فرمول ژاکوبی — به زبان ساده

در حسابان ماتریسی، «فرمول ژاکوبی» (Jacobi's formula) بیان می‌کند که مشتق دترمینان ماتریس $$A$$ را می‌توان برحسب ماتریس الحاقی $$A$$ و مشتق $$A$$ نوشت.

اگر $$A$$ یک تصویر مشتق‌پذیر از اعداد حقیقی به ماتریس $$n \times n$$ باشد، رابطه زیر برقرار است:

$$\large \frac { d } { d t } \det A ( t ) = \operatorname { tr } \left ( \operatorname {adj} ( A ( t ) ) \, \frac { d A ( t ) } { d t } \right )$$

که در آن، $$\mathrm {tr} ( X )$$ اثر ماتریس $$X$$ را نشان می‌دهد.

در یک حالت خاص، داریم:

$$\large { \partial \det ( A ) \over \partial A _ { i j } } = \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i j } .$$

اگر $$d A$$ دیفرانسیل $$A$$ باشد، فرمول ژاکوبی به صورت زیر در می‌آید:

$$\large d \det ( A ) = \operatorname {tr} ( \operatorname {adj} ( A ) \, d A ) .$$

این فرمول به نام ریاضی‌دان آلمانی، «کارل گوستاو یاکوب ژاکوبی» (Carl Gustav Jacob Jacobi)، نامگذاری شده است.

استخراج فرمول ژاکوبی

در این بخش، دو روش رسیدن به فرمول ژاکوبی را معرفی می‌کنیم.

فیلم آموزش محاسبات عددی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

محاسبات ماتریسی

ابتدا یک لم مقدماتی را اثبات می‌کنیم.

لم: فرض کنید $$A$$ و $$B$$ دو ماتریس مربعی با بُعد یکسان $$n$$ باشند. در این صورت، داریم:

$$\large \sum _ i \sum _ j A _ { i j } B _ { i j } = \operatorname {tr} ( A ^ { \rm T } B ) .$$

اثبات لم: ضرب $$A B$$ دو ماتریس دارای درایه‌های زیر است:

$$\large ( A B ) _ { j k } = \sum _ i A _ { j i } B _ { i k } .$$

با جایگزینی ماتریس $$A$$ با ترانهاده‌اش، $$A ^ \mathrm{T}$$، اندیس‌ها به صورت زیر تغییر می‌کنند:

$$\large ( A ^ { \rm T } B ) _ { j k } = \sum _ i A _ { i j } B _ { i k } .$$

اگر اثر دو طرف تساوی بالا را محاسبه کنیم، داریم:

$$\large \operatorname {tr} ( A ^ { \rm T } B ) = \sum _ j ( A ^ { \rm T } B ) _ { j j } = \sum _ j \sum _ i A _ { i j } B _ { i j } = \sum _ i \sum _ j A _ { i j } B _ { i j } . \ \square$$

قضیه (فرمول ژاکوبی): برای هر تصویر مشتق‌پذیر ماتریس $$A$$ از اعداد حقیقی به ماتریس‌های $$n \times n$$، داریم:

$$\large d \det ( A ) = \operatorname {tr} ( \operatorname {adj}( A ) \, d A ) .$$

اثبات قضیه: فرمول لاپلاس برای دترمینان ماترس $$A$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \det ( A ) = \sum _ j A _ { i j } \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i j } .$$

لازم به ذکر است که مجموع برای سطر دلخواه $$i$$ ماتریس انجام می‌شود.

دترمینان $$A$$ را می‌توان به عنوان تابعی از درایه‌های $$A$$ در نظر گرفت:

$$\large \det ( A ) = F \, ( A _ { 1 1} , A _ { 1 2 } , \ldots , A _ { 2 1 } , A _ { 2 2 } , \ldots , A _ { n n } )$$

بنابراین، با استفاده از قاعده زنجیره‌ای دیفرانسیل به صورت زیر است:

$$\large d \det ( A ) = \sum _ i \sum _ j { \partial F \over \partial A _ { i j } } \, d A _ { i j } .$$

این مجموع روی همه $$n \times n$$ درایه ماتریس اعمال می‌شود.

برای یافتن $$\partial F / \partial A _ { i j }$$، دقت کنید که در سمت راست فرمول لاپلاس، اندیس $$i$$ را می‌توان به صورت دلخواه انتخاب کرد (این کار برای بهینه کردن محاسبات است و هر انتخاب دیگری منجر به نتیجه یکسانی خواهد شد). به ویژه، می‌توان آن را طبق اندیس اول $$\partial / \partial A _ { i j }$$ انتخاب کرد:‌

$$\large { \partial \det ( A ) \over \partial A _ { i j } } = { \partial \sum _ k A _ { i k } \operatorname {adj} ^ { \rm T }( A ) _ { i k } \over \partial A _ { i j } } = \sum _ k { \partial ( A _ { i k } \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i k } ) \over \partial A _ { i j } }$$

بنابراین، با استفاده از قاعده ضرب، داریم:

$$\large { \partial \det ( A ) \over \partial A _ { i j } } = \sum _ k { \partial A _ { i k } \over \partial A _ { i j } } \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i k } + \sum _ k A _ { i k } { \partial \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ {i k } \over \partial A _ { i j } } .$$

اکنون اگر هر درایه ماتریس $$A _ { i j }$$ و کهاد $$\mathrm {adj}^\mathrm{T} ( A) _{ik}$$ درایه $$A _ { i k }$$ در سطر (یا ستون) مشابه صدق می‌کنند، در نتیجه، کهاد تابعی از $$A _ { i j }$$ نیست، زیرا کهاد $$A _ { i k }$$ برحسب درایه‌های خود آن سطر (یا ستون) نیست. بنابراین:

$$\large { \partial \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i k } \over \partial A _ { i j } } = 0$$

در نتیجه:

$$\large { \partial \det ( A ) \over \partial A _ { i j } } = \sum _ k \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i k } { \partial A _ { i k } \over \partial A _ { i j } } .$$

همه درایه‌های $$A$$ مستقل از یکدیگرند، یعنی:

$$\large { \partial A _ { i k } \over \partial A _ { i j } } = \delta _ { j k }$$

که در آن، $$\delta$$ دلتای کرونکر است، بنابراین:

$$\large { \partial \det ( A ) \over \partial A _ { i j } } = \sum _ k \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i k } \delta _ { j k } = \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i j } .$$

در نتیجه:

$$\large d ( \det ( A ) ) = \sum _ i \sum _ j \operatorname {adj} ^ { \rm T } ( A ) _ { i j } \, d A _ { i j }$$

و با اعمال لم بالا، داریم:

$$\large d ( \det ( A ) ) = \operatorname {tr} ( \operatorname {adj} ( A ) \, d A ) . \ \square$$

قاعده زنجیره‌ای

در این روش نیز ابتدا دو لم را اثبات می‌کنیم.

لم ۱: رابطه $$\det'(I)=\mathrm{tr}$$ برقرار است که در آن، $$\det'$$ دیفرانسیل $$\det$$ است.

این معادله بدین معنی است که دیفرانسیل $$\det$$ در ماتریس یکه برابر با اثر ماتریس است. دیفرانسیل $$\mathrm {det}' ( I )$$ یک عملگر خطی است که ماتریس $$n \times n$$ را به یک عدد حقیقی تصویر می‌کند.

اثبات لم ۱: با استفاده از تعریفِ مشتق جهت‌دار همراه با یکی از ویژگی‌های اساسی توابع مشتق‌پذیر، داریم:‌

$$\large \mathrm {det} ' ( I ) ( T ) = \nabla _ T \mathrm {det} ( I ) = \lim _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \mathrm { det} ( I + \varepsilon T ) - \det I } { \varepsilon }$$

$$\det(I+\varepsilon T)$$ یک چندجمله‌ای برحسب $$\varepsilon$$ و از درجه $$n$$ است. این، رابطه نزدیکی با چندجمله‌ای مشخصه $$T$$ دارد. جمله ثابت ($$\varepsilon = 0$$) برابر با ۱ است، در حالی که جمله خطی در $$\varepsilon$$ برابر با $$\mathrm { tr } \;  T$$ است.

