رسم تابع – با مثال های حل شده

در این آموزش، روش و الگوریتم نظام‌مند رسم توابع مختلف را ارائه می‌کنیم. چند مثال مختلف نیز برای درک بهتر رسم تابع ارائه شده است.

رسم تابع

گام‌های کلی رسم نمودار تابع $$y = f (x )$$ به صورت زیر است:

1. دامنه تابع، نقاط ناپیوستگی و مجانب‌های قائم (در صورت وجود) را تعیین کنید.
2. زوج و فرد یا متناوب بودن تابع را مشخص کنید.
3. مجانب‌های مایل و افقی تابع را به دست آورید.
4. نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را تعیین کنید که در آن، تابع یک علامت ثابت ($$f (x)>0$$ یا $$f (x ) < 0$$) دارد.
5. مشتق اول ($$f’\left( x \right)$$)، نقاط اکسترمم و بازه‌های صعودی یا نزولی بودن تابع را محاسبه کنید.
6. مشتق دوم ($$f ^ {\prime \prime} (x)$$)، نقاط عطف و بازه‌های مقعر یا محدب بودن تابع را تعیین کنید.
7. نمودار تابع را رسم کنید.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌های متنوعی را برای رسم نمودار توابع بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$\large y = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x$$

حل: تابع در همه $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده است. در نتیجه، این تابع مجانب قائم ندارد. وجود مجانب مایل را با محاسبه شیب تابع بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } } { x } }\\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = + \infty . } \end {align*}$$

در نتیجه، تابع مجانب مایل نیز ندارد. اکنون نقاط برخورد نمودار را با محورهای مختصات تعیین می‌کنیم:

$$\large y\left( 0 \right) = 0$$

در ادامه، معادله زیر را حل می‌کنیم:

$$\large {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0$$

جواب‌های این معادله به صورت زیر هستند:

$$\large { x \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = 1 , \; { x _ 3 } = 2 }$$

بازه‌هایی را که در آن‌ها تابع مثبت یا منفی است، می‌توان با حل نامساوی‌های زیر تعیین کرد (شکل 1 (الف)):

$$\large { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x > 0 , \; \; } \Rightarrow { x \left ( { x – 1 } \right ) \left ( { x – 2 } \right ) > 0 . }$$

مشتق اول تابع برابر است با:

$$\large { y ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } \right ) ^ \prime } } = { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 . }$$

نقاط اکسترمم یا مانای تابع، با صفر قرار دادن مشق اول آن به دست می‌آیند:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 6 } } = { 1 \pm \sqrt 3 \approx 0.42 ; \; 1.58.} \end {align*}$$

وقتی از نقطه $$x = 1 – {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ می‌گذریم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند (شکل 1 (الف)). بنابراین، این نقطه، نقطه ماکزیمم است. به طور مشابه، می‌توان گفت که $$x = 1 + {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ نقطه مینیمم است. مقدار تقریبی تابع در نقاط ماکزیمم و مینیمم برابر است با:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel}<br /> y \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) &<br /> = { { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } }<br /> – { 3 { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> + { 2 \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) }<br /> \\ & = { 1 – 3 \cdot \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { 3 \cdot { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> – { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } } \\ &<br /> \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – { 3 \left [ { 1 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] }<br /> + { 2 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \cancel { 1 } – \sqrt 3 + \cancel { 1 } }<br /> – { \frac { { \sqrt 3 } } { 9 } – \cancel { 3 } }<br /> + { 2 \sqrt 3 – \cancel { 1 } + \cancel { 2 } }<br /> – { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \frac { { 9 \sqrt 3 – \sqrt 3 – 6 \sqrt 3 } } { 9 } }<br /> = { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx 0.38 ; }<br /> \end {align*} $$

به طریق مشابه، داریم:

$$\large { y \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } = -{ \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx -0.38 . }$$

بنابراین، تابع یک ماکزیمم محلی در نقطه زیر دارد:

$$\large \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 0 .42 ; \; 0.38 } \right ) .$$

به همین ترتیب، نقطه زیر یک مینیمم محلی برای تابع است:

$$\large \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , - \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 1 .5 8 ; \; - 0. 3 8 } \right)$$

بازه‌های صعودی و نزولی بودن تابع، در شکل ۱ (الف) نشان داده شده‌اند.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:‌

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 } \right ) ^ \prime } = { 6 x – 6 ; } \\ y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 6 x – 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 1 . } \end {align*}$$

اگر $$x \le 1$$، تابع محدب رو به بالا است و اگر $$x \ge 1$$، محدب رو به پایین خواهد بود. بنابراین، $$x = 1$$ یک نقطه عطف است. در این نقطه داریم:

$$\large y \left ( 1 \right ) = { 1 ^ 3 } – 3 \cdot { 1 ^ 2 } + 2 \cdot 1 = 0 .$$

مهارت رسم درست نمودار توابع هم از لحاظ کاربردی بسیار مفید است و هم از جهت تحصیلی برای شرکت در امتحانات و آزمون‌های مختلف لازم است. برای کسب این مهارت پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزشی رایگان زیر را مشاهده کنید. در این فیلم مفاهیم و مثال‌های مختلفی را بررسی کرده‌ایم.

جدول زیر، خلاصه اطلاعات مربوط به تابع را نشان می‌دهد.

با اطلاعاتی که به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار تابع را رسم کنیم (شکل ۱ (ب)).

