فرمول های انتگرال و انتگرال گیری در یک نگاه با مثال

مبحث انتگرال، یکی از مهم‌ترین مباحثی است که دانش‌آموزان، دانشجویان و متخصصان رشته‌های مختلف، مخصوصا رشته‌های مرتبط با ریاضی و مهندسی با آن سر و کار دارند. فرمول های انتگرال و انتگرال گیری، بسیار گسترده و متنوع هستند. در واقع، برای انتگرال هر یک از انواع تابع در ریاضی، از جمله توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع گنگ، توابع مثلثاتی، توابع معکوس مثلثاتی، توابع نمایی، توابع لگاریتمی، توابع هیپربولیک و غیره، فرمول‌های مخصوص وجود دارد. علاوه بر این، به منظور انتگرال‌گیری از ترکیب توابع نیز می‌توان از روش‌هایی نظیر تغییر متغیر، تفکیک کسر و روش جز به جز استفاده کرد. در این مطلب از مجله فرادرس، تمام فرمول های مهم انتگرال و انتگرال گیری را در قالب یک جدول و یک فایل PDF در اختیار شما قرار می‌دهیم. به علاوه، فرمول‌های مخصوص توابع مختلف را در بخش‌های جداگانه با حل مثال مرور می‌کنیم.

دانلود PDF مهم ترین فرمول های انتگرال گیری

مجله فرادرس، تمام فرمول های مهم انتگرال و انتگرال گیری را در یک فایل PDF جمع‌آوری کرده است. با کلیک بر روی لینک زیر می‌توانید این فایل جامع را دانلود کرده و فرمول‌های موجود در آن را به صورت یکجا مشاهده کنید.

دانلود جدول فرمول‌های انتگرال‌گیری (+ کلیک کنید)

جدول فرمول های مهم انتگرال و انتگرال گیری

پیش از توضیح جزئی فرمول های انتگرال و حل مثال مرتبط با هر یک آن‌ها، مهم‌ترین فرمول های انتگرال گیری را با هم مرور می‌کنیم. این فرمول‌ها در جدول زیر آورده شده‌اند.

توجه داشته باشید که $$C$$، یک ثابت عددی است که در نمایش جواب انتگرال نامعین مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، در مورد هر یک از فرمول‌های بالا صحبت می‌کنیم و به حل مثال در رابطه با آن‌ها می‌پردازیم.

فرمول های انتگرال چند جمله ای

انتگرال یک چندجمله‌ای، برابر با مجموع انتگرال‌های هر یک از عبارت‌های تشکیل‌دهنده آن است. فرم کلی توابع چند‌جمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$f ( x ) = a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰$$

جمله عمومی در این تابع عبارت است از:

$$a x ^ n$$

انتگرال این جمله از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\int a x ^ n d x = a \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C$$

دقت کنید که اگر به جای $$x$$، یک چندجمله‌ای با توان $$n$$ داشته باشیم نیز فرمول انتگرال بالا برای آن صادق خواهد بود:

$$\int { \left ( a x + b \right ) ^ n d x } = \frac { ( a x + b ) ^ { n + ۱ } }{ a ( n + ۱ ) } + C$$

با استفاده از فرمول‌های بالا می‌توانیم انتگرال هر یک از عبارت‌های چندجمله‌ای را تعیین کنیم. به این ترتیب و با جمع تمام انتگرال‌ها، انتگرال چندجمله‌ای مشخص می‌شود:

$$\begin {align*} & \int { \left (a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰ \right ) d x } = \\ & a _ ۱ \int { x ^ n } d x + a _ ۲ \int x ^ { n - ۱ } d x + \ ... \ + a _ ۰ \int ۱ d x\\ & a _ ۱ \frac { x ^ { n + ۱ } } { { n + ۱ } } + a _ ۲ \frac { x ^ { n } } { { n } } + a _ ۳ \frac { x ^ { n - ۱ } } { { n - ۱ } } + \ ... \ + a _ ۰ x + C \end{align*}$$

اگر بازه انتگرال‌گیری مشخص باشد، انتگرال، معین خواهد بود. در این حالت، فرمول انتگرال معین چندجمله‌ای برای جمله عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int _ b ^ c a x ^ n d x = \left .a \frac { x ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } \right | _ b ^ c = a \left [ \frac { c ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } - \frac { b ^ { n + ۱ } } { n + ۱ } \right ]$$

برای تمام عبارت‌های چندجمله‌ای، خواهیم داشت:

$$\begin {align*} & \int _ b ^ c{ \left (a _ ۱ x ^ n + a _ ۲ x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + a _ n x + a _ ۰ \right ) d x } = \\ & \left [ a _ ۱ \frac { x ^ { n + ۱ } } { { n + ۱ } } + a _ ۲ \frac { x ^ { n } } { { n } } + a _ ۳ \frac { x ^ { n - ۱ } } { { n - ۱ } } + \ ... \ + a _ ۰ x \right ] _ b ^ c \end{align*}$$

هنگام استفاده از فرمول انتگرال چندجمله‌ای‌ها، به این نکته توجه کنید که اگر $$n$$ برابر با $$- ۱$$ باشد، فرمول انتگرال‌گیری متفاوت خواهد بود. در بخش‌های بعدی، این حالت خاص را بررسی خواهیم کرد.

