تجزیه اعداد — به زبان ساده

در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، در این آموزش درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث خواهیم کرد. فرهنگستان زبان و ادبیات فارسی، برای دو واژه انگلیسی Factor و Factorization در ریاضی، به‌ترتیب، معادل‌های «عامل» و «عامل‌یابی» را برگزیده است.

در ریاضیات، «عامل» به‌معنی یک عدد یا چندجمله‌ای است که عدد یا چندجمله‌ای مفروضی بر آن بخش‌پذیر است. همچنین، «عامل‌یابی» یا «تجزیه به عامل‌ها» نیز، نوشتن یک عدد یا چندجمله‌ای به‌صورت حاصل‌ضرب چند عدد یا چندجمله‌ای است.

اعداد اول

همان‌طور که در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس گفتیم، عدد اول عددی است که فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر است و باید عددی بزرگتر از ۱ باشد. اعداد ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، 13 و... اعداد اول هستند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

عامل‌ها

عامل‌ها یا شمارنده‌ها یا مقسوم‌علیه‌ها، اعدادی هستند که در هم ضرب می‌شوند و یک عدد دیگر را می‌سازند. به‌عبارت دیگر، عامل‌های یک عدد، مقسوم‌علیه‌های آن عدد (با باقیمانده صفر) هستند. برای مثال، ۲ و ۳ در هم ضرب شده و عدد ۶ را می‌سازند. بنابراین، اعداد ۲ و ۳، عامل‌های عدد ۶ هستند.

تجزیه به اعداد اول

عامل‌های یک عدد، لزوماً اعداد اول نیستند. برای مثال، عدد ۱۲ را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد ۶ و ۲ نوشت که ۶ عدد اول نیست، ولی عاملی برای عدد ۱۲ است. عامل‌های اول یک عدد در موارد زیادی مورد استفاده قرار می‌گیرد و معمولاً اعداد را به عامل‌های اول تجزیه می‌کنند. تجزیه یک عدد به عامل‌های اول، یافتن اعداد اولی است که با ضرب آن‌ها در یکدیگر، آن عدد ساخته می‌شود. در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

عامل‌های اول عدد ۱۲ چه اعدادی هستند؟

حل: برای یافتن عامل‌های اول یک عدد، آن عدد را بر اعداد اول تقسیم می‌کنیم و بهترین کار، شروع از کوچکترین عدد اول، یعنی ۲ است. بنابراین:

$$\large 12 \div 2 = 6$$

همان‌طور که می‌بینیم، 12 بر 2 بخش‌پذیر است. اما 6 یک عدد اول نیست و باید ادامه دهیم. این بار هم از کوچکترین عدد اول، یعنی 2 شروع می‌کنیم:

$$\large 6 \div 2 = 3$$

حاصل برابر با 3 است که خود عددی اول بوده و دیگر بخش‌پذیر نیست. بنابراین، عدد 12 را می‌توان به‌صورت زیر به عوامل اول تجزیه کرد:

$$\large  12 = 2 \times 2 \times 3$$

همان‌گونه که می‌بینیم، هر عامل، یک عدد اول بوده و در نتیجه، پاسخ صحیح است.

مثال ۲

عدد 147 را به عوامل اول تجزیه کنید.

حل: ابتدا از عدد 2 شروع می‌کنیم:

$$\large 147 \div 2 = 73.5$$

همان‌گونه که می‌بینیم، عدد 147 بر  2 بخش‌پذیر نیست. عدد بعدی، یعنی $$3$$ را بررسی می‌کنیم:

$$\large 147 \div 3 = 49$$

می‌بینیم که عدد 147 بر 3 بخش‌پذیر است. حال عوامل عدد 4۹ را پیدا می‌کنیم. می‌دانیم کوچکترین عدد اولی که 49 بر آن بخش‌پذیر است، عدد 7 است.

$$\large  49 \div 7 = 7$$

بنابراین، عدد 147 را می‌توان به‌صورت ضرب عوامل اول زیر نوشت:

$$\large 147 = 3 \times 7 \times 7$$

مثال ۳

عوامل اول عدد 17 را بیابید.

حل: عدد 17 بر عوامل اول 2، 3، 5، 7، 11 و 13 بخش‌پذیر نیست و خودش یک عدد اول است. بنابراین:

$$\large 17 = 17$$

یک روش دیگر برای تجزیه اعداد

دیدیم که برای محاسبه عوامل اول، باید عدد مورد نظر را بر کوچکترین عدد اول تقسیم کرده و به‌ همین ترتیب ادامه دهیم. اما گاهی اوقات، شکستن عدد به هر عاملی (غیر از اعداد اول) که ممکن است و تجزیه آن عوامل به عوامل اول، کار ساده‌تری است.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال فرض کنید می‌خواهیم عدد 90 را به عوامل اول تجزیه کنیم. برای این کار، ساده‌تر است که این عدد را به‌صورت $$9 \times 10$$ بشکنیم و عوامل اول اعداد $$9$$ و $$10$$ را بنویسیم:

• عوامل اول 9، اعداد 3 و3 هستند.
• عوامل اول 10، اعداد 2 و 5 هستند.

بنابراین، عوامل اول عدد 90، اعداد 3، 3، 2 و 5 هستند.

تجزیه درختی

تجزیه درختی اعداد به عوامل اول، روشی مشابه روش اخیر است که در آن، ابتدا عدد را به هر عاملی (غیر از اعداد اول) تجزیه کرده و سپس این عوامل را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال، وقتی عدد 48 را می‌بینیم، حاصل‌ضرب $$6 \times 8$$ را به‌خاطر می‌آوریم. بنابراین، می‌توان عدد 48 را به‌صورت ضرب عوامل 6 و 8 نوشت:

$$\large 48 = 8 \times 6$$