مثال ۲

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x – 1} \right).$$

حل: تابع فوق برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم وجود نخواهد داشت. در نتیجه، وجود مجانب‌ مایل یا افقی را تحقیق می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } + { 3 { x ^ 2 } } – { 4 } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } + 3 x – \frac { 4 } { x } } \right ) = + \infty . } \end {align*}$$

از آنجایی که شیب $$k$$ بی‌نهایت است، تابع مجانب مایل نیز ندارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} y \left ( 0 \right ) & = { 2 ^ 2 } \cdot \left ( { – 1 } \right ) = – 4 ;\\ y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { x _ 1 } = – 2 , \; { x _ 2 } = 1 . } \end {align*}$$

تابع در $$x > 1$$ مثبت و در $$x \in \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( { – 2,1} \right)$$ منفی است (شکل 2 (الف)).

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} y ’ \left ( x \right ) & = { \left [ { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { 2 \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) + { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } } \\ &= { \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { 2 x – \cancel { 2 } + x + \cancel { 2 } } \right ) } = { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) . }<br /> \end {align*} $$

نقاط مانا نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large { y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \;{ x _ 2 } = – 2 . }$$

تغییر علامت مشتق در شکل 2 (الف) نشان داده شده است. بنابراین، $$x = - 2$$ یک نقطه ماکزیمم و $$x = 0$$ یک نقطه مینیمم است. مقادیر زیر، نقاط اکسترمم تابع را نشان می‌دهند:

$$\large { y \left ( { – 2 } \right ) = – 4 , } \; \; \; \kern-0.3pt { y \left ( 0 \right ) = 0 . }$$

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left [ {3x\left( {x + 2} \right)} \right]^\prime } } = {3\left( {x + 2} \right) + 3x } = {6x + 6.}$$

بنابراین، تابع در $$x <-1$$ اکیداً محدب رو به بالا و برای $$x \gt -1$$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه، $$x = -1$$ یک نقطه عطف است و داریم:

$$\large y \left ( { – 1 } \right ) = { \left ( { – 1 + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { – 1 – 1 } \right ) = – 2 .$$

شکل 2 (ب) نمودار تابع مورد نظر را نشان می‌دهد.

مثال ۳

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } .$$

حل: تابع برای تمام مقادیر حقیقی $$x$$ تعریف شده است. بنابراین مجانب قائم ندارد. با توجه به رابطه زیر، تابع در $$y = 0$$ یک مجانب افقی دارد:

$$\large { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } y \left ( x \right ) } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = 0 }$$

تابع این مثال زوج است. در واقع، داریم:‌

$$\large { y \left ( { – x } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = y \left ( x \right ) . }$$

واضح است که تابع ریشه مثبت ندارد و مقدار آن در $$x = 0$$ برابر است با:

$$\large y \left ( 0 \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { 0 ^ 2 } } } = 1 .$$

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } \cdot { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

با توجه به رابطه اخیر، $$x = 0$$ یک نقطه مانا است. وقتی از این نقطه بگذریم،‌ مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد (شکل ۳ (الف)). بنابراین، یک ماکزیمم در $$x = 0$$ داریم که مقدار آن $$y (0) = 1$$ است.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left( { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { { 2 { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } – 2 x \cdot 2 \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 8 { x ^ 2 } – 2 – 2 { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } } = { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } . } \end {align*}$$

مشتق دوم، در نقاط زیر برابر با صفر می‌شود:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { 2 \left ( { x – \sqrt 3 } \right ) \left ( { x + \sqrt 3 } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ 1 } = – \sqrt 3 , \; { x _ 2 } = \sqrt 3 . } \end {align*}$$

هنگام گذر از این نقاط، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند. بنابراین، هر دو نقطه، نقاط عطف تابع هستند. تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty , – \sqrt 3 } \right)$$ و $$\left( {\sqrt 3 , + \infty } \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین و در بازه $$\left( { – \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right)$$ اکیداً محدب رو به بالا است. از آنجایی که تابع زوج است، مقدار آن در دو نقطه عطف با هم برابر است:

$$\large { y \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + 3 } } = \frac { 1 } { 4 } . }$$

شکل ۳ (ب) نمودار منحنی تابع را نشان می‌دهد.

مثال ۴

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = { x ^ 3 } { e ^ x } .$$

حل: تابع، در کل محدوده اعداد حقیقی تعریف شده و مشتق‌پذیر است. در این حالت، مجانب قائم وجود ندارد. بنابراین، وجود مجانب‌های مایل را تحقیق می‌کنیم. بدین منظور حدهای زیر را می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \lim \limits _ { x \to + \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) & = + \infty ; \\<br /> { \lim \limits _ { x \to – \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) }<br /> & = { \lim \limits _ { x \to – \infty } \frac { { \left ( { – { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } \right ) } } { { { e ^ { – x } } } } }<br /> = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } {l} }<br /> { – x = z , } \\<br /> { x \to – \infty , } \\<br /> { z \to + \infty } \\<br /> \end {array} } \right ] } \\ &<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { z ^ 3 } } } { { { e ^ z } } } }<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 3 { z ^ 2 } } } { { { e ^ z } } } }<br /> \\ & = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 6 z } } { { { e ^ z } } } }<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { 6 } { { { e ^ z } } } = 0 . }<br /> \end {align*} $$

برای محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $$\left( { – x} \right) \to z$$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است. مشاهده می‌کنیم که وقتی $$x \to -\infty$$، تابع به صفر میل می‌کند که نشان دهنده وجود مجانب افقی $$y = 0$$ است.

ریشه‌های تابع به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$\large { y \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } { e ^ x } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 0 . }$$

تابع برای $$x \gt 0$$، مثبت و در $$x \lt 0$$ منفی است (شکل ۴ (الف)).

