رسم تابع — با مثال های حل شده

در این آموزش، روش و الگوریتم نظام‌مند رسم توابع مختلف را ارائه می‌کنیم. چند مثال مختلف نیز برای درک بهتر رسم تابع ارائه شده است.

رسم تابع

گام‌های کلی رسم نمودار تابع $$y = f (x )$$ به صورت زیر است:

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

1. دامنه تابع، نقاط ناپیوستگی و مجانب‌های قائم (در صورت وجود) را تعیین کنید.
2. زوج و فرد یا متناوب بودن تابع را مشخص کنید.
3. مجانب‌های مایل و افقی تابع را به دست آورید.
4. نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را تعیین کنید که در آن، تابع یک علامت ثابت ($$f (x)>0$$ یا $$f (x ) < 0$$) دارد.
5. مشتق اول ($$f’\left( x \right)$$)، نقاط اکسترمم و بازه‌های صعودی یا نزولی بودن تابع را محاسبه کنید.
6. مشتق دوم ($$f ^ {\prime \prime} (x)$$)، نقاط عطف و بازه‌های مقعر یا محدب بودن تابع را تعیین کنید.
7. نمودار تابع را رسم کنید.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌های متنوعی را برای رسم نمودار توابع بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$\large y = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x$$

حل: تابع در همه $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده است. در نتیجه، این تابع مجانب قائم ندارد. وجود مجانب مایل را با محاسبه شیب تابع بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } } { x } }\\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = + \infty . } \end {align*}$$

در نتیجه، تابع مجانب مایل نیز ندارد. اکنون نقاط برخورد نمودار را با محورهای مختصات تعیین می‌کنیم:

$$\large y\left( 0 \right) = 0$$

در ادامه، معادله زیر را حل می‌کنیم:

$$\large {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0$$

جواب‌های این معادله به صورت زیر هستند:

$$\large { x \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = 1 , \; { x _ 3 } = 2 }$$

بازه‌هایی را که در آن‌ها تابع مثبت یا منفی است، می‌توان با حل نامساوی‌های زیر تعیین کرد (شکل 1 (الف)):

$$\large { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x > 0 , \; \; } \Rightarrow { x \left ( { x – 1 } \right ) \left ( { x – 2 } \right ) > 0 . }$$

مشتق اول تابع برابر است با:

$$\large { y ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } \right ) ^ \prime } } = { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 . }$$

نقاط اکسترمم یا مانای تابع، با صفر قرار دادن مشق اول آن به دست می‌آیند:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 6 } } = { 1 \pm \sqrt 3 \approx 0.42 ; \; 1.58.} \end {align*}$$

وقتی از نقطه $$x = 1 – {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ می‌گذریم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند (شکل 1 (الف)). بنابراین، این نقطه، نقطه ماکزیمم است. به طور مشابه، می‌توان گفت که $$x = 1 + {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ نقطه مینیمم است. مقدار تقریبی تابع در نقاط ماکزیمم و مینیمم برابر است با:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel}<br /> y \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) &<br /> = { { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } }<br /> – { 3 { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> + { 2 \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) }<br /> \\ & = { 1 – 3 \cdot \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { 3 \cdot { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> – { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } } \\ &<br /> \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – { 3 \left [ { 1 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] }<br /> + { 2 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \cancel { 1 } – \sqrt 3 + \cancel { 1 } }<br /> – { \frac { { \sqrt 3 } } { 9 } – \cancel { 3 } }<br /> + { 2 \sqrt 3 – \cancel { 1 } + \cancel { 2 } }<br /> – { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \frac { { 9 \sqrt 3 – \sqrt 3 – 6 \sqrt 3 } } { 9 } }<br /> = { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx 0.38 ; }<br /> \end {align*} $$

به طریق مشابه، داریم:

$$\large { y \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } = -{ \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx -0.38 . }$$

بنابراین، تابع یک ماکزیمم محلی در نقطه زیر دارد:

$$\large \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 0 .42 ; \; 0.38 } \right ) .$$

به همین ترتیب، نقطه زیر یک مینیمم محلی برای تابع است:

$$\large \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , - \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 1 .5 8 ; \; - 0. 3 8 } \right)$$

بازه‌های صعودی و نزولی بودن تابع، در شکل ۱ (الف) نشان داده شده‌اند.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:‌

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 } \right ) ^ \prime } = { 6 x – 6 ; } \\ y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 6 x – 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 1 . } \end {align*}$$

اگر $$x \le 1$$، تابع محدب رو به بالا است و اگر $$x \ge 1$$، محدب رو به پایین خواهد بود. بنابراین، $$x = 1$$ یک نقطه عطف است. در این نقطه داریم:

$$\large y \left ( 1 \right ) = { 1 ^ 3 } – 3 \cdot { 1 ^ 2 } + 2 \cdot 1 = 0 .$$

جدول زیر، خلاصه اطلاعات مربوط به تابع را نشان می‌دهد.

با اطلاعاتی که به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار تابع را رسم کنیم (شکل ۱ (ب)).

مثال ۲

نمودار تابع زیر را رسم کنید: