محاسبه جریان سیال – به زبان ساده

قانون توریچلی (Torricelli’s Law)

دانشمند ایتالیلیی، اوانجلیستا توریچلی (Evangelista Torricelli)، جریان سیال را به صورت تجربی مشاهده کرد و در سال ۱۶۴۳ پی برد که سرعت جریان خارج شدن یک سیال از یک سوراخ کوچک در کف یک مخزن باز (شکل ۱)، با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large v = \sqrt { 2 g h } ,$$

$$\large v = \varphi \sqrt { 2 g h } ,$$

که ضریب $$\varphi$$ نزدیک به ۱ است. مقادیر ضریب $$\varphi$$ برای دهانه‌‌هایی با شکل و اندازه متفاوت در کتاب‌های هیدرولیک بیان می‌شود.

محاسبه جریان سیال یک لوله نازک طویل

جریان سیال یک لوله نازک طویل (شکل ۲) تعدادی ویژگی دارد.

فیلم آموزش مدل‌سازی جریان سیال در محیط متخلخل با MATLAB در فرادرس

کلیک کنید

سرعت سیال که از لوله‌های مویرگی بیرون می‌آید، تقریباً متناسب با ارتفاع سیال از دهانه لوله است:

$$\large v = kh,$$

که در آن، $$k$$ یک ثابت مشخص وابسته به ویسکوزیته سیال و هندسه و جنس لوله است.

در ادامه، جریان سیال را با استفاده از معادلات دیفرانسیل برای هر دو نوع لوله بیان می‌کنیم.

معادله دیفرانسیل جریان سیال خروجی

معادله دیفرانسیل جریان سیال را می‌توان با توجه به تعادل سیال در یک لوله به دست آورد.

به عنوان یک مثال، یک ظرف استوانه‌ای را در نظر بگیرید که شعاع آن $$R$$ است. فرض کنید سیال از یک دهانه کوچک به شعاع $$a$$ از کف ظرف خارج می‌شود (شکل ۳).

سرعت سیال با فرمول توریچلی به صورت زیر توصیف می‌شود:

$$\large v = \sqrt {2gz} ,$$

که در آن، $$z$$ ارتفاع سطح سیال از بالای دهانه ظرف است. بنابراین، جریان سیال به صورت زیر خواهد بود:

$$\large q = – \pi { a ^ 2 } \sqrt { 2 g z } .$$

در این فرمول، $$\pi a ^ 2$$ متناظر با مساحت دهانه است که سیال از آن خارج می‌شود و علامت منفی به این معنی است که ارتفاع سیال هنگامی که از مخزن بیرون می‌ریزد کاهش می‌یابد.

معادله تعادل سیال در مخزن به صورت زیر است:

$$\large \frac{{dV}}{{dt}} = q.$$

$$\large dV = S\left( z \right)dz,$$

$$\large \frac { { S \left ( z \right ) d z } } { { d t } } = q \left ( z \right ) .$$

با قرار دادن $$q\left( z \right)$$ در معادله بالا، داریم:

$$\large \frac { { S \left ( z \right ) d z } } { { d t } } = – \pi { a ^ 2 } \sqrt { 2 g z } .$$

سطح مقطع $${S\left( z \right)}$$ مخزن استوانه‌ای به ارتفاع $$z$$ وابسته نیست و به صورت زیر است:

$$\large S \left ( z \right ) = \pi { R ^ 2 } ,$$