گشتاور چیست؟ – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۴۹۳۹۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۰ آذر ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۳۶ دقیقه
دانلود PDF مقاله
گشتاور چیست؟ – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)گشتاور چیست؟ – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

به تمایل یک نیرو برای دوران جسمی حول یک محور، گشتاور گفته می‌شود. همان‌طور که نیرو موجب می‌شود تا جسمی در حرکت خطی، شتاب بگیرد، شتاب زاویه‌ای هم ناشی از وارد شدن گشتاور است. گشتاور، یک کمیت برداری بوده و جهت آن به جهت نیرو نسبت به محور بستگی دارد.

997696

فیلم آموزشی معرفی گشتاور

Video Player is loading.
Current Time 0:00
Duration 0:00
Loaded: 0%
1x
دانلود ویدیو

برای باز کردن درِ یک اتاق، باید به قسمتی از در که با لولاها فاصله دارد، نیرو وارد کنیم. هرچه این فاصله کوتاه‌تر باشد، به نیروی بزرگتری احتیاج داریم. با این حال، کارِ انجام شده در هر دو حالت، برابر است. هرچه مقدار نیروی مورد نیاز، کوچکتر باشد، انجام این کار، راحت‌تر خواهد بود. بنابراین بهترین نقطه برای وارد کردن این نیرو، دستگیره در است. به شکل زیر توجه کنید.

تعریف گشتاور

می‌توانیم گشتاور را به دو دسته استاتیک و دینامیک تقسیم کنیم. در گشتاور استاتیک، هیچ‌گونه شتاب زاویه‌ای ایجاد نمی‌شود. به عنوان مثال، شخصی را در نظر بگیرید که به یک درِ بسته نیرو وارد می‌کند. در این حالت، با وجود اینکه نیرو وارد می‌شود، ولی حرکتی وجود ندارد. در نتیجه، گشتاور از نوع استاتیک است. دوچرخه‌سواری که با سرعت ثابت رکاب می‌زند هم نمونه دیگری از گشتاور استاتیک محسوب می‌شود. زیرا شتاب حرکت برابر صفر است.

محور محرک اتومبیلی که در حال شتاب گرفتن است، گشتاور دینامیکی منتقل می‌کند. زیرا وظیفه تأمین شتاب زاویه‌ای چرخ‌ها که موجب شتاب گرفتن اتومبیل در طول مسیرش می‌شود، به عهده این محور است. در ادبیات مهندسی گاهی به جای گشتاور (Torque)، از عبارت‌هایی مانند ممان (Moment) یا گشتاور نیرو استفاده می‌شود و شعاع اعمال نیرو، به بازوی گشتاور (Torque Arm) معروف است.

محاسبه گشتاور

مقدار بردار گشتاور، τ\large \tau، که توسط نیروی F\large F و در طول بازوی r\large r ایجاد شده باشد، با رابطه زیر تعریف می‌شود.

τ=F.rsin(θ)\large \tau \: = \: F \: . \: r \: \sin ( \theta )

در رابطه بالا، زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور را با θ\large \theta نشان داده‌ایم. در حالت نشان داده شده در شکل قبل، زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور، 90\large 90 درجه است. بنا به قرارداد، برای تعیین جهت بردار گشتاور از قانون دست راست استفاده می‌کنیم. همان‌گونه که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، مطابق این قانون، هر گاه انگشتان دست راست در جهت وارد شدن نیرو قرار بگیرند، انگشت شست در جهت گشتاور وارد شده خواهد بود. اکنون می‌توانیم رابطه قبل را به طور دقیق‌تر و به صورت زیر بازنویسی کنیم که ضرب برداری بین دو کمیت F\large F و r\large r را نشان می‌دهد.

قانون دست راست

τ=r×F\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F}

فاصله r\large r، بردار موقعیت نقطه وارد شدن نیروی F\large F را نسبت به محور دوران نشان می‌دهد. در ادامه، برخی از حالت‌های مختلف گشتاور را بررسی می‌کنیم.