اکنون مشتق اول را محاسبه و نقاط اکسترمم و بازه‌های یکنوا بودن تابع را بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } { e ^ x } + { x ^ 3 } { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 3 { x ^ 2 } { e ^ x } + { x ^ 3 } { e ^ x } } = { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) . } \end {align*}$$

بازه‌های ثابت بودن علامت مشتق اول در شکل ۴ (الف) نشان داده شده است. تابع در بازه $$\left( { – \infty , – 3} \right)$$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$\left( { -3,0} \right)$$ و $$\left( {0, + \infty} \right)$$ اکیداً صعودی است. بنابراین، نقطه $$x = - 3$$ یک نقطه مینیمم است. نقطه بحرانی دیگر $$x = 0$$، یک اکسترمم محلی نیست، زیرا وقتی نمودار از آن عبور می‌کند، علامت مشتق تغییر نمی‌کند. در نقطه مینیمم داریم:‌

$$\large { y \left ( { – 3 } \right ) = { \left ( { – 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 } } } \kern0pt { \approx – 27 \cdot 0.0 4 9 8 \approx – 1 . 3 4 }$$

حال مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left [ { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } { \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } } \\ &= { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } \left ( { 6 x + 3 { x ^ 2 } } \right ) } \\ & = { { e ^ x } \left ( { { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } + 6 x } \right ) } = { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) . } \end {align*}$$

ریشه‌های مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } + 6 x + 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 6 = 1 2 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 2 } = – 3 \pm \sqrt 3 \; } \kern0pt { \approx – 4.73 ; \; – 1.27 . } \end {align*}$$

این ریشه‌ها برابرند با:

$$\large { { x _ 1 } = – 3 – \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 3 + \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . }$$

وقتی نمودار تابع از هر یک از این نقاط می‌گذرد، علامت مشتق تغییر می‌کند (شکل ۴ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مقادیر تقریبی مربوط به مختصه $$y$$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large \begin {align*} y \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right) & = { { \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 – \sqrt 3 } } } { \approx – 0.9 3 ; } \\ { y \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) } & = { { \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 + \sqrt 3 } } } { \approx – 0. 5 7 ; } \\ y \left ( 0 \right ) & = 0 . \end {align*}$$

با مشخصاتی که از تابع به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار آن را به صورت شکل ۴ (ب) رسم کنیم.

مثال ۵

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = {x^2}{e^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}.$$

حل: تابع در نقطه $$x =0$$ تعریف نشده است و در این نقطه ناپیوستگی دارد. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}<br /> { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) = 0 ; } \\<br /> { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) }<br /> & = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }<br /> = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { { { \left ( { \frac { 1 } { x} } \right ) } ^ 2 } } } }<br /> \\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { \frac { 1 } { x } = z , } \\<br /> { x \to 0 + , } \\<br /> { z \to + \infty }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { { z ^ 2 } } } }<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { 2 z } } } \\ &<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { 2 } = + \infty . }<br /> \end {align*} $$

در محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $${{\large\frac{1}{x}\normalsize} \to z}$$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است.

بنابراین، خط $$x = 0$$ (یعنی محور $$y$$)، یک مجانب قائم تابع است. جز در $$x=0$$، تابع همواره مثبت بوده و حد سمت چپ آن $$y\left( { – 0} \right) = 0$$ است. مجانب‌های مایل را در $$x \to \pm \infty$$ نیز باید بررسی کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x }<br /> = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { x } }<br /> \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }<br /> = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { {{ e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { x } } } }<br /> \\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { \frac { 1 } { x } = z , } \\<br /> { x \to \pm \infty , } \\<br /> { z \to 0 }<br /> \end{array} } \right ] }<br /> = { \lim \limits _ { z \to 0 } \frac { { { e ^ z } } } { z } = \infty .}<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل وجود ندارد.

اکنون مشتق اول و نقاط مانا را تعیین می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } – { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) ; } \\ y’\left( x \right) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 x – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { 1 } { 2 } . } \end {align*}$$

مشتق در سمت چپ $$x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ منفی و در سمت راست آن مثبت است (شکل 5 (الف)). بنابراین، $$x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ یک نقطه مینیمم است. مقدار تابع در این نقطه برابر است با:

$$\large { y \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } = { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 }{ { \frac { 1 } { 2 } } } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { 4 } { e ^ 2 } \approx 1 . 8 5 . }$$

مشتق دوم تابع به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } \left ( { 2 x – 1 } \right ) + { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } { \left ( { 2 x – 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 2 x – 1 } \right ) + 2 { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \\ &= { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 – \frac { { 2 x – 1 } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \frac { { 2 { x ^ 2 } – 2 x + 1 } } { { { x ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

صورت کسر عبارت اخیر ریشه حقیقی ندارد و همیشه مثبت است. با توجه به وجود جمله $$x ^ 2$$ مخرج، می‌توانیم بگوییم که مشتق دوم در $$x \ne 0$$ مثبت است. بنابراین، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty ,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه نقطه عطف وجود ندارد.

نمودار تابع در شکل ۵ (ب) رسم شده است.

مثال ۶

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$\large y = \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } .$$

حل: تابع جز در $$x = 0$$ برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$\large { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = + \infty , } \; \; \; \kern-0.3pt { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = – \infty . }$$

بنابراین، خط $$x =0$$ (محور $$y$$)، یک مجانب قائم است. حال وجود مجانب‌های مایل و افقی را بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 4 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } } { 1 } = 0 ; } \\ b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } – 0 } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } }} } { 1 } = 0 . } \end {align*}$$

بنابراین، $$y = 0$$ یک مجانب افقی برای نمودار تابع است.

