اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس به بررسی انواع مجموعه‌ها و بیان تعریف جامعی از آن‌ها پرداخته شد. همانطور که بیان شد، یک مجموعه نشان دهنده همه اشیایی است که با یکدیگر صفتی مشترک دارند. بنابراین برای مشخص کردن یک مجموعه ابتدا نیاز به جمع‌آوری اشیایی داریم که در یک ویژگی بارز و مطلوب ما، تفاهم داشته باشند. این مطلب به بررسی اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها در ریاضیات می‌پردازد. در انتهای مطلب نیز تعارفی مانند مجموعه تهی و مجموعه جهانی مورد مطالعه قرار می‌گیرند.

تعریف مجموعه

همانطور که بیان شد، یک مجموعه شامل تعدادی ابزار، مواد، اعداد، اشیا و .. است که در ویژگی خاصی اشتراک داشته باشند.

برای مثال لباس‌هایی که شما می‌پوشید یک مجموعه را تشکیل می‌دهند. این مجموعه شامل جوراب، کفش، شلوار، پیراهن، تیشرت و سایر موارد است. برای مثال یک مجموعه شامل لباس‌های مورد نیاز، در شکل زیر نشان داده شده است.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده، اعضای یک مجموعه را درون علامت آکولاد به شکل {} قرار می‌دهند. علاوه بر شکل بالا، مجموعه را می‌توان به صورت حروف و اعداد نیز نمایش داد. برای مثال مجموعه لباس‌هایی که شما می‌پوشید را می‌توان به فرم زیر نمایش داد.

{کفش، جوراب، پیراهن، شلوار و ...}

به عنوان یک مثال از مجموعه‌هایی که با استفاده از اعداد بیان می‌شوند می‌توان به مجموعه شامل تمام اعداد اشاره کرد که به صورت زیر نمایش داده می‌شوند.

مثال دیگری از مجموعه اعداد، اعداد اول هستند. بنابراین مجموعه تمام اعداد اول را می‌توان به شکل زیر نشان داد.

توجه کنید که این مثال را می‌توان برای تمام مجموعه اعداد مانند مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد مختلط نیز به صورت دقیق مورد بررسی قرار داد.

در ادامه برای بررسی مفاهیم اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها مثالی از مجموعه چند دوست آورده می‌شود و مفاهیم مختلف را با استفاده از مجموعه‌های معرفی شده در این بخش، مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

مجموعه دوستان

فرض کنید که یک مجموعه‌ای شامل ده تا از بهترین دوستان شما را به شکل زیر بنویسیم.

البته شما می‌توانید این اسامی را با نام بهترین دوستان خود عوض کنید و ادامه مطلب را با مجموعه‌ای شامل نام دوستان خود به همراه ما ادامه بدهید!

{شیدا، پریسا، مریم، نفیسه، صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه}

هر یک از نام‌های بالا به عنوان یک عضو از مجموعه دوستان ما شناخته می‌شوند. حال باید اشاره کنیم که چهار عضو این مجموعه دوستان شما، فوتبال بازی می‌کنند. این مجموعه را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

فوتبال = {شیدا، پریسا، مریم، نفیسه}

مجموعه بالا اینگونه خوانده می‌شود؛ مجموعه فوتبال از چهار عضو به نام‌های شیدا، پریسا، مریم و نفیسه تشکیل شده‌اند. به صورت مشابه می‌توان مجموعه‌ای شامل دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را نیز به شکل زیر نمایش داد.

تنیس = {شیدا، پریسا، فرزانه}

در واقع  مجموعه تنیس از سه عضو به نام‌های شیدا، پریسا و فرزانه تشکیل شده است.

این دو مجموعه را می‌توان به شکل زیر درون دو دایره نیز نمایش داد. این نمودار به «نمودار وِن» (Venn Diagram) یا نمودار مجموعه معروف است.

اجتماع

در این بخش، شما می‌توانید لیستی از دوستان خود که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند را بیان کنید. توجه کنید که مهم‌ترین عبارت در جمله قبل، عبارت «یا» است. در واقع مجموعه شامل فوتبال یا تنیس نشان دهنده «اجتماع» (Union) است و برای نمایش آن از نماد ریاضی ∪ استفاده می‌شود.

