میانگین حسابی هندسی — به زبان ساده

در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، در این آموزش، با «میانگین حسابی هندسی» (Arithmetic-Geometric Mean) یا AGM آشنا می‌شویم و به کاربردهای آن اشاره می‌کنیم.

میانگین حسابی هندسی

دو عدد حقیقی مثبت $$ x $$ و $$ y $$ را در نظر بگیرید. $$ x $$ را $$ a _ 0 $$ و $$ y $$ را $$ g _ 0 $$ می‌نامیم. سپس، دو دنباله مستقل $$ a _ n $$ و $$ g _ n $$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$ \large \begin {align}
a _ { n + 1 } & = \tfrac 1 2 ( a _ n + g _ n ) , \\
g _ { n + 1 } & = \sqrt { a _ n g _ n } \, ,
\end {align} $$

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، ریشه دوم، مقدار اصلی (مثبت) را نتیجه می‌دهد. این دو دنباله به مقدار یکسانی، یعنی میانگین حسابی هندسی $$ x $$ و $$ y $$ همگرا می‌شوند که با $$ M ( x , y ) $$ یا گاهی $$\mathrm {agm} ( x , y ) $$ نشان داده می‌شود.

میانگین حسابی هندسی در الگوریتم‌های سریع برای توابع نمایی و لگاریتمی و همچنین برخی ثابت‌های ریاضی، به ویژه محاسبه $$ \pi$$ مورد استفاده قرار می‌گیرند.

روش محاسبه AGM

گاوس بیان کرد که دنباله‌هایِ

$$ \large \begin {align}
a _ 0 & & g _ 0 \\
a _ 1 & = \frac { a _ 0 + g _ 0 } { 2 } , & g _ 1 & = \sqrt {a _ 0 g _ 0 } \\
a _ 2 & = \frac { a _ 1 + g _ 1 } { 2 } , & g _ 2 & = \sqrt { a _ 1 g _ 1 } \\
& { } \ \ \vdots & & { } \ \ \vdots \\
a _ { N + 1 } & = \frac { a _ N + g _ N } { 2} , & g _ { N + 1 } & = \sqrt { a _ N g _ N }
\end {align} $$

وقتی $$ N\to +\infty$$، حدهای برابر خواهند داشت:

$$ \large \lim _ { N \to \infty } a _ N = \lim _ { N \to \infty } g _ N = M ( a , g ) $$

می‌توان از این واقعیت برای تشکیل الگوریتم‌های سریع برای محاسبه توابع غیرجبری مقدماتی و تعدادی از ثابت‌هاب کلاسیک، به ویژه ثابت $$ \pi$$ بهره برد.

مثال

برای یافتن میانگین حسابی هندسی $$ a _ 0 = 24 $$ و $$ g _ 0 = 6 $$، تکرار زیر را انجام می‌دهیم:

$$ \large \begin {array} {rcccl}
a _ 1 & = & \tfrac 1 2 ( 2 4 + 6 ) & = & 1 5 \\
g _ 1 & = & \sqrt { 2 4 \cdot 6 } & = & 1 2 \\
a _ 2 & = & \tfrac 1 2 ( 1 5 + 1 2 ) & = & 1 3 . 5 \\
g _ 2 & = & \sqrt { 1 5 \cdot 1 2 } & = & 1 3 . 4 1 6 \ 4 0 7 \ 8 6 4 9 \dots \\
& & \vdots & &
\end {array} $$

مقادیر پنج تکرار اول به صورت زیر به دست می‌آیند:

تعداد ارقام $$ a _ n $$ و $$ g _ n $$ که با هم اشتراک دارند (با زیرخط نشان داده شده‌اند) تقریباً در هر تکرار دو برابر می‌شوند. میانگین حسابی هندسی ۲۴ و ۶، حد مشترک این دو دنباله است که تقریباً برابر است با:

$$ \large 13.4581714817256154207668131569743992430538388544 $$

اولین الگوریتم مبتنی بر این دو دنباله را لاگرانژ در کارهای خود ارائه داد. گاوس نیز ویژگی‌های آن‌ها را در آینده تحلیل کرد.

مشخصات میانگین حسابی هندسی

در این بخش، چند ویژگی میانگین حسابی هندسی را بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش مبانی آنالیز عددی – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

نامساوی میانگین‌های حسابی و هندسی

میانگین هندسی دو عدد مثبت، هرگز بزرگ‌تر از میانگین حسابی آن‌ها نخواهد شد (نامساوی میانگین‌های حسابی و هندسی). در نتیجه، برای $$ n > 0 $$ دنباله $$ g _ n $$ یک دنباله صعودی و $$ a _ n $$ یک دنباله نزولی خواهد بود و نامساوی $$ g _ n \le M ( x , y ) \le a _ n $$ برقرار است. اگر $$ x \neq y $$ باشد، این نامساوی‌ها اکید خواهند بود. همچنین اگر $$ r \ge 0 $$ باشد، آنگاه $$ M ( r x , r y ) = r M ( x , y ) $$ است.

یک عبارت به فرم انتگرال برای $$ M ( x , y ) $$ وجود دارد:

$$ \large \begin {align}
M ( x , y ) & = \frac { \pi } { 2 } \div \int _ 0 ^ \frac { \pi }{ 2 } \frac { d \theta } { \sqrt { x ^ 2 \cos ^ 2 \theta + y ^ 2 \sin ^ 2 \theta } } \\
& = \frac { \pi } { 4 } \cdot \frac { x + y } { K \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) } \end {align} $$

که در آن، $$ K ( k ) $$ انتگرال بیضوی کامل نوع اول است:

$$ \large K ( k ) = \int _ 0 ^ \frac { \pi } { 2 } \frac { d \theta } { \sqrt { 1 - k ^ 2 \sin ^ 2 ( \theta ) } } $$

در واقع، از آنجا که فرایند حسابی هندسی بسیار سریع همگرا می‌شود، یک راه مؤثر برای محاسبه انتگرال‌های بیضوی استفاده از این فرمول است. در مهندسی، از این فرمول برای مثال در طراحی فیلتر بیضوی استفاده می‌شود.

ثابت گاوس

وارون میانگین حسابی هندسی ۱ و ریشه دوم ۲ به افتخار کارل فردریش گاوس، «ثابت گاوس» (Gauss's Constant) نامیده می‌شود.

$$ \large \frac { 1 } { M ( 1 , \sqrt { 2 } ) } = G = 0 . 8 3 4 6 2 6 8 \dots $$

میانگین هندسی-همساز و حسابی-همساز

میانگین هندسی-همساز را می‌توان با روش مشابه، با استفاده از دنباله‌های هندسی و همساز محاسبه کرد. میانگین حسابی-همساز نیز به طور مشابه تعریف می‌شود، اما مقدار مشابهی با میانگین هندسی خوهد داشت.

علاوه بر این، میانگین حسابی-هندسی مانند سایر میانگین‌ها، در لگاریتم‌، انتگرال‌های بیضوی کامل و ناقص نوع اول و نوع دوم و توابع بیضوی ژاکوبی کاربرد دارد.

اثبات وجود میانگین حسابی هندسی

با توجه به نامساوی میانگین‌های حسابی و هندسی، داریم:

$$ \large g_n \leq a_n $$

و در نتیجه:

$$ \large g _ { n + 1 } = \sqrt { g _ n \cdot a _ n } \geq \sqrt { g _ n \cdot g _ n } = g _ n $$

که نتیجه می‌دهد دنباله $$ g _ n $$ غیرنزولی است.

علاوه بر این، به سادگی می‌توان دید که کران بالای این میانگین، $$ x $$ یا $$ y $$ (هر کدام بزرگ‌تر باشد) است. این موضوع، نشان دهنده این است که هر دو میانگین هندسی و حسابی، بین دو عدد هستند. بنابراین، با استفاده از «قضیه همگرایی یکنوا» (Monotone Convergence Theorem)، می‌توان گفت که دنباله همگراست. بنابراین، یک $$ g $$ به گونه‌ای وجود دارد که داشته باشیم:

$$ \large \lim _ { n \to \infty } g _ n = g $$

همچنین، می‌توان نوشت:

$$ \large a _ n = \frac { g _ { n + 1 } ^ 2 } { g _ n } $$

و در نتیجه:

$$ \large \lim _ { n \to \infty } a _ n = \lim _ { n \to \infty } \frac { g _ { n + 1 } ^ 2 } { g _ { n } } = \frac { g ^ 2 } { g } = g $$

اثبات فرم انتگرالی

اثبات فرم انتگرالی میانگین حسابی هندسی توسط گاوس ارائه شد. رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large I ( x , y ) = \int _ 0 ^ { \pi / 2 } \frac { d \theta }{ \sqrt { x ^ 2 \cos ^ 2 \theta + y ^ 2 \sin ^ 2 \theta } } , $$

از تغییر متغیر برای $$ \theta ^ \prime $$ استفاده می‌کنیم:

$$ \large \sin \theta = \frac { 2 x \sin \theta' } { ( x +y ) + ( x - y ) \sin ^ 2 \theta' } , $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align}
I ( x , y ) & = \int _ 0 ^ { \pi / 2 } \frac { d \theta' }{ \sqrt { \bigl ( \frac 1 2 ( x + y ) \bigr ) ^ 2 \cos ^ 2 \theta' + \bigl ( \sqrt { x y } \bigr ) ^ 2 \sin ^ 2 \theta' } } \\
& = I \bigl ( \tfrac 1 2 ( x + y ) , \sqrt { x y } \bigr ) .
\end {align} $$

بنابراین، می‌توان نوشت:‌

$$ \large \begin {align}
I ( x , y ) & = I ( a _ 1 , g _ 1 ) = I ( a _ 2 , g _ 2 ) = \cdots \\
& = I \bigl ( M ( x , y ) , M ( x , y ) \bigr ) = \pi / \bigr ( 2 M ( x , y ) \bigl ) .
\end {align} $$

تساوی اخیر از مشاهده $$ I (z , z ) = \pi / ( 2 z ) $$ آمده است.

در نهایت، نتیجه مطلوب را به دست می‌آوریم:

$$ \large M ( x ,y ) = \pi / \bigl ( 2 I ( x , y ) \bigr ) . $$

کاربرد میانگین حسابی هندسی

در این بخش، دو مورد از کاربردهای میانگین حسابی هندسی را بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

کاربرد AGM در محاسبه عدد $$\Large \pi$$

طبق «فرمول گاوس-سالامین» (Gauss–Salamin Formula)، داریم:

$$ \large \pi = \frac { 4 \left ( M ( 1 ; \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ) \right ) ^ 2 } { \displaystyle 1 - \sum _ { j = 1 } ^ \infty 2 ^ { j + 1 } c _ j ^ 2 } $$

که در آن،

$$ \large c _ j = \frac 1 2 \left ( a _ { j - 1 } - b _ { j - 1 } \right ) $$

این عبارت را می‌توان بدون از دست دادن دقت، به صورت زیر به دست آورد:

$$ \large c _ j = \frac { c _ { j - 1 } ^ 2 } { 4 a _ j } . $$

کاربرد AGM در محاسبه انتگرال بیضوی $$ \Large K$$ ($$\Large\sin \alpha$$)

با در نظر گرفتن $$ a _ 0  = 1 $$ و $$ b _ 0 = \cos \alpha $$، میانگین حسابی هندسی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \lim _ { N \to \infty } a _ N = \frac { \pi } { 2 K ( \sin \alpha ) } , $$

که $$ K ( k ) $$ یک انتگرال بیضوی نوع اول است:

$$ \large K ( k ) = \int _ 0 ^ { \pi / 2 } ( 1 - k ^ 2 \sin ^ 2 \theta ) ^ { - 1 / 2 } \, d \theta .$$

این بدین معنی است که $$ K ( k ) $$ را می‌توان با میانگین حسابی هندسی محاسبه کرد:

$$ \large K ( k ) = \frac { \pi } { 2 ~ M ( 1 , \sqrt { 1 - k ^ 2 } ) } . $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضیات عمومی 2
• کسر مسلسل — به زبان ساده
• رابطه بازگشتی — از صفر تا صد
• برازش حداقل مربعات — به زبان ساده

^^