مثال ۱: محاسبه انتگرال چند جمله ای

می‌خواهیم انتگرال چندجمله‌ای درجه سه $$۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵$$ را به دست بیاوریم. به این منظور، ابتدا فرم کلی انتگرال مورد نظر را می‌نویسیم:

$$\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x$$

بر اساس قوانین انتگرال‌گیری، انتگرال جمع چند تابع، با مجموع انتگرال‌های هر تابع برابری می‌کند. بنابراین:

$$\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = \int ۴ x ^ ۳ d x - \int ۲ x d x + \int ۵ d x$$

اکنون، هر یک از انتگرال‌های سمت راست رابطه بالا را به طور جداگانه تعیین می‌کنیم. برای این کار، فرمول انتگرال چندجمله‌ای را مورد استفاده قرار می‌دهیم. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int a x ^ n d x = a \frac { x ^ { n + ۱ } }{ n + ۱} + C$$

برای انتگرال اول، داریم:

$$\int a x ^ n d x = \int ۴ x ^ ۳ d x$$

$$a = ۴$$

$$n = ۳$$

$$\int ۴ x ^ ۳ d x = \frac { ۴ x ^ { ۳ + ۱ } }{ ۳ + ۱} + c _ ۱$$

$$\int ۴ x ^ ۳ d x = \frac { ۴ x ^ { ۴ } }{ ۴ } + c _ ۱$$

$$\int ۴ x ^ ۳ d x = x ^ { ۴ } + c _ ۱$$

به همین ترتیب، برای انتگرال دوم، خواهیم داشت:

$$\int a x ^ n d x = \int ۲ x d x$$

$$a = ۲$$

$$n = ۱$$

$$\int ۲ x d x = \frac { ۲ x ^ { ۱ + ۱ } }{ ۱ + ۱} + c _ ۲$$

$$\int ۲ x d x = \frac { ۲ x ^ { ۲ } }{ ۲ } + c _ ۲$$

$$\int ۲ x d x = x ^ { ۲ } + c _ ۲$$

انتگرال سوم را نیز با همین روش حل می‌کنیم:

$$\int a x ^ n d x = \int ۵ d x$$

$$a = ۵$$

$$n = ۰$$

$$\int ۵ d x = \frac { ۵ x ^ { ۰ + ۱ } }{ ۰ + ۱} + c _ ۳$$

$$\int ۵ d x = \frac { ۵ x ^ {۱ } }{ ۱} + c _ ۳$$

$$\int ۵ d x = ۵ x + c _ ۳$$

اکنون، تمام انتگرال‌ها را درون رابطه اصلی قرار می‌دهیم:

$$\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = x ^ { ۴ } - x ^ { ۲ } + ۵ x$$

توجه داشته باشید که نیازی به آوردن ثابت‌های عددی (مانند ثابت $$c _ ۱$$) در جواب نهایی نداریم. برای نمایش نامعین بودن انتگرال، در انتها ثابت $$C$$ را به جواب اضافه می‌کنیم:

$$\int \left ( ۴ x ^ ۳ - ۲ x + ۵ \right ) d x = x ^ { ۴ } - x ^ { ۲ } + ۵ x + C$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع کسری

تابع $$x ^ { - ۱ }$$ را در نظر بگیرید. این تابع را می‌‌توان به صورت کسر زیر نمایش داد:

$$x ^ { - ۱ } = \frac { ۱ } { x }$$

انتگرال تابع بالا، یک یک حالت خاص در انتگرال‌گیری توابع چندجمله‌ای است که با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$\int \frac { ۱ } { x } d x = ln | x | + C$$

تابع $$\frac { ۱ } { x }$$، یک تابع گویا است. فرم کلی‌تر انتگرال این تابع، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int \frac { c } { a x + b } d x = \frac { c } { a } \ln | a x + b | + C$$

به طور کلی، یکی از چالش‌برانگیزترین مسائل در مبحث انتگرال، انتگرال‌گیری از توابع کسری است. در انتگرال‌گیری از توابع کسری، حالت‌های خاص زیادی وجود دارند. به عنوان مثال، فرمول های انتگرال کسری زیر را در نظر بگیرید:

$$\int \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \sin ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C$$

$$\int - \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ - x ^ ۲ } } d x = \cos ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C$$

$$\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ + a ^ ۲} d x = \frac { ۱ } { a } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { x }{ a } \right ) + C$$

$$\int - \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - a ^ ۲ } } d x = \frac { ۱ } { a } \sec ^ { - ۱ } \left ( \frac { | x | }{ a } \right ) + C$$

$$\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ - a ^ ۲ } d x = \frac { ۱ } { ۲ a } \ln \left | \frac { x - a }{ x + a } \right | + C$$

$$\int \frac { ۱ } { \sqrt { x ^ ۲ \pm a ^ ۲ } } d x = \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ \pm a ^ ۲ } \right | + C$$

