گشتاور چیست؟ – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

به تمایل یک نیرو برای دوران جسمی حول یک محور، گشتاور گفته می‌شود. همان‌طور که نیرو موجب می‌شود تا جسمی در حرکت خطی، شتاب بگیرد، شتاب زاویه‌ای هم ناشی از وارد شدن گشتاور است. گشتاور، یک کمیت برداری بوده و جهت آن به جهت نیرو نسبت به محور بستگی دارد.

برای باز کردن درِ یک اتاق، باید به قسمتی از در که با لولاها فاصله دارد، نیرو وارد کنیم. هرچه این فاصله کوتاه‌تر باشد، به نیروی بزرگتری احتیاج داریم. با این حال، کارِ انجام شده در هر دو حالت، برابر است. هرچه مقدار نیروی مورد نیاز، کوچکتر باشد، انجام این کار، راحت‌تر خواهد بود. بنابراین بهترین نقطه برای وارد کردن این نیرو، دستگیره در است. به شکل زیر توجه کنید.

می‌توانیم گشتاور را به دو دسته استاتیک و دینامیک تقسیم کنیم. در گشتاور استاتیک، هیچ‌گونه شتاب زاویه‌ای ایجاد نمی‌شود. به عنوان مثال، شخصی را در نظر بگیرید که به یک درِ بسته نیرو وارد می‌کند. در این حالت، با وجود اینکه نیرو وارد می‌شود، ولی حرکتی وجود ندارد. در نتیجه، گشتاور از نوع استاتیک است. دوچرخه‌سواری که با سرعت ثابت رکاب می‌زند هم نمونه دیگری از گشتاور استاتیک محسوب می‌شود. زیرا شتاب حرکت برابر صفر است.

محور محرک اتومبیلی که در حال شتاب گرفتن است، گشتاور دینامیکی منتقل می‌کند. زیرا وظیفه تأمین شتاب زاویه‌ای چرخ‌ها که موجب شتاب گرفتن اتومبیل در طول مسیرش می‌شود، به عهده این محور است. در ادبیات مهندسی گاهی به جای گشتاور (Torque)، از عبارت‌هایی مانند ممان (Moment) یا گشتاور نیرو استفاده می‌شود و شعاع اعمال نیرو، به بازوی گشتاور (Torque Arm) معروف است.

محاسبه گشتاور

مقدار بردار گشتاور، $$\large \tau$$، که توسط نیروی $$\large F$$ و در طول بازوی $$\large r$$ ایجاد شده باشد، با رابطه زیر تعریف می‌شود.

$$\large \tau \: = \: F \: . \: r \: \sin ( \theta )$$

فیلم آموزش فیزیک 1 دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

در رابطه بالا، زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور را با $$\large \theta$$ نشان داده‌ایم. در حالت نشان داده شده در شکل قبل، زاویه بین نیرو و بازوی گشتاور، $$\large 90$$ درجه است. بنا به قرارداد، برای تعیین جهت بردار گشتاور از قانون دست راست استفاده می‌کنیم. همان‌گونه که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، مطابق این قانون، هر گاه انگشتان دست راست در جهت وارد شدن نیرو قرار بگیرند، انگشت شست در جهت گشتاور وارد شده خواهد بود. اکنون می‌توانیم رابطه قبل را به طور دقیق‌تر و به صورت زیر بازنویسی کنیم که ضرب برداری بین دو کمیت $$\large F$$ و $$\large r$$ را نشان می‌دهد.

$$\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F}$$

فاصله $$\large r$$، بردار موقعیت نقطه وارد شدن نیروی $$\large F$$ را نسبت به محور دوران نشان می‌دهد. در ادامه، برخی از حالت‌های مختلف گشتاور را بررسی می‌کنیم.