  • در حالت اول، θ=0\large \theta \: = \: 0 ^ \circ است. به عبارت دیگر، زاویه بین نیرو و بردار r\large r صفر درجه بوده و این دو بردار هم جهت هستند. در این وضعیت، هیچ دورانی رخ نمی‌دهد و مقدار گشتاور هم برابر صفر است.
  • در حالت دوم، θ=180\large \theta \: = \: 180 ^ \circ است. در واقع، نیرو و بردار r\large r هم راستا و در خلاف جهت یکدیگر هستند. با توجه به رابطه تعریف شده، سینوس این زاویه برابر صفر بوده و در این وضعیت هم دورانی اتفاق نمی‌افتد. از این رو، مقدار τ\large \tau، صفر است.
  • بالاخره در حالت سوم، θ=90\large \theta \: = \: 90 ^ \circ است. در این حالت، بردار نیرو و بردار موقعیت، به هم عمود هستند. با توجه به رابطه بالا، سینوس این زاویه برابر یک است. به عبارت دیگر، در این زاویه، تابع گشتاور به ماکسیمم مقدار خود می‌رسد و مساوی با τ=rF\large \tau \: = \: r F می‌شود.

تعادل گشتاور

برای اینکه جسمی از لحاظ استاتیکی در تعادل باشد، برآیند نیروها و گشتاورهای وارد به آن جسم باید مساوی صفر باشد. برای صفر شدن مقدار برآیند گشتاورها، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت باید با مجموع گشتاورها در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت برابر باشد.

می‌توان این مفهوم را با قانون اول نیوتن برای یک سیستم دوّار هم‌ارز دانست. هر جسمی که در حال دوران نباشد، تا وقتی که گشتاور خارجی به آن وارد نشود، همچنان غیر دوّار باقی خواهد ماند. به طور مشابه، جسمی که با سرعت زاویه‌ای ثابت در حال دوران است، تا وقتی که هیچ گشتاور خارجی به آن وارد نشود، به دوران خود ادامه می‌دهد. از این مفهوم می‌توان در مسائلی استفاده کرد که چند گشتاور به یک جسم دوار وارد می‌شوند. در چنین حالتی، گشتاور خالص از اهمیت برخوردار است. اگر گشتاور خالص وارد به یک جسم صفر باشد، در تعادل دورانی قرار دارد و شتاب زاویه‌ای نخواهد داشت.

مثال ۱

سؤال: قرقره نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. برای اینکه قرقره در حالت تعادل قرار داشته باشد، مقدار نیروی F2\large F_2 را به دست آورید.

تعادل گشتاور

پاسخ: ابتدا گشتاور ناشی از نیروی F1\large F_1 را حول مرکز قرقره محاسبه می‌کنیم.

τ1=Frsinθ=(5N)(0.075m)sin(135) τ1=+0.265Nm\large \tau_1 \: =\: Fr \sin \theta \:= \:(5\: N) (0.075 \:m) \sin (135 ^\circ) \\~\\ \large \tau _1 \:= \:+0.265 \:Nm

اکنون با نوشتن برآیند گشتاورها حول مرکز قرقره و قرار دادن آن برابر صفر، گشتاور حاصل از نیروی F2\large F_2 و در نهایت نیز خودِ نیروی F2\large F_2 به صورت زیر خواهد بود.

τ1+τ2=0 τ2=0.265Nm=F2(0.1m)sin90 F2=2.65N\large \tau _1 \: +\: \tau _2 \:= \:0 \\~\\ \large \tau _2 \:= \:- \: 0.265 \: Nm \:= \:-\: F_2 (0.1 \:m) \sin 90 ^\circ\\~\\ \large F_2 \:= \:2.65 \:N

کوپل چیست؟

هنگامی که دو نیروی مساوی در یک راستا ولی در دو جهت متفاوت به دو نقطه از یک جسم وارد شوند، کوپل (Couple) تشکیل می‌شود. کوپل مانند گشتاور عمل کرده و جسم را وادار به چرخش می‌کند. ممان حاصل از کوپل را می‌توان با ضرب اندازه یکی از نیروها (F\large F) در فاصله عمودی بین دو نیرو (S\large S) محاسبه کرد. به عبارت دیگر، گشتاور ناشی از کوپل در شکل زیر، برابر با τ=SF\large \tau \: = \: SF است.