فرمول‌های بالا، حالت‌های خاص و از مهم‌ترین فرمول های انتگرال کسری به شمار می‌روند. در مجموع، رابطه ثابت و مشخصی را نمی‌توان برای انتگرال‌گیری از توابع کسری معرفی کرد. البته، یکی از روش‌های رایج برای به دست آوردن انتگرال توابع کسری گویا (تقسیم دو تابع چندجمله‌ای)، تفکیک کسر برای تبدیل تابع چندجمله‌ای صورت به یک تابع ثابت و انتگرال‌گیری از عبارت‌های به دست آمده با استفاده فرمول‌ های انتگرال چندجمله‌ای است. این روش را با حل مثال بعد توضیح خواهیم داد.

مثال ۲: انتگرال گیری از تابع کسری گویا

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$\frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx$$

این تابع، یک تابع کسری گویا است. قصد داریم انتگرال این تابع را به دست بیاوریم:

$$\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx }$$

برای حل انتگرال بالا، ابتدا باید کسر را به نحوی تفکیک کنیم که امکان محاسبه جداگانه انتگرال عبارت‌های آن وجود داشته باشد. در اینجا، سعی می‌کنیم با انجام عملیات‌های ریاضی، عبارت‌های مخرج کسر ($$x - ۱$$) را در صورت آن به وجود بیاوریم. اگر صورت را به علاوه و منهای $$۱$$ کنیم، به کسر زیر می‌رسیم:

$$\int { \frac { { x + ۲ + ۱ - ۱ } } { { x - ۱ } } dx }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با اضافه و کم کردن عدد $$۱$$ در صورت کسر، $$x - ۱$$ در آن ظاهر می‌شود:

$$\int { \frac { { x - ۱ + ۳ } } { { x - ۱ } } dx }$$

انتگرال بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\int { \left ( \frac { { x - ۱} } { { x - ۱ } } + \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } \right )dx }$$

$$\int { \left ( ۱ + \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } \right )dx }$$

به این ترتیب، تابع کسری را به نحوی تفکیک کردیم که امکان محاسبه انتگرال هر یک از عبارت‌های آن به طور جداگانه وجود دارد. بنابراین، این انتگرال‌ها را نیز به صورت جداگانه می‌نویسیم:

$$\int { ۱ dx } + \int { \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } d x}$$

می‌دانیم انتگرال اول، برابر با $$x$$ می‌شود:

$$\int { ۱ dx } = x$$

برای به دست آوردن انتگرال دوم، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$\int \frac { c } { a x + b } d x = \frac { c } { a } \ln | a x + b | + C$$

برای این رابطه، پارامترهای زیر را داریم:

$$a = ۱$$

$$b = - ۱$$

$$c = ۳$$

بنابراین:

$$\int { \frac { { ۳ } } { { x - ۱ } } d x} = ۳ \ln | x - ۱ |$$

در نتیجه:

$$\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx } = x + ۳ \ln | x - ۱ |$$

در انتها، برای نمایش نامعین بودن انتگرال، ثابت $$C$$ را به انتهای آن اضافه می‌کنیم:

$$\int { \frac { { x + ۲ } } { { x - ۱ } } dx } = x + ۳ \ln | x - ۱ | + C$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی، از مهم‌ترین توابع ریاضی هستند که در بسیاری از مسائل تئوری و عملی کاربرد دارند. فرمول های انتگرال گیری از توابع اصلی مثلثاتی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\int { \sin ( x ) dx } = - \cos ( x ) + C$$

$$\int { \cos ( x ) dx } = \sin ( x ) + C$$

$$\int { \tan ( x ) dx } = \ln | \sec ( x ) | + C$$

$$\int { \cot ( x ) dx } = \ln | \sin ( x ) | + C$$

$$\int { \sec ( x ) dx } = \ln | \sec ( x ) + \tan ( x ) | + C$$

$$\int { \csc ( x ) dx } = \ln | \cos ( x ) - \cot ( x ) | + C$$

علاوه بر انتگرال‌های بالا، فرمول‌هایی مانند انتگرال‌های زیر نیز وجود دارند که خروجی آن‌ها، برابر با توابع اصلی مثلثاتی است:

$$\int { \sec ^ ۲ ( x ) dx } = \tan ( x ) + C$$

$$\int { \csc ^ ۲ ( x ) dx } = - \cot ( x ) + C$$

$$\int { \left [\sec ( x ) \tan ( x ) \right ] dx } = \sec ( x ) + C$$

$$\int { \left [\csc ( x ) \cot ( x ) \right ] dx } = - \csc ( x ) + C$$

انتگرال و مشتق، دو مفهوم مهم ریاضی هستند که عکس یکدیگر عمل می‌کنند. اگر می‌خواهید بدانید که هر یک از فرمول انتگرال‌های بالا چگونه به دست آمده است، باید فرمول‌های مشتق توابع مثلثاتی آشنا باشید.

فرمول های انتگرال توابع مثلثاتی به موارد معرفی شده محدود نمی‌شوند. در صورت اضافه شدن ضریب، توان یا ترکیب این توابع با توابع دیگر، می‌توان از فرمول‌های دیگر استفاده کرد. به عنوان مثال، انتگرال سینوس را در نظر بگیرید. این انتگرال برابر با منفی کسینوس است:

$$\int { \sin ( x ) dx } = - \cos ( x ) + C$$

اگر یک ضریب به متغیر $$x$$ در تابع سینوس اضافه شود، فرمول انتگرال آن به صورت زیر تغییر می‌کند:

$$\int { \sin ( a x ) dx } = -\frac { ۱ } { a } \cos ( a x ) + C$$

اگر $$\sin ( a x )$$ در $$x$$ ضرب شود، خواهیم داشت:

$$\int x \sin ( a x ) d x = \frac { \sin ( a x ) } { a ^ ۲ } - \frac { x \cos ( a x ) } { a } + C$$

اگر $$\sin ( a x )$$ به توان دو برسد، فرمول انتگرال آن برابر می‌شود با:

$$\int \sin ^ ۲ ( a x ) d x = \frac { x } { ۲ } - \frac { ۱ } { ۴ a } \sin ۲ ( a x ) + C$$

یا

$$\int \sin ^ ۲ ( a x ) d x = \frac { x } { ۲ } - \frac { ۱ } { ۲ a } \sin ( a x ) \cos ( a x ) + C$$

فرمول‌های بسیاری زیادی برای انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی وجود دارد. با این وجود، یادگیری فرمول‌هایی که در این بخش معرفی کردیم به همراه روش تغییر متغیر برای حل انتگرال، بخش قابل‌توجهی از نیازهای دانش‌آموزان را برطرف می‌کند.

مثال ۳: تعیین انتگرال سینوس به توان ۵ با روش تغییر متغیر

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x }$$

برای به دست آوردن جواب این انتگرال، ابتدا باید یکی از روابط مثلثاتی مهم را به خاطر داشته باشید. این رابطه عبارت است از:

$$\cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ { ۲ } ( x ) = ۱$$

رابطه مثلثاتی بالا را بر حسب $$\sin ^ ۲ ( x )$$ بازنویسی می‌کنیم:

$$\sin ^ ۲ ( x ) = ۱ - \cos ^ ۲ ( x )$$

سپس، انتگرال مورد سوال را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

$$\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \sin ^ ۴ ( x ) \sin ( x ) d x } = \int { \left ( \sin ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \sin ( x ) d x }$$

به جای $$\sin ^ ۲ ( x )$$، معادل آن را قرار می‌دهیم:

$$\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \left ( ۱ - \cos ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \sin ( x ) d x }$$

برای حل انتگرال بالا، مجبور به استفاده از تغییر متغیرهای زیر هستیم:

$$u = \cos ( x )$$

اگر از دو طرف $$u$$ بر حسب $$x$$ مشتق بگیریم، خواهیم داشت:

$$\frac { d u } { d x } = \frac { d }{ d x } \cos ( x )$$

مشتق کسینوس برابر با منفی سینوس است. بنابراین:

$$\frac { d u } { d x } = - \sin ( x ) \to \sin ( x ) = - \frac { d u } { d x }$$

بر اساس تغییر متغیرهای بالا، فرمول انتگرال را بازنویسی می‌کنیم:

$$\int { \sin ^ ۵ ( x ) d x } = \int { \left ( ۱ - u ^ ۲ ( x ) \right ) ^ ۲ \frac { d u } { d x } d x }$$

در نتیجه:

$$\begin {align*} \int { { { { \sin } ^ ۵ } x \, d x } } & = - \int { { { { \left( { ۱ - { u ^ ۲ } } \right ) } ^ ۲ } \, d u } } \\ & = - \int { { ۱ - ۲ { u ^ ۲ } + { u ^ ۴ } \, d u } } \\ & = - \left ( { u - \frac { ۲ } { ۳ }{ u ^ ۳ } + \frac { ۱ } { ۵ } { u ^ ۵ } } \right ) + c \\ & = - \cos x + \frac { ۲ } { ۳ } { \cos ^ ۳ } x - \frac { ۱ } { ۵ } { \cos ^۵ } x + c \end {align*}$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع نمایی و لگاریتمی

توابع لگاریتمی و توابع نمایی، از دیگر توابع مهم و پرکاربرد در دنیای ریاضی هستند. از مهم‌ترین فرمول های انتگرال نمایی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$\int { e ^ x d x } = e ^ x + C$$

$$\large ∫ a ^ x \, d x = \dfrac { a ^ x } { \ln a } + C$$

$$\int { e ^ { a x } d x } = \frac { ۱ } { a } e ^ { a x } + C$$

$$\int { e ^ { a x + b } d x } = \frac { ۱ } { a } e ^ { a x + b } + C$$

$$\large \int x e ^ { a x } \, d x = \frac { e ^ { a x } }{a ^ { ۲ }}\left ( a x - ۱ \right ) + C$$

$$\int x ^ m e ^ { a x } d x = \frac { x ^ m e ^ { a x } } { a } - \frac { m } { a } \int x ^ { m - ۱ } e ^ { a x } d x$$

$$\int \frac { ۱ } { x } e ^ { a x } d x = \ln ( x ) + \frac { a x } { ۱ ! } + \frac { a ^ ۲ x ^ ۲ } { ۲ \cdot ۲ ! } + \frac { a ^ ۳ x ^ ۳ } { ۳ \cdot ۳ ! } + \frac { a ^ ۴ x ^ ۴ } { ۴ \cdot ۴ ! } + \, ...$$

$$\int x e ^ { - x ^ ۲ } d x = - \frac { ۱ } { ۲ } e ^ { - x ^ ۲ } + C$$

مهم‌ترین فرمول های انتگرال لگاریتم طبیعی نیز عبارت هستند از:

$$\int \ln ( x ) d x = x \ln ( x ) - x + C$$

$$\int \frac { \ln ( a x ) } { x } d x = \frac { ۱ } { ۲ } ( \ln ( a x ) ) ^۲ + C$$

$$\int \ln ( a x + b ) d x = \frac { a x + b } { a } \ln ( a x + b ) - x + C$$

$$\int \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ \pm b ^ ۲ \right) d x = x \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ \pm b ^ ۲ \right ) + \frac { ۲ b } { a } \tan ^ { - ۱ }\left ( \frac { a x } { b } \right ) - ۲ x + C$$

$$\int \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) d x = x \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) + \frac { ۲ a } { b } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { b x } { a } \right ) - ۲ x + C$$

$$\int \ln \left ( a x ^ ۲ + b x + c \right) d x = \frac { ۱ } { a } \sqrt { ۴ a c - b ^ ۲ } \tan ^ { - ۱ } \left ( \frac { ۲ a x + b } { \sqrt { ۴ a c - b ^ ۲ } } \right ) + C$$

$$\quad - ۲ x + \left ( \frac { b } { ۲ a } + x \right ) \ln \left ( a x ^ ۲ + b x + c \right ) + C$$

$$\int x \ln ( a x + b ) d x = \frac { b } { ۲ a } x - \frac { ۱ } { ۴ } x ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۲ } \left ( x ^ ۲ - \frac { b ^ ۲ } { a ^ ۲ } \right ) \ln ( a x + b ) + C$$

$$\int x \ln \left ( a ^ ۲ - b ^ ۲ x ^ ۲ \right ) d x = - \frac { ۱ } { ۲ } x ^ ۲ + \frac { ۱ } { ۲ } \left ( x ^ ۲ - \frac { a ^ ۲ } { b ^ ۲ } \right ) \ln \left ( a ^ ۲ - b x ^ ۲ \right ) + C$$

اگر پایه لگاریتم برابر با ۱۰ باشد، فرمول انتگرال آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int { \log _ { ۱۰ } ( x ) d x} = x \left ( \log _ { ۱۰ } ( x ) - \log _ { ۱۰ } ( e ) \right ) + C$$

مثال ۴: تعیین انتگرال تابع نمایی

در این مثال، می‌خواهیم جواب انتگرال $$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx }$$ را به دست بیاوریم. برای این کار، می‌توانیم از روش تغییر متغیر استفاده کنیم. برای شروع، توان $$e$$ را برابر با متغیر $$u$$ در نظر می‌گیریم:

$$u = x ^ ۴$$

به این ترتیب، داریم:

$$\frac { d u } { d x } = ۴ x ^ ۳ \to x ^ ۳ d x = \frac { ۱ } { ۴ } d u$$

این تغییر متغیرها را به انتگرال اعمال می‌کنیم:

$$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \int ۲ e ^ u \left ( \frac { ۱ } { ۴ } \right ) d u$$

$$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \int \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ u d u$$

