مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با توابع مثلثاتی و انتگرال آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش به مشتق توابع مثلثاتی می‌پردازیم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

مشتق توابع مثلثاتی پایه

همان‌طور که می‌دانیم، توابع پایه مثلثاتی شامل شش تابعِ سینوس ($$\sin x$$)، کسینوس ($$\cos x$$)، تانژانت ($$\tan x$$)، کتانژانت ($$\cot x$$)، سکانت ($$\sec x$$) و کسکانت ($$\csc x$$) هستند. همه این توابع در دامنه‌شان پیوسته‌ و مشتق‌پذیرند. در ادامه مشتق توابع مثلثاتی پایه را ارائه می‌کنیم.

مشتق تابع سینوس

تابع سینوس $$y = \sin x$$ را در نظر بگیرید. تعریف مشتق برای این تابع به صورت زیر است:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \sin \left ( { x + \Delta x } \right ) – \sin x } } { { \Delta x } } . }$$

از اتحاد زیر برای تبدیل جمع به ضرب استفاده می‌کنیم:

$$\large { \sin \alpha – \sin \beta } = { 2 \sin \frac { { \alpha – \beta } } { 2 } \cos \frac { { \alpha + \beta } } { 2 } . }$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel}<br /> \begin {align*}<br /> y’ \left ( x \right ) & = \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \sin \left ( { x  + \Delta x } \right )   – \sin x } } { { \Delta x } }   =  { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac  { { 2  \sin \frac { { \cancel { x }  + \Delta x – \cancel { x } } }  { 2 } \cos \frac { { x + \Delta x + x } } { 2 } }  } { { \Delta x } } } \\ & =  {  \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { {  2 \sin \frac { {  \Delta x }} { 2 } \cos \left (  { x  + \frac { { \Delta x } } { 2  } }  \right ) } } { { \Delta x } }  } = { \lim \limits  _  { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } }  } { { \Delta x }  }  \cdot } \kern0pt { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \cos \left ( { x + \frac { { \Delta x } } { 2 }  } \right ) }<br /> \end {align*} $$

حد اول برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } } } { { \Delta x } } } = { \lim \limits _ { \large \frac { { \Delta x } } { 2 } \normalsize \to 0 } \frac { { \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } } } { { \frac { { \Delta x } } { 2 } } } = 1 . }$$

از آنجا که $$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = \cos x$$، مشتق تابع سینوس به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$$\large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } = { \cos x . }$$

مشتق تابع کسینوس

طبق تعریف مشتق، برای تابع $$y = \cos x$$ داریم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \Delta y } } { { \Delta x } } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { y \left ( { x + \Delta x } \right ) – y \left ( x \right ) } } { { \Delta x } } } \\ & = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \cos \left ( { x + \Delta x } \right ) – \cos x } } { { \Delta x } } . } \end {align*}$$

برای ساده کردن تفاضل دو کسینوس از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \cos \alpha – \cos \beta } = { – 2 \sin \frac { { \alpha + \beta } } { 2 } \sin \frac { { \alpha – \beta } } { 2 } . }$$

در نتیجه، داریم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \cos \left ( { x + \Delta x } \right ) – \cos x } } { { \Delta x } } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { \left ( { – 2 \sin \left ( { x + \frac { { \Delta x } } { 2 } } \right ) \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } } \right ) } } { { \Delta x } } } \\ & = {- \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \frac { { 2 \sin \frac { { \Delta x } } { 2 } } } { { \Delta x } } \cdot { \lim \limits _ { \Delta x \to 0 } \sin \left ( { x + \frac { { \Delta x } } { 2 } } \right ) . } } \end {align*}$$

بنابراین، مشتق تابع کسینوس به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } = { – \sin x . }$$

مشتق تابع تانژانت

از آنجا که تابع تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، با استفاده از قاعده خارج قسمت به سادگی می‌توان مشتق آن را به دست آورد:‌

$$\large \begin {align*} \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime & = { { \left ( { \frac { { \sin x } } { { \cos x } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { { { \left ( { \sin x } \right ) } ^ \prime } \cos x – \sin x { { \left ( { \cos x } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } \\ & = { \frac { { \cos x \cdot \cos x – \sin x \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { { { \cos } ^ 2 } x + { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } . } \end {align*}$$