کوپل چیست

گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای

گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای به صورت حاصل‌ضرب برداری موقعیت در نیرو و ممنتوم به دست می‌آیند. فرض کنید نیروی F\large \overrightarrow{F} به ذره‌ای وارد می‌شود که فاصله آن نسبت به مبدأ O\large O با بردار r\large \overrightarrow{r} مشخص می‌شود. حال، اگر این ذره نسبت به مبدأ دارای ممنتوم زاویه‌ای p\large \overrightarrow{p}‌ باشد، ممان و ممنتوم زاویه‌ای این ذره به ترتیب به صورت τ=r×F\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F} و L=r×p\large \overrightarrow{L} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p} تعریف می‌شود. جهت بردارهای ممان و ممنتوم زاویه‌ای را در شکل زیر مشاهده می‌کنید.

گشتاور یا ممان

اکنون با کمک تعاریف ممان و ممنتوم زاویه‌ای، می‌توانیم رابطه‌ای بین این دو کمیت بیابیم. از قانون دوم نیوتن آغاز می‌کنیم که به صورت F=dpdt\large \overrightarrow{F} \: = \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p} }{ \text{d} t } نوشته می‌شود. تعریف گشتاور به صورت زیر است.

τ=r×F=r×dpdt\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p} }{ \text{d} t }

از تعریف ضرب برداری کمک می‌گیریم.

ddt(r×p)=r×dpdt+drdt×p τ=ddt(r×p)drdt×p    τ=dLdtv×p\large \frac{\text{d}}{\text{d} t } (\overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p}) \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p}}{\text{d} t} \: + \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{r}}{\text{d} t} \: \times \: \overrightarrow{p} \\~\\ \large \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}}{\text{d}t} (\overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p}) \: - \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{r}}{\text{d} t} \: \times \: \overrightarrow{p} \\ ~ \\ \large \Rightarrow~~~ \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t} \: - \: \overrightarrow{v} \: \times \: \overrightarrow{p}

می‌دانیم p=mv\large \overrightarrow{p} \: = \: m \overrightarrow{v} است. به همین دلیل حاصل v×p=0\large \overrightarrow{v} \: \times \: \overrightarrow{p} \: = 0 برابر صفر می‌شود. بنابراین، رابطه قبلی به شکل زیر ساده می‌شود.

τ=dLdt\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t}

می‌توان این‌گونه نتیجه گرفت که گشتاور وارد به یک جسم، با نرخ تغییرات ممنتوم زاویه‌ای آن جسم برابر است. ذره‌ای را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که در صفحه xy\large x-y حرکت می‌کند. گشتاور وارد به این جسم و در نتیجه، ممنتوم زاویه‌ای آن، همیشه عمود به صفحه xy\large x-y است. به عبارت دیگر می‌توان گفت τ\large \overrightarrow{\tau} و L\large \overrightarrow{L} فقط دارای مؤلفه‌ای در جهت محور z\large z هستند. بنابراین، جهت آنها ثابت باقی می‌ماند و تنها مقدارشان متغیر است. از این رو، رابطه بین ممان و ممنتوم زاویه‌ای را در حرکت صفحه‌ای می‌توان به شکل زیر و بدون نماد بردار نوشت.

حرکت صفحه ای

τ=dLdt\large \tau \: = \: \frac{\text{d}L}{\text{d}t}

حرکت ذره روی محیط دایره

در حالتی که ذره‌ای روی محیط یک دایره حرکت می‌کند، گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای را می‌توان به راحتی برحسب متغیرهای زاویه‌ای ذره بیان کرد. ذره‌ای به جرم m\large m و مطابق شکل زیر، با سرعت خطی v\large v، روی محیط دایره‌ای به شعاع r\large r در حال حرکت است.

حرکت دایره ای

ممنتوم زاویه‌ای این ذره برابر L=r×mv\large \overrightarrow{L} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: m \overrightarrow{v} خواهد بود. از آنجایی که بردارهای r\large \overrightarrow{r} و v\large \overrightarrow{v} به یکدیگر عمود هستند، اندازه بردار ممنتوم زاویه‌ای برابر با رابطه زیر به دست می‌آید.

L=mvr\large L \: = \: mvr

(رابطه ۱)

جهت بردار ممنتوم زاویه‌ای نیز با توجه به قانون دست راست، به سمت بیرون صفحه و عمود به آن است. می‌توانیم در رابطه ۱، سرعت خطی را برحسب سرعت زاویه‌ای بنویسیم.

v=ωr    L=mr2ω\large v \: = \: \omega r \\~\\ \large \Rightarrow ~~~ L \: = \: m r^2 \omega

با مشتق‌گیری از این رابطه نسبت به زمان، گشتاور نیز قابل محاسبه خواهد بود.