بر اساس قوانین انتگرال‌گیری، می‌توانیم ضریب ثابت را از درون انتگرال بیرون بکشیم:

$$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) \int e ^ u d u$$

می‌دانیم که انتگرال $$e ^ u$$ برابر با خودش می‌شود. بنابراین:

$$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ u + C$$

در نهایت، تغییر متغیر را بازمی‌گردانیم:

$$\int { ۲ x ^ ۳ e ^ { x ^ ۴ } dx } = \left ( \frac { ۱ } { ۲ } \right ) e ^ { x ^ ۴ } + C$$

مهمترین فرمول های انتگرال گیری از توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی، فرمول های انتگرال گیری مختص به خود را دارند. در ادامه، برخی از مهم‌ترین فرمول های انتگرال توابع مثلثاتی را آورده‌ایم:

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C$$

$$\int \cos ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cos ^ { - ۱ } ( x ) - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C$$

$$\int \tan ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \tan ^ { - ۱ } ( x ) - \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left | ۱ + x ^ ۲ \right | + C$$

$$\int \csc ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \csc ^ { - ۱ } ( x ) + \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } \right | + C$$

$$\int \sec ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sec ^ { - ۱ } ( x ) - \ln \left | x + \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } \right | + C$$

$$\int \cot ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \cot ^ { - ۱ } ( x ) + \frac { ۱ } { ۲ } \ln \left | ۱ + x ^ ۲ \right | + C$$

فرمول‌های زیر، انتگرال‌هایی را نمایش می‌دهند که خروجی آن‌ها، یک توابع معکوس مثلثاتی است:

$$\int { \frac { ۱ } { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \sin ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

$$\int { - \frac { ۱ } { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \cos ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

$$\int { \frac { ۱ } { ۱ + x ^ ۲ } } d x = \tan ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

$$\int { - \frac { ۱ } { ۱ + x ^ ۲ } } d x = \cot ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

$$\int { \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } } } d x = \sec ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

$$\int { - \frac { ۱ } { x \sqrt { x ^ ۲ - ۱ } } } d x = \csc ^ { - ۱ } ( x ) + C$$

مثال 5: تعیین انتگرال معکوس مثلثاتی

انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$$\int \frac { ۱ } { x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ }\ dx$$

در ابتدا، شاید تصور کنید که شباهت زیادی بین این انتگرال با انتگرال‌های معکوس مثلثاتی وجود ندارد. با این وجود، می‌خواهیم نشان دهیم که جواب این انتگرال، یک تابع معکوس مثلثاتی از نوع آرک‌تانژانت خواهد بود. برای شروع، مخرج کسر بالا را در نظر بگیرید. این مخرج، معادله درجه دو زیر را نمایش می‌دهد:

$$x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳$$

برای تبدیل این معادله به فرم مورد نظر، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\begin {aligned} x ^ ۲ + b x + c &= \underbrace { x ^ ۲ + bx + \frac { b ^ ۲ } ۴ } _ { ( x + b / ۲ ) ^ ۲ } - \frac { b ^ ۲ } ۴ + c \\ & = \left ( x + \frac b ۲ \right ) ^ ۲ + c - \frac { b ^ ۲ } ۴ \end {aligned}$$

با توجه به این فرمول و معادله درجه دو در این مثال، داریم:

$$b = - ۴$$

$$c = ۱۳$$

$$x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - \frac ۴ ۲ \right ) ^ ۲ + ۱۳ - \frac { ( - ۴ ) ^ ۲ } ۴$$

$$x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۱۳ - ۴$$

$$x ^ ۲ - ۴ x + ۱۳ = \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹$$

به این ترتیب، می‌توانیم انتگرال را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx$$

اگر $$x - ۲$$ را برابر با $$u$$ و عدد $$۳$$ را برابر با $$a$$‌ در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

$$\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx = \int \frac { ۱ } { u ^ ۲ + a ^ ۲ }\ du$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، فرم انتگرال به انتگرال تانژانت معکوس تبدیل شد. فرمول این انتگرال برابر است با:

$$\int \frac { ۱ } { u ^ ۲ + a ^ ۲ }\ du = \frac { ۱ } { a } \tan ^ { - ۱ } ( \frac { u } { a } ) + C$$

در نتیجه:

$$\int \frac { ۱ } { \left ( x - ۲ \right ) ^ ۲ + ۹ }\ dx = \frac { ۱ } { ۳ } \tan ^ { - ۱ } ( \frac { x - ۲ } { ۳ } ) + C$$

فرمول های اصلی انتگرال گیری از توابع هیپربولیک و معکوس هیپربولیک

توابع هیپربولیک و معکوس آن‌ها، از دیگر توابع مهم در مبحث فرمول های انتگرال محسوب مس‌شوند. خروجی فرمول های انتگرال زیر، توابع هیپربولیک هستند:

$$\int { \sinh ( x ) dx } = \cosh ( x ) + C$$

$$\int { \cosh ( x ) dx } = \sinh ( x ) + C$$

$$\int { \text { sech } ^ ۲ ( x ) dx } = \tanh ( x ) + C$$

$$\int { \text { csch } ^ ۲ ( x ) dx } = - \coth ( x ) + C$$

$$\int { \text { sech } ( x ) \text { tanh } ( x ) dx } = - \text { sech } ( x ) + C$$

$$\int { \text { csch } ( x ) \text { coth } ( x ) dx } = - \text { csch } ( x ) + C$$

در فرمول‌های بالا، فرمول انتگرال سینوس و کسینوس هیپربولیک آورده شده‌اند. فرمول انتگرال دیگر توابع هیپربولیک به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int { \tanh ( x ) dx } = \ln \left | \cosh ( x ) \right | + C$$

$$\int { \coth ( x ) dx } = \ln \left | \sinh ( x ) \right | + C$$

$$\int { \text { sech } ( x ) dx } = \tan ^ { - ۱ } ( \sin ( x ) ) + C$$

$$\int { \text { sech } ( x ) dx } = \ln \left ( \tanh \left ( \frac { x }{ ۲ }\right ) \right ) + C$$

فرمول های انتگرال توابع هیپربولیک معکوس عبارت هستند از:

$$\int \sinh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \sinh ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { \sqrt { a ^ ۲ x ^ ۲ + ۱ } } { a } + C$$

$$\int \cosh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \cosh ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { \sqrt { a x + ۱ } \sqrt { a x - ۱ } } { a } + C$$

$$\int \tanh ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \tanh ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { \ln \left ( ۱ - a ^ ۲ x ^ ۲ \right ) } { ۲ a } + C$$

$$\int \coth ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \coth ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { \ln \left ( a ^ ۲ x ^ ۲ - ۱ \right ) } { ۲ a } + C$$

$$\int \operatorname{ sech } ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \operatorname{ sech } ^ { - ۱ } ( a x ) - \frac { ۲ } { a } \tan ^ { - ۱ } \sqrt { \frac { ۱ - a x } { ۱ + a x } } + C$$

$$\int \operatorname{ csch } ^ { - ۱ } ( a x ) d x = x \operatorname{ csch } ^ { - ۱ } ( a x ) + \frac { ۱ } { a } \coth ^ { - ۱ } \sqrt { \frac { ۱ } { a ^ ۲ x ^ ۲ } + ۱ } + C$$

انتگرال‌‌های زیر، فرمول‌هایی را نمایش می‌دهند که در خروجی آن‌ها، توابع اصلی هیپربولیک معکوس ظاهر می‌شود:

$$\int \frac { ۱ } { \sqrt { a ^ ۲ + u ^ ۲ } } d u = \operatorname{ sinh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right) + C \text { where } a > ۰$$

$$\int \frac { ۱ } { \sqrt { u ^ ۲ - a ^ ۲ } } d u = \operatorname { cosh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right ) + C \text { where } u > a > ۰$$

$$\int \frac { ۱ } { a ^ ۲ - u ^ ۲ } d u = \frac { ۱ } { a } \operatorname { tanh } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { if } u ^ ۲ < a ^ ۲$$

$$\int \frac { ۱ } { a ^ ۲ - u ^ ۲ } d u = \frac { ۱ }{ a } \operatorname { coth } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { if } u ^ ۲ > a ^ ۲$$

$$\int \frac { ۱ } { u \sqrt { a ^ ۲ - u ^ ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { a } \operatorname { sech} ^ { - ۱ } \left ( \frac { u }{ a } \right ) + C \text { where } ۰ < u < a$$

$$\int \frac { ۱ } { u \sqrt { a ^ ۲ + u ^ ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { a } \operatorname { csch } ^ { - ۱ } \left ( \frac { u } { a } \right ) + C \text { where } u \neq ۰$$

مثال ۶: تعیین انتگرال هیپربولیک

روش تغییر متغیر، یکی از پرکاربردترین روش‌های حل انتگرال است. در این مثال نیز قصد داریم با استفاده از این روش، انتگرال تابع زیر را به دست بیاوریم:

$$\int \dfrac { ۱ } { ۲ x \sqrt { ۱ − ۹ x ^ ۲ } } d x$$

برای تعیین انتگرال بالا، تغییر متغیرهای زیر را در نظر می‌گیریم:

$$u = ۳ x$$

$$d u = ۳ d x$$

به این ترتیب، داریم:

$$\begin {align*} \int \dfrac { ۱ } { ۲ x \sqrt { ۱ − ۹ x ^ ۲ } } d x & = \dfrac { ۱ } { ۲ }\int \dfrac { ۱ } { u \sqrt { ۱ − u ^ ۲ } } d u \\ & = −\dfrac { ۱ } { ۲ }\text { sech } ^ { − ۱ }| u | + C \\ & = −\dfrac { ۱ } { ۲ } \text { sech } ^ { − ۱ } | ۳ x | + C \end {align*}$$

فرمول های روش های انتگرال گیری از تمام توابع

روش‌های مختلفی برای حل مسائل در مبحث انتگرال وجود دارد. با این وجود، در اغلب موارد، انتگرال‌گیری به روش تغییر متغیر، انتگرال‌گیری به روش تجزیه کسر به کسرهای جزئی و انتگرال‌گیری به روش جز به جز، امکان حل مسئله مورد نظر را فراهم می‌کند.

فرم کلی فرمول انتگرال به روش تغییر متغیر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int { f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x } = \int { f ( u ) d u}$$

فرم کلی فرمول انتگرال به روش تجزیه کسر، عبارت است از:

$$\int { \frac { f ( x ) } { ( x + a ) ( x + b ) } d x } = \int { \left ( \frac { A }{ x + a } + \frac { B }{ x + b } \right ) d x }$$

فرم کلی فرمول انتگرال به روش جز به جز نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

در بخش‌های قبلی، مثال‌هایی از روش تجزیه کسر به کسرهای جزئی (تفکیک کسرها) و روش تغییر متغیر را حل کردیم. در ادامه، با حل یک مثال ساده، نحوه استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز را آموزش می‌دهیم.

مثال ۷: تعیین انتگرال به روش جز به جز

در آخرین مثال از این مطلب مجله فرادرس، قصد داریم خروجی انتگرال زیر را تعیین کنیم:

$$\int { x \cos ( x ) d x }$$

انتگرال بالا، با استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز قابل حل است. برای شروع، فرمول این روش انتگرال‌گیری را می‌نویسیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

بر اساس ساختار فرمول بالا و انتگرال مورد نظر، داریم:

$$f ( x ) = x$$

$$g ' ( x ) = \cos ( x )$$

برای اینکه تمام پارامترهای فرمول انتگرال جز به جز را داشته باشیم، از $$f ( x )$$ مشتق گرفته و از $$g ' ( x )$$ انتگرال می‌گیریم:

$$f ' ( x ) = \frac { d } { d x } x = ۱$$

$$g ( x ) = \int { \cos ( x ) d x } = \sin ( x )$$

اکنون، تمام پارامترهای معلوم را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

$$\begin {aligned} \int { x \cos ( x ) d x } & = x \sin ( x ) - \int { ۱ \sin ( x ) d x} \\ & = x \sin ( x ) - ( - \cos ( x ) ) + C \\ & = x \sin ( x ) + \cos ( x ) + C \end {aligned}$$

سوالات متداول در رابطه با فرمول های انتگرال و انتگرال گیری

در آخرین بخش از این مطلب مجله فرادرس، به برخی از پرتکرارترین سوالات مرتبط با فرمول ها انتگرال و انتگرال گیری به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

مهمترین فرمول های انتگرال چه هستند؟

قوانین انتگرال‌گیری و فرمول‌های انتگرال‌گیری از توابع چندجمله‌ای، کسری، مثلثاتی، معکوس مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و هیپربولیک، از مهم‌ترین فرمول های مبحث انتگرال به شمار می‌روند.

فرمول های انتگرال چند جمله ای چگونه به دست می آیند؟

فرمول‌های انتگرال چندجمله‌ای، از مجموع انتگرال‌های هر یک از عبارت‌های چندجمله‌ای به دست می‌آیند.

مهمترین فرمول های انتگرال مثلثاتی چه هستند؟

انتگرال سینوس برابر با منفی کسینوس، انتگرال کسینوس برابر با سینوس، انتگرال تانژانت برابر با منفی لگاریتم طبیعی کسینوس و انتگرال کتانژانت برابر با لگاریتم طبیعی سینوس است. این فرمول‌ها، اصلی‌ترین فرمول‌های انتگرال مثلثاتی محسوب می‌شوند.

فرمول های انتگرال نامعین چگونه نوشته می شوند؟

در انتهای خروجی فرمول‌های انتگرال نامعین، یک ثابت عددی (C) با دیگر عبارت‌ها جمع می‌شود.

فرمول های انتگرال معین چه هستند؟

اگر بازه انتگرال‌گیری مشخص باشد، فرمول‌های انتگرال‌گیری به صورت معین و بدون ثابت عددی (C) نوشته می‌شوند.

فرمول انتگرال x چیست؟

فرمول انتگرال x برابر با مربع x تقسیم بر ۲ است.

فرمول انتگرال یک تقسیم بر ایکس چیست؟

فرمول انتگرال 1 تقسیم بر x یا x به توان منفی یک برابر با ln(x) است.

فرمول انتگرال ln چیست؟

فرمول انتگرال ln(x) برابر با xln(x)-x است.

فرمول انتگرال e چیست؟

فرمول انتگرال e برابر e است.