مشتق تابع کتانژانت

مشتق کتانژانت نیز مشابه مشتق تانژانت قابل محاسبه است. البته، یک راه دیگر استفاده از مشتق تابع تانژانت و قاعده زنجیره‌ای است:

$$ \large \begin {align*} \require {cancel}  { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } & = \left ( { \frac { 1 } { { \tan x } } }   \right ) ^ \prime   = { – \frac { 1 } {  { { { \tan } ^ 2 } x } }  \cdot { \left ( { \tan x }  \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { 1 } { { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { {  { \cos } ^ 2 } x } } } }  \cdot \frac { 1 } { { { {  \cos } ^ 2 } x } }   }  = { – \frac { \cancel { { { \cos } ^ 2 } x } }{  { { { \sin } ^ 2 } x  \cdot \cancel { { {  \cos } ^ 2 } x  } } }   }   = { – \frac { 1 } { { {  { \sin } ^ 2 } x } }. }   \end {align*} $$

مشتق تابع سکانت

مشابه تانژانت و کتانژانت، مشتق تابع سکانت این‌گونه محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} \left ( { \sec x } \right ) ^ \prime & = { \left ( { \frac { 1 } { { \cos x } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } \cdot { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { { \sin x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { \sin x } } { { \cos x } } \cdot \frac { 1 } { { \cos x } } } = { \tan x \sec x , } \end {align*}$$

مشتق تابع کسکانت

مشابه سکانت، مشتق تابع کسکانت به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} \left ( { \csc x } \right ) ^ \prime & = { \left ( { \frac { 1 } { { \sin x } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } \cdot { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { - \frac { { \cos x } } { { { { \sin } ^ 2 } x } } } = { -\frac { { \cos x } } { { \sin x } } \cdot \frac { 1 } { { \sin x } } } = { - \cot x \csc x . } \end {align*}$$

جدول مشتق توابع مثلثاتی

جدول زیر خلاصه مشتق توابع مثلثاتی پایه را نشان می‌دهد.

در محاسبه مشتق توابع مثلثاتی از این جدول استفاده می‌کنیم.

مثال‌های مشتق توابع مثلثاتی

در این بخش مثال‌های متنوعی را از مشتق توابع مثلثاتی حل می‌کنیم.

مثال ۱ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی $$y = \cos 2x – 2\sin x$$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از ویژگی‌ خطی بودن مشتق، قاعده زنجیره‌ای و فرمول زاویه دو برابر، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \cos 2 x – 2 \sin x } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \cos 2 x } \right ) ^ \prime } – { \left ( { 2 \sin x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \left ( { – \sin 2 x } \right ) \cdot { \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime } – 2 { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } = { – 2 \sin 2 x – 2 \cos x } \\ & = { – 2 \sin x \cos x – 2 \cos x } = { – 2 \cos x \left ( { \sin x + 1 } \right ) . } \end {align*}$$

مثال ۲ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = \tan x + \frac { 1 } { 3 } { \tan ^ 3 } x$$

حل: با استفاده از جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه، مشتق تابع به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \tan x + \frac { 1 } { 3 }{ { \tan } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 1 } { 3 } { { \tan } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } + \frac { 1 } { 3 } \cdot 3 { \tan ^ 2 } x \cdot { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } } \\ &= { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } + { \tan ^ 2 } x \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { 1 + { { \tan } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } . } \end {align*}$$

صورت کسر را می‌توان با استفاده از اتحاد زیر ساده کرد:

$$\large { 1 + { \tan ^ 2 } x = { \sec ^ 2 } x } = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } . }$$

بنابراین، داریم:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { \frac { { 1 + { { \tan } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { { \frac { 1 }{ { { { \cos } ^ 2 } x } } } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 4 } x } } } = { { \sec ^ 4 } x . }$$

