مجموعه فازی (Fuzzy Set) – به زبان ساده

مجموعه فازی (Fuzzy Set)

همانطور که می‌دانید، مجموعه، گردایه‌ای از اشیا است. هر یک از اشیا درون مجموعه را یک عضو (Element) می‌نامند. به این ترتیب مشخص است که یک مجموعه با اعضای آن تعیین می‌شود. معمولا مجموعه‌ها را با حروف بزرگ و اعضای آن را با حروف کوچک لاتین نشان می‌دهند.

فیلم آموزش کنترل فعال سازه با ATMD و فازی در فرادرس

کلیک کنید

برای نشان دادن تعلق یک شئ به یک مجموعه از علامت $$\in$$ استفاده می‌کنیم. برای مثال اگر بخواهیم نشان دهید که شئ $$x$$ در مجموعه $$A$$‌ است از عبارت ریاضی زیر کمک می‌گیریم.

$$\large x \in A$$

و می‌خوانیم «$$x$$ در $$A$$‌ است» یا «$$x$$ عضو $$A$$‌ است». همچنین اگر شئ در مجموعه $$A$$‌ نباشد، از عبارت $$x \notin A$$ استفاده می‌کنیم و می‌خوانیم «$$x$$ در مجموعه $$A$$ قرار ندارد» یا «$$x$$ عضو $$A$$‌ نیست». حال فرض کنید برای نشان دادن عضویت یک شئ در مجموعه $$A$$ از یک تابع استفاده کنیم. به این ترتیب اگر تابع نشانگر $$\mu_A(x)$$ بیانگر تعلق شئ $$x$$ به مجموعه $$A$$ باشد، آنگاه خواهیم داشت:

$$\large \mu_A(x)=\begin{cases}1 & x \in A\\0 & x \notin A \end{cases}$$

در این حالت تابع $$\mu_A(x)$$ را تابع عضویت مجموعه $$A$$ می‌نامیم. برای مثال اگر $$A=\{1,3,5,7\}$$ آنگاه مقدار تابع عضویت برای $$x=5$$ برابر با $$\mu_A(5)=1$$ ولی برای $$x=2$$ به صورت $$\mu_A(2)=0$$ است. ولی در منطق فازی، شیوه نمایش تابع عضویت متفاوت است. در ادامه به بررسی تابع عضویت و در نتیجه معرفی مجموعه‌های فازی می‌پردازیم.

مجموعه‌ فازی و تابع عضویت (Fuzzy Set and Membership function)

• اگر $$x$$ شامل مجموعه فازی $$A$$ نباشد، آنگاه $$\mu(x)=0$$. در این حالت $$x$$ عضو $$A$$ نیست.
• اگر $$x$$ به صورت جزئی شامل مجموعه فازی $$A$$ باشد، آنگاه $$0<\mu(x)< 1$$. دراین حالت $$x$$ را عضو فازی می‌گوییم.
• اگر $$x$$ عضو قطعی مجموعه فازی $$A$$ باشد، آنگاه $$\mu(x)=1$$. مشخص است که باز هم در این حالت $$x$$ عضو فازی نامیده می‌شود.

بنابراین به نظر می‌رسد برای مشخص کردن مجموعه فازی $$A$$ باید از دو مولفه استفاده کرد به این معنی که ابتدا عضو و سپس درجه عضویت آن عضو را نام برد. به همین علت مجموعه‌های فازی مثل $$A$$ را به صورت زوج مرتب $$A= (U,\mu)$$ نشان می‌دهند که مولفه اول اعضا و مولفه دوم نیز درجه عضویت را نشان می‌دهد. هنگامی که مجموعه $$U$$ متناهی باشد، معمولا مجموعه فازی $$A$$ را به صورت زیر نشان می‌دهند.

$$\large A=\{\frac{\mu(x_1)}{x_1},\frac{\mu(x_2)}{x_2},\frac{\mu(x_3)}{x_3}, \cdots, \frac{\mu(x_n)}{x_n}\},\;\;\;x_1,x_2\cdots,x_n \in U$$

مشخص است که منظور از کسرها، اعداد کسری نیست.

نکته: گاهی مجموعه فازی را به صورت زیر نیز نشان می‌دهند. باز هم باید دقت شود که منظور از علامت +، جداسازی اعضا از یکدیگر است، همچنین کسرهای نیز به معنی کسر عددی نیستند.

$$\large A=\dfrac{\mu(x_1)}{x_1}+\dfrac{\mu(x_2)}{x_2}+\dfrac{\mu(x_3)}{x_3}+\cdots+\dfrac{\mu(x_n)}{x_n}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\mu(x_i)}{x_i}$$

اگر مجموعه $$U$$ نامتناهی باشد، مجموعه فازی را نامتناهی گویند. در این حالت مجموعه فازی را به جای استفاده از علامت $$\sum$$ با $$\int$$ نشان می‌دهند. برای مثال اگر $$x$$ در فاصله ۰ تا ۲ باشد، آنگاه مجموعه فازی $$A$$ را برحسب تابع عضویت $$\mu(x)$$ به صورت زیر نشان می‌دهند.

$$\large A = \int_x \dfrac{\mu_A(x)}{x}$$

همانطور که می‌بینید در اینجا منظور از $$\int$$ «انتگرال» نیست زیرا اثری از $$dx$$ دیده نمی‌شود.

مجموعه‌ فازی و چند تعریف

فرض کنید $$A=(U,\mu_A)$$ و $$B=(U,\mu_B)$$ دو مجموعه فازی باشند. آنگاه روابط زیر برقرار است.

• اگر درجه عضویت تمام اعضای $$U$$ برای مجموعه فازی $$A$$ برابر با صفر باشد، مجموعه $$A$$ را تهی گویند. البته عکس این رابطه نیز صحیح است. یعنی اگر مجموعه فازی $$A$$ تهی باشد، درجه عضویت همه اعضای $$U$$ در آن برابر با صفر است. به بیان ریاضی خواهیم داشت: $$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=0 \; \iff A=\emptyset$$

فیلم آموزش مکان‌یابی در GIS با عملگرهای فازی در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال اگر مجموعه $$A$$ به صورت زیر باشد، آنگاه تهی خواهد بود:

$$\large \{\frac{0}{x_1},\frac{0}{x_2},\cdots,\frac{0}{x_n}\}$$

• دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ را برابر گویند اگر درجه‌های عضویت آن یکسان باشد. به بیان ریاضی خواهیم داشت: $$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x) \iff A=B$$

• مجموعه فازی $$A$$ زیر مجموعه یا مشمول مجموعه فازی $$B$$ است ($$A \subseteq B$$) اگر درجه عضویت برای همه اعضای مجموعه فازی $$A$$ از $$B$$ کمتر یا مساوی باشد. این گزاره را به زبان ریاضی به صورت $$\forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x) \iff A \subset B$$ می‌نویسیم.
• اگر عضوی از مجموعه فازی $$A$$ مثل $$x$$ وجود داشته باشد که $$\mu(x)=0.5$$ آنگاه $$x$$ را «نقطه گذر» (Crossover) می‌نامند.
• مجموعه اعضای $$U$$ که برای آن‌ها مقدار درجه عضویت در مجموعه فازی A بزرگتر از صفر باشد، تکیه‌گاه (Support) مجموعه $$A$$ نامیده می‌شود. به این ترتیب $$S(A)=\{x \in U; \mu_A(x)>0\}$$
• $$\alpha$$-برش مجموعه $$A$$، که خود یک مجموعه فازی است، شامل اعضایی از مجموعه فازی $$A$$ با درجه عضویت بزرگتر از $$\alpha$$ خواهد بود. این مجموعه را به صورت $$A^{>\alpha}$$ نشان می‌دهند. تعریف ریاضی این مجموعه به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large A^{>\alpha}=\{x \in A, \mu_A \geq \alpha \}, \;\; 0\leq \alpha \leq 1$$

نکته: اگر در تعریف $$\alpha$$-برش، از علامت < (بزرگتر اکید) استفاده کنیم، مجموعه حاصل را مجموعه، «$$\alpha$$-برش قوی» (Strong $$\alpha$$-cut) می‌گویند. با این بیان می‌توان گفت، تکیه‌گاه مجموعه فازی $$A$$، یک $$\alpha$$-برش قوی به ازاء $$\alpha=0$$ است. پس می‌توان نوشت: $$S(A)=Support(A)=A^{>0}=\{x\in U\mid \mu_A(x)>0\}$$.

• منظور از هسته (Kernel) یا (Core) مجموعه فازی $$A$$، زیر مجموعه‌ای از آن است که اعضای آن دارای درجه عضویت ۱ هستند، به این معنی که هسته مجموعه فازی A همان $$\alpha$$-برش مجموعه A به ازای $$\alpha=1$$ است. بیان ریاضی این گزاره به صورت $$kernel(A)=\{x \in U, \mid \mu_A(x) =1\}$$ نوشته می‌شود.
• ارتفاع (Height) مجموعه فازی $$A$$ را سوپریمم (کوچکترین کران بالا) برای درجه عضویت مجموعه $$A$$ می‌نامیم. به این ترتیب خواهیم داشت: $$Hgt(A)=sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in {U}\}=sup_{x\in U}(\mu _{A}(x))$$
• براساس مفهوم ارتفاع، یک مجموعه فازی را نرمال می‌نامند، اگر ارتفاع آن برابر با ۱ باشد. بنابراین مجموعه $$A$$ نرمال است، اگر $$Hgt(A)=1$$.

نکته: اگر حداکثر درجه عضویت (ماکزیمم) یک مجموعه فازی غیر نرمال (زیر نرمال) یعنی