسیم:

$$\Rightarrow \epsilon = - \frac{ d(N\phi_m)}{dt} = - \frac{d(LI)}{dt}= - L \frac{dI}{dt}$$

$$\epsilon = - L \frac{dI}{dt}$$

دقت کنید در دیفرانسیل‌گیری‌های بالا $$N$$ و $$L$$ ثابت هستند و به همین علت می‌توانیم بنا به ضرورت آن‌ها را در داخل پرانتز مربوط به دیفرانسیل‌گیری یا خارج از آن قرار دهیم. همچنین اگر خودالقاوری را به یک سمت این رابطه ببریم، خواهیم داشت:

$$L = \frac{|\epsilon|}{ |\frac{dI}{dt}|}$$

بنابراین در این بخش آموختیم که چگونه می‌توانیم با شروع از قانون القای فارادی خودالقاوری یک پیچه را پیدا کنیم. در بخش بعد اثر قانون لنز در این فرمول را ردیابی خواهیم کرد.

خودالقاوری و قانون لنز

نکته دیگری که از آموخته‌‌های الکترومغناطیس باید در نظر بگیریم، رعایت «قانون لنز» است. در این قسمت نشان می‌دهیم اثر قانون لنز روی خودالقاوری چیست. مطابق قانون لنز، علامت منفی در فرمول $$\epsilon = - L \frac{dI}{dt}$$ نشان می‌دهد نیرو محرکه القایی عبوری از یک القاگر همواره در جهتی مخالف با تغییرات جریان است. به عبارت دیگر، جهت جریان القایی با جهت جریان اولیه همواره مخالف است.

برای اینکه بهتر متوجه این نکته شوید، تصویر زیر را در نظر بگیرید که در آن جریان در دو حالت از یک القاگر عبور کرده و در آن نیرو محرکه القایی ایجاد می‌کند. در حالت اول، اگر جریان از نقطه A به نقطه B زیاد شود، جهت نیرو محرکه القایی به شکلی خواهد بود که با این تغییر مخالفت کند. این جهت توسط یک باتری خیالی در زیر القاگر نمایش داده شده است.

در حالی که اگر جریان از A به B کاهش یابد (مطابق تصویر سمت چپ)، در این صورت نیرو محرکه القایی جهت متفاوتی خواهد داشت. پس در این شرایط باز هم جهت نیرو محرکه طوری تنظیم می‌شود که طبق قانون لنز با جریان مخالفت کند. همچنین اگر جریان عبوری از القاگر ثابت باشد، هیچ نیرو محرکه‌ای در پیچه القاگر ایجاد نمی‌شود.

محاسبه خودالقاوری برای سیم لوله

در ادامه برای اینکه بهتر یاد بگیرید خودالقاوری چیست، در این قسمت به بررسی خودالقاوری در یک سیم‌لوله استوانه‌ای شکل یا سلونوئید می‌پردازیم. سیم‌لوله‌ای بلند و به شکل استوانه با طول $$L$$، مساحت سطح مقطع $$A$$ و تعداد $$N$$ دور سیم را در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید طول این سیم‌لوله در مقایسه با قطر آن بسیار بسیار بزرگتر است.

با در نظر داشتن این فرض می‌توانیم بگوییم میدان مغناطیسی داخل چنین سیم‌لوله‌ای با صرف‌نظر کردن از آثار میدان در ابتدا و انتهای آن کاملا یکنواخت (مقدار ثابت در تمام نقاط داخل سیم‌لوله) است و فرمولی به شکل زیر دارد:

$$B =\mu_0 nI$$

• $$B$$: میدان مغناطیسی بر حسب تسلا ($$T$$)
• $$I$$: جریان عبوری از سیم‌لوله بر حسب آمپر ($$A$$)
• $$n$$: نسبت تعداد دورهای سیم به طول سیم‌لوله یا $$n = \frac{N}{L}$$ بر حسب دور بر متر ($$m^{-1}$$)
• $$\mu_0$$: ثابتی به نام «نفوذ‌پذیری خلاء» (Permeability of Free Space) که مقدار آن برابر است با $$4\pi \times 10^{-7} \ \frac{T.m}{A}$$

بنابراین شار مغناطیسی برای این سیم‌لوله طبق فرمول اصلی شار از حاصل‌ضرب میدان در مساحت مقطع و به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\phi_m = BA$$

$$\Rightarrow \phi_m = \mu_0 nI A = \mu_0 \frac{N}{L}I A$$

حالا اگر از فرمول $$N\phi_m = L I$$ استفاده کنیم، با حذف جریان از دو طرف تساوی برای خودالقاوری خواهیم داشت:

$$\Rightarrow N (\mu_0 \frac{N}{L}I A) = L I \Rightarrow L = \frac{\mu_0N^2A}{L}$$

پس خودالقاوری برای یک سیم‌لوله یا سلونوئیدی با شرایط گفته شده به کمک فرمول $$L = \frac{\mu_0N^2A}{L}$$ محاسبه می‌شود. مجددا اگر از $$n = \frac{N}{L}$$ استفاده کنیم، می‌توانیم این فرمول را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$L = \mu_0A L\frac{N^2}{L^2} = \mu_0n^2A L = \mu_0n^2 V$$

در آخرین رابطه $$A L$$ را با حجم سیم‌لوله یعنی $$V$$ معادل‌سازی کرده‌ایم. بنابراین ملاحظه می‌کنید که خودالقاوری برای یک سیم‌لوله بلند فقط و فقط به مشخصات فیزیکی آن مانند طول، مساحت مقطع و تعداد دورهای سیم در آن بستگی دارد و میدان مغناطیسی یا جریان تاثیری در این کمیت ندارد. البته این توضیح برای تمام خودالقاوری‌ها در حالت کلی درست است.

محاسبه خودالقاوری برای حلقه مستطیلی

در بخش قبل توضیح دادیم که در مورد یک سیم‌لوله خودالقاوری چیست و چگونه فرمول آن به‌دست می‌آید. در این بخش همین روند را برای یک «حلقه یا توروئید مستطیلی» (Rectangular Toroid) توضیح می‌دهیم. منظور ما از توروئید مستطیلی یک حلقه با سطح مقطع مستطیلی شکل است که در شکل زیر شماتیکی از آن را مشاهده می‌کنید. چنین حلقه‌ای دارای دو شعاع شامل شعاع داخلی و خارجی است که به ترتیب با $$R_1$$ و $$R_2$$ نشان داده شده‌اند. همچنین ارتفاع یا عرض مقطع مستطیلی این حلقه را $$h$$ در نظر می‌گیریم.