τ=dLdt=mr2dωdt=mr2α\large \tau \: = \: \frac{\text{d}L}{\text{d}t} \: = \: mr^2\frac { \text{d} \omega} {\text{d} t} \: = \: m r^2 \alpha

در رابطه بالا، شتاب زاویه‌ای ذره با نماد α\large \alpha نشان داده شده است.

گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای در سیستم ذرات

برای محاسبه گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای در سیستم ذرات، فقط کافی است مجموع گشتاور و ممنتوم‌های زاویه‌ای تک‌تک ذرات محاسبه شود. گشتاور ناشی از نیروهای داخلی صفر است. زیرا مطابق قانون سوم نیوتن، نیروی متقابل بین هر دو ذره با یکدیگر برابر، در راستای خط اتصال آنها و در خلاف جهت یکدیگر است. به همین دلیل، گشتاور کل ناشی از هر جفت نیروی عمل و عکس‌العمل صفر بوده و در نتیجه، گشتاور درونی کل نیز صفر خواهد بود. گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای کل را در سیستم ذرات می‌توان به شکل زیر نوشت.

τ=i=1Nτi=i=1Nτi,ext L=L1+L2+...=i=1NLi\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \sum _ { i \: = \: 1} ^ N \overrightarrow{\tau} _ i \: = \: \sum _ { i \: = \: 1} ^ N \overrightarrow{\tau} _ {i , ext } \\~\\ \large \overrightarrow {L} \: = \: \overrightarrow {L} _ 1 \: + \: \overrightarrow {L} _ 2 \: + \: ... \: = \: \sum _ {i \: = \: 1} ^ N \overrightarrow {L} _ i

حرکت جسم صلب حول محور ثابت

جسم صلب، سیستمی از ذرات است که موقعیت ذرات آن نسبت به یکدیگر تغییر نمی‌کند. از آنجایی که برای هریک از ذرات، رابطه L=mvr=mr2ω\large L \: = \: m v r \: = \: m r^2 \omega برقرار است، ممنتوم زاویه‌ای کل را می‌توان به صورت زیر نوشت.

L=(imiri2)ω\large L \: = \: (\sum_ i ^ {} m_i r ^ 2 _ i ) \omega

حال، با کمک تعریف ممان اینرسی (Moment of Inertia) جسم صلب (I=imiri2\large I \: = \: \sum_ i ^ {} m_i r ^ 2 _ i)، رابطه قبل را به صورت L=Iω\large L \: = \: I \omega بازنویسی می‌کنیم. از آنجایی که محور دوران ثابت است، گشتاور هم به شکل زیر بیان می‌شود.

τ=dLdt=Idωdt=Iα\large \tau \: = \: \frac{\text{d}L}{\text{d}t} \: = \: \: I \frac{\text{d} \omega}{\text{d} t} \: = \: I \alpha

مثال ۲

سؤال: تمام جرم فلایویل نشان داده شده در شکل زیر، به طور یکنواخت در قسمت طوقه آن توزیع شده است. گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای را به دست آورید.

فلایویل

پاسخ: ناحیه دیفرانسیلی با جرم dm\large dm را در نظر بگیرید. ممنتوم زاویه‌ای برای این قسمت به صورت رابطه زیر محاسبه می‌شود.

dL=dmr2ω\large dL \: = \: d m \: r ^ 2 \omega

از آنجایی که شعاع r\large r و سرعت زاویه‌ای ω\large \omega برای تمام نقاط روی طوقه یکسان است، ممنتوم زاویه‌ای کل برای فلایویل به راحتی به دست می‌آید.

L=dL=r2ωdm=Mr2ω=Iω\large L \: = \: \int_{ }^{ } dL \: = \: r ^ 2 \omega \int_{ }^{ } dm \: = \: M r ^ 2 \omega \: = \: I \omega

در رابطه بالا، M\large M جرم کل فلایویل است. با مشتق‌گیری از این رابطه نسبت به زمان، ممان برابر با τ=Mr2α=Iα\large \tau \: = \: M r ^ 2 \alpha \: = \: I \alpha نتیجه می‌شود.