تابع فرد است، زیرا:

$$\large { y \left ( { – x } \right ) } = { \frac { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 }} } = – y \left ( x \right ) . }$$

اکنون نقاط تقاطع نمودار تابع را با محور $$x$$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { x ^ 2 } – 1 = 0 } \\<br /> { { x ^ 4 } \ne 0 }<br /> \end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm 1 . }<br /> \end {align*} $$

مقدار تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {1, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه‌های $$\left( {-\infty, -1} \right)$$ و $$\left( {0,1} \right)$$ منفی است (شکل ۶ (الف)).

مشتق اول تابع، به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { { \left( { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { x ^ { – 1 } } – { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } } = { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } + \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } . } \end {align*}$$

نقاط مانا برابرند با:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; & \Rightarrow<br /> { \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } = 0 , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { 3 – { x ^ 2 } = 0 } \\<br /> { { x ^ 4 } \ne 0 }<br /> \end {array} } \right . , \; \; }\\ & \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 3 \approx 1.73 . }<br /> \end {align*} $$

نقطه $$x = – \sqrt 3$$، یک نقطه مینیمم است که با عبور نمودار از آن، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۶ (الف)). نقطه $$x = \sqrt 3$$، یک نقطه ماکزیمم است. مقدار تابع در این دو نقطه برابر است با:

$$\large \begin {align*} { y \left ( { – \sqrt 3 } \right) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx – 0 . 3 8 } \\ y \left ( { \sqrt 3 } \right) & = \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx 0 . 3 8 . \end {align*}$$

مشتق دوم تابع نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \right ) ^ \prime } } = { 2 { x ^ { – 3 } } – 1 2 { x ^ { – 5 } } } \\ & = { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { { 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 { x ^ 2 } – 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } .} \end {align*}$$

عبارت بالا در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { x ^ 2 } – 6 = 0 } \\<br /> { { x ^ 5 } \ne 0 }<br /> \end{array}} \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 6 \approx \pm 2 . 4 5 . }<br /> \end {align*} $$

همانطور که در شکل ۶ (الف) می‌بینیم، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty , – \sqrt 6 } \right)$$ و $$\left( {0, \sqrt 6 } \right)$$ اکیداً محدب رو به بالا و در بازه‌های $$\left( {-\sqrt 3, 0 } \right)$$ و $$\left( {\sqrt 6, +\infty } \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین است. وقتی نمودار از نقاط $$x = – \sqrt ۶$$ و $$x = \sqrt ۶$$ عبور می‌کند، علامت مشتق آن تغییر می‌کند. بنابراین، این نقاط، نقطه عطف هستند. مقادیر تابع در این نقاط برابر است با:‌

$$\large \begin {align*} { y \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx – 0 . 3 4 } \\ y \left ( { \sqrt 6 } \right) & = \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx 0 . 3 4 . \end {align*}$$

اکنون با اطلاعاتی که از تابع به دست آوردیم می‌توانیم نمودار تابع را مطابق شکل ۶ (ب) رسم کنیم.

مثال ۷

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

حل: تابع در کل بازه اعداد حقیقی تعریف شده است و همانطور که می‌بینیم از نقاط $$x = 0$$ و $$x = -1$$ می‌گذرد. همچنین، تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه $$\left( {-\infty, -1} \right)$$ منفی است (شکل ۷ (الف)).

از آنجایی که تابع در کل بازه اعداد حقیقی پیوسته است، مجانب قائم ندارد. بنابراین باید وجود مجانب مایل یا افقی را تحقیق کنیم:

در نتیجه، مجانب مایل زیر را داریم:

$$\large y = x + { \large \frac { 1 } { 3 }\normalsize } .$$

مشتق تابع، برابر است با:

بنابراین، نقاط بحرانی تابع به صورت زیر هستند:

$$\large { { x _ 1 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 2 } { 3 } . }$$

در دو نقطه نخست، مشتق وجود ندارد. البته وقتی تابع از نقطه $$x = 0$$ می‌گذرد، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). بنابراین، یک مینیمم در این نقطه (نقطه بازگشت) وجود دارد. مقدار تابع در $$x = 0$$ را قبلاً $$y (0) = 0$$ به دست آوردیم. در $$x = - 1$$ هیچ نقطه اکسترممی وجود ندارد، زیرا وقتی نمودار از این نقطه عبور می‌کند، مشتق تغییر علامت نمی‌دهد. در نقطه $$x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ مشتق برابر با صفر است و هنگام عبور نمودار از این نقطه، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. در نتیجه، واضح است که تابع در $$x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ یک ماکزیمم دارد که مقدار آن برابر است با:‌

اکنون نقاط عطف ممکن و تحدب تابع را بررسی می‌کنیم. ابتدا مشتق دوم تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

بنابراین، مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود. البته نقطه تکین $$x = - 1$$، یک نقطه عطف است، زیرا با عبور نمودار از آن، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). در مقابل، نقطه تکین دیگر $$x = 0$$، نقطه عطف نیست. تابع در بازه $$\left( { – \infty , – 1} \right)$$ محدب رو به پایین و در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ محدب رو به بالا است.

با توجه به اطلاعاتی که از تابع استخراج کردیم، نمودار آن در شکل ۷ (ب) رسم شده است.

مثال ۸

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } .$$

حل: واضح است که تابع در $$x \ge -1$$ تعریف شده است و برد آن، نامنفی است. تابع مجانب ندارد.

نقاط تقاطع منحنی و محورهای مختصات، به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} y \left ( 0 \right ) & = { 0 ^ 2 } \sqrt { 0 + 1 } = 0 ; \\ y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = – 1 . } \end {align*}$$

در نتیجه، نقاط تقاطع، $$(0,0)$$ و $$(-1,0)$$ خواهند بود.