مثال ۳ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$y = \cos x – {\frac{1}{3}}{\cos ^3}x$$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \cos x – \frac { 1 } { 3 } { { \cos } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime = { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime – \left ( { \frac { 1 } { 3 } { { \cos } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – \sin x – \frac { 1 } { 3 } \cdot 3 { \cos ^ 2 } x \cdot \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } = { – \sin x – { \cos ^ 2 } x \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { – \sin x + { \cos ^ 2 } x \sin x } = { – \sin x \left ( { 1 – { { \cos } ^ 2 } x } \right ) } \\ & = { – \sin x \, { \sin ^ 2 } x } = { – { \sin ^ 3 } x . } \end {align*}$$

مثال ۴ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = \frac{1}{{{{\cos }^n}x}}$$

حل: مشتق این تابع را با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای پیدا می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ n } x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left [ { { { \left ( { \cos x } \right ) } ^ { – n } } } \right ] ^ \prime } } = { – n { \left ( { \cos x } \right ) ^ { – n – 1 } } \cdot { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – n { \left ( { \cos x } \right ) ^ { – n – 1 } } \cdot \left ( { - \sin x } \right ) } = { \frac { { n \sin x } } { { { { \cos } ^ { n + 1 } } x } } . } \end {align*}$$

در رابطه بالا فرض شده $$\cos x \ne 0$$ باشد، در نتیجه: $$x \ne { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize } + \pi n , n \in \mathbb { Z }$$.

مثال ۵ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = { \frac { { \sin x } } { { 1 + \cos x } } }$$

حل: با کمک قاعده خارج قسمت می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} y ^ \prime & = \left ( { \frac { { \sin x } } { { 1 + \cos x } } } \right ) ^ \prime = { \frac { { \cos x \left ( { 1 + \cos x } \right ) – \sin x \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } ^ 2 } } } } \\ & = { \frac { { \cos x + { { \cos } ^ 2 } x + { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { \cancel { 1 + \cos x } } { { { { \left ( { 1 + \cos x } \right ) } ^ \cancel { 2 } } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + \cos x } } . }<br /> \end {align*} $$

مثال ۶ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$y = {\cos ^2}\sin x$$ را بیابید.

حل: با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \cos } ^ 2 } \sin x } \right ) ^ \prime } = { 2 \cos \sin x \cdot { \left ( { \cos \sin x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 \cos \sin x \cdot \left ( { – \sin\sin x } \right ) \cdot } \kern0pt{ { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } \\ &= { – 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot}\kern0pt{ \cos x.} \end {align*}$$

عبارت انتهایی را می‌توان با استفاده از فرومول زاویه دو برابر ساده کرد:

$$\large { 2 \cos \sin x \cdot \sin \sin x } = { \sin \left ( { 2 \sin x } \right ) . }$$

در نتیجه، عبارت نهایی مشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { – \sin \left ( { 2 \sin x } \right ) \cos x . }$$

مثال ۷ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = x \sin x + \cos x$$

حل: با استفاده از قاعده ضرب، می‌توانیم بنویسیم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { x \sin x + \cos x } \right ) ^ \prime = { \left ( { x \sin x } \right ) ^ \prime + \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } \\ & = { x ^ \prime \sin x + x \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime + \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } \\ & = { 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x + \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & ={ \cancel { \sin x } + x \cos x – \cancel { \sin x } } = { x \cos x . } \end {align*}$$

مثال ۸ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$y = {\sin ^2}\sqrt x$$ را به دست آورید.

حل: با اعمال چندباره قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \sin } ^ 2 } \sqrt x } \right ) ^ \prime } = { 2 \sin \sqrt x \cdot { \left ( { \sin \sqrt x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 \sin \sqrt x \cdot \cos \sqrt x \cdot { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 \sin \sqrt x \cos \sqrt x \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } . } \end {align*}$$

با استفاده از فرمول دو برابر زاویه، داریم:

$$\large {\sin \left( {2\sqrt x } \right) }={ 2\sin \sqrt x \cos \sqrt x .}$$

در نتیجه، مشتق برابر است با:

$$\large { y’ \left ( x \right ) = \sin \left ( { 2 \sqrt x } \right ) \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } } = { \frac { { \sin \left ( { 2 \sqrt x } \right ) } } { { 2 \sqrt x } } . }$$

مثال ۹ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$\large y = \cos {\frac{1}{x}}$$

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای و مشتق توابع مثلثاتی پایه، داریم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \cos \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime = { – \sin \frac { 1 } { x } \cdot \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } = { – \sin \frac { 1 } { x } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { \frac { 1 }{ { { x ^ 2 } } } \sin \frac { 1 } { x } . } \end {align*}$$

مثال ۱۰ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = { \sin ^ 3 } x + { \cos ^ 3 } x$$

حل: از فرمول‌های مشتق مجموع توابع و مشتق یک تابع توانی استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { { \sin } ^ 3 } x + { { \cos }^ 3 } x } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \sin } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { { \cos } ^ 3 } x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 3 \, { \sin ^ 2 } x \cdot { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } + { 3 \, { \cos ^ 2 } x \cdot { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } . } \end {align*}$$

مشتق‌ها را جایگذاری کرده و عبارت را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = 3 \, { \sin ^ 2 } x \cdot \cos x + { 3 \, { \cos ^ 2 } x \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { 3 \, { \sin ^ 2 } x \cos x } - { 3 \, { \cos ^ 2 } x \sin x } \\ & = { { 3 \sin x \cos x } \kern0pt{ \left ( { \sin x – \cos x } \right ) . } } \end {align*}$$

از آنجا که $$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$، عبارت نهایی مشتق به فرم زیر خواهد بود:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { 3 \cdot \frac { { \sin 2 x } }{ 2 } \left ( { \sin x – \cos x } \right ) } = { \frac { 3 } { 2 } \sin 2 x } \kern0pt{ \left ( { \sin x – \cos x } \right ) . }$$

مثال ۱۱ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق عبارت زیر را محاسبه کنید.

$$\large y = \tan \frac{x}{2} – \cot \frac{x}{2}$$

حل: در اولین گام، داریم:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } – \cot \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \tan \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } – { \left ( { \cot \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } . }$$

روابط زیر را می‌دانیم:

$$\large { { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 }{ { { { \cos } ^ 2 } x } } , \; \; \; } \kern-0.3pt { { \left ( { \cot x } \right ) ^ \prime } = – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } , }$$

با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، می‌توانیم بنویسیم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } - { \left ( { – \frac { 1 } { { { { \sin } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } \right ) \cdot { \left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { { { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { { { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } + { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 }} } { { 2 \, { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } . } \end {align*}$$

برای ساده کردن عبارت، از اتحادهای مثلثاتی $${\sin^2}x + {\cos ^2}x = 1$$ و $$\sin x = 2\sin {\large\frac{x}{2}\normalsize} \cos {\large\frac{x}{2}\normalsize}$$ استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } = { \frac { 1 } { { 2 { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } { \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { { 2 \cdot 1 } } { { 4 { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 }{ \sin ^ 2 } \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 2 } { { { { \left ( { 2 \cos \frac { x } { 2 } \sin \frac { x } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 2 } { { { { \sin } ^ 2 } x } } . } \end {align*}$$

مثال ۱۲ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی زیر را حساب کنید.

$$\large y = { x ^ 2 } \sin x + 2 x \cos x – 2 \sin x$$

حل: با استفاده از قاعده ضرب، می‌توان نوشت:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} y ^ \prime & = \left ( { { x ^ 2 } \sin x } \right ) ^ \prime + { \left ( { 2 x \cos x } \right ) ^ \prime } - { \left ( { 2 \sin x } \right ) ^ \prime } \\ &= { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime \sin x } + { { x ^ 2 } \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime \cos x } + { 2 x \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } - { 2 \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \\ &= { \cancel { 2 x \sin x } } + { { x ^ 2 } \cos x } + { \cancel { 2 \cos x } } - { \cancel { 2 x \sin x } } - { \cancel { 2 \cos x } } = { { x ^ 2 } \cos x . }<br /> \end {align*} $$

مثال ۱۳ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را بیابید.

$$\large y = {\tan ^2}x + \ln {\cos ^2}x$$

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، داریم:‌

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { { \tan } ^ 2 } x + \ln { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime = { \left ( { { { \tan } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime + \left ( { \ln { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = 2 \tan x \cdot \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime + { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } \cdot \left ( { { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { { 2 \sin x } } { { \cos x } } \cdot \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } + { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } \cdot 2 \cos x \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { \frac { { 2 \sin x } }{ { { { \cos } ^ 2 } x } } \left ( { \frac { 1 } { { \cos x } } – \cos x } \right ) } = { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } \cdot \frac { { 1 – { { \cos } ^ 2 } x } } { { \cos x } } } \\ & = { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 2 } x } } \cdot \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { \cos x } } } = { \frac { { 2 { { \sin } ^ 3 } x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } } = { 2 { \tan ^ 3 } x . } \end {align*}$$

مثال ۱۴ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$y = {\sin ^n}x\cos nx$$ را بیابید.

حل: ابتدا از ضرب دو تابع مشتق می‌گیریم:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { { { \sin } ^ n } x \cos n x } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { { \sin } ^ n } x } \right ) ^ \prime } \cos n x } + { { \sin ^ n } x { \left ( { \cos n x } \right ) ^ \prime } . }$$

در ادامه، با استفاده از قاعده توان و قاعده زنجیره‌ای، داریم:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { n { \sin ^ { n – 1 } } x \cdot { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \cdot \cos { n x } } + { { \sin ^ n } x \left ( { – \sin { n x } } \right ) \cdot { \left ( { n x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { n { \sin ^ { n – 1 } } x \cos x \cos n x } - { n { \sin ^ n } x \sin n x } \\ & = { n { \sin ^ { n – 1 } } x \cdot } \kern0pt{ \left ( { \cos x \cos n x – \sin x \sin n x } \right ) . } \end {align*}$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \cos \left ( { \alpha + \beta } \right ) } = { \cos \alpha \cos \beta } - { \sin \alpha \sin \beta . }$$

در نتیجه، مشتق به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large { y’ \left ( x \right ) } = { n { \sin ^ { n – 1 } } x \cos \left ( { x + n x } \right ) } = { n { \sin ^ { n – 1 } } x \cos \left [ { \left ( { n + 1 } \right ) x } \right ] . }$$

مثال ۱۵ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$\large y = \ln \sqrt { { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } }$$

حل: تابع داده شده ترکیبی از سه تابع است. با استفاده از قواعد زنجیره‌ای و خارج قسمت، داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ \prime & = \left ( { \ln \sqrt { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } } \right ) ^ \prime = { \frac { 1 } { { \sqrt { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } } } \cdot \left ( { \sqrt { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { 1 } { { \sqrt { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } } } } \cdot { \frac { 1 } { { 2 \sqrt { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } } } } \cdot { \left ( { \frac { { 1 – \sin x } } { { 1 + \sin x } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { \frac { { 1 + \sin x } } { { 2 \left ( { 1 – \sin x } \right ) } } } \cdot { \frac { { \left ( { – 2 \cos x } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + \sin x } \right ) } ^ 2 } } } } = { – \frac { { 2 \cancel { \left ( { 1 + \sin x } \right ) } \cos x } } { { 2 \left ( { 1 – \sin x } \right ) { { \left ( { 1 + \sin x } \right ) } ^ \cancel { 2 } } } } } \\ & = { – \frac { { \cos x } } { { \left ( { 1 – \sin x } \right ) \left ( { 1 + \sin x } \right ) } } } = { – \frac { { \cos x } } { { 1 – { { \sin } ^ 2 } x } } } \\ &= { – \frac { \cancel { \cos x } } { { { { \cos } ^ \cancel { 2 } } x } } } = { – \frac { 1 } { { \cos x } } } = { – \sec x . }<br /> \end {align*} $$

مثال ۱۶ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را در $$x = \pi$$ محاسبه کنید.

$$\large y = \left( {2 – {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x$$