در ادامه محاسابات خود نیاز داریم از «قانون آمپر» استفاده کنیم تا بتوانیم میدان مغناطیسی داخل این توروئید مستطیلی را پیدا کنیم. اگر این محاسبه را انجام دهید، به عبارت زیر می‌رسید:

$$B = \frac{\mu_0NI}{2\pi r}$$

که در آن $$r$$ برابر است با فاصله از محور مرکزی توروئید. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، برخلاف میدان داخل سلونوئید در بخش قبل که ثابت بود، در اینجا میدان داخل حلقه با $$r$$ تغییر می‌کند. به همین علت برای محاسبه شار مغناطیسی لازم است از انتگرال‌گیری روی سرتاسر مقطع این حلقه مستطیلی استفاده کنیم. به همین منظور یک عنصر المان سطحی به شکل $$da$$ تعریف می‌کنیم که به‌صورت زیر است:

$$da = hdr$$

به این ترتیب به‌جای $$\phi_m = BA$$، انتگرال زیر را حساب می‌کنیم:

$$\phi_m = \int B da$$

$$\Rightarrow \phi_m = \int_{R_1}^{R_2} (\frac{\mu_0NI}{2\pi r}) \ hdr = \frac{\mu_0NhI}{2\pi } \int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{ r}$$

با خارج کردن تمام ثوابت از جمله جریان از داخل انتگرال (جریان با فاصله $$r$$ تغییر نمی‌کند)، خواهیم داشت:

$$\Rightarrow \phi_m = \frac{\mu_0NhI}{2\pi } \ln \frac{R_2}{ R_1}$$

حالا با نوشتن $$N\phi_m = L I$$، خودالقاوری این حلقه را به‌دست می‌آوریم:

$$\Rightarrow L = \frac{ N\phi_m}{I} = \frac{\mu_0N^2h}{2\pi } \ln \frac{R_2}{ R_1}$$

ملاحظه می‌کنید که در مورد سیم جریانی به این شکل نیز وابستگی خودالقاوری فقط و فقط به مشخصات فیزیکی و نه جریان یا میدان است. پیش از اینکه به بررسی انرژی القاگر در بخش بعد بپردازیم، پیشنهاد می‌کنیم برای اینکه به مفاهیم نظریه الکترومغناطیس کاملا مسلط شوید، مطلب «الکترومغناطیس چیست؟ – به زبان ساده» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

محاسبه انرژی بر حسب خودالقاوری

یکی دیگر از مباحثی که در مورد انواع قطعات و عناصر الکتریکی در مدارها مطرح می‌شود، موضوع انرژی ذخیره شده در آن قطعه است. برای مثال، می‌دانیم یکی از کاربردهای خازن در مدار این است که انرژی الکتریکی را بین صفحات خود ذخیره می‌کند. به‌طور مشابه، یک القاگر هم توانایی این را دارد که انرژی ذخیره کند، اما تفاوت آن با خازن در این است که خازن انرژی را در میدان الکتریکی بین صفحات خود ذخیره می‌کند، در حالی که ذخیره‌سازی انرژی در سلف در میدان مغناطیسی آن انجام می‌شود.

برای محاسبه این انرژی کافی است روی کمیتی به نام چگالی انرژی مغناطیسی و با در نظر گرفتن حجم مناسب، انتگرال‌گیری انجام دهیم:

$$u_m = \frac{B^2}{2\mu_0 }$$

حالا توضیح می‌دهیم که چگونه می‌توانیم با استفاده از فرمول بالا انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی یک سلف را به‌دست آوریم. یک سیم‌لوله استوانه‌ای شکل و طویل را در نظر بگیرید و مجددا این تقریب را اعمال کنید که طول این سلونوئید در مقابل شعاع آن عددی بسیار بسیار بزرگتر است، طوری که می‌توانیم عملا آن را بی نهایت فرض کنیم. بنابراین میدان این سیم‌لوله را می‌توانیم یک میدان ثابت و یکنواخت در نظر بگیریم که در هر نقطه داخل آن برابر است با $$B =\mu_0 nI$$. با ضرب کردن چگالی انرژی بالا در حجم این سیم‌لوله انرژی ذخیره شده در آن تعیین می‌شود:

$$U = u_m V$$

$$\Rightarrow U = u_m V = \frac{B^2}{2\mu_0 } (AL) = \frac{\mu_0^2 n^2I^2}{2\mu_0 } (AL)= \frac{1}{2 } \mu_0n^2ALI^2$$

اما می‌توانیم این فرمول را ساده‌تر کرده و با توجه به ضریب خودالقایی سیم‌لوله با فرمول $$L = \mu_0n^2AL$$ آن را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$U = \frac{1}{2 }LI^2$$

با اینکه این فرمول را برای سیم‌لوله استخراج کردیم، ولی لازم است بدانید محاسبه انرژی برای هر نوع پیچه‌ای و بر حسب خودالقاوری به همین شکل انجام می‌شود. پس فرمول بالا انرژی مغناطیسی ذخیره شده در میدان مغناطیسی هر القاگری را به ما می‌دهد. برای اینکه از این موضوع مطمئن شویم، انرژی را بر اساس فرمول توان الکتریکی بررسی می‌کنیم. می‌دانیم توان همواره برابر است با انرژی در واحد زمان. پس اگر توان الکتریکی را در حالت کلی بدانیم، با انتگرال‌گیری از آن می‌توانیم انرژی را پیدا کنیم. توان الکتریکی برابر است با حاصل‌ضرب نیرو محرکه در جریان:

$$P = \epsilon I$$

با کمک گرفتن از فرمول نیرو محرکه بر حسب خودالقاوری، داریم:

$$\Rightarrow P = \epsilon I = L \frac{dI}{dt} I$$

دقت کنید برای محاسبه توان لازم نیست علامت منفی در فرمول بالا را در نظر بگیریم. حالا با این فرض که جریان از $$0$$ تا $$I$$ و در بازه زمانی $$0$$ تا $$t$$ زیاد می‌شود، انتگرال‌ زیر را حل می‌کنیم:

$$\Rightarrow U = \int_{0}^{t} Pdt = L \int_{0}^{t} \frac{dI}{dt} I dt = L \int_{0}^{I}I dI = \frac{1}{2 }LI^2$$

مشاهده می‌کنید که باز هم به همان فرمول قبل رسیدیم.

مدارهای RL

در این بخش و بخش بعد قصد داریم به این موضوع بپردازیم که ترکیب القاگر با مقاومت یا خازن در مدار به چه صورت است. مدارهای RL مدارهایی متشکل از مقاومت و القاگر هستند که در تصویر زیر نمونه‌ای از آن را در موقعیت‌های مختلف مشاهده می‌کنید. اگر تمایل دارید در زمینه تحلیل و بررسی انواع مدارهای الکتریکی اطلاعات پیشرفته‌تری کسب کنید، پیشنهاد ما مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ فرادرس است که لینک آن برای شما در ادامه قرار داده شده است:

اولین مدار از سمت چپ دارای یک سلف، یک مقاومت، یک منبع نیرو محرکه ثابت و دو کلید $$S_1$$ و $$S_21$$ است. زمانی که کلید $$S_1$$ بسته شود، مدار ما با یک مدار تک حلقه متشکل از یک مقاومت و یک القاگر که به یک منبع emf متصل شده‌اند، معادل می‌شود (شکل وسط). اما اگر کلید $$S_1$$ باز و $$S_2$$ بسته شود، مدار با یک تک حلقه که فقط شامل یک مقاومت و یک القاگر است، معادل است. بنابراین باید به این نکته دقت کنیم که در حالت دوم القاگر به هیچ منبع نیرو محرکه‌ای متصل نیست.