مشتق تابع، برابر است با:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } } \right ) ^ \prime } } = { 2 x \cdot \sqrt { x + 1 } + { x ^ 2 } \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { 2 x \sqrt { x + 1 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 \sqrt { x + 1 } }} } = { \frac { { 4 x \left ( { x + 1 } \right ) + { x ^ 2 } } }{ { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { \frac { { 5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } . } \end {align*}$$

نقاط بحرانی تابع، به صورت زیر هستند:

$$\large { { x _ 1 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 4 } { 5 } . }$$

تابع در بازه‌های $$\left( { – 1, – {\large\frac{4}{5}\normalsize}} \right)$$ و $$\left( {0, + \infty } \right)$$ صعودی، و در بازه $$\left( {- {\large\frac{4}{5}\normalsize}, 0} \right)$$ نزولی است.

در نقطه $$x = – {\large\frac{4}{5}\normalsize}$$، ماکزیمم تابع برابر است با:

$$\large { y \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) } = { { \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) ^ 2 } \sqrt { – \frac { 4 } { 5 } + 1 } } = { \frac { { 1 6 } } { { 2 5 \sqrt 5 } } \approx 0.28.}$$

در نقطه $$x=0$$ نیز مینیمم $$y\left( 0 \right) = 0$$ وجود دارد.

اکنون مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { {5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt {x + 1 } } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \left ( { 2 0 x + 8 } \right ) \left ( { x + 1 } \right ) – \left ( { 5 { x ^ 2 } + 4 x } \right ) } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } \\ & = { \frac { { \color{ blue } { 2 0 { x ^ 2 } } + \color { red } { 8 x } + \color {red} { 2 0 x } + \color {green} { 8 } – \color {blue} { 5 { x ^ 2 } } – \color {red} { 4 x } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } = { \frac { { \color {blue} { 1 5 { x ^ 2 } } + \color {red} { 2 4 x } + \color {green} { 8 } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } .}<br /> \end {align*} $$

عبارت بالا، در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { 1 5 { x ^2 } + 2 4 x + 8 } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { 1 5 { x ^ 2 } + 2 4 x + 8 = 0 } \\<br /> { x \ne – 1 }<br /> \end {array} } \right. , \; \; } \Rightarrow<br /> { D = 5 7 6 – 4 \cdot 1 5 \cdot 8 = 9 6 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 4 \pm \sqrt { 9 6 } } } { { 3 0 } } }<br /> = { \frac { { – 2 4 \pm 4 \sqrt 6 } } { { 3 0 } } }<br /> \\ & = { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 \pm \sqrt 6 } \right ) } \approx { - 1 . 1 3 ; \; – 0.47. }<br /> \end {align*} $$

یکی از ریشه‌ها برابر است با:

$$\large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 – \sqrt 6 } \right ) \approx – 1 . 1 3$$

همان‌طور که می‌بینیم، این ریشه در دامنه تابع وجود ندارد. ریشه دیگر، به صورت زیر است:

$$\large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) \approx – 0 . 4 7$$

وقتی از نقطه بالا عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۸ (الف)). بنابراین، این نقطه یک نقطه عطف است. مقدار تابع در این نقطه، تقریباً برابر است با:

$$\large { y \left ( { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) } \right ) } \approx { y \left ( { – 0 . 4 7 } \right ) \approx 0 . 1 6 . }$$

منحنی تابع، در سمت چپ این نقطه محدب رو به بالا و در سمت راست آن محدب رو به پایین است.

نمودار تابع، در شکل ۸ (ب) نشان داده شده است.

مثال ۹

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } .$$

حل: دامنه تابع، $$x \ne 0$$ است. در نقطه $$x = 0$$ یک ناپیوستگی وجود دارد. با محاسبه حدهای یک‌طرفه، داریم:

$$\large \begin {align*} \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } }{ { { x ^ 2 } } } } = { - \infty , } \\ { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { - \infty . } \end {align*}$$

بنابراین، $$x = 0$$ یک مجانب قائم است.

اکنون وجود مجانب‌های مایل را بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 3 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 3 } = 1 ; } \\<br /> b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 }} } – x } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \cancel { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 – \cancel { x ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { – 3 + \frac { 3 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) = – 3 . }<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$\large y = x – 3 .$$

تقاطع تابع با محور $$x$$ در نقطه $$x = 1$$ رخ می‌دهد. تابع برای $$x > 1$$ مثبت، و در $$x < 1$$ منفی است (جز نقطه $$x = 0$$ که در آن، تعریف نشده است).

مشتق اول با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } \right ) } ^ \prime } { x ^ 2 } – { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } ^ \prime } } } { { { x ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 3 { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } { x ^ 2 } – 2 x { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } { { { x ^ 3 } } } . } \end {align*}$$

بنابراین، نقاط بحرانی به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} { { x _ 1 } = 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 2 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . } \end {align*}$$

تابع، در بازه $$\left({- 2,0}\right)$$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$\left({-\infty, -2}\right)$$، $$\left({0, 1}\right)$$ و $$\left({1, +\infty}\right)$$ اکیداً صعودی است.

در نقطه $$x = - 2$$، تابع ماکزیمم شده و مقدار آن برابر است با:

$$\large { y \left ( { – 2 } \right ) = \frac { { { { \left ( { – 2 – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { 2 ^ 2 } } } } = { – \frac { { 2 7 } }{ 4 } } = { – 6 . 7 5 .}$$

در نقطه $$x = 1$$، اکسترمم وجود ندارد، زیرا وقتی از این نقطه عبور می‌کنیم، علامت مشتق تغییری نمی‌کند.