• در حالت اول، $$\large \theta \: = \: 0 ^ \circ$$ است. به عبارت دیگر، زاویه بین نیرو و بردار $$\large r$$ صفر درجه بوده و این دو بردار هم جهت هستند. در این وضعیت، هیچ دورانی رخ نمی‌دهد و مقدار گشتاور هم برابر صفر است.
• در حالت دوم، $$\large \theta \: = \: 180 ^ \circ$$ است. در واقع، نیرو و بردار $$\large r$$ هم راستا و در خلاف جهت یکدیگر هستند. با توجه به رابطه تعریف شده، سینوس این زاویه برابر صفر بوده و در این وضعیت هم دورانی اتفاق نمی‌افتد. از این رو، مقدار $$\large \tau$$، صفر است.
• بالاخره در حالت سوم، $$\large \theta \: = \: 90 ^ \circ$$ است. در این حالت، بردار نیرو و بردار موقعیت، به هم عمود هستند. با توجه به رابطه بالا، سینوس این زاویه برابر یک است. به عبارت دیگر، در این زاویه، تابع گشتاور به ماکسیمم مقدار خود می‌رسد و مساوی با $$\large \tau \: = \: r F$$ می‌شود.

تعادل گشتاور

برای اینکه جسمی از لحاظ استاتیکی در تعادل باشد، برآیند نیروها و گشتاورهای وارد به آن جسم باید مساوی صفر باشد. برای صفر شدن مقدار برآیند گشتاورها، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت باید با مجموع گشتاورها در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت برابر باشد.

فیلم آموزش استاتیک – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

می‌توان این مفهوم را با قانون اول نیوتن برای یک سیستم دوّار هم‌ارز دانست. هر جسمی که در حال دوران نباشد، تا وقتی که گشتاور خارجی به آن وارد نشود، همچنان غیر دوّار باقی خواهد ماند. به طور مشابه، جسمی که با سرعت زاویه‌ای ثابت در حال دوران است، تا وقتی که هیچ گشتاور خارجی به آن وارد نشود، به دوران خود ادامه می‌دهد. از این مفهوم می‌توان در مسائلی استفاده کرد که چند گشتاور به یک جسم دوار وارد می‌شوند. در چنین حالتی، گشتاور خالص از اهمیت برخوردار است. اگر گشتاور خالص وارد به یک جسم صفر باشد، در تعادل دورانی قرار دارد و شتاب زاویه‌ای نخواهد داشت.

مثال ۱

سؤال: قرقره نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. برای اینکه قرقره در حالت تعادل قرار داشته باشد، مقدار نیروی $$\large F_2$$ را به دست آورید.

پاسخ: ابتدا گشتاور ناشی از نیروی $$\large F_1$$ را حول مرکز قرقره محاسبه می‌کنیم.

$$\large \tau_1 \: =\: Fr \sin \theta \:= \:(5\: N) (0.075 \:m) \sin (135 ^\circ) \\~\\ \large \tau _1 \:= \:+0.265 \:Nm$$

اکنون با نوشتن برآیند گشتاورها حول مرکز قرقره و قرار دادن آن برابر صفر، گشتاور حاصل از نیروی $$\large F_2$$ و در نهایت نیز خودِ نیروی $$\large F_2$$ به صورت زیر خواهد بود.

$$\large \tau _1 \: +\: \tau _2 \:= \:0 \\~\\ \large \tau _2 \:= \:- \: 0.265 \: Nm \:= \:-\: F_2 (0.1 \:m) \sin 90 ^\circ\\~\\ \large F_2 \:= \:2.65 \:N$$

کوپل چیست؟

هنگامی که دو نیروی مساوی در یک راستا ولی در دو جهت متفاوت به دو نقطه از یک جسم وارد شوند، کوپل (Couple) تشکیل می‌شود. کوپل مانند گشتاور عمل کرده و جسم را وادار به چرخش می‌کند. ممان حاصل از کوپل را می‌توان با ضرب اندازه یکی از نیروها ($$\large F$$) در فاصله عمودی بین دو نیرو ($$\large S$$) محاسبه کرد. به عبارت دیگر، گشتاور ناشی از کوپل در شکل زیر، برابر با $$\large \tau \: = \: SF$$ است.

گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای

گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای به صورت حاصل‌ضرب برداری موقعیت در نیرو و ممنتوم به دست می‌آیند. فرض کنید نیروی $$\large \overrightarrow{F}$$ به ذره‌ای وارد می‌شود که فاصله آن نسبت به مبدأ $$\large O$$ با بردار $$\large \overrightarrow{r}$$ مشخص می‌شود. حال، اگر این ذره نسبت به مبدأ دارای ممنتوم زاویه‌ای $$\large \overrightarrow{p}$$‌ باشد، ممان و ممنتوم زاویه‌ای این ذره به ترتیب به صورت $$\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F}$$ و $$\large \overrightarrow{L} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p}$$ تعریف می‌شود. جهت بردارهای ممان و ممنتوم زاویه‌ای را در شکل زیر مشاهده می‌کنید.

اکنون با کمک تعاریف ممان و ممنتوم زاویه‌ای، می‌توانیم رابطه‌ای بین این دو کمیت بیابیم. از قانون دوم نیوتن آغاز می‌کنیم که به صورت $$\large \overrightarrow{F} \: = \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p} }{ \text{d} t }$$ نوشته می‌شود. تعریف گشتاور به صورت زیر است.

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی 1 مرور و حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

$$\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{F} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p} }{ \text{d} t }$$

از تعریف ضرب برداری کمک می‌گیریم.

$$\large \frac{\text{d}}{\text{d} t } (\overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p}) \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{p}}{\text{d} t} \: + \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{r}}{\text{d} t} \: \times \: \overrightarrow{p} \\~\\ \large \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}}{\text{d}t} (\overrightarrow{r} \: \times \: \overrightarrow{p}) \: - \: \frac{ \text{d} \overrightarrow{r}}{\text{d} t} \: \times \: \overrightarrow{p} \\ ~ \\ \large \Rightarrow~~~ \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t} \: - \: \overrightarrow{v} \: \times \: \overrightarrow{p}$$

می‌دانیم $$\large \overrightarrow{p} \: = \: m \overrightarrow{v}$$ است. به همین دلیل حاصل $$\large \overrightarrow{v} \: \times \: \overrightarrow{p} \: = 0$$ برابر صفر می‌شود. بنابراین، رابطه قبلی به شکل زیر ساده می‌شود.

$$\large \overrightarrow{\tau} \: = \: \frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t}$$

می‌توان این‌گونه نتیجه گرفت که گشتاور وارد به یک جسم، با نرخ تغییرات ممنتوم زاویه‌ای آن جسم برابر است. ذره‌ای را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که در صفحه $$\large x-y$$ حرکت می‌کند. گشتاور وارد به این جسم و در نتیجه، ممنتوم زاویه‌ای آن، همیشه عمود به صفحه $$\large x-y$$ است. به عبارت دیگر می‌توان گفت $$\large \overrightarrow{\tau}$$ و $$\large \overrightarrow{L}$$ فقط دارای مؤلفه‌ای در جهت محور $$\large z$$ هستند. بنابراین، جهت آنها ثابت باقی می‌ماند و تنها مقدارشان متغیر است. از این رو، رابطه بین ممان و ممنتوم زاویه‌ای را در حرکت صفحه‌ای می‌توان به شکل زیر و بدون نماد بردار نوشت.

$$\large \tau \: = \: \frac{\text{d}L}{\text{d}t}$$

حرکت ذره روی محیط دایره

در حالتی که ذره‌ای روی محیط یک دایره حرکت می‌کند، گشتاور و ممنتوم زاویه‌ای را می‌توان به راحتی برحسب متغیرهای زاویه‌ای ذره بیان کرد. ذره‌ای به جرم $$\large m$$ و مطابق شکل زیر، با سرعت خطی $$\large v$$، روی محیط دایره‌ای به شعاع $$\large r$$ در حال حرکت است.

ممنتوم زاویه‌ای این ذره برابر $$\large \overrightarrow{L} \: = \: \overrightarrow{r} \: \times \: m \overrightarrow{v}$$ خواهد بود. از آنجایی که بردارهای $$\large \overrightarrow{r}$$ و $$\large \overrightarrow{v}$$ به یکدیگر عمود هستند، اندازه بردار ممنتوم زاویه‌ای برابر با رابطه زیر به دست می‌آید.

$$\large L \: = \: mvr$$

(رابطه ۱)