بنابراین با توجه به توضیحاتی که در بالا داده شد، مجموعه دوستانی که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

فوتبال ∪ تنیس = {شیدا، پریسا، فرزانه، مریم، نفیسه}

توجه کنید که همه افراد موجود در کره زمین در این لیست نیستند و این لیست تنها شامل دوستان شما است که فوتبال یا تنیس بازی می‌کنند. عبارت «یا» نشان می‌دهد که اسامی که در این لیست هستند سه حالت دارند. حالت اول فقط فوتبال بازی می‌کنند. حالت دوم فقط تنیس بازی می‌کنند. حالت سوم تنیس و فوتبال را همزمان بازی می‌کنند. این موضوع را با استفاده از نمودار ون یا نمودار مجموعه می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

توجه کنید که نمودار ون یکی از بهترین شیوه‌های نمایش مجموعه‌ها را در اختیار ما قرار می‌دهد و با استفاده از این نمودار می‌توانیم بسیاری از سوالات مربوط به مجموعه‌ها را به صورت دقیق مورد بررسی قرار دهیم.

با استفاده از این نمودار به راحتی می‌توانید متوجه شوید که کدام یک از دوستان فقط فوتبال و کدامیک فقط تنیس بازی می‌کنند. همچنین دوستانی که هر دو ورزش تنیس و فوتبال را انجام می‌دهند نیز به راحتی قابل بیان هستند. تمام این اطلاعات از یک نمودار بسیار کوچک به دست می‌آید. در ادامه به بررسی سایر مفاهیم مانند اشتراک و تفاضل پرداخته می‌شود.

اشتراک

اشتراک حالتی را نشان می‌دهد که شما در هر دو مجموعه قرار دارید و یا در مثال بالا، اشتراک دوستانی را مشخص می‌کند که تنیس و فوتبال بازی می‌کنند. توجه کنید که مهم‌ترین عبارت در جملات قبل «و» است. عبارت «و» نشان می‌دهد که ما به دنبال کسانی هستیم که به صورت همزمان فوتبال و تنیس بازی می‌کنند.

در مثال بالا شیدا و پریسا کسانی هستند که هم فوتبال و هم تنیس بازی می‌کنند. این حالت را اشتراک می‌نامند. اشتراک در ریاضیات با استفاده از نماد ∩ نشان داده می‌شود. اشتراک دو مجموعه معرفی شده یعنی مجموعه دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند و مجموعه دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را می‌توان به شکل زیر نشان داد.

فوتبال ∩ تنیس = {شیدا، پریسا}

این مفهوم را می‌توان با استفاده از نمودار ون نیز مورد مطالعه قرار داد. نمودار ون مربوط به اشتراک دو مجموعه فوتبال و تنیس به شکل زیر نشان داده شده است.

تفاضل

علاوه بر دو حالتی که در بالا معرفی شد یعنی اشتراک و اجتماع دو مجموعه، حالتی نیز حضور دارد که در آن تفاضل دو مجموعه را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

توجه کنید که با استفاده از تفاضل می‌توان مجموعه‌ای از دوستان را نشان داد که فوتبال بازی می‌کنند ولی تنیس بازی نمی‌کنند. برای به دست آوردن این مجموعه باید مجموعه فوتبال را منهای تنیس کرد یا به عبارت دیگر مجموعه تنیس را از مجموعه فوتبال کم کرد. این موضوع را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بیان کرد.

  {مریم، نفیسه} = تنیس - فوتبال

این موضوع را می‌توان با استفاده از نمودار ون نیز به شکل زیر بیان کرد.

بنابراین به صورت خلاصه می‌توان بیان کرد که علامت ∪ نشان دهنده اجتماع دو مجموعه است و مجموعه‌ای شامل اعضای هر دو مجموعه را نشان می‌دهد. همچنین ∩ نشان دهنده اشتراک دو مجموعه است و مجموعه‌ای شامل اعضای مشترک بین دو مجموعه را نشان می‌دهد. مفهوم دیگری که بیان شد تفاضل دو مجموعه بود که با نماد - نشان داده شد و مفهوم آن در قالب مثال به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت.

سه مجموعه

در ادامه، مفاهیم موجود در مجموعه‌ها را برای حالتی که سه مجموعه حضور دارند مورد بررسی قرار می‌دهیم و نمودار وِن مربوط به آن‌ها را با جزئیات بیان می‌کنیم.

در این بخش، مجموعه سوم شامل دوستانی هستند که والیبال بازی می‌کنند. این مجموعه به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

والیبال = {شیدا، شقایق، فرزانه}

در ادامه و برای آنکه بتوانیم به شکل ریاضی، مجموعه‌ها را بیان کنیم، به هر کدام از مجموعه‌ها یک نام اختصاص می‌دهیم. مجموعه فوتبالیست‌ها را با نماد S، مجموعه بازیکنان تنیس را با نماد T و مجموعه والیبالیست‌ها را با نماد V نمایش می‌دهیم.

بنابراین با توجه به توضیحاتی بیان شده، نمودار وِن این سه مجموعه به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

با استفاده از این نمودار می‌توان دریافت که شیدا کسی هست که فوتبال، والیبال و تنیس بازی می‌کند. فرزانه تنیس و والیبال بازی می‌کند. همچنین مریم و نفیسه تنها فوتبال بازی می‌کنند و ورزش‌های والیبال و تنیس را انجام نمی‌دهند. نکته دیگری که از نمودار بالا می‌توان دریافت این است که هیچ فردی وجود ندارد که فقط ورزش تنیس را انجام دهد.

در ادامه با استفاده از مفهوم اشتراک و اجتماع به صورت دقیق به بررسی این سه مجموعه پرداخته می‌شود.

به عنوان اولین مثال، اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال را بررسی می‌کنیم که می‌توان این مجموعه را به شکل زیر نمایش داد.

{شیدا} = S ∩ V

این موضوع را می‌توان به کمک نمودار وِن نیز به شکل زیر نمایش داد.

همانطور که مشاهده می‌شود، فهم دقیق اجتماع، اشتراک و تفاضل این مجموعه‌ها به کمک نمودار ون به سادگی انجام می‌شود و توصیه ما رسم این نمودار در مثال‌های مختلف برای فهم دقیق مسئله است. همچنین اجتماع دو مجموعه والیبال و تنیس را نیز می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

{شقایق، فرزانه، شیدا، پریسا} = T ∪ V

در ادامه و به عنوان یک مثال پیشرفته، مجموعه بازیکنان تنیس را از اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال کم کنید. برای این منظور ابتدا اشتراک دو مجموعه فوتبال و والیبال را محاسبه می‌کنیم. این مورد در قسمت قبل به شکل زیر محاسبه شد.

{شیدا} = S ∩ V

در ادامه مجموعه دوستانی که تنیس بازی می‌کنند را از این مجموعه کم می‌کنیم. این مجموعه را می‌توان به شکل زیر با استفاده از نمودار ون نمایش داد.

شیوه نمایش ریاضی این مجموعه نیز به شکل زیر است.

 { } = S ∩ V) - T)

بنابراین همانطور که در شکل و عبارت بالا مشاهده می‌شود، مجموعه بالا شامل هیچ عضوی نیست. این مجموعه را مجموعه تهی می‌نامند. و آن را با نماد { } نمایش می‌دهند.

مجموعه جهانی

مجموعه جهانی، مجموعه‌ای است که تمام اعضایی که برای ما مورد اهمیت هستند را در بر می‌گیرد. توجه کنید که این مجموعه را با نماد U نشان می‌دهند و شما باید احتیاط کنید که حرف U را با نماد ∪ (اجتماع دو مجموعه) اشتباه نگیرید.

در ادامه مثالی که در ابتدای این مطلب بیان شد را در نظر بگیرید. مجموعه جهانی در این مثال شامل بهترین دوستان شما هستند. این مجموعه جهانی را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

{شیدا، پریسا، مریم، نفیسه، صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U

نمایش مجموعه جهانی در نمودار وِن با استفاده از یک مستطیل اطراف مجموعه‌ها انجام می‌شود. این موضوع در شکل زیر به خوبی به تصویر کشیده شده است.