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } {{ { x ^ 3 } } } } \right ] ^ \prime } } = { { \left [ { { { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2 } \left ( { 1 + \frac { 1 }{ x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left [ { \left ( { 1 – \frac { 2 } { x } + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 1 + \frac { 1 } { x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } + 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { 2 { x ^ { – 3 } } – 3 { x ^ { – 2 } } + 1 } \right ) ^ \prime } } = { – 6 { x ^ { – 4 } } + 6 { x ^ { – 3 } } = \frac { 6 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 6 \left ( { x – 1 } \right ) } } { { { x ^ 4 } } } . } \end {align*}$$

با توجه به فرمول بالا، در $$x = 0$$ مشتق دوم $$y^{\prime\prime} = 0$$ را داریم. در سمت راست این نقطه، $$y^{\prime\prime} \gt 0$$ و در سمت چپ آن، نامساوی $$y^{\prime\prime} \lt 0$$ را خواهیم داشت. بنابراین، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty ,0} \right)$$ و $$\left( { 0, 1} \right)$$ محدب رو به بالا و در بازه $$\left( {1, +\infty} \right)$$ محدب رو به پایین است. نقطه $$x = 1$$، یک نقطه عطف است و در آن، $$y\left( 1 \right) = 0$$.

نمودار تابع در شکل ۹ (ب) رسم شده است.

مثال ۱۰

منحنی تابع زیر را رسم کنید:

حل: تابع برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم نداریم. اگر کمی دقت کنیم، می‌بینیم که تابع فرد است:

با محاسبه حدهای زیر، وجود مجانب مایل یا افقی را بررسی می‌کنیم:

بنابراین، نمودار تابع، مجانبی دارد که معادله آن $$y = x$$ است. با توجه به اینکه تابع فرد است، مجانب علاوه بر $$x \to +\infty$$، در  $$x \to -\infty$$ نیز وجود دارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را که در آن، علامت تابع تغییر نمی‌کند نیز به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

نامساوی $$y\left( x \right) \gt 0$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

نامعادله بالا را می‌توان با استفاده از روش بازه‌ها حل کرد (شکل ۱۰ (الف)). می‌بینیم که تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( { 1, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه‌های $$\left( { -\infty, -1} \right)$$ و $$\left( {0,1} \right)$$ منفی است.

مشتق تابع، برابر است با:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 3 } – x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { 3 }{ \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) ^ { – \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } \cdot \left ( { 3 { x ^ 2 } – 1 } \right ) } = { \frac { { 3 { x ^ 2 } – 1 } } { { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ 2 } } } } } . } \end {align*}$$

مشتق در $$x = 0$$ و $$x = \pm 1$$ وجود ندارد و در نقاط زیر، برابر با صفر است:

بنابراین، تابع پنج نقطه بحرانی دارد. تغییر علامت مشتق، هنگام عبور از این نقاط در شکل ۱۰ (الف) نشان داده شده است. نقطه $$x = – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}$$، یک نقطه ماکزیمم و $$x = {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}$$ یک مینیمم برای تابع است (با توجه به فرد بودن تابع، تقارن این نقاط قابل انتظار بود). مقادیر ماکزیمم و مینیمم متناظر با این نقاط به صورت زیر هستند:

 $$\large \begin {align*} y \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) & = { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { { \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } ^ 3 } – \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { \frac { 1 }{ { 3 \sqrt 3 } } – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } } } \\ & = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { { 1 – 3 } } { { 3 \sqrt 3 } } } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } } } \approx - 0 . 7 3 ; \; \; } \\ & \Rightarrow { y \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) = 0 . 7 3 .} \end {align*}$$

مشتق دوم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود و (مشابه مشتق اول) در نقاط $$x = 0$$ و $$x = \pm 1$$ نیز وجود ندارد. وقتی از این نقاط عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۱۰ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مختصات این نقاط $$\left( {0,0} \right)$$، $$\left( {-1,0} \right)$$ و $$\left( {1,0} \right)$$ است. در نهایت، نمودار تابع به صورت شکل ۱۰ (ب) در خواهد آمد.

مثال ۱۱

منحنی معادلات پارامتری زیر را رسم کنید.

$$\large { x = { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t . }$$

حل: نمودارهای دو تابع $$x (t)$$ و $$y (t)$$ را در نظر می‌گیریم. هر دو تابع، چندجمله‌ای‌های مرتبه سوم هستند که در $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده‌اند. مشتق تابع $$x (t)$$ به صورت زیر است:

$$\large { x ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 . }$$

با حل معادله $$x’\left( t \right) = 0$$، نقاط مانای تابع $$x (t)$$ را تعیین می‌کنیم:

$$\large \begin{align*} x ’ \left ( t \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 \pm \sqrt { 1 6 } } } { 6 } = – 1 ; \; \frac { 1 } { 3 } . } \end {align*}$$

در $$t = 1$$، تابع $$x (t)$$ به مقدار ماکزیمم می‌رسد:

$$\large { x \left ( { – 1 } \right ) } = { { \left ( { – 1 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 } \right ) ^ 2 } – \left ( { – 1 } \right ) } = { 1 }$$

و در نقطه $$t = {\large\frac{1}{3}\normalsize}$$ یک مینیمم وجود دارد:‌

$$\large \begin{align*} x \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 7 } } + \frac { 1 } { 9 } – \frac { 1 } { 3 } = – \frac { 5 } { { 2 7 } } . } \end {align*}$$

اکنون مشتق تابع $$y (t)$$ را در نظر بگیرید:

$$\large { y ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 .}$$

به طریق مشابه، نقاط مانای $$y(t)$$ به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} { y’ \left ( t \right ) = 0 , \; \; } & \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 4 \pm \sqrt { 6 4 } } } { 6 } = – 2 ; \; \frac {2 } { 3 } .} \end {align*}$$