انرژی جنبشی دورانی

انرژی جنبشی کل مربوط به یک سیستم را می‌توان برحسب ممان اینرسی و سرعت زاویه‌ای آن سیستم نوشت. فرض کنید هریک از ذرات دارای جرم mi\large m _ i باشد و روی محیط دایره‌ای به شعاع ri\large r _ i حرکت کند. اگر موقعیت تمام این ذرات، نسبت به یکدیگر ثابت باشد (مانند جسم صلب)، سرعت زاویه‌ای تمام آنها یکسان و برابر ω\large \omega خواهد بود. در این حالت، انرژی جنبشی هریک از این ذرات را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

Eik=12mivi2=12miri2ω2\large E _ {i k} \: = \: \frac {1} { 2} m_i v^2 _i \: = \: \frac {1} { 2} m_i r ^2 _i \omega ^2

به این ترتیب، انرژی جنبشی کل به قرار زیر خواهد بود.

Ek=12m1r12ω2+12m2r22ω2+...=12[i=1Nmiri2]ω2\large E _ k \: = \: \frac {1} { 2} m_1 r ^2 _1 \omega ^2 \: + \: \frac {1} { 2} m_2 r ^2 _2 \omega ^2 \: + \: ... \: = \frac {1} {2} [\sum_ {i \: = \: 1} ^N m_i r ^2 _ i] \omega ^ 2

حال با استفاده از تعریف ممان اینرسی جسم صلب، رابطه بالا به صورت Ek=12Iω2\large E_k \: = \: \frac {1} {2} I \omega ^2 خلاصه می‌شود.

حرکت خطی و دایره‌ای

در این بخش، مقایسه‌ای کوتاه بین معادلات دینامیکی در حرکت خطی و دایره‌ای انجام خواهیم داد. به جدول زیر توجه کنید. برخی از این رابطه‌ها را می‌توان به صورت برداری یا تانسور هم نوشت. در نتیجه فراتر از محدوده حرکت خطی یا دایره‌ای، معتبر هستند.

حرکت جسم صلب

پایستگی ممنتوم زاویه‌ای

اگر هیچ گشتاور خارجی به یک سیستم ذرات وارد نشود، ممنتوم زاویه‌ای خالص مربوط به آن سیستم، پایسته است. این موضوع را می‌توان به صورت رابطه زیر نشان داد.

τ=0=dLdt\large \overrightarrow{\tau}\: =\: 0\: =\: \frac{\text {d} \overrightarrow {L}}{\text{d} t}

در نتیجه، L\large \overrightarrow{L} ثابت می‌ماند. برای جسم صلبی که حول یک محور می‌چرخد، رابطه L=Iω\large L \:= \:I\omega برقرار است. بنابراین، اگر I\large I تغییر کند، برای ثابت ماندن L\large L، مقدار ω\large \omega نیز باید تغییر کند. اما اگر مجموع گشتاورهای خارجی وارد به سیستم، صفر نباشد، ممنتوم زاویه‌ای پایستار نخواهد بود.

مثال ۳

دو فلایویل نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. یکی از این دو فلایویل در حال دوران و دیگری ساکن است. اکنون و به طور ناگهانی هر دو فلایویل در تماس با یکدیگر قرار گرفته‌اند. در ابتدا ممنتوم زاویه‌ای کل برای فلایویل چرخان، برابر L0=Mr2ω0\large L_0 \:= \:M r^ 2\omega _0 است. هنگامی که فلایویل‌ها در تماس با هم قرار می‌گیرند، به دلیل اصطکاک به وجود آمده بین آنها، گشتاوری به فلایویل چرخان وارد می‌شود. از آنجایی که منشأ این گشتاور، خارجی است، ممنتوم زاویه‌ای آن پایستار نمی‌ماند و تغییر می‌کند. حال اگر هر دو فلایویل را یک سیستم در نظر بگیریم، گشتاور وارد شده به هر فلایویل، از نوع داخلی به حساب آمده و باز هم گشتاور خارجی صفر می‌شود. بنابراین برای این سیستم جدید که شامل هر دو فلایویل می‌شود، ممنتوم زاویه‌ای پایسته می‌ماند و رابطه زیر برقرار است.