بنابراین با استفاده از مجموعه جهانی، شما تمام ۱۰ دوست صمیمی خود (شامل دوستانی که ورزش می‌کنند و یا آن‌هایی که ورزش نمی‌کنند) را مشاهده می‌کنید.

عملیات مختلف مجموعه‌ها شامل اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌‌ها را می‌توان روی مجموعه جهانی نیز اجرا کرد. برای مثال مجموعه دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند را از مجموعه جهانی کم کنید. این موضوع به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

{صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U - S

توجه کنید که این مجموعه را می‌توان به دو صورت بیان کرد. حالت اول این است که U - S را به فرم مجموعه جهانی منهای مجموعه دوستان فوتبالیست بیان کنیم و حالت دوم این است که U - S را برابر با همه دوستانی که فوتبال بازی نمی‌کنند، در نظر بگیریم. هر دو این حالات یک معنا را نشان می‌دهند و با یکدیگر برابر هستند.

این مجموعه را با استفاده از نمودار ون نیز می‌توان به سادگی و مطابق با شکل زیر بیان کرد.

متمم یک مجموعه

متمم یک مجموعه نیز یکی از تعاریف مهم در مجموعه‌ها است. برای مثال متمم مجموعه S نشان دهنده تمام اعضایی است که عضو مجموعه جهانی هستند و درون مجموعه S قرار نمی‌گیرند.

در این مثال متمم مجموعه S، تمام دوستان صمیمی شما که فوتبال بازی نمی‌کنند را نشان می‌دهد (توجه شود که S مجموعه دوستان صمیمی شما است که فوتبال بازی می‌کنند).

متمم را با استفاده از نماد C در بالای مجموعه نیز نمایش می‌دهند. برای مثال متمم مجموعه S را به شکل زیر می‌توان نمایش داد.

همانطور که بیان شد، نماد بالا نشان دهنده تمام اعضایی است که عضو مجموعه S نباشند. اگر مجموعه S را دوستانی که فوتبال بازی می‌کنند در نظر بگیریم، مجموعه متمم S را می‌توان با استفاده از نمودار ون به شکل زیر نمایش داد.

شیوه نمایش این اعضا نیز به شکل زیر است.

{صحاح، شقایق، الهه، پریا، فرزانه، محدثه} = U - S

نکته بسیار مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که متمم مجموعه S، دقیقا برابر با تفاضل مجموعه S از مجموعه جهانی است که با نماد U - S نمایش داده می‌شود.

بنابراین به صورت خلاصه می‌توان بیان کرد که اجتماع با نماد ∪ نشان داده می‌شود و اجتماع دو مجموعه، اعضای هر دو مجموعه را در بر می‌گیرد. همچنین می‌توان نشان داده که ∩ اشتراک دو مجموعه را بیان می‌کند و تنها شامل اعضایی است که در هر دو مجموعه حضور داشته باشند.

علاوه بر اجتماع و اشتراک، تفاضل و متمم نیز دو مفهوم کلی و مهم در مورد مجموعه‌ها هستند. تفاضل را با نماد - نمایش می‌دهند و تفاضل دو مجموعه شامل اعضایی است که در یکی از این مجموعه‌ها وجود دارند ولی در دیگری حضور ندارند. متمم نیز مفهوم بسیار مهمی در مجموعه‌ها را نشان می‌دهد. متمم مجموعه S شامل تمام اعضایی است که عضو مجموعه S نیستند.

نکته دیگری که در این مطلب به صورت دقیق مورد بررسی قرار گرفت، تعریف دو مجموعه تهی و جهانی است. مجموعه تهی، مجموعه‌ای است که در آن هیچ عضوی وجود ندارد و با نماد { } نشان داده می‌شود. مجموعه جهانی نیز شامل مجموعه‌ای است که تمام اعضای دلخواه ما (مثلا تمام دوستان صمیمی) را در بر می‌گیرد.