اگر مدار وسطی را در نظر بگیریم، با بستن کلید $$S_1$$ و باز کردن $$S_2$$، منبع نیرو محرکه در مدار جریان ایجاد می‌کند. اگر در مدار القاگری نداشته باشیم، این جریان فورا افزایش می‌یابد تا طبق قانون اهم به مقدار پایدار $$\frac{\epsilon}{R}$$ برسد. اما زمانی که در مدار یک سلف داشته باشیم، طبق قانون القای فارادی جریان در حال افزایش نیز یک نیرو محرکه‌ای به شکل $$V = - L \frac{dI}{dt}$$ در القاگر ایجاد می‌کند. در راستای برقراری قانون لنز، این نیرو محرکه القایی با افزایش بیشتر جریان مخالفت می‌کند. در نتیجه دو قطب آن به صورت مثبت و منفی قرار داده شده روی القاگر وسطی است. حالا با اعمال قانون حلقه کیرشهف روی این مدار، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$\epsilon - L \frac{dI}{dt} - IR = 0$$

رابطه بالا در حقیقت یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول از $$I(t)$$ محسوب می‌شود. مشابه این معادله را می‌توانیم در بررسی مدارهای RC شامل مقاومت و خازن ببینیم. اگر این معادله را به روش‌های حل معادلات دیفرانسیل حل کنیم، به پاسخ کلی زیر می‌رسیم:

$$I(t) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- \frac{ Rt}{L}})$$

اگر عبارت $$\frac{ L}{R}$$ را با کمیتی به نام «ثابت زمانی القا در مدار» یا $$\tau_L$$ جایگزین کنیم، رابطه بالا به شکل زیر درمی‌آید:

$$I(t) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- \frac{ t}{\tau_L}})$$

بنابراین معادله افزایش جریان در یک مدار RL نوعی به شکل بالا است. نمودار این جریان بر حسب زمان در تصویر زیر رسم شده است و همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، جریان $$I(t)$$ با شروع از صفر و در صورتی که زمان به سمت بی‌نهایت میل کند، به مقدار حدی $$\frac{ \epsilon}{R}$$ نزدیک می‌شود:

نکته مهمی که از نمودار بالا می‌توان دریافت کرد این است که در زمانی برابر با یک ثابت زمانی القا ($$t = \tau_L$$)، مقدار جریان برابر با $$0.63 \frac{ \epsilon}{R}$$ می‌شود:

$$\Rightarrow I(\tau_L) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{ -\frac{ \tau_L}{\tau_L}}) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- 1}) =0.63 \frac{ \epsilon}{R}$$

بنابراین مقدار ثابت زمانی $$\tau_L$$ به ما نشان می‌دهد جریان با چه سرعتی به بیشترین مقدار خود می‌رسد. هر چه این عدد کمتر باشد، جریان با سرعت بیشتری به مقدار نهایی خود یا $$\frac{ \epsilon}{R}$$ می‌رسد. همچنین می‌توانیم نیرو محرکه القایی متناظر با این جریان را محاسبه کنیم و ببینیم تغییرات آن با زمان چگونه است. تغییرات این کمیت کاملا عکس تغییرات جریان است، در ابتدا با بستن کلید، نیرو محرکه القایی در بیشترین مقدار خود یعنی $$\epsilon$$ قرار دارد و با گذشت زمان شروع به کاهش می‌کند و در نهایت به صفر می‌رسد:

علت این تغییرات مخالف با جریان در این است که برای نیرو محرکه یک مرحله مشتق‌گیری از جریان داریم که می‌توان با حدس شیب نمودار جریان بر حسب زمان در زمان‌های مختلف نیز به یک تقریب از نمودار $$V(t)$$ رسید. دقت کنید برای رسم این نمودار بهتر است اندازه یا قدر مطلق $$V(t)$$ را در نظر بگیریم. معادله زیر نشان‌دهنده تغییرات نیرو محرکه القایی با زمان در مدار موردنظر ما است که نمودار آن نیز رسم شده است:

$$\Rightarrow V(t) = - L \frac{dI}{dt }= -\epsilon e^{ -\frac{ t}{\tau_L}}$$

همچنین در $$t = \tau_L$$، اندازه ولتاژ القایی برابر می‌شود با:

$$\Rightarrow |V(\tau_L) |= \epsilon e^{ -\frac{ \tau_L}{\tau_L}}= 0.37\epsilon = 0.37 V(0)$$

که به این معنا است ولتاژ در این زمان به مقداری برابر با $$37 \%$$ از مقدار اولیه خود افت می‌کند و هر چه مقدار این ثابت کمتر باشد، این افت ولتاژ بیشتر است. در ادامه اگر بخواهیم انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی چنین القاگری را محاسبه کنیم، با کاربرد فرمول انرژی که در بخش‌های قبل توضیح داده شد، می‌توانیم مقدار انرژی را مانیتور کنیم. در شروع با جریان صفر، انرژی هم صفر است و با افزایش جریان تا مقدار حدی $$\frac{ \epsilon}{R}$$، بیشینه انرژی ذخیره شده در سلف را با مقدار زیر خواهیم داشت:

$$\Rightarrow U = \frac{1}{2 }LI^2 = \frac{1}{2 }L ( \frac{ \epsilon}{R})^2$$

تا اینجا موفق شدیم معادله جریان و ولتاژ القایی بر حسب زمان را بررسی کنیم تا ببینیم در مدار RL متناظر با مدار وسطی از شکل ابتدای بخش خودالقاوری چیست و چگونه کار می‌کند. حالا مجددا برمی‌گردیم به همان شکل و این بار فرض  می‌کنیم پس از اینکه زمان کافی به مدار داده شد تا جریان به بیشترین مقدار خود برسد، جایگاه کلیدها در مدار اولیه برعکس شوند، یعنی کلید $$S_1$$ باز و $$S_2$$ بسته شود. پس توجه دارید که با این فرض، در زمان صفر جریان در بیشترین حالت خود قرار دارد:

$$I(0) = \frac{ \epsilon}{R}$$

با استفاده از قانون حلقه کیرشهف برای این مدار به معادله زیر می‌رسیم:

$$L \frac{dI}{dt} +IR = 0$$

اگر به تفاوت این معادله با معادله‌ای که برای مدار وسطی در شکل ابتدای این بخش نوشتیم، دقت کنید، متوجه می‌شوید که در این مدار چون هیچ منبع نیرو محرکه‌ای نداریم، پس جمله $$\epsilon$$ هم در معادله بالا دیده نمی‌شود. راه‌حل این معادله مشابه راه‌حلی است که در معادله تخلیه خازن برای مدارهای RC می‌نوشتیم، فقط باید $$L$$ را جایگزین $$C$$ کنیم. به این ترتیب در زمان $$t$$ جریان برابر می‌شود با:

$$I(t) = \frac{ \epsilon}{R} e^{-\frac{ t}{\tau_L}}$$

طبق این معادله و با شروع از زمان صفر، جریان از مقدار $$\frac{ \epsilon}{R}$$ و همزمان با تخلیه انرژی القاگر شروع به کاهش می‌کند. همچنین وابستگی زمانی ولتاژ عبوری از القاگر این مدار را می‌توانیم با معادله‌ای به شکل زیر تعیین کنیم:

$$\Rightarrow V(t) = - L \frac{dI}{dt }= \epsilon e^{ -\frac{ t}{\tau_L}}$$

که طبق فرض اولیه ما، در زمان صفر مقدار اولیه آن برابر می‌شود با $$V(0) = \epsilon e^{ -\frac{ 0}{\tau_L}}= \epsilon$$. همچنین انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی این القاگر نیز به‌صورت نمایی با زمان کاهش می‌یابد و به شکل گرما در مقاومت مدار تخلیه می‌شود. تصویر زیر نمودار جریان بر حسب زمان را در این مدار تخلیه RL نشان می‌دهد:

مدارهای LC و نوسان

در بخش پیش توضیح دادیم که در مدارهای RL اثر خودالقاوری چیست. در این بخش می‌خواهیم مدارهایی متشکل از خازن و القاگر را بررسی کنیم و ببینیم خودالقاوری در این نوع مدارها چگونه است. تفاوت مدار LC و RC در جایگزین کردن مقاومت با خازن است و در نتیجه این نکته مهم را داریم که خازن هم مانند القاگر ابزاری جهت ذخیره‌سازی انرژی است. در خازن انرژی در میدان الکتریکی بین صفحات آن و در سلف انرژی در میدان مغناطیسی داخل پیچه ذخیره می‌شود.

مداری که شامل هر دو قطعه سلف و خازن باشد، این توانایی را دارد که بدون نیاز به هیچ نوع منبع emf‌ای مانند یک اسیلاتور نوسان کند. این نوسان از طریق جابجایی انرژی ذخیره شده در مدار بین میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی امکان‌پذیر است. بنابراین تمام مفاهیم و فرمول‌هایی که در این بخش توضیح می‌دهیم، مستقیما در تبادل انرژی بین میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی در امواج الکترومغناطیسی یا نور کاربرد دارد. همچنین ذکر این نکته هم مهم است که یک مدار LC در حقیقت نوعی مدار اید‌ه‌آل است، چون هیچ مقاومتی در آن نداریم.

شکل زیر نمونه‌ای از یک مدار LC را نشان می‌دهد. اگر خازن در اولین شکل از سمت چپ، پیش از بسته شدن کلید دارای بار $$q _0$$ باشد، در این صورت تمام انرژی مدار در میدان الکتریکی این خازن ذخیره شده است:

$$U_C = \frac{ 1}{2} \frac{ q_0^2}{C}$$

با بسته شدن کلید، خازن شروع به دشارژ شدن یا تخلیه می‌کند و در نتیجه، جریانی در مدار ایجاد می‌شود. در مقابل، این جریان یک میدان مغناطیسی در القاگر ایجاد می‌کند. به این ترتیب اثر برآیند این فرآیند معادل است با انتقال انرژی از خازن به القاگر همراه با کاهش میدان الکتریکی خازن و افزایش میدان مغناطیسی سلف. در شکل دوم از سمت چپ در بالا، خازن کاملا تخلیه یا دشارژ شده است و تمام انرژی مدار در میدان مغناطیسی القاگر ذخیره شده است. در این حالت جریان در بیشترین مقدار خود یعنی $$I_0$$ قرار دارد. پس مقدار انرژی سلف برابر است با:

$$U_L = \frac{ 1}{2} LI^2_0$$

از آنجایی که هیچ مقاومتی در این مدار نداریم، هیچ‌گونه اتلاف انرژی به شکل گرمای ژول نداریم. به این ترتیب بیشینه انرژی ذخیره شده در خازن با بیشینه انرژی ذخیره شدن در القاگر برای کمی بعدتر برابر است:

$$\frac{ 1}{2} LI^2_0 = \frac{ 1}{2} \frac{ q_0^2}{C}$$

پس در یک زمان دلخواه مانند $$t$$، انرژی کل مدار برابر است با:

$$\frac{ 1}{2} LI^2(t) + \frac{ q^2(t)}{2C}$$

بنابراین در تصویر بالا با چهار مدار در کنار هم، پس از اینکه جریان به بیشترین مقدار خود یعنی $$I_0$$ رسید، جریان $$I(t)$$ برای تبادل بار بین صفحات خازن ادامه پیدا می‌کند و در نتیجه خازن مجددا شارژ می‌شود. از طرفی چون سلف در مقابل تغییرات جریان مقاومت می‌کند، جریان جاری می‌شود، حتی اگر خارن دشارژ شود. این روند موجب قطبیت معکوسی برای جریان خازن خواهد شد و همان طور که ملاحظه می‌کنید، جهت جریان در مدار آخر تغییر کرده است. همچنین با افزایش میدان الکتریکی خازن، میدان مغناطیسی القاگر کاهش می‌یابد و اثر برآیند آن، بازگشت انرژی از سلف به خازن است.

طبق قانون پایستگی انرژی، بیشترین باری که خازن در شارژ دوباره خود لازم دارد برابر است با $$q _0$$ و طبق سومین مدار از سمت چپ، مشاهده می‌کنید که در این حالت بارهای مثبت و منفی عکس حالت اول روی صفحات خازن قرار می‌گیرند. پس از اینکه خازن مجددا دوباره و کامل شارژ شد، مجددا انرژی خود را به القاگر می‌دهد تا زمانی که کاملا تخلیه شود. پس در اینجا یک فرآیند چرخشی یا تناوبی داریم که طی آن انرژی به خازن برمی‌گردد و حالت اولیه مدار مجددا برگردانده می‌شود.

تصویر بالا نمودار سینوسی یک دوره کامل از این فرآیند تناوبی را نشان می‌دهد. این نوسان الکترومغناطیسی مشابه است با نوسان مکانیکی جرم متصل به فنر. در این نوسان مکانیکی، انرژی به‌صورت رفت و برگشتی به جرمی منتقل می‌شود که در ابتدا دارای انرژی جنبشی $$\frac{1}{2} mv^2$$ است، در حالی که انرژ‌ی اولیه فنر از نوع پتانسیل و برابر با $$\frac{1}{2} kx^2$$ است. در شرایطی که هیچ اصطکاکی نداشته باشیم، نوسان جرم و فنر تا بی‌نهایت ادامه پیدا خواهد کرد. به‌طور مشابه، نوسان‌ها در یک مدار LC نیز بدون حضور هیچ مقاومتی تا ابد ادامه پیدا می‌کند، اما عملا چنین مدار ایده‌آلی کاربرد ندارد و هر مدار LC حداقل مقدار مقاومت کوچکی دارد.

فرکانس نوسان در یک مدار بدون مقاومت LC را می‌توانیم از تشابه این سیستم با یک نوسانگر مکانیکی به‌دست آوریم. با در نظر گرفتن فرمول جریان به شکل $$I(t) = \frac{dq(t)}{dt}$$، انرژی الکترومغناطیسی کل $$U$$ برابر است با:

$$U = \frac{ 1}{2} L \frac{d^2q(t)}{dt^2} + \frac{ q^2(t)}{2C}$$

برای انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنر به شکل زیر، متغیر اصلی $$x(t)$$ بود:

$$E = \frac{ 1}{2} m \frac{d^2x(t)}{dt^2} +\frac{ 1}{2}k x^2(t)$$

و پاسخ چنین معادله‌ای برابر می‌شد با:

$$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$$

که در آن $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ فرکانس نوسان مکانیکی است و همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، به مشخصات فیزیکی سیستم نوسانی وابسته است. در نتیجه از تشابه این دو سیستم استفاده می‌کنیم و برای بار خازن در مدار LC خود عبارتی به شکل زیر بر حسب زمان می‌نویسیم:

$$q(t) = q_0 \cos (\omega t + \phi)$$

در این معادله هم عبارتی به شکل $$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$$ داریم که معادل است با فرکانس نوسان مدار یا به‌طور دقیق‌تر فرکانس زاویه‌ای نوسان. جریان این مدار هم با مشتق‌گیری از معادله بار الکتریکی بالا حاصل می‌شود:

$$I(t) = \frac{dq(t)}{dt} \Rightarrow I(t) = \frac{d[q_0 \cos (\omega t + \phi)]}{dt}= - \omega q_0 \sin (\omega t + \phi)$$

در نمودار سینوسی به تصویر کشیده شده، اختلاف فاز یا $$\phi$$ صفر فرض شده است.

مدارهای RLC

در ادامه بررسی انواع مدارهای شامل خاصیت خودالقاوری می‌رسیم به مدارهایی متشکل از هر سه عنصر خازن، مقاومت و سلف. در این مدارها که شماتیکی از اتصال سری اجزای آن را در تصویر زیر ملاحظه می‌کنید، با بسته شدن کلید، خازن تخلیه می‌شود و انرژی الکترومغناطیسی توسط مقاومت با نرخی به‌صورت پراکنده می‌شود. به این ترتیب می‌توانیم معادله تغییرات انرژی با زمان را برای این مدار به شکل زیر داشته باشیم:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{q}{C} \frac{dq}{dt} + LI \frac{dI}{dt}= -I^2R$$

در این معادله جریان و بار الکتریکی هر دو وابسته به زمان هستند. با کاربرد فرمول جریان بر حسب بار، ساده شده عبارت بالا می‌شود:

$$L\frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

معادله به‌دست آمده کاملا با معادله $$m\frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$$ که برای توصیف حرکت یک سیستم جرم و فنر با نوسانات میرا بکار می‌رود، مشابه است. به این ترتیب با بسته شدن کلید در مدار بالا، نوسانات الکترومغناطیسی آغاز می‌شود و با گذشت زمان، نوسانات میرای بار خازن را داریم که به شکل زیر موجب تخلیه بار خازن از مقدار اولیه $$q_0$$ می‌شود:

پاسخ معادله دیفرانسیل بالا با توجه به شباهت آن با سیستم‌های مکانیکی، سه حالت دارد که با توجه به اندازه فرکانس زاویه‌ای حرکت نوسانی تعیین می‌شود. ما در اینجا وارد جزئیات بیشتر نمی‌شویم. با فرض اینکه $$\sqrt{\frac{1}{LC}} > \frac{R}{2L}$$ برقرار است، جواب زیر برای این معادله به‌دست می‌آید:

$$q(t) = q_0 e ^{\frac{-Rt}{2L}} \cos ( \omega' t +\phi )$$

دقت کنید برای اینکه فرکانس زاویه‌ای در این نوع مدار با مدار LC اشتباه نشود، آن را با علامت پریم متمایز کرده‌ایم. مقدار فرکانس برای این نوع نوسان به شکل زیر است:

$$\omega' =\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}$$

بنابراین همان‌طور که در شکل موج سینوسی میرا برای این بخش مشاهده کردید، دامنه نوسان‌ها همزمان با اتلاف انرژی در مقاومت در این مدار کاهش می‌یابد. در ادامه لینک مطلبی از مجله فرادرس برای شما قرار داده شده است که با مطالعه آن می‌توانید با مدارهای RLC موازی نیز آشنا شوید.

حل مثال و تمرین از خودالقاوری

در بخش‌های قبل کاملا یاد گرفتید خودالقاوری چیست و چه فرمول‌هایی دارد. برای اینکه نحوه استفاده از این فرمول‌ها را تمرین کنید و ببینید سوالات مطرح شده در این حوزه به چه صورت است، در این بخش قصد داریم چند مثال متنوع در این زمینه را با هم حل کنیم. در انتها نیز چند سوال چهار گزینه‌ای را به ‌عنوان تمرین برای شما در نظر گرفته‌ایم تا با پاسخ‌دهی به آن‌ها بتوانید میزان یادگیری خود را بیازمایید.

جدول زیر نشان می‌دهد مهم‌ترین فرمول‌های مرتبط با خودالقاوری چیست و پیشنهاد می‌کنیم پیش از شروع، آن را به خاطر بسپارید:

مثال ۱

اگر نیرو محرکه القا شده‌ برای یک پیچه با $$50$$ دور برابر با $$2 \ V$$ اندازه‌گیری شود، به سوالات زیر پاسخ دهید، در صورتی که جریان داخل پیچه به‌صورت یکنواخت از $$0 \ A$$تا $$5 \ A$$ و در مدت $$0.1 \ s$$ زیاد شود:

1. خودالقایی این پیچه چقدر است؟
2. با جریانی به اندازه $$5 \ A$$، شار عبوری از هر دور از سیم‌های این پیچه چقدر است؟