مثال حل شده از گشتاور

Mr2ω0=Mr2ωf+Mr2ωf=2Mr2ωf\large M r^ 2\omega _0 \:= \:M r^ 2\omega _f \:+ \:M r^ 2\omega _f \:= \:2M r^ 2\omega _f

در رابطه بالا، ωf\large \omega _f سرعت زاویه‌ای نهایی را نشان می‌دهد که در نهایت هر دو فلایویل با این سرعت در حال دوران خواهند بود. تغییر سرعت زاویه‌ای در یکی از فلایویل‌ها به صورت ω0ωf\large \omega _0 \:\rightarrow \:\omega _f و در دیگری به صورت 0ωf\large 0 \:\rightarrow \:\omega _f رخ داده است. جرم هریک برابر M\large M و سرعت زاویه‌ای نهایی نیز برابر ωf=ω0/2\large \omega _f \:= \:\omega _0 /2 خواهد بود.

هنگامی که دو فلایویل با سرعت‌های متفاوت را در تماس با یکدیگر قرار می‌دهیم، می‌توانیم انتظار داشته باشیم که انرژی جنبشی پایستار نباشد. زیرا نیروهای غیرپایستار اصطکاکی به هر دو فلایویل وارد می‌شوند. انرژی جنبشی اولیه به صورت زیر تعریف می‌شود.

Ek0=12Mr2ω02\large E _{k0} \:= \:\frac {1} {2} M r^2\omega _0 ^2

اما پس از برقراری تماس، انرژی جنبشی ثانویه به شیوه زیر محاسبه می‌شود.

Ekf=Mr2ωf2=14Mr2ω02\large E _{kf} \:= \:M r^2\omega _f ^2 \:= \:\frac {1} {4} M r^2\omega _0 ^2

به این ترتیب، نسبت انرژی جنبشی نهایی به انرژی جنبشی اولیه برابر EkfEk0=12\large \frac {E _{kf}} {E _{k0}} \:= \:\frac {1} {2} است. به عبارت دیگر، نیمی از انرژی جنبشی اولیه به دلیل نیروهای اصطکاکی بین سطوح دو فلایویل، از بین رفته است. بنابراین، با وجود اینکه انرژی جنبشی کل پایستار نبوده، ولی ممنتوم زاویه‌ای کل سیستم پایستگی خود را حفظ کرده است.

گشتاور و توان

گشتاور، توان و انرژی مفاهیمی هستند که باید به درستی آنها را از یکدیگر متمایز ساخت. گشتاور و انرژی، کمیت‌هایی هستند که دیمانسیون آنها یکسان ولی مفهومشان کاملاً متفاوت است. اگر سرعت دوران معلوم باشد، می‌توانیم توان را با کمک گشتاور محاسبه کنیم. در واقع، توان اسب بخار هیچ‌گاه به تنهایی قابل محاسبه نیست و باید از روی گشتاور و سرعت دورانی به دست بیاید. رابطه‌های زیر را در نظر بگیرید.

P=F.Dt=F.2πrt P=2πτω   (ω    revolutions/sec) P=τω   (ω    radian/sec)\large P \: =\: \frac {F.D} {t} \:= \:\frac {F. 2\pi r} {t} \\~\\ \large P \:= \: 2\pi \tau \omega ~~~ (\omega ~~ \rightarrow ~~ \: revolutions /sec) \\~\\ \large P \:= \: \tau \omega ~~~ (\omega ~~ \rightarrow ~~ \: radian /sec)

در بحث مقایسه موتور خودروها، گشتاور ماکسیمم نیز در کنار مفهوم اسب بخار، از اهمیت زیادی برخوردار است. در ادبیات عامیانه، گشتاور ماکسیمم معیاری از شتاب گرفتن اتومبیل و توانایی آن در کشیدن بار به حساب می‌آید. در سوی مقابل، اسب بخار به ماکسیمم سرعت اتومبیل دلالت دارد. با این حال، باید به این نکته نیز توجه داشت که هنگام انجام محاسبات مربوط به حرکت کلی اتومبیل، گشتاور ماکسیمم و اسب بخار، هر دو تابعی از دورِ موتور و در نتیجه متغیر هستند. این رابطه غیر خطی بوده و برای انواع گوناگون موتور، متفاوت است. نمودار گشتاور برحسب دورِ موتور برای چند نمونه موتور مختلف در شکل زیر رسم شده است.

