بسط مک لورن و محاسبه آن — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضیات مجله فرادرس، درباره بسط تیلور توابع بحث کردیم. در این آموزش، سری یا بسط مک لورن را معرفی خواهیم کرد که حالت خاصی از بسط تیلور است.

بسط تیلور

اگر تابع $$ f (x ) $$ پیوسته و $$ (n+1 ) $$ بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر بسط داد:

$$ \large \begin {align*} { f \left ( x \right ) } & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( a \right ) \frac { { { { \left ( { x – a } \right ) } ^ n } }} { { n ! } } } } \\ &
= { f \left ( a \right ) + f ’ \left ( a \right ) \left ( { x – a } \right ) } + { \frac { { f ^ { \prime \prime } \left ( a \right ){ { \left ( { x – a } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } + \ldots } \\ & \, \, \, \, \, \, \, \,
+ { \frac { { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( a \right ) { { \left ( { x – a } \right ) } ^ n } } } { { n ! }} } + { { R _ n } }
\end {align*} $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$ R_n$$ باقیمانده بعد از $$ n + 1 $$ جمله نامیده و به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large { { R _ n } } = { \frac { { { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( \xi \right ) { { \left ( { x – a } \right ) } ^ { n + 1 } } } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } , \; \; } \kern0pt { a \lt \xi \lt x . } $$

وقتی بسط، در محدوده مشخصی از $$ x$$ همگرا باشد، یعنی $$ \lim\limits_{n \to \infty } {R_n} = 0 $$، آنگاه آن را بسط تیلور $$ f ( x ) $$ حول $$ a $$ می‌نامند.

بسط مک لورن

اگر در بسط تیلور، $$ a = 0 $$ باشد، آنگاه بسط را مک لورن (Maclaurin Series) گویند:

$$ \large \begin {align*}
{ f \left ( x \right ) } & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 0 \right ) \frac { { { x ^ n } } } { { n ! } } } } = { f \left ( 0 \right ) + f ’ \left ( 0 \right ) x } + { \frac { { f ^ { \prime \prime } \left ( 0 \right ) { x ^ 2 } } } { { 2 ! } } + \ldots } \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, + { \frac { { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 0 \right ) { x ^ n } } } { { n ! } } } + { { R _ n } . }
\end {align*} $$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

بسط مک لورن برخی از توابع پرکاربرد و مهم به صورت زیر است:‌

$$ \large { { e ^ x } = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { x ^ n } } } { { n ! } } } } = { 1 + x + { \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 3 } } } { { 3 ! } } } + \ldots } $$

$$ \large { \cos x = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } } = { 1 – { \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 4 } } } { { 4 ! } } } } - { { \frac { { {x ^ 6 } } } { { 6 ! } } } + \ldots } $$

$$ \large { \sin x = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { x ^ { 2 n + 1 } } } } { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) ! } } } } = { x – { \frac { { { x ^ 3 } } } { { 3 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { 5 ! } } } } - { { \frac { { { x ^ 7 } } } { { 7 ! } } } + \ldots } $$

$$ \large { \sin x = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { x ^ { 2 n + 1 } } } } { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) ! } } } } = { x – { \frac { { { x ^ 3 } } } { { 3 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { 5 ! } } } } - { { \frac { { { x ^ 7 } } } { { 7 ! } } } + \ldots } $$

$$ \large { \cosh x = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } } = { 1 + { \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 ! } } } + { \frac { { { x ^ 4 } } } { { 4 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 6 } } } { { 6 ! } } } + \ldots } $$

$$ \large { \sinh x = \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { x ^ { 2 n + 1 } } } } { { \left ( { 2 n + 1 } \right ) ! } } } } = { x + { \frac { { { x ^ 3 } } } { { 3 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 5 } } } { { 5 ! } } } } + { { \frac { { { x ^ 7 } } } { { 7 ! } } } + \ldots } $$

مثال‌ها

در این بخش چند مثال را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل سوالات کنکور دکتری در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

سری مک لورن $$ {\cos ^2}x $$ را بیابید.