لم ۲: برای ماتریس معکوس‌پذیر $$A$$، داریم: $$\det'(A)(T)=\det A \; \mathrm{tr}(A^{-1}T)$$.

اثبات لم ۲: تابع زیر از $$X$$ را در نظر بگیرید:

$$\large \det X = \det ( A A ^ { - 1 } X ) = ( \det A ) \ \det ( A ^ { - 1 } X )$$

دیفرانسیل تابع $$\mathrm {det}\, X$$ را محاسبه کرده و آن را در $$X = A$$ با استفاده از لم ۱، معادله بالا و قاعده زنجیره‌ای به دست می‌آوریم:

$$\large \det' ( A ) ( T ) = \det A \ \det' ( I ) (A ^ { - 1 } T ) = \det A \ \mathrm {tr} ( A ^ { - 1 } T )$$

قضیه (فرمول ژاکوبی):‌ $$\frac { d } { d t } \det A = \mathrm {tr} \left ( \mathrm {adj} \ A \frac { d A } { d t } \right )$$

اثبات قضیه: اگر $$A$$ وارون‌پذیر باشد، با استفاده از لم ۲ و مقدار $$T = d A / dt$$ و با استفاده از معادله‌ای که ماتریس الحاقی $$A$$ را به $$A ^ {- 1 }$$ مرتبط می‌کند، داریم:

$$\large \frac { d } {d t } \det A = \det A \; \mathrm {tr} \left ( A ^ { - 1 } \frac { d A } { d t } \right ) = \mathrm {tr} \left ( \mathrm {adj} \ A \; \frac { d A } { d t } \right )$$

این فرمول برای همه ماتریس‌ها برقرار است، زیرا مجموعه ماتریس‌های خطی وارون‌ناپذیر در فضای ماتریس‌ها فشرده است.

فرمول ژاکوبی برای نمایی ماتریسی

رابطه مفید زیر، اثر ماتریس را به دترمینان نمایی ماتریسی متناظر ربط می‌دهد:

$$\large \det e ^ { t B } = e ^ { \operatorname {tr} \left ( t B \right ) }$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

تساوی فوق برای ماتریس‌های قطری واضح است و اثبات آن برای ماتریس‌های عمومی در ادامه آمده است. برای هر ماتریس وارون‌پذیر $$A ( t)$$، در بخش قبل (قاعده زنجیره‌ای)، نشان دادیم که:‌

$$\large \frac { d } { d t } \det A ( t ) = \det A ( t ) \; \operatorname {tr} \left ( A ( t ) ^ { - 1 } \, \frac { d } { d t } A ( t ) \right )$$

با توجه به $$A ( t) = \exp ( t B )$$ در این معادله، داریم:

$$\large \frac { d } { d t } \det e ^ { t B } = \operatorname {tr} ( B ) \det e ^ { t B }$$

نتیجه مطلوب با جواب این معادله دیفرانسیل معمولی حاصل می‌شود.

کاربردهای فرمول ژاکوبی

فرم‌های مختلف فرمول ژاکوبی برای محاسبه چندجمله‌ای مشخصه و به طور خاص در قضیه کیلی همیلتون استفاده می‌شود. برای مثال، با استفاده از فرمول زیر که قبلاً آن را اثبات کردیم:

$$\large \frac { d } { d t } \det A ( t ) = \det A ( t ) \ \operatorname {tr} \left ( A ( t ) ^ { - 1 } \, \frac { d } { d t } A ( t ) \right )$$

و با استفاده از $$A ( t) = t I - B$$، خواهیم داشت:

$$\large \frac { d } { dt } \det ( t I - B ) = \det ( t I - B ) \operatorname {tr} [ ( t I - B ) ^ { - 1 } ] = \operatorname {tr} [ \operatorname {adj} ( t I - B ) ]$$

که در آن، $$\mathrm {adj}$$ ماتریس الحاقی را نشان می‌دهد.

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش جبر خطی با متلب
• مجموعه آموزش‌های مهندسی کنترل
• آموزش کنترل مدرن به همراه پیاده سازی در متلب​‎
• تجزیه مقادیر منفرد (SVD) — به زبان ساده
• ماتریس متعامد — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) جبر خطی برای یادگیری ماشین — راهنمای سریع و کامل

^^