گشتاور موتور

افزایش و کاهش گشتاور

در کاربردهای مختلف، همواره نیاز است تا گشتاور خروجی موتور تغییر کرده، افزایش یا کاهش یابد. همان‌طور که می‌دانید، در یک اهرم، با تنظیم طول بازوی محرک و مقاوم، می‌توانیم مزیت مکانیکی اهرم و به دنبال آن، نیروی محرک را کمتر یا بیشتر کنیم. به طریق مشابه، گشتاور تولید شده در یک موتور را نیز می‌توان با استفاده از چرخ‌دنده، افزایش یا کاهش داد. با کمتر شدن سرعت زاویه‌ای، گشتاور افزایش می‌یابد. به شکل زیر توجه کنید. شبکه تشکیل شده توسط دندانه‌های درگیر دو چرخ‌دنده با یک جفت اهرم نشان داده شده در این شکل، هم‌ارز است.

چرخ دنده

برای عملکرد بهتر اتومبیل‌ها که توانشان از طریق یک موتور احتراق داخلی تأمین می‌شود، استفاده از چرخ‌دنده‌های قابل تنظیم، یک ضرورت است. در این موتورها، گشتاور ماکسیمم فقط در دامنه کوچکی از دورِ بالای موتور رخ می‌دهد. استفاده از دنده‌های قابل تنظیم این امکان را فراهم می‌کند که در تمام سرعت‌ها، گشتاور کافی به چرخ‌ها منتقل شود. به عنوان مثالی دیگر، دوچرخه را در نظر بگیرید. به دلیل اینکه ریتم رکاب‌زنی دوچرخه‌سوار نمی‌تواند دوچرخه را به سرعت مورد نظر برساند، از دنده‌های قابل تنظیم استفاده می‌شود. در غیر این صورت باید از دوچرخه‌های قدیمی استفاده کرد که می‌توانند به سرعت 1525km/h\large 15 \:-\: 25 \:km /h برسند.

افزایش گشتاور

فراموش نکنید که در موتورهای بخار و موتورهای الکتریکی، گشتاور ماکسیمم در سرعت‌های پایین و در دامنه‌های نسبتاً بزرگی فراهم است. از این رو نیازی به استفاده از دنده‌های قابل تنظیم نیست.

مثال ۴

سؤال: یک موتور گازوئیلی قادر است در سرعت 300rad/s\large 300 \:rad /s، گشتاوری برابر با 150Nm\large 150 \:Nm تولید کند. از این موتور برای راه‌اندازی یک جرثقیل و بلند کردن وزنه نشان داده شده در شکل زیر استفاده شده است. اگر شعاع قرقره 0.25m\large 0.25 \:m و نسبت کاهش سرعت دنده 50:1\large 50 :1 باشد، الف) جرم وزنه m\large m ب) سرعت بالا رفتن وزنه را محاسبه کنید (فرض کنید حرکت وزنه با سرعت ثابت در حال انجام باشد).

تعادل جرثقیل

پاسخ: می‌دانیم که اگر قرقره در حالت تعادل باشد (چون سرعت وزنه ثابت است)، گشتاور ایجاد شده توسط موتور با گشتاور ناشی از وزنه آویزان برابر است. اگر کاهش سرعت دنده را R\large R بنامیم و گشتاور تولید شده توسط موتور را با τm\large \tau _m نشان دهیم، گشتاور خروجی قرقره به صورت زیر به دست می‌آید.

τw=τmR\large \tau _w \:= \:\frac {\tau _m} {R}

حال، می‌توانیم جرم وزنه را پیدا کنیم.

τw=Fr    F=τmRr F=mg    m=τmRrg=150Nm150(0.25m)(9.81m/s2) m=3060kg\large \tau _w \:= \:Fr \\ ~\\ \large \Rightarrow ~~~ F \:= \:\frac {\tau _m} {Rr} \\ ~\\ \large F \:= \:mg \\ ~\\ \large \Rightarrow ~~~ m \:= \:\frac {\tau _m} {Rr g} \:= \:\frac {150 \:Nm} {\frac {1} {50} (0.25 \:m) (9.81 \: m/ s^2)} \\ ~\\ \large m \:= \:3060 \:kg

ب) می‌دانیم افزایش گشتاور، با کاهش سرعت زاویه‌ای همراه است. سرعت زاویه‌ای قرقره از رابطه ωw=ωmR\large \omega _w \:= \:\omega _mR تبعیت می‌کند. در این رابطه، ωm\large \omega _m سرعت زاویه‌ای موتور را نشان می‌دهد. سرعت خطی در طوقه قرقره با سرعت بالا کشیدن وزنه m\large m برابر است. به همین منظور، رابطه‌های زیر را می‌توان نوشت.