حل: از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { \cos ^ 2 } x = { \large \frac { { 1 + \cos 2 x } } { 2 } \normalsize } . $$

سری مک لورن $$ \cos x $$ به فرم $$ \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \large \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } \normalsize } $$ است. بنابراین می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

$$ \large { \cos 2 x } = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } } = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { 2 ^ { 2 n } } { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } . } $$

در نتیجه، داریم:

$$ \large { 1 + \cos 2 x } = { 1 + \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { 2 ^ { 2 n } } { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } } = { 2 + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { 2 ^ { 2 n } } { x ^ { 2 n } } } } { { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } , } $$

$$ \large { { \cos ^ 2 } x } = { \frac { { 1 + \cos 2 x } } { 2 } } = { 1 + \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { { { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ n } { 2 ^ { 2 n – 1 } } { x ^ { 2 n } } } }{ { \left ( { 2 n } \right ) ! } } } . } $$

مثال ۲

سری تیلور تابع $$ f \left ( x \right ) = 3 { x ^ 2 } – 6 x + 5 $$ را حول نقطه $$ x = 1 $$ به دست آورید.

حل: ابتدا مشتق‌ها را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { f ’ \left ( x \right ) = 6 x – 6 , \; \; } \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = 6 , \; \; } \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) = 0 . } $$

همانطور که می‌بینیم، برای $$ n \ge 3 $$، $$ {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0 $$ است. در نتیجه، برای $$ x = 1$$ می‌توان نوشت:

$$ \large { f \left ( 1 \right ) = 2 , \; \; } \kern-0.3pt { f ’ \left ( 1 \right ) = 0 , \; \; } \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( 1 \right ) = 6 . } $$

بنابراین، بسط تیلور تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
{ f \left ( x \right ) } & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 1 \right ) \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ n } } } { { n ! } } } } \\ & = { 2 + \frac { { 6 { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } } = { 2 + 3 { \left ( { x – 1 } \right ) ^ 2 } . }
\end {align*} $$

مثال ۳

بسط مک لورن $$ {e^{kx}} $$ را بیابید که در آن، $$ k $$ یک عدد حقیقی است.

حل: ابتدا مشتق‌های تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} f ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { e ^ { k x } } } \right ) ^ \prime } = k { e ^ { k x } } , \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { k { e ^ { k x } } } \right ) ^ \prime } = { k ^ 2 } {e ^ { k x } },\\ & \ldots , \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \left ( n \right ) } \left ( x \right ) & = { k ^ n } { e ^ { k x } } .
\end {align*} $$

بنابراین، در $$ x = 0 $$ داریم:‌

$$ \large \begin {align*} f \left ( 0 \right ) & = { e ^ 0 } = 1 , \; \; \kern-0.3pt \\ f ’ \left ( 0 \right ) & = k { e ^ 0 } = k , \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( 0 \right ) & = { k ^ 2 } { e ^ 0 } = { k ^ 2 } , \\ & \ldots \; \; \kern-0.3pt , \\ { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 0 \right ) & = { k ^ n } { e ^ 0 } = { k ^ n } .
\end {align*} $$

در نتیجه، بسط مک لورن تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
{ { e ^ { k x } } } & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 0 \right ) \frac { { { x ^ n } } } { { n ! } } } } \\ & = { 1 + k x + \frac { { { k ^ 2 } { x ^ 2 } } } { { 2 ! } } } + { \frac { { { k ^ 3 } { x ^ 3 } } } { { 3 ! } } + \ldots } \\ & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { \frac { { { k ^ n } { x ^ n } } } { { n ! } } } . }
\end {align*} $$

مثال ۴

بسط تیلور تابع درجه سوم $$ x ^ 3 $$ را حول $$ x = 2 $$ به دست آورید.

حل: تابع $$ f\left( x \right) = {x^3} $$ است. مشتق‌های آن نیز عبارتند از:

$$ \large { f ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } = 3 { x ^ 2 } , \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 3 { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } = 6 x , \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 6 x } \right ) ^ \prime } = 6 , \; \; } \kern-0.3pt \\ \large { { f ^ { I V } } \left ( x \right ) = 0 } $$

و برای $$ n \ge 4 $$ رابطه $$ {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0 $$ برقرار است.

در نقطه $$ x = 2 $$، داریم:‌

$$ \large { f \left ( 2 \right ) = 8 , \; \; } \kern-0.3pt { f ’ \left ( 2 \right ) = 1 2 , \; \; } \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( 2 \right ) = 1 2 , \; \; } \kern-0.3pt { f^ { \prime \prime \prime } \left ( 2 \right ) = 6 . } $$

بنابراین، بسط سری تیلور تابع درجه سوم به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
{ { x ^ 3 } } & = { \sum \limits _ { n = 0 } ^ \infty { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 2 \right ) \frac { { { { \left ( { x – 2 } \right ) } ^ n } } } { { n ! } } } } \\ & = { 8 + 1 2 \left ( { x – 2 } \right ) } + { \frac { { 1 2 { { \left ( { x – 2 } \right ) } ^ 2 } } } { { 2 ! } } } + { \frac { { 6 { { \left ( { x – 2 } \right ) } ^ 3 } } } { { 3 ! } } } \\ & = { 8 + 1 2 \left ( { x – 2 } \right ) } + { 6 { \left ( { x – 2 } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { x – 2 } \right ) ^ 3 } . }
\end {align*} $$

مثال ۵

سری مکلورن تابع $$ {\left( {1 + x} \right)^\mu } $$ را بیابید.

حل: تابع $$ f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^\mu } $$ را در نظر می‌گیریم که در آن، $$ \mu $$ یک عدد حقیقی است و $$ x \ne -1 $$. مشتق‌های این تابع به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
f ’ \left ( x \right ) & = \mu { \left ( { 1 + x } \right ) ^ { \mu – 1 } } , \\
{ f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } & = { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) { \left ( { 1 + x } \right ) ^ { \mu – 2 } } , } \\
{ f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) } & = { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) \left ( { \mu – 2 } \right ) \cdot } \kern0pt { { \left ( { 1 + x } \right ) ^ { \mu – 3 } } , } \\
{ { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( x \right ) } & = { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) \left ( { \mu – 2 } \right ) \cdots } \kern0pt { \left ( { \mu – n + 1 } \right ) { \left ( { 1 + x } \right ) ^ { \mu – n } } . }
\end {align*} $$

برای $$ x = 0$$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
f \left ( 0 \right ) & = 1 , \; \; \kern-0.3pt \\ f ’ \left ( 0 \right ) & = \mu , \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( 0 \right ) & = \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) , \\ & \ldots , \; \; \kern-0.3pt \\ { { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( 0 \right) } & = { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) \cdots } \kern0pt { \left ( { \mu – n + 1 } \right ) . }
\end {align*} $$

بسط سری را می‌توان به فرم زیر نوشت:

$$ \large \begin {align*}
{ \left ( { 1 + x } \right ) ^ \mu }
& = { 1 + \mu x } + { \frac { { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) } } { { 2 ! } } { x ^ 2 } } + \frac { { \mu \left( {\mu – 1 } \right ) \left ( { \mu – 2 } \right ) } } { { 3 ! } } { x ^ 3 } + \\ & \ldots
+ { \frac { { \mu \left ( { \mu – 1 } \right ) \cdots \left ( { \mu – n + 1 } \right ) } } { { n ! } } { x ^ n } + \ldots }
\end {align*} $$

این سری، یک بسط دوجمله‌ای است.

مثال ۶

سری مک لورن $$ f\left( x \right) = \sqrt {1 + x} $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از بسط دوجمله‌ای مثال قبل، و جایگذاری $$ \mu = {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$، داریم:

$$ \large \begin {align*}
{ \sqrt { 1 + x } } & = { { \left ( { 1 + x } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } }\\ &
= { 1 + \frac { x } { 2 } } + { \frac { { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { 2 } – 1 } \right ) } } { { 2 ! } } { x ^ 2 } } +{ \frac { { \frac { 1 } { 2 } \left ( { \frac { 1 } { 2 } – 1 } \right ) \left ( { \frac { 1 } { 2 } – 2 } \right ) } } { { 3 ! }} { x ^ 3 } + \ldots } \\ &
= { 1 + \frac { x } { 2 } – \frac { { 1 \cdot { x ^ 2 } } }{ { { 2 ^ 2 } 2 ! } } } + { \frac { { 1 \cdot 3 \cdot { x ^ 3 } } }{ { { 2 ^ 3 } 3 ! } } } - { \frac { { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot { x ^ 3 } } } { { { 2 ^ 4 } 4 ! } } + \ldots } \\ &
+ \, \, \, \, \, { { \left ( { – 1 } \right ) ^ { n + 1 } } \cdot \frac { { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left ( { 2 n – 3 } \right ) { x ^ n } } } { { { 2 ^ n } n ! } } . }
\end {align*} $$

با در نظر گرفتن فقط سه جمله اول، داریم:

$$ \large { \sqrt { 1 + x } } \approx { 1 + \frac { x } { 2 } – \frac { { { x ^ 2 } } } { 8 } . } $$