تابع $$y(t)$$ در نقطه $$t = -2$$ به حداکثر مقدار خود می‌رسد:

$$\large y \left ( { – 2 } \right ) = { \left ( { – 2 } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { – 2 } \right ) ^ 2 } – 4 \left ( { – 2 } \right ) = 8$$

همچنین، در نقطه $$t = {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ تابع مینیمم است:

$$\large \begin {align*} y \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – 4 \cdot \frac { 2 } { 3 } } \\ & = { \frac { 8 } { { 2 7 } } + \frac { 8 } { 9 } – \frac { 8 } { 3 } } = { – \frac { { 4 0 } }{ { 2 7 } } . } \end {align*}$$

نمودار توابع $$x (t)$$ و $$y(t)$$ در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

حدود این دو تابع در بی‌نهایت، برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } x \left ( t \right ) = \pm \infty , \; \; \; } \kern-0.3pt { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } y \left ( t \right ) = \pm \infty }$$

بنابراین، نمودار $$y (x)$$ مجانب قائم و افقی ندارد. با توجه به روابط زیر، مجانب مایل نیز نداریم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { y \left ( t \right ) } } { { x \left ( t \right ) } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } } { { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { 1 + \frac { 2 } { t } – \frac { 4 } { { { t ^ 2 } } } } } { { 1 + \frac { 1 } { t } – \frac { 1 } { { { t ^ 2 } } } } } = 1,} \\ b & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left [ { y \left ( t \right ) – k x \left ( t \right ) } \right ] = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left ( { { t ^ 2 } – { 3 t } } \right ) } = { + \infty , } \end {align*}$$

اکنون، نقاط تقاطع منحنی $$y (x)$$ را با محورهای مختصات به دست می‌آوریم. تقاطع با محور $$x$$، در نقاط زیر رخ می‌دهد:

$$\large { y \left ( t \right ) = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t \left ( { { t ^ 2 } + 2 t – 4 } \right ) = 0 ; }$$

نقطه تقاطع نخست به صورت زیر است:

$$\large {t_1} = 0;$$

نقاط تقاطع دیگر نیز برابرند با:

$$\large \begin {align*} { t ^ 2 } + 2 t – 4 = 0, & \Rightarrow { D = 4 – 4 \cdot \left ( { – 4 } \right ) = 2 0 , } \\ & \Rightarrow { { t _ { 2 , 3 } } = { \large \frac { { – 2 \pm \sqrt { 2 0 } } } { 2 } \normalsize } } = { – 1 \pm \sqrt 5 .} \end {align*}$$

مقدار $$x$$ در این سه نقطه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large x \left ( { { t _ 1 } } \right ) = x \left ( 0 \right ) = 0 ;$$

$$\large \begin {align*} x \left ( { { t _ 2 } } \right ) & = x \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) = { { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) ^ 2 } } - { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) } \\ &= { – \left ( { 1 + 3 \sqrt 5 + 1 5 + 5 \sqrt 5 } \right ) } + { \left ( { 1 + 2 \sqrt 5 + 5 } \right ) + 1 + \sqrt 5 } \\&= { – 1 6 – 8 \sqrt 5 + 6 + 2 \sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 } = { – 9 – 5 \sqrt 5 \approx 2 0 . 1 8 ; } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} x \left ( { { t _ 3 } } \right ) & = x \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) = { { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) ^ 2 } } - { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) } \\ & = { – \left ( { 1 – 3 \sqrt 5 + 1 5 – 5 \sqrt 5 } \right ) } + { \left ( { 1 – 2 \sqrt 5 + 5 } \right ) + 1 – \sqrt 5 } \\ & = { – 1 6 + 8 \sqrt 5 + 6 – 2 \sqrt 5 + 1 – \sqrt 5 } = { – 9 + 5 \sqrt 5 \approx 2. 1 8 .} \end {align*}$$

به طریق مشابه، نقاط تقاطع با محور $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { x \left ( t \right ) = { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t \left ( { { t ^ 2 } + t – 1 } \right ) = 0 ; }$$

این نقاط به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$\large { t _ 1 } = 0 ;$$

$$\large \begin {align*} { t ^ 2 } + t – 1 = 0 , & \Rightarrow { D = 1 – 4 \cdot \left ( { – 1 } \right ) = 5 , } \\ &\Rightarrow { { t _ { 2 , 3 } } = { \large \frac { { – 1 \pm \sqrt { 5 } } } { 2 } \normalsize } . } \end {align*}$$

مقدار $$y$$ در این نقاط، برابر است با:

$$\large \begin {align*} y \left ( { { t _ 1 } } \right ) & = y \left ( 0 \right ) = 0 ; \\ y \left ( { { t _ 2 } } \right ) & = y \left ( { \frac { { – 1 – \sqrt 5 } } { 2 } } \right) = { 3 + 2 \sqrt 5 \approx 7 . 4 7 ; } \\ y \left ( { { t _ 3 } } \right ) & = y \left ( { \frac { { – 1 + \sqrt 5 } } { 2 } } \right ) = { 3 – 2 \sqrt 5 \approx – 1.47.} \end {align*}$$

پارامتر $$t$$ را به پنج بازه زیر تقسیم می‌کنیم:

$$\large { \left ( { – \infty , – 2 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { – 2 , – 1 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { – 1 , \frac { 1 } { 3 } } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { \frac { 2 } { 3 } , + \infty } \right ) . }$$

در بازه $$\left( { – \infty , – 2} \right)$$، مقادیر $$x$$ و $$y$$ از $$-\infty$$ تا $$x\left( { – 2} \right) = – 2$$ و $$y\left( { – 2} \right) = 8$$ افزایش می‌یابند. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد.