حل: از قاعده ضرب و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \left ( { 2 – { x ^ 2 } } \right ) \cos x } \right ) ^ \prime + { \left ( { 2 x \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \left ( { 2 – { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime \cos x } + { \left ( { 2 – { x ^ 2 } } \right ) \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { 2 x } \right ) ^ \prime \sin x } + { 2 x \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { – 2 x \cos x } - { \left ( { 2 – { x ^ 2 } } \right ) \sin x } + { 2 \sin x } + { 2 x \cos x } \\ & = { \cancel { - 2 x \cos x } } - { \cancel { 2 \sin x } } + { { x ^ 2 } \sin x } + { \cancel { 2 \sin x } } + { \cancel { 2 x \cos x } } \\ & = { { x ^ 2 } \sin x . } \end {align*}$$

با قرار دادن $$x = \pi$$، جواب مسئله به دست می‌آید:

$$\large { y ^ \prime \left ( \pi \right ) = { \pi ^ 2 } \sin \pi } = { { \pi ^ 2 } \cdot 0 } = { 0 . }$$

مثال ۱۷ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را در $$x = 0$$ محاسبه کنید:

$$\large y = \left ( { x + 1 } \right ) \cos x + \left ( { x + 2 } \right ) \sin x$$

حل: با استفاده از قاعده ضرب و مشتق توابع مثلثاتی پایه، داریم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \left ( { x + 1 } \right ) \cos x } \right ) ^ \prime + { \left ( { \left ( { x + 2 } \right ) \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \left ( { x + 1 } \right ) ^ \prime \cos x } + { \left ( { x + 1 } \right ) \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { x + 2 } \right ) ^ \prime \sin x } + { \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } \\ & = { \cos x } - { \left ( { x + 1 } \right ) \sin x } + { \sin x } + { \left ( { x + 2 } \right ) \cos x } \\ & = { \cos x } - { x \sin x } - { \cancel { \sin x } } + { \cancel { \sin x } } + { x \cos x } + { 2 \cos x } \\ & = { 3 \cos x + x \left ( { \cos x – \sin x } \right ) . } \end {align*}$$

با قرار دادن $$x = 0$$، جواب مورد نظر به دست می‌آید:

$$\large { y ^ \prime \left ( 0 \right ) } = { 3 \cos 0 + 0 \cdot \left ( { \cos 0 – \sin 0 } \right ) } = { 3 \cdot 1 + 0 } = { 3 . }$$

مثال ۱۸ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را حساب کنید:

$$\large y = { \sec ^ 2 } { \frac { x } { 2 } } + { \csc ^ 2 }{ \frac { x } { 2 } }$$

از قاعده زنجیره‌ای و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { { \sec } ^ 2 } \frac { x } { 2 } + { { \csc } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { { \sec } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime + \left ( { { { \csc } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } \\ & = { 2 \sec \frac { x } { 2 } \cdot \left ( { \sec \frac { x }{ 2 } } \right ) ^ \prime } + { 2 \csc \frac { x } { 2 } \cdot \left ( { \csc \frac { x } { 2 } } \right ) ^ \prime } \\ & = { 2 \sec \frac { x } { 2 } \cdot \tan \frac { x } { 2 } \sec \frac { x } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } + { 2 \csc \frac { x } { 2 } \cdot \left ( { – \cot \frac { x } { 2 } \csc \frac { x } { 2 } } \right ) \cdot \frac { 1 } { 2 } } \\ & = { { \sec ^ 2 } \frac { x } { 2 } \tan \frac { x } { 2 } – { \csc ^ 2 } \frac { x } { 2 } \cot \frac { x } {2 } } = { \frac { { \sin \frac { x } { 2 } } } { { { { \cos } ^ 3 } \frac { x } { 2 } } } – \frac { { \cos \frac { x } { 2 } } } { { { { \sin } ^ 3 } \frac { x } { 2 } } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 4 } \frac { x } { 2 } – { { \cos } ^ 4 } \frac { x } { 2 } } } { { { { \sin } ^ 3 } \frac { x } { 2 } { { \cos } ^ 3 } \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { { \left ( { { { \sin } ^ 2 } \frac { x } { 2 } – { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } \right ) \left ( { { { \sin } ^ 2 } \frac { x }{ 2 } + { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } } \right ) } } { { \frac { 1 } { 8 } \cdot 8 { { \sin } ^ 3 } \frac { x } { 2 }{ { \cos } ^ 3 } \frac { x } { 2 } } } } \\ & = { – \frac { { 8 \left ( { { { \cos } ^ 2 } \frac { x } { 2 } – { { \sin } ^ 2 } \frac { x }{ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 2 \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { { 8 \cos x } } { { { { \sin } ^ 3 } x } } } = { – 8 \cot x \, { \csc ^ 2 } x . } \end {align*}$$

مثال ۱۹ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$y = { \left ( { \tan x } \right ) ^ { \cos x } }$$ را به دست آورید که در آن، $$0 \lt x \lt \frac{\pi }{2}$$.

حل:‌ این تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large { y \left ( x \right ) = { \left ( { \tan x } \right ) ^ { \cos x } } } = { { \left ( { { e ^ { \ln \tan x } } } \right ) ^ { \cos x } } } = { { e ^ { \ln \tan x \cdot \cos x } } . }$$

دقت کنید که با توجه به $$0 \lt x \lt {\large\frac{\pi }{2}\normalsize}$$، همواره نامساوی $$x > 0$$ را خواهیم داشت. با استفاده از قوانین زنجیره‌ای و ضرب، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { { e ^ { \ln \tan x \cdot \cos x } } } \right ) ^ \prime } } = { { e ^ { \ln \tan x \cdot \cos x } } \cdot } \kern0pt{ { \left ( { \ln \tan x \cdot \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = {{\left( {\tan x} \right)^{\cos x}} \cdot}\kern0pt{\left[ {\frac{1}{{\sin x}} – \sin x\ln \tan x} \right] } \\ & = { { \left ( { \tan x } \right ) ^ { \cos x } } \cdot } \kern0pt { \left [ { \frac { 1 } { { \sin x } } – \sin x \ln \tan x } \right ] } \\ & = { { \left ( { \tan x } \right ) ^ { \cos x } } \cdot } \kern0pt{ \left ( { \csc x – \sin x \ln \tan x } \right ) . } \end {align*}$$

مثال ۲۰ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$\large y = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cot x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \tan x}}$$

حل: تابع را برحسب سینوس و کسینوس می‌نویسیم و ساده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y & = \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } } { { 1 + \cot x } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \tan x } } = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x} } { { 1 + \frac { { \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { 1 + \frac { { \sin x } } { { \cos x } } } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 2 } x } }{ { \frac { { \sin x + \cos x } } { { \sin x } } } } + \frac { { { { \cos } ^ 2 } x } } { { \frac { { \cos x + \sin x } } { { \cos x } } } } } = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } + \frac { { { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } } \\ & = { \frac { { { { \sin } ^ 3 } x + { { \cos } ^ 3 } x } } { { \sin x + \cos x } } . } \end {align*}$$

اکنون برای ساده کردن مجدد کسر، از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { \left ( { a + b } \right ) \left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } \right ) }$$

که منجر به عبارت زیر می‌شود:

$$\large y = {\sin ^2}x – \sin x\cos x + {\cos ^2}x.$$

و در نهایت، جواب مسئله با استفاده از قوانین مشتق زنجیره‌ای و ضرب و با کمک جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { { \sin } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime - { \left ( { \sin x \cos x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { { \cos } ^ 2 } x } \right ) ^ \prime } \\ & = { 2 \sin \cos x } - { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime \cos x } - { \sin x \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } + { 2 \cos x \left ( { – \sin x } \right ) } \\ & = { \cancel { 2 \sin x \cos x } } - { { \cos ^ 2 } x } + { { \sin ^ 2 } x } - { \cancel { 2 \sin x \cos x } } \\ & = { – \left ( { { { \cos } ^ 2 } x – { { \sin } ^ 2 } x } \right ) } = { – \cos 2 x . } \end {align*}$$

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس در مورد مشتق توابع مثلثاتی صحبت کردیم و مثال‌های متنوعی را با یکدیگر حل کردیم.