v=rωw=rωmR v=(0.25m)(300rad/s)(150) v=1.5m/s\large v\: =\: r\omega _w \:= \:r\omega _mR \\ ~\\ \large v\: =\: (0.25 \:m) (300 \:rad /s) (\frac {1} {50}) \\ ~\\ \large v\: =\: 1.5 \:m /s

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
PhysicsNetKhan AcademyThought Co
دانلود PDF مقاله
۱۳ دیدگاه برای «گشتاور چیست؟ – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»

نمیدونم میدونید یا نه ولی سایتتون با گوشی مشکل داره ، بی خود منو باز میکنه

خیلی ممنونم از شما اساتید گرامی🙏🏻

واقعا این فرمول‌ها و روابط، مشکلِ بزرگ من رو حل کرد.

با سلام؛

خوشحالیم که مطالعه مطلب برای شما مفید بوده است.

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

من واقعا لذت بردم. درود بر شما استاد. عجب محتوایی اماده کرده اید. واقعا خسته نباشید. خیلی ارادتمند\
من دانشجوی خارج از کشورم. این ۲۰ دقیقه محتوایی ویدیو ۱ ماه کلاسی بود که من رفته بودم چه بسا مفید تر و دقیق تر

سلام عرض میکنم خدمت اساتید فرادرس یک سوال که خیلی ذهن منو درگیر کرده ماهیت خود گشتاور هست که آیا نیرو هست یا نه و اگر نیرو نیست دقیقا چه کمیتی رو اندازه میگیره و این جهت دار بودن گشتاور چه چیزی رو نشون میده؟ مثلا یک در که به صورت ساعت گرد میچرخه و بردار گشتاور رو به بالا هست یعنی چی؟

با سلام،
گشتاور نوعی نیرو است که به جسم وارد می‌شود و سبب جرخش جسم به دور محور می‌شود.
در واقع گشتاور باعث ایجاد شتاب زاویه‌ای در اجسام می‌شود. جهت بردار گشتاور بستگی به جهت نیروی وارد شده بر محور گشتاور دارد.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

واقعا عالی بود.دمتون گرم.قبلا که کلمه گشتاور رو می دیدم فکر میکردم منظورش قدرت موتوره اما با اولین جمله فهمیدم که موضوع از چه قراره.باتشکر و خسته نباشید

سلام ببخشید چند تا سوال دارم اگه جواب بدید ممنون میشم
اگه گشتاور یک موتور پله ای برابر با یک کیلوگرم نیرو -سانتیمتر باشد می تواند چه مقدار وزنه را به صورت عمودی بلند کند و مقدار نیرویی که می تواند وارد کند چند نیوتون می باشد

سلام و روز شما به خیر؛

واحدی که برای گشتاور بیان کرده‌اید به نظر صحیح نیست. اما اگر منظور شما این است که نیرویی که به یک کیلوگرم از جسم وارد می‌شود، 1 نیوتن است در این صورت واحد گشتاور برابر با 1 نیوتن در سانتی متر است. همچنین اگر بازوی گشتاور یک سانتی متر باشد در جهت عمود 1 نیوتن نیرو به جسم وارد می‌شود. بدین ترتیب با دانستن جرم جسم می‌توان جابجایی را محاسبه کرد.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

مو به مو از ویکی پدیا کپی شده

سلام،‌ اوقات شما بخیر؛

دوست و همراه گرامی، این مقاله در تاریخ ۲۸ فروردین ۱۳۹۸ در مجله فرادرس منتشر شده است. اگر به تاریخچه مقاله مشابه در ویکی‌پدیای فارسی رجوع کنید در خواهید یافت که بخش‌هایی از مطلب مجله فرادرس در آن کپی شده‌اند و محتوای اصلی متعلق به مجله فرادرس است.

از اینکه با ما همراه هستید از شما بسیار سپاسگزاریم.

اینقد به زبون ساده بود که من به شک افتادم که زبون خودم چیه اونوقت????

سلام
یک سوال دارم
وقتی که یه میله داریم که با لولا از یه طرفش وصل دیوار شده
از یه زاویه اولیه ای سیستم رو رها میکنیم ،نیروی وارد بر لولا وقتی میله افقی شده؟
ایده حل سوال رو میشه بگید؟
ممنونم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *