کتانژانت چیست و چگونه بدست می آید؟ + جدول کتانژانت تمام زاویه ها

کتانژانت، در کنار سینوس، کسینوس و تانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی مهم است که کاربرد فراوانی در ریاضی و هندسه دارد. در این آموزش از مجله فرادرس،‌ با کتانژانت آشنا می‌شویم و موضوعات مختلف مربوط به آن را بررسی خواهیم کرد.

کتانژانت چیست؟

«کتانژانت» معادل واژه فرانسوی "Cotangente" است که فرهنگستان زبان و ادبیات فارسی آن را این‌گونه تعریف کرده است: «اگر زاویه‌ای در نظر بگیریم که رأس آن در مبدأ یک دستگاه مختصات قائم در صفحه و ضلع اول آن منطبق بر قسمت مثبت محور X باشد، کتانژانت آن زاویه عبارت است از طول هر نقطه واقع بر ضلع دوم زاویه به‌جز رأس، تقسیم بر طولِ ناصفر آن نقطه.»

کتانژانت یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که عکس تانژانت است؛ بدین معنا که حاصل‌ضرب تانژانت در کتانژانت یک زاویه برابر با یک است:

$$\large \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$$

مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

در این مثلث قائم‌الزاویه، کتانژانت زاویه $$\theta$$ با نسبت ضلع مجاور زاویه ($$a$$) به ضلع مقابل زاویه ($$b$$) تعریف می‌شود:

کتانژانت، مانند سایر توابع مثلثاتی، معمولاً به‌اختصار به نوشته می‌شود که رایج‌ترین آن‌ها $$\cot$$ است.

کتانژانت و دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی دایره‌ای است که مرکز آن روی مبدأ دستگاه مختصات و شعاع آن برابر با واحد (یک) است. زاویه‌های مختلف، از ۰ تا ۳۶۰ درجه، را می‌توان به‌سادگی روی محیط این دایره مشخص کرد. بدین صورت که یک نقطه را روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم، سپس آن نقطه را به مبدأ مختصات وصل می‌کنیم. همچنین، یک عمود به محور افقی از آن نقطه رسم می‌کنیم. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد. کتانژانت زاویه $$\theta$$ در شکل زیر، برابر خوهد بود با:

$$\large \cot \theta = \frac x y$$

بسته به اینکه نقطه در کدام ربع باشد، کتانژانت می‌تواند منفی یا مثبت شود یا مقدارش از یک کوچک‌تر یا بزرگ‌تر باشد. وقتی یکی از دو پارامتر $$x$$ و $$y$$ منفی باشند، آنگاه کتانژانت نیز منفی خواهد بود. زیرا کتانژانت برابر با نسبت $$\frac x y$$ است. شکل زیر نشان می‌دهد که کتانژانت در کدام ربع‌ها مثبت و در کدام ربع‌ها منفی است.

جدول کتانژانت زاویه‌های مختلف

در بخش قبل، با تعریف کتانژانت در دایره مثلثاتی آشنا شدیم. برخی زوایای مهم در دایره مثلثاتی هستند که از بر بودن کتانژانت آن‌ها در کاربردهای مختلف کارساز خواهد بود. جدول زیر، مقدار کتانژانت زاویه‌های رایج و مهم را نشان می‌دهد.

محاسبه این مقادیر از روی شکل کار آسانی است. برای مثال، زاویه ۴۵ درجه را درنظر بگیرید. در این زاویه، ضلع مجاور و مقابلی که نسبت به آن تشکیل می‌شوند، برابرند و به همین دلیل مقدار کتانژانت برابر با ۱ است.

تابع کتانژانت

تابع کتانژانت، تابعی به‌صورت $$y = f ( x ) = \cot (x )$$ است که در آن، ورودی $$x$$ و خروجی تابع $$y$$ است.

تابع کتانژانت فرد است یا زوج؟

برای بررسی فرد یا زوج بودن تابع کتانژانت، می‌توانیم از تعریف آن استفاده کنیم. با استفاده از تعریف کتانژانت می‌توانیم تعیین کنیم که کتانژانت یک تابع فرد است یا زوج:

$$\large \cot (-x ) = \frac {\cos (-x)}{\sin (-x)}=\frac {\cos x}{-sin x} = -frac{\cos x }{\sin x} =-cot x$$

بنابراین، کتانژانت یک تابع فرد است.

دامنه و برد تابع کتانژانت

همان‌طور که از جدول کتانژانت قابل مشاهده است، این تابع در مضرب‌های صحیح $$\pi$$ تعریف نمی‌شود، زیرا طبق تعریف هندسی، در این حالت، طول ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه یا همان ضلع مقابل صفر است و تعریف عدد بر صفر تعریف‌نشده است. بنابراین، دامنه $$\cot x$$ همه اعداد حقیقی هستند، جز مضرب‌های صحیح $$\pi$$. اما، برد تابع کتانژانت شامل تمام اعداد حقیقی است، زیرا مقدار $$\cot x$$ از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت تغییر می‌کند. نمودر کتانژانت که در ادامه آن را نشان می‌دهیم، این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

بنابراین، به‌طور خلاصه، می‌توان گفت:

• دامنه تابع کتانژانت $$\mathbb{R} - {k \pi }$$ است که در آن، $$k$$ یک عدد صحیح است.
• برد تابع تانژانت $$\mathbb{R}$$ است که در آن $$\mathbb{R}$$ مجموعه اعداد حقیقی است.

برای آشنایی بیشتر با دامنه و برد، به آموزش «دامنه و برد تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

این نکات به ما کمک می‌کنند تا نمودار را ترسیم کنیم، اما باید تعیین کنیم که نمودار در جایی که تعریف نشده است چگونه رفتار می‌کند.

رسم تابع کتانژانت

دوره تناوب تابع ;تانژانت $$\pi$$ است، زیرا نمودار در فواصل $$kpi$$ که $$k$$ عددی ثابت است تکرار می‌شود. اگر تابع کتانژانت از $$0$$ تا $$\pi$$ را رسم کنیم، می‌توانیم رفتار آن را در یک دوره کامل ببینیم. اگر به هر بازه بزرگ‌تری نگاه کنیم، خواهیم دید که ویژگی‌های نمودار تکرار می‌شوند.

می‌توانیم رفتار گرافیکی تابع کتانژانت را با بررسی مقادیر برخی از زوایای خاص، همان‌طور که در جدول بالا فهرست شده است، تحلیل کنیم. برای مثال، در نقطه $$x = \frac \pi 4=\frac {3.14}{4}=0.785$$ مقدار تابع برابر است با $$y = 1$$. دقت کنید که برای محاسبه، عدد پی ($$\pi$$) را همان مقدار معروف $$3.14$$ درنظر بگیرید.

تابع تانژانت در نقاط $$x=kpi$$ دارای مجانب قائم است، یعنی تابع در این نقاط تعریف‌نشده است. برای آشنایی بیشتر با مجانب، به آموزش «مجانب تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

مشتق تابع کتانژانت

اتحادی که سه تابع $$\sin x$$، $$\cos x$$ و $$\cot x$$ را به هم ربط می‌دهد به صورت زیر است:

$$\large \cot x = \dfrac { \cos x } { \sin x }$$

اکنون از قاعده خارج قسمت برای مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم:

$$\large { \dfrac { d } { d x } \cot x = \dfrac { d } { d x } ( \dfrac { \cos x } { \sin x } ) = \dfrac { { ( \dfrac { d } { d x } \cos x ) } { \sin x } - \cos x ( \dfrac { d } { d x } \sin x ) }{ \sin ^ 2 x } }$$

حال، از دو فرمول $$\dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x$$ و $$\dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x$$ استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large { \dfrac { d } { d x } \cot x = \dfrac { { - \sin x \sin x } - \cos x \cos x } { \sin ^ 2 x } }$$

و با ساده‌سازی، داریم:

$$\large { = - \dfrac { \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x } { \sin ^ 2 x } = - \dfrac { 1 } { \sin ^ 2 x } = - \csc ^ 2 x }$$

عبارت $$\csc$$ نشان‌دهنده کسکانت است. کسکانت عکس سینوس است.

یک راه دیگر محاسبه کتانژانت استفاده از مشتق تابع تانژانت و قاعده زنجیره‌ای است:

$$\large \begin {align*} require {cancel} { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } & = \left ( { \frac { 1 } { { \tan x } } } \right ) ^ \prime = { – \frac { 1 } { { { { \tan } ^ 2 } x } } \cdot { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } } \ & = { – \frac { 1 } { { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { – \frac { cancel { { { \cos } ^ 2 } x } }{ { { { \sin } ^ 2 } x \cdot cancel { { { \cos } ^ 2 } x } } } } = { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } }. } \end {align*}$$

انتگرال کتانژانت

می‌خواهیم انتگرال تابع $$\cot(x)$$ را محاسبه کنیم. ابتدا تعریف تابع کتانژانت را می‌نویسیم که نسبت کسینوس است به سینوس:

$$\large \cot ( x ) = \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) }$$

بنابراین، انتگرال کتانژانت به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large \int \cot ( x ) \, d x = \int \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \, d x \, .$$

با انتخاب $$u = \sin(x)$$، که تساوی دیفرانسیلی $$d u = \cos (x)$$‌ را نتیجه می‌دهد، می‌توان نتیجه انتگرال را به‌صورت زیر به‌دست آورد:

$$\large \int \frac { \cos ( x ) } { \sin ( x ) } \, d x = \int \frac { 1 } { u } \, d u = \log ( u ) + C = \log ( \sin ( x ) ) + C$$

فرمول‌‌های کتانژانت

فرمول‌های تانژانت را می‌توان از فرمول‌های مشابه شامل سینوس و کسینوس استخراج کرد. در ادامه، مهم‌ترین این فرمول‌ها را معرفی می‌کنیم.

فرمول کتانژانت جمع و تفریق دو زاویه

فرمول کتانژانت جمع و تفریق دو زاویه به‌صورت زیر است:

$$\large \begin {aligned} \cot ( A + B ) & =\frac { \cot A \times \cot B - 1 } { \cot A + \cot B } \ \cot ( A - B ) & = \frac { \cot A \times \cot B + 1 } { \cot B - \cot B } \end {aligned}$$

اثبات مورد اول، بدین شکل است:

$$\large \begin {aligned} \cot ( A + B ) = \frac { \cos ( A + B ) } { \sin ( A + B ) } & = \frac { \cos A \cos B - \sin A \sin B } { \sin A \cos B + \sin B \cos A } \ & = \frac { \sin A \sin B ( \cot A \cot B - 1 ) } { \sin A \cos B + \sin B \cos A } \ & = \frac { \cot A \cot B - 1 } { \cot A + \cot B } \end {aligned}$$

فرمول دوم (تفاضل) نیز با کمک فرمول اول قابل اثبات است:

$$\large \begin {align} \cot \left ( { A - B } \right ) & = \frac { { \cot A \cot \left ( { - B } \right) - 1 } } { { \cot A + \cot \left ( { - B } \right ) } } \ & = \frac { { - \cot B \cot B - 1 } } { { \cot A - \cot B } } \ & = \frac { { \cot A \cot B + 1 } } { { \cot B - \cot A } } \end{align}$$

فرمول کتانژانت دو برابر زاویه

فرمول کتانژانت دو برابر زاویه را می‌توان از فرمول کتانژانت جمع دو زاویه به‌صورت زیر به‌دست آورد:

$$\large \cot 2 A = \frac { \cot ^ { 2 } A - 1 } { \cot A }$$

فرمول کتانژانت سه برابر زاویه

فرمول کتانژانت سه برابر زاویه به‌شکل زیر است:

$$\large \cot 3 A = \frac { 3 \cot 3 A - \tan 3 A } { 3 \cot ^ { 2 } A - 1 }$$

رابطه کتانژانت با سایر نسبت‌های مثلثاتی

در این بخش، فرمول‌های محاسبه کتانژانت را با سایر نسبت‌های مثلثاتی بیان می‌کنیم. دقت کنید که مثبت یامنفی بودن مقدار به این بستگی دارد که زاویه در کدام ربع باشد (همان‌ شکلی که در ابتدای متن مشاهده کردید).

کتانژانت و سینوس

با داشتن سینوس یک زاویه، می‌توان کتانژانت‌ آن را با فرمول زیر محاسبه کرد:

$$\large \cot \alpha = \pm \frac { \sqrt { 1 -operatorname {\sin} ^ { 2 } \alpha } } { \operatorname {\sin} \alpha }$$

کتانژانت و کسینوس

اگر کسینوس را داشته باشیم، کتانژانت به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large \cot \alpha=\pm \frac { \cos \alpha } { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \alpha } }$$

کتانژانت و تانژانت

همان‌طور که قبلاً هم گفتیم، کتانژانت برعکس تانژانت است:

$$\large \cot \alpha = \frac { 1 } { \tan \alpha }$$

کتانژانت و سکانت

با داشتن سکانت یک زاویه، کتانژانت‌ این‌گونه محاسبه می‌شود:

$$\large \cot \alpha = \pm \frac { 1 } { \sqrt { \sec ^ { 2 } \alpha - 1 } }$$

کتانژانت و کسکانت

رابطه کتانژانت و کسکانت به‌صورت زیر است:

$$\large \cot \alpha = \pm \sqrt { \csc ^ { 2 } \alpha - 1 }$$

مثال‌های کتانژانت

در این بخش، چند مثال را از مبحث کتانژانت بررسی می‌کنیم.

مثال اول کتانژانت

کتانژانت $$15^circ$$ را محاسبه کنید.

حل: از جدول بالا، مقادیر کتانژانت ۴۵ و ۳۰ درجه را می‌دانیم. از فرمول تفاضل بالا استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align} \cot { 15 ^ \circ} &= \cot \left ( { { { 4 5 } ^ \circ } - { { 3 0 } ^ \circ } } \right ) = \frac { { \cot { { 4 5 } ^ \circ } \cot { { 3 0 } ^ \circ } + 1 } } { { \cot { { 3 0 } ^ \circ } - \cot {{45}^circ}}} \ &= \frac{{1 \cdot \sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac { { \sqrt 3 + 1 } } { { \sqrt 3 - 1 } } = \frac { { { { \left ( { \sqrt 3 + 1 } \right ) } ^ 2 } }} { { \left ( { \sqrt 3 - 1 } \right ) \left ( { \sqrt 3 + 1 } \right ) } } \ &= \frac { { 3 + 2 \sqrt 3 + 1 } } { { 3 - 1 } } = \frac { { 4 + 2 \sqrt 3 } } { 2 } = 2 + \sqrt 3 \end {align}$$

مثال دوم کتانژانت

اگر $$\cot A = 2$$ باشد، مقدار $$\sin A$$ را به دست آورید.

حل: از اتحاد معروف فیثاغورس استفاده می‌کنیم:

$$\large \sin ^ { 2 } A + \cos ^ { 2 } A = 1$$

با تقسیم رابطه بالا بر $$\sin ^ 2 A$$، داریم:

$$\large \frac { \sin ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } + \frac { \cos ^ { 2 } A } { \sin ^ { 2 } A } = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A }$$

$$\large 1 + \cot ^ { 2 } A = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A }$$

از آنجایی که $$\cot A = 2$$، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {aligned} 1 + 2 ^ { 2 } & = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } \ 5 & = \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } A } \ \sin ^ { 2 } A & = \frac { 1 } { 5 } \ \sin A & = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } \end {aligned}$$

مثال سوم کتانژانت

فرض کنید $$\alpha + \beta + \gamma = 90 ^ \circ$$ که در آن، $$\alpha$$، $$\beta$$ و $$\gamma$$ زاویه‌هایی حاده هستند. ثابت کنید: $$\cot \alpha \cot \beta \cot \gamma = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma$$.

حل: با استفاده از اطلاعات مسئله رابطه $$\gamma = 90 ^ \circ - (\beta + \alpha)$$ و در نتیجه، $$\cot \gamma = \cot ( 90 ^ \circ - (\beta + \alpha))$$ را داریم. همچنین، اتحاد $$\cot ( 90 ^ \circ - (\beta + \alpha)) = \tan (\beta + \alpha)$$ را می‌دانیم.

با در نظر گرفتن این موارد، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {aligned} & \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma = \frac { 1 } { \tan \alpha } + \frac { 1 } { \tan \beta } + \tan ( \alpha + \beta ) = \frac { 1 } { \tan \alpha } + \frac { 1 } { \tan \beta } + \frac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \tan \beta } \ & = \frac { \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } + \frac { \tan \alpha ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } + \frac { \tan \alpha \tan \beta ( \tan \alpha + \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } \ & = \frac { \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) + \tan \alpha ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) + \tan \alpha \tan \beta ( \tan \alpha + \tan \beta ) } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } \ & = \frac { \tan \beta - \tan \alpha \tan ^ { 2 } \beta + \tan \alpha - \tan ^ { 2 } \alpha \tan \beta + \tan ^ { 2 } \alpha \tan \beta + \tan \alpha \tan ^ { 2 } \beta } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } \ & = \frac { \tan \beta + \tan \alpha } { \tan \alpha \tan \beta ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \frac { \tan \beta + \tan \alpha }{ ( 1 - \tan \alpha \tan \beta ) } = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \tan ( \alpha + \beta ) \ & = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \cot \left ( 9 0 ^ { \circ } - ( \alpha + \beta ) \right ) = \frac { 1 } { \tan \alpha } \cdot \frac { 1 } { \tan \beta } \cdot \cot \gamma = \cot \alpha \cot \beta \cot \gamma \end {aligned}$$

معرفی فیلم آموزش حسابان ۲ - پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک

آموزش حسابان ۲ - پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در ۹ ساعت و ۵۱ دقیقه و در قالب ۵ درس تهیه و تدوین شده است. درس یکم درباره تابع (تبدیل نمودار توابع، تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم)‌ است. در درس دوم به مثلثات (تناوب و تانژانت، معادلات مثلثاتی) پرداخته شده است. درس سوم به حد‌های نامتناهی و حد در بی‌نهایت اختصاص یافته است. درس چهارم درباره مشتق (آشنایی با مفهوم مشتق، مشتق‌پذیری و پیوستگی، آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر) است. در نهایت، در درس پنجم به کاربردهای مشتق (اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی، جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه عطف آن و رسم نمودار تابع) پرداخته شده است.

• برای مشاهده معرفی فیلم آموزش حسابان ۲ - پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک + اینجا کلیک کنید.

آموزش ریاضی ۳ — پایه دوازدهم علوم تجربی

یکی دیگر از آموزش‌های دوره دبیرستان فرادرس که در آن‌ مثلثات نیز معرفی شده است، آموزش ریاضی ۳ — پایه دوازدهم علوم تجربی است که در ۱۳ ساعت و ۱۸ دقیقه و در قالب ۷ فصل تهیه و تدوین شده است. در فصل یکم به تابع (توابع چندجمله‌ای، توابع صعودی و نزولی، ترکیب توابع، تابع وارون) پرداخته شده است. موضوع فصل دوم مثلثات (تناوب و تانژانت، معادلات مثلثاتی) است. در فصل سوم به حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت پرداخته شده است. موضوع فصل چهارم مشتق (آشنایی با مفهوم مشتق، مشتق‌پذیری و پیوستگی، آهنگ تغییر، کاربرد مشتق،‌ اکسترمم‌های تابع و بهینه‌سازی)‌ است. در فصل ششم مطالبی درباره هندسه (تفکر تجسمی و آشنایی با مقاطع مخروطی،‌ دایره) بیان شده است. در نهایت، در فصل هفتم به قانون احتمال کل پرداخته شده است.

• برای مشاهده آموزش ریاضی ۳ — پایه دوازدهم علوم تجربی + اینجا کلیک کنید.

جمع‌بندی

در این آموزش از مجله فرادرس، با کتانژانت آشنا شدیم. همچنین، جدول کتانژانت زوایای مختلف را ارائه و ویژگی‌های تابع کتانژانت را بررسی کردیم. در نهایت، به حل چند مثال پرداختیم.