قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem) – از صفر تا صد

قضیه پاپوس (Pappus’s Theorem)، که با نام قضیه مرکزوار پاپوس (Pappus’s Centroid Theorem)، قضیه پاپوس-گلدینوس (Pappus-Guldinus Theorem) و قضیه گلدینوس (Guldinus Theorem) نیز شناخته می‌شود، به محاسبه مساحت رویه و حجم جسم حاصل از دوران می‌پردازد. در این آموزش، با قضیه پاپوس آشنا می‌شویم و مثال‌هایی را درباره آن ارائه خواهیم کرد.

قضیه پاپوس برای محاسبه مساحت رویه

اولین قضیه پاپوس بیان می‌کند که مساحت رویه $$A$$ که از دوران منحنی $$C$$ حول محور غیرمتقاطع واقع در صفحه آن به دست آمده است، برابر با حاصل‌ضرب طول $$L$$ منحنی در فاصله $$d$$ است که توسط مرکزوار $$C$$ پیموده شده است:

$$\large A = L d .$$

قضیه پاپوس برای محاسبه حجم حاصل از دوران

دومین قضیه پاپوس بیان می‌کند که حجم فضای حاصل از دورانِ لایه $$F$$ حول یک محور غیرمتقاطع با آن در همان صفحه، برابر است با حاصل‌ضرب مساحت $$A$$ لایه $$F$$ در مسافت $$d$$ پیموده شده توسط مرکزوار $$F$$:

$$\large V = A d .$$

حجم و مساحت رویه یک چنبره

یک چنبره (Torus) جسم یا فضای حاصل از دوران یک دایره حول یک محور هم‌صفحه با آن است.

$$\large { A = L d = 2 \pi r \cdot 2 \pi R } = { 4 { \pi ^ 2 } r R . }$$

حجم درون چنبره نیز از قضیه دوم پاپوس به دست می‌آید:

$$\large { V = A d = \pi { r ^ 2 } \cdot 2 \pi R } = { 2 { \pi ^ 2 } { r ^ 2 } R . }$$

از قضیه پاپوس می‌توان به صورت معکوس و برای یافتن مرکزوار یک منحنی نیز استفاده کرد.

مثال‌ها

در این بخش، مثال‌های متنوعی از قضیه پاپوس را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

حل: با داشتن اندازه ضلع $$a$$، می‌توانیم به سادگی فاصله مرکز چنبره از محور دوران ($$m$$) را پیدا کنیم:

$$\large m = \frac { a } { 2 } \cot 3 0 ^ { \circ } = \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } .$$

بنابراین، مسافت پیموده شده $$d$$ توسط مرکزوار $$C$$ با دوران شش‌ضلعی، به فرم زیر نوشته می‌شود:

$$\large { d = 2 \pi m = 2 \pi \cdot \frac { { a \sqrt 3 } } { 2 } } = { \pi a \sqrt 3 . }$$

مساحت $$A$$ شش‌ضلعی برابر است با:

$$\large A = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } .$$

با استفاده از دومین قضیه پاپوس، حجم حاصل از دوران به دست می‌آید:

$$\large { V = A d = { a ^ 2 } \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } \cdot \pi a \sqrt 3 } = { \frac { { 9 \pi { a ^ 3 } } } { 2 } . }$$

مثال ۲

مرکزوار یک نیم‌دایره یکنواخت به شعاع $$R$$ را محاسبه کنید.

حل: فرض می‌کنیم $$m$$ فاصله بین مرکزوار $$G$$ و محور دوران باشد. وقتی نیم‌دایره یک دور کامل بچرخد، مرکزوار مسیر $$d$$ را می‌پیماید که برابر است با:

$$\large d = 2 \pi m .$$

جسم حاصل از دوران، یک کره با حجم زیر است:

$$\large V = \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } .$$

طبق دومین قضیه پاپوس، رابطه زیر را داریم:

$$\large V = A d$$

که در آن، $$A = \large{\frac{{\pi {R^2}}}{2}}\normalsize$$ مساحت نیم‌دایره است.

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large { m = \frac { V } { { 2 \pi A } } } = { \frac { { \frac { { 4 \pi { R ^ 3 } } } { 3 } } } { { 2 \pi \cdot \frac { { \pi { R ^ 2 } } } { 2 } } } } = { \frac { { 4 R } } { { 3 \pi } } } \approx { 0 . 4 2 R }$$

مثال ۳

حل: حجم حاصل از دوران را می‌توان با استفاده از قضیه دوم پاپوس تعیین کرد:

$$\large V = A d .$$

در یک دور، مسافت $$d$$ توسط مرکزوار بیضی پیموده می‌شود که اندازه آن برابر است با:

$$\large d = 2 \pi m .$$

مساحت بیضی نیز با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\large A = \pi a b .$$

بنابراین، حجم برابر است با:

$$\large { V = A d = \pi a b \cdot 2 \pi m } = { 2 { \pi ^ 2 } m a b . }$$

به طور خاص، وقتی $$m = 2 b$$، حجم برابر با $$V = 4{\pi^2}a{b^2}$$ خواهد بود.

مثال ۴

مثلثی با رئوس $$A\left( {1,2} \right)$$، $$B\left( {2,6} \right)$$ و $$C\left( {6,2} \right)$$ حول محور $$x$$ دوران می‌کند. حجم حاصل از این دوران را به دست آورید.

$$ \large { \Delta = \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> { { x _ B } – { x _ A } } & { { y _ B } – { y _ A } } \\<br /> { { x _ C } – { x _ A } } & { { y _ C } – { y _ A } }<br /> \end {array} } \right | } = { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }<br /> 1 & 4 \\<br /> 5 & 0<br /> \end {array} } \right | } = { – 2 0 . } $$