پاسخ

اگر از علامت‌ها صرف‌نظر کنیم، با استفاده از قدرمطلق به معنای در نظر گرفتن اندازه‌ها، برای خودالقاوری این پیچه داریم:

$$L = \frac{|\epsilon|}{ |\frac{dI}{dt}|}$$

اما برای اینکه بتوانیم تغییرات جریان با زمان را در این فرمول محاسبه کنیم، کافی است به شکل زیر عمل کنیم:

$$\frac{dI}{dt} \equiv \frac{\triangle I}{\triangle t} = \frac{ I_2 - I _1}{\triangle t} = \frac{ 5 - 0 }{0.1} = 50 \ \frac{A}{s}$$

$$\Rightarrow L = \frac{|\epsilon|}{ |\frac{dI}{dt}|} = \frac{|2| }{ |50|} = 0.04 \ H$$

برای پاسخ دادن به دومین سوال و با داشتن خودالقاوری این پیچه، کافی است از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$N\phi_m = L I$$

$$\Rightarrow \phi_m = \frac{ L I }{N} = \frac{ 0.04 \times 5}{50} = 0.004 \ Wb$$

مثال ۲

فرض کنید سیم‌لوله‌ای دارید که متشکل است از تعدادی سیم‌حامل جریان و محکم بسته شده با قطر $$0.1 \ cm$$، سطح مقطع $$0.9 \ {cm}^2$$ و طول $$40 \ cm$$. با توجه به این داده‌ها به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. مقدار خودالقاروی چیست؟
2. اگر جریان داخل این سلونوئید از $$10 \ A$$ تا $$0 \ A$$ و به‌صورت یکنواخت در مدت زمان $$0.1 \ s$$ کاهش یابد، نیرو محرکه القایی ایجاد شده بین دو انتهای آن چقدر است؟

پاسخ

در بخش‌های گذشته، فرمول خودالقاوری برای سیم‌لوله را پیدا کردیم:

 $$L = \frac{\mu_0N^2A}{L}$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید برای اینکه بتوانیم از این فرمول استفاده کنیم، باید تعداد دورهای سیم در سیم‌لوله را بدانیم که جزء داده‌های مسئله نیست. برای محاسبه $$N$$ کافی است ابتدا سطح مقطع هر دور سیم یا $$A_i$$ را با توجه به قطر آن پیدا کنیم. سپس سطح مقطع سیم‌لوله را بر این عدد تقسیم کنیم:

$$A_i = \pi R_i^2 \Rightarrow A_i = \pi \times (0.05 \times10^{-2} )^2 = \pi \times 25 \times 10^{-8} \ m^2$$

$$\Rightarrow N = \frac{A} {A_i} =\frac{0.9 \times 10^{-4} \ m^2} {\pi \times 25 \times 10^{-8} \ m^2} = \frac{0.036 \times 10^{4} } {\pi }$$

حالا با استفاده از فرمول بالا می‌توانیم ببینیم مقدار خودالقاوری چیست:

$$\Rightarrow L = \frac{4\pi \times 10^{-7}\times\frac{0.036 \times 10^{4} } {\pi } \times 0.9 \times 10^{-4}}{40 \times 10^{-2}}$$

$$\Rightarrow L = 0.0324 \times10^{-7} \ H$$

در مورد سوال دوم، کافی است فرمول زیر را بنویسیم:

$$\epsilon = - L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow \epsilon = - 0.0324 \times10^{-7} \times ( \frac{0-10}{0.1}) = 0.0324 \times10^{-5} \ V$$

مثال ۳

شار مغناطیسی داخل یک سلونوئید تک دوری را حساب کنید، اگر خودالقاوری آن با عبور جریان $$3 \ A$$، برابر با $$8 \times10^{-5} \ H$$ باشد. اگر این سیم‌لوله $$1000$$ دور سیم با قطر $$1 \ mm$$ داشته باشد، مساحت مقطع آن چقدر است؟

پاسخ

در بخش اول با استفاده از فرمول $$N\phi_m = L I$$ به‌راحتی می‌توانیم شار مغناطیسی را پیدا کنیم:

$$\Rightarrow \phi_m = \frac{LI}{N} = \frac{8 \times10^{-5} \times 3}{1}=24 \times10^{-5} \ Wb$$

در قسمت دوم سوال از ما خواسته شده است مساحت مقطع سیم‌لوله را حساب کنیم. با توجه به مثال قبل برای سطح مقطع هر کدام از سیم‌ها می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

$$A_i = \pi R_i^2 \Rightarrow A_i = \pi \times (0.5 \times10^{-3} )^2 = \pi \times 25 \times 10^{-8} \ m^2$$

$$N = \frac{A} {A_i} \Rightarrow A=NA_i$$

$$\Rightarrow A=NA_i = 1000 \times \pi \times 25 \times 10^{-8} = 78.5\times 10^{-5} \ m^2$$

مثال ۴

فرض کنید دو سیم‌لوله‌ طویل و استوانه‌ای شکل با دو شعاع $$R_1$$ و $$R_2$$ داریم. این پیکربندی در واقع نمایشی از یک کابل هم محور است. ابتدا میدان مغناطیسی ذخیره شده به ازای واحد طول این کابل را پیدا کنید و سپس از این کمیت جهت محاسبه خودالقاوری به ازای واحد طول این کابل استفاده کنید:

پاسخ

برای مشخص کردن میدان مغناطیسی داخل این کابل باید میدان را بین دو استوانه پیدا کنیم که این کار به کمک قانون آمپر انجام‌پذیر است. با در نظر گرفتن یک مسیر دایره‌ای شکل به شعاع $$r$$ مطابق تصویر زیر و در نتیجه تقارن استوانه‌ای، میدان روی این مسیر ثابت است و داریم:

$$\oint B.dl = \mu_0 I$$

$$\oint B.dl = B. 2\pi r = \mu_0 I$$

$$\Rightarrow B 2\pi r = \mu_0 I$$

$$\Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r }$$

اما در نقاط خارج از کابل اگر از قانون آمپر استفاده کنیم، با در نظر گرفتن $$r$$ بزرگتر از $$R_2$$، میدان برابر با صفر می‌شود، چون هیچ جریانی در این نقاط وجود ندارد. همین توجیه برای نقاطی با $$r$$ کوچکتر از $$R_1$$ نیز برقرار است. بنابراین تمام انرژی مغناطیسی ذخیره شده در این کابل بین دو رسانا قرار می‌گیرد. با توجه به فرمول چگالی انرژی، داریم:

$$u_m = \frac{B^2}{2\mu_0 }$$

$$\Rightarrow u_m = \frac{(\frac{\mu_0 I}{2\pi r })^2}{2\mu_0 } = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2}$$

چگالی انرژی بر حسب فاصله $$r$$ به‌دست آمده است. برای محاسبه انرژی لازم است به جای استفاده از فرمول $$U = u_m V$$، با در نظر گرفتن استوانه‌ای هم‌طول با کابل اما با شعاع مقطع $$r$$، ابتدا یک المان حجمی مناسب تعیین کنیم و سپس انتگرال‌گیری خود را انجام دهیم. المان حجم مناسب برای استوانه فرضی با حجم $$V = \pi r^2 L$$ برابر است با:

$$d V = 2\pi r L \ dr$$

 پس انرژی می‌شود:

$$U = \int_{R_1}^{R_2} d U= \int_{R_1}^{R_2} u_m dV = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2} \ 2\pi r L dr$$

$$\Rightarrow U = \frac{\mu_0 I^2 L}{4\pi} \ln\frac{R_2}{R_1}$$

چون انرژی در واحد طول خواسته شده، باید مقدار به دست آمده را بر $$L$$ تقسیم کنیم:

$$\Rightarrow \frac{U}{L} = \frac{\mu_0 I^2 }{4\pi} \ln\frac{R_2}{R_1}$$

در بخش بعدی سوال، باید خودالقاوری به ازای واحد طول را محاسبه کنیم. می‌دانیم رابطه انرژی و خودالقایی به شکل زیر است:

$$U = \frac{1}{2 }LI^2$$

بنابراین اگر خودالقایی در واحد طول را بخواهیم، کافی است طرفین این تساوی را بر $$L$$ تقسیم کنیم:

$$\frac{U}{L} = \frac{1}{2 }\frac{L}{L}I^2$$

$$\Rightarrow \frac{L}{L} =2 \frac{U}{LI^2} = \frac{\mu_0 }{2\pi} \ln\frac{R_2}{R_1}$$

مثال ۵

فرض کنید در مدار زیر با کلید $$S_1$$ بسته و کلید $$S_2$$ باز، مقادیر اولیه‌ای به‌صورت $$\epsilon = 2 \ V$$ و $$R = 4 \ \Omega$$ و $$L = 4 \ H$$ داریم. به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. ثابت زمانی این مدار چیست؟
2. در زمان‌های $$t = 0$$ و $$t = 2 \tau_L$$ و $$t \rightarrow \infty$$، جریان مدار و اندازه emf القایی عبوری از القاگر چقدر است؟
3. حالا بدون در نظر گرفتن مقادیر اولیه داده شده، اگر جریان در این مدار تا $$90 \%$$ مقدار نهایی خود و طی مدت زمان $$5 \ s$$ افزایش یابد، ثابت زمانی القا چقدر می‌شود؟
4. اگر $$R = 20 \ \Omega$$ باشد، با ثابت زمانی جدید مقدار خودالقاوری چیست؟

پاسخ

در مدار داده شده که کاملا در بخش‌های قبل توضیح داده شد، اگر کلید $$S_1$$ بسته و کلید $$S_2$$ باز شود، یک مدار شارژ RL خواهیم داشت که شامل یک منبع emf، یک مقاومت و یک سلف است. چون قبلا نحوه رسیدن به معادله جریان برای این مدار توضیح داده شده است، در اینجا فقط از روابط نهایی استفاده می‌کنیم. برای محاسبه ثابت زمانی کافی است فرمول زیر را بنویسیم:

$$\tau_L = \frac{ L}{R}$$

$$\Rightarrow \tau_L = \frac{ 4 }{4} = 1 \ s$$

در بخش بعدی برای پاسخ‌دهی به سوالات باید ابتدا معادله شارژ جریان را بنویسیم. سپس با قرار دادن هر کدام از زمان‌های خواسته شده، جریان را پیدا کنیم:

$$I(t) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- \frac{ t}{\tau_L}})$$

$$\Rightarrow I(0) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- \frac{ 0}{\tau_L}})= \frac{ \epsilon}{R} (1-1)=0$$

$$\Rightarrow I(2\tau_L) = \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{ \frac{ -2\tau_L}{\tau_L}})=0.5 \ A \times(0.86) = 0.43 \ A$$

$$\Rightarrow I(\infty) = \frac{ \epsilon}{R}(1 - e ^{- \frac{ \infty}{\tau_L}})= \frac{ \epsilon}{R}(1 - 0) =0.5 \ A$$

برای محاسبه emf القایی کافی است از معادله جریان به شکل زیر مشتق‌گیری کنیم. سپس با در نظر گرفتن قدرمطلق در زمان‌های داده شده خواهیم داشت:

$$V(t) = - L \frac{dI}{dt }= -\epsilon e ^{ -\frac{ t}{\tau_L}}$$

$$\Rightarrow |V(0)| =| -\epsilon e^{ -\frac{ 0}{\tau_L}}| = \epsilon$$

$$\Rightarrow |V(2\tau_L)| =| -\epsilon e^{ -\frac{ 2\tau_L}{\tau_L}}| = 0.27 \ V$$

$$\Rightarrow |V(\infty)| =| -\epsilon e^{ -\frac{ \infty}{\tau_L}}| = 0$$

در سوال سوم این مثال، می‌خواهیم ببینیم اگر در بازه زمانی داده شده عبارت $$I(t) = 0.9 \frac{ \epsilon}{R}$$ را داشته باشیم، ثابت زمانی چقدر می‌شود:

$$\Rightarrow \frac{ \epsilon}{R} (1 - e ^{- \frac{ 5}{\tau_L}}) = 0.9 \frac{ \epsilon}{R}$$

$$\Rightarrow \frac{ \epsilon}{R} - \frac{ \epsilon}{R} e ^{- \frac{ 5}{\tau_L}} = 0.9 \frac{ \epsilon}{R}$$

$$\Rightarrow 1 - e ^{- \frac{ 5}{\tau_L}} = 0.9 \Rightarrow 0.1 = e ^{- \frac{ 5}{\tau_L}}$$

$$\Rightarrow 0.1 = e ^{- \frac{ 5}{\tau_L}} \Rightarrow - \frac{ 5}{\tau_L} = \ln (0.1)$$

$$\Rightarrow - \frac{ 5}{\tau_L} =-2.3 \Rightarrow \tau_L = 2.17 \ s$$

برای محاسبه خودالقاوری با این ثابت زمانی جدید، کافی است فرمول ثابت زمانی القا را بنویسیم:

$$\tau_L = \frac{ L}{R}$$

$$\Rightarrow L = \tau_L R = 2.17 \times 20 = 43.4 \ H$$

مثال ۶

اگر خودالقایی و ظرفیت خازنی در یک مدار به ترتیب برابر‌ با $$2 \times 10 ^{-2} \ H$$ و $$8 \times 10 ^{-6} \ F$$ باشند و در $$t=0$$ تمام انرژی این مدار در خازنی با بار $$1.2 \times 10 ^{-5} \ C$$ ذخیره شده باشد، به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. بیشینه جریان عبوری از این مدار چقدر است؟
2. چقدر طول می‌کشد تا این خازن کاملا تخلیه شود؟
3. معادله‌ای را بنویسید که تغییرات بار الکتریکی با زمان را نشان دهد.

پاسخ

در بخش اول برای اینکه ببینیم بیشترین جریان عبوری از این مدار متشکل از خازن و القاگر یا مدار LC چقدر است، کافی است از این واقعیت استفاده کنیم که بیشینه جریان را زمانی خواهیم داشت که تمام انرژی مدار در القاگر ذخیره شود. پس طبق قانون پایستگی انرژی داریم:

$$\frac{1}{2 }LI_0^2 = \frac{1}{2C }q_0^2$$

$$\Rightarrow I_0 =\sqrt{ \frac{1}{LC }}q_0=\omega q_0 = 2.5 \times 10 ^{3 } \times 1.2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-4} \ A$$

برای پاسخ دادن به دومین سوال در حقیقت بهتر است دوره تناوب نوسان این مدار را بررسی کنیم. خازن در یک چهارم دوره کاملا تخلیه می‌شود. پس اگر دوره تناوب نوسان این مدار را بدانیم و آن را بر چهار تقسیم کنیم، بازه زمانی لازم برای تخلیه خازن به‌دست آمده است:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\Rightarrow \frac{T}{4 } = \frac{\pi}{2\omega}= \frac{3.14}{2 \times 2.5 \times 10^3} = 6.3 \times 10^{-4} \ s$$

در سومین سوال معادله تغییرات بار با جریان خواسته شده است که در بخش‌های قبل آن را توضیح دادیم. با توجه به اینکه خازن در زمان صفر کاملا باردار می‌شود، پس $$q(0) = q_0$$. در نتیجه خواهیم داشت:

$$q(t) = q_0 \cos (\omega t + \phi)$$

$$\Rightarrow q(0) = q_0 \cos( 0 + \phi)= q_0 \cos( \phi) = q_0$$

$$\Rightarrow cos( \phi) = 1 \Rightarrow \phi =0$$

این محاسبه به ما نشان داد اختلاف فاز صفر است. پس حالا با قرار دادن مقادیر عددی می‌توانیم معادله بار را به شکل زیر بنویسیم:

$$\Rightarrow q(t) = 1.2 \times10^{-5} \cos (2.5 \times 10^3 t )$$

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

تمرین ۴

یادگیری الکترومغناطیس و مدارهای الکتریکی با فرادرس

پس از اینکه در مقطع متوسطه یاد گرفتید مفهوم خودالقاوری چیست و چگونه بر اساس قوانین الکترومغناطیس ایجاد می‌شود، در سطوح دانشگاهی و در کتاب‌های فیزیک پایه و فیزیک عمومی مجددا این مفهوم و مسائل مرتبط با آن را مطالعه خواهید کرد. به همین منظور در این بخش پیشنهاد می‌کنیم ابتدا مجموعه فیلم‌های آموزش فیزیک پایه و عمومی در فرادرس را مشاهده کنید تا پایه خود را در مبحث مدارهای الکتریکی تقویت کرده باشید:

در مرحله بعد و با توجه به اینکه کاربرد مهم القاگرها در ترکیب با سایر عناصر الکتریکی مانند خازن، مقاومت و ... و در قالب مدارهای الکتریکی مختلف پیچیده‌تر است، پیشنهاد ما این است که اگر دانشجوی رشته‌های تخصصی‌تری مانند الکترونیک یا مهندسی برق هستید، بهتر است به مجموعه آموزش‌های زیر از فرادرس مراجعه کنید:

• مجموعه آموزش الکترومغناطیس – درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
• مجموعه آموزش مدارهای الکتریکی – درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس

کاربردهای خودالقاوری در مدارها

در بخش‌های قبل آموختیم خودالقاوری چیست و چگونه موجب تولید نیرو محرکه القایی می‌شود. در آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس می‌خواهیم با جنبه‌های کاربردی‌تر این خاصیت در مدارها آشنا شویم، برای مثال ببینیم این عنصر در مدار چه شکلی دارد یا در چه مدارهایی از آن استفاده می‌شود. از آنجایی که خودالقاوری با میدان مغناطیسی تولید شده توسط یک جریان همراه است، بنابراین اجازه داریم بگوییم هر نوع پیکربندی رسانایی می‌تواند خودالقاوری ایجاد کند.

برای مثال، علاوه‌بر حلقه سیم، یک سیم مستقیم هم خودالقاوری دارد، همچنان که یک کابل هم‌محور یا Coaxial Cable. کابل‌های هم‌محور در صنایع زیادی مانند ساخت تلویزیون‌ها کاربرد دارند و توانایی این را دارند که سیگنال‌های الکتریکی را با کمترین اعوجاج یا آشفتگی منتقل کنند. این کابل‌ها از دو رسانای استوانه‌ای شکل بلند ساخته می‌شوند که حامل جریان‌اند و در نتیجه خودالقاوری ناشی از این جریان‌ها، ممکن است آثار نامطلوبی در کاربرد ایجاد کند.

گفتیم در مدارهای الکتریکی با توجه به هدفی که داریم، می‌توانیم از عناصر یا قطعات الکترونیکی مختلفی استفاده کنیم. با توجه به موضوع این نوشته، القاگر یا سلف همان قطعه‌ای است که برای ایجاد خاصیت خودالقاوری در مدار استفاده می‌شود. تصویر زیر چند نوع مختلف سلف را نشان می‌دهد که در مدارهای الکتریکی استفاده می‌شوند. برخی از این القاگرها مانند سه مورد بالای تصویر، کپسوله شده هستند و داخل آن‌ها مشخص نیست.

یکی از مرسوم‌ترین کاربردهای خاصیت خودالقاوری این است که به کمک آن می‌توانیم سیگنال‌‌های افزایش ترافیک را از طریق سنسورهای مخصوص این کار دریافت کنیم و در نتیجه چراغ‌های راهنما را بر این اساس تنظیم کنیم. در این فرآیند یک مدار الکتریکی شامل القاگر در جاده و دقیقا در مکانی که اتومبیل‌ در حالت انتظار ممکن است توقف کند، قرار داده می‌شود. بدنه اتومبیل موجب افزایش خودالقاوری می‌شود و در نتیجه با تغییر این ویژگی در مدار، سیگنالی به چراغ‌های راهنما ارسال می‌شود تا رنگ خود را به تناسب تغییر دهند.

یکی دیگر از کاربردهای خودالقاوری در آشکارسازهای فلزی است که در بخش‌ بازرسی امنیتی فرودگاه‌ها استفاده می‌شوند. در این آشکارسازها یک پیچه یا القاگر در یک چارچوب فلزی به مثابه یک فرستنده و گیرنده به‌صورت همزمان عمل می‌کند. در حقیقت سیگنال فرستنده موجب القای یک سیگنال دیگر در گیرنده می‌شود. خاصیت خودالقاوری مدار در این ابزارها ممکن است توسط هر عنصر فلزی دیگری که در مسیر سیگنال‌ها قرار می‌گیرد، تغییر کند و از همین نکته جهت آشکارسازی هر نوع عنصر فلزی در بدن اشخاص در حال عبور از گیت‌ها استفاده می‌شود.