در بازه دوم $$\left( { – 2, – 1} \right)$$، متغیر $$x$$ از $$x\left( { – 2} \right) = – 2$$ به $$x\left( { – 1} \right) = 1$$ و متغیر $$y$$ از $$y\left( { – 2} \right) = 8$$ به $$y\left( { – 1} \right) = 5.$$ افزایش می‌یابد.

منحنی $$y (x)$$ در نقطه $$\left( {0.3 + 2\sqrt 5 } \right)$$ محور عمودی را قطع می‌کند.

در بازه سوم $$\left( { – 1,{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \right)$$، هر دو متغیر کاهش می‌یابند. در این بازه، مقدار $$x$$ از $$x\left( { – 1} \right) = 1$$ تا $$x\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{5}{{27}}\normalsize}$$ تغییر می‌کند. منحنی $$y(x)$$ نیز از مبدأ می‌گذرد.

در بازه چهارم $$\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right)$$، متغیر $$x$$ از $$x\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{5}{{27}}\normalsize}$$ به $$x\left( {\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = {\large\frac{2}{{27}}\normalsize}$$ افزایش می‌یابد و مقدار متغیر $$y$$ از $$y\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{29}{{27}}\normalsize}$$ تا $$y\left( {\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{40}{{27}}\normalsize}$$ کم می‌شود. در این بازه، منحنی $$y (x)$$ محور $$y$$ را در نقطه $$\left( {0.3 – 2\sqrt 5 } \right)$$ قطع می‌کند.

در بازه آخر $$\left( {{\large\frac{2}{3}\normalsize}, + \infty } \right)$$ نیز، هر دو تابع $$x (t)$$ و $$y (t)$$ صعودی هستند. منحنی $$y (x)$$ محور $$x$$ را در نقطه $$x = – 9 + 5\sqrt 5 \approx 2.18$$ قطع می‌کند.

برای واضح‌تر شدن منحنی $$y (x)$$، نقاط ماکزیمم و مینیمم را نیز تعیین می‌کنیم. مشتق $$y’\left( x \right)$$ به فرم زیر است:‌

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { y’ _ x } = { \frac { { { y’ _ t } } }{ { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { { { \left ( { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) } ^ \prime } } } } = { \frac { { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 } } { { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } } } \\ &= { \frac { { \cancel { 3 } \left ( { t + 2 } \right ) \left ( { t – \frac { 2 } { 3 } } \right ) } } { { \cancel { 3 } \left ( { t + 1 } \right ) \left ( { t – \frac { 1 } { 3 } } \right ) } } } = { \frac { { \left ( { t + 2 } \right ) \left ( { t – \frac { 2 } { 3 } } \right ) } } { { \left ( { t + 1 } \right ) \left ( { t – \frac { 1 } { 3 } } \right ) } } . } \end {align*}$$

با توجه به رابطه اخیر، می‌توان نشان داد که منحنی در $$t = - 2$$ (مرز بازه‌های اول و دوم) یک ماکزیمم دارد. همچنین در $$t = \large\frac{2}{3}\normalsize$$ یک مینیمم داریم (یعنی در مرز بازه‌های چهارم و پنجم). وقتی از نقطه $$t = {\large\frac{1}{3}\normalsize}$$ عبور می‌کنیم، مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، اما منحنی $$y (x)$$، در این ناحیه یک تابع تک‌مقداره نیست. بنابراین، این نقطه اکسترمم نیست.

اکنون درباره تقعر/تحدب منحنی بحث می‌کنیم. مشتق دوم $$y^{\prime\prime}\left( x \right)$$ به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { y ^ { \prime \prime } _ { x x } } = \frac { { { { \left ( { { y’ _ x } } \right ) }’ _ t } } } { { { x’ _ t } } } = \frac { { { { \left ( { \frac { { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 } } { { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } } } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) } ^ \prime } } } \\ & = \frac { { – { 6 { t ^ 2 } } + { 1 8 t } + { 4 } } } { { { { \left ( { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } \right ) } ^ 3 } } } = \frac { { – 6 \left ( { t – \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \left ( { t – \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) } } { { { { \left ( { t + 1 } \right ) } ^ 3 }{ { \left ( { 3 t – 1 } \right ) } ^ 3 } } } \end {align*}$$

علامت مشتق دوم با عبور از نقاط زیر تغییر می‌کند:

$$\large \begin {align*} { t _ 1 } & = – 1 : \; \; x \left ( { – 1 } \right ) = 1 , \; \; { y \left ( { – 1 } \right ) = 5 ; } \\ { t _ 2 } & = \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 0 . 2 4 ; \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 0 . 9 1 ; } \\ { t _ 3 } & = \frac { 1 } { 3 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) = – \frac { 5 } { { 2 7 } } , \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) = – \frac { { 2 9 } } { { 2 7 } } ; } \\ { t _ 4 } & = \frac { { 9 + \sqrt { 10 5 } } } { 6 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 4 0 . 1 ; \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 4 0 . 8 .} \end {align*}$$

بنابراین، این نقاط، نقاط عطف منحنی $$y (x)$$ هستند.

شکل ۱۱ (ب)، منحنی تابع را نشان می‌دهد.

شبیه ساز رسم نمودار تابع و نمودار مشتق آن

در آخرین بخش از این مطلب مجله فرادرس با استفاده از شبیه‌ساز دانشگاه کلورادو می‌توانید بررسی کنید که اگر نمودار تابعی مانند f(x) را داشته باشیم، تغییرات نمودار مشتق یا انتگرال آن چگونه است: