رابطه بین میانگین حسابی، هندسی و همساز

میانگین حسابی

اگر داده‌ها به صورت تصاعد حسابی باشند، «میانگین حسابی» (Arithmetic Mean- AM) با نقطه وسط داده‌ها (میانه) برابر است. به همین علت نام این نوع میانگین را حسابی گذاشته‌اند زیرا با تصاعد حسابی در رابطه است.

همچنین از نظر هندسی میانگین حسابی دو عدد a و b، شعاع دایره‌ای با قطر a+b است. از نظر دیگر میانگین حسابی را می‌توان نقطه‌ای در نظر گرفت که متوسط فاصله نقاط از آن برابر با صفر باشد.

مثال

متوسط فاصله مقدارهای ۱،۴،3،0 از میانگینشان برابر با صفر است. زیرا اگر میانگین را با $$\bar x$$ نشان دهیم، $$\bar x = 2$$ و اگر فاصله از میانگین محاسبه شود، داریم:  2-=2-0، 1=2-3، 2=2-4، 1-=2-1 که مجموعشان برابر با صفر است در نتیجه متوسط فاصله نسبت به میانگین برابر با صفر خواهد شد.

نکته: برای محاسبه فاصله، از تفاضل استفاده شده است.

این موضوع فقط مربوط به مثال ما نیست و این قاعده همیشه صادق است:

متوسط فاصله داده‌ها از میانگینشان برابر با صفر است.

خصوصیات

با افزایش یا کاهش مقدار ثابت از داده‌ها،‌ میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و به همان میزان، افزایش یا کاهش می‌یابد. بنابراین اگر داده‌ها را با x نشان دهیم و y=a+x‌ باشد میانگین y برحسب میانگین x قابل محاسبه است:

$$\bar y = a + \bar x$$

با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین y‌ برحسب میانگین x به صورت زیر خواهد بود.

$$\bar y = b \bar x$$

پس می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس یا مکان روی داده‌ها، میانگین آن‌ها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد. پس اگر y=a+b.x، رابطه بین میانگین x و y‌ به شکل زیر در خواهد آمد:

$$\bar y = a + b \bar x$$

مثال

اگر میانگین وزن ۱۰ نفر برحسب کیلوگرم برابر با ۸۵ باشد، میانگین وزن آن‌ها در زمانی که همگی یک وزنه 5 کیلوگرمی به دست دارند برحسب گرم برابر 90،000 گرم خواهد بود (a = 5000 , b = 1000). در این مثال ۵ کیلوگرم وزنه باعث جابجایی وزن همه افراد شده و تغییر مقیاس از کیلوگرم به گرم باعث تاثیر ضریب ثابت در محاسبه شده است. دقت کنید که میزان افزایش وزن نیز برحسب گرم در نظر گرفته شده است.

توجه

استفاده از میانگین حسابی برای داده‌هایی که به صورت تناوبی هستند، صحیح نیست. برای مثال میانگین دو زاویه ۱ و ۳۵۹ درجه، براساس میانگین حسابی برابر با ۱۸۰ درجه خواهد بود،‌ در حالیکه به دو دلیل این مقدار صحیح نیست:

1. این دو زاویه ممکن است به فرم ۱ و ۱- درجه و یا ۳61 و 719 نیز نوشته شوند که میانگین آن‌ها برابر با ۱۸۰ درجه نخواهد بود.
2. از آنجایی که میانگین به عنوان نقطه‌ای در نظر گرفته می‌شود که فاصله مقدارها حول آن، باید صفر باشد پس ۱۸۰ میانگین مناسبی نیست زیرا هر دو نقطه دارای فاصله ۱۷۹ درجه نسبت به ۱۸۰ درجه هستند.

بنا به دلایل بالا، انتخاب زاویه صفر درجه برای میانگین دو زاویه 1 و ۳۵۹ درجه به جای زوایه ۱۸۰ درجه مناسب به نظر می‌رسد.

میانگین هندسی

اگر داده‌ها به صورت تصاعد هندسی باشند، «میانگین هندسی» (Geometric Mean- GM) آن‌ها با نقطه وسط داده‌ها (میانه)‌ برابر خواهد بود. به همین علت این میانگین را هندسی می‌نامند. برای مثال اگر تصاعد هندسی ما به شکل 2، 4، 8، 16، 32 باشد میانگین هندسی برابر با $$\sqrt[5] {2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32} = 8$$ خواهد بود.

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی – حل تمرین و تست در فرادرس

کلیک کنید

میانگین هندسی مقادیر $$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$$ را می‌توان به کمک میانگین حسابی لگاریتم این مقدارها نیز بدست آورد، زیرا رابطه‌ زیر بین میانگین هندسی و میانگین حسابی وجود دارد.