فرمول انتگرال کوشی – از صفر تا صد

«فرمول انتگرال کوشی» (Cauchy's Integral Formula) یا «قضیه انتگرال کوشی» (Cauchy’s Integral Theorem) یک قضیه مهم است که کاربرد زیادی در آنالیز مختلط دارد. در این آموزش، ابتدا این قضیه را برای توابع بیان می‌کنیم. سپس چند مثال را ارائه کرده و تعمیم آن را برای همه مشتق‌های یک تابع بیان می‌کنیم. پس از بیان چند مثال دیگر، قضایا را اثبات خواهیم کرد. پس از آن نیز، چند نتیجه مهم را بیان می‌کنیم که مستقیماً از فرمول کوشی به دست آمده‌اند.

انتگرال کوشی برای توابع

قضیه ۱ (فرمول انتگرال کوشی): فرض کنید $$C$$ یک منحنی بسته ساده و تابع $$f ( z )$$ روی ناحیه‌ای شامل $$C$$ و درون آن تحلیلی باشد.

فرض می‌کنیم $$C$$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت چرخیده است. در نتیجه، برای هر $$z _ 0$$ درون $$C$$، داریم:

$$\large \boxed { \begin {equation} f \left ( z _ { 0 } \right ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z - z _ { 0 } } d z \end {equation} } \quad \quad ( 1 )$$

$$C$$" width="264" height="209">

در اصل، فرمول انتگرال کوشی بیان می‌کند که با دانستن مقادیر $$f$$ روی منحنی مرزی $$C$$، همه چیز درون $$C$$ را می‌دانیم. این احتمالاً‌ برخلاف همه چیزهایی است که درباره توابع حقیقی می‌دانیم.

نکته 1: با یک تغییر کوچک در نمادگذاری (تغییر $$z$$ به $$w$$ و $$z _ 0$$ به $$z$$)، این فرمول را اغلب به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \boxed { \begin {equation} f ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { w - z } d w \end {equation} } \quad \quad ( 2 )$$

نکته 2: البته نسبت به توابع حقیقی بی‌تفاوت نخواهیم بود. خواهیم دید که برای $$f = u + i v$$، بخش‌های حقیقی و موهومی $$u$$ و $$v$$ ویژگی‌های بسیار مشابهی دارند. $$u$$ و $$v$$ توابع هارمونیک مزدوج نامیده می‌شوند.

در ادامه این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

انتگرال $$\int _ C \frac { e ^ { z ^ 2 }} { z - 2 } d z$$ را حساب کنید که در آن، $$C$$ منحنی شکل زیر است.

$$C$$ مثال ۱" width="271" height="148">

حل: $$f ( z ) = e ^ { z ^ 2 }$$ را در نظر می‌گیریم. ار آنجا که $$C$$ یک منحنی بسته ساده (در خلاف جهت عقربه‌های ساعت) است و $$z = 2$$ درون $$C$$ قرار دارد، طبق فرمول انتگرال کوشی، انتگرال برابر با $$2 \pi i f ( 2 ) = 2 \pi i e ^ 4$$ خواهد بود.

مثال ۲

انتگرال مثال ۱ را برای منحنی $$C$$ شکل زیر حساب کنید.

$$C$$ مثال ۲" width="271" height="157">

حل: از آنجا که $$f ( z ) = e ^ {z^2} / ( z - 2 )$$ درون و روی $$C$$ تحلیلی است، قضیه کوشی بیان می‌کند که حاصل انتگرال صفر است.

مثال ۳

انتگرال مثال ۱ را برای منحنی $$C$$ شکل زیر حساب کنید.

$$C$$ مثال ۳" width="269" height="173">

حل: $$f ( z ) = e ^ { z ^ 2 }$$ را در نظر می‌گیریم. منحنی $$C$$ دو بار حول ۲ در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد. بنابراین، $$C$$ را به دو منحنی $$C _ 1 + C_ 2$$ مطابق شکل زیر می‌شکنیم.

$$C$$ مثال ۳ به $$C _ 1 + C _ 2$$" width="265" height="183">

حال، دو منحنی $$C_ 1$$ و $$C_ 2$$ هر دو منحنی‌های بسته ساده‌ای هستند. در نتیجه، می‌توانیم فرمول انتگرال کوشی را به هر یک به صورت جداگانه اعمال کنیم (علامت‌های منفی به این دلیل هستند که منحنی‌های به صورت ساعتگرد حول $$z = 2$$ می‌چرخند).

$$\large \begin {align*} \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z - 2 } d z & = \int _ { C _ { 1 } } \frac { f ( z ) } { z - 2 } d z + \int _ { C _ { 2 } } \frac { f ( z ) } { z - 2 } d z \\ & = - 2 \pi i f ( 2 ) - 2 \pi i f ( 2 ) = - 4 \pi i f ( 2 ) \end {align*}$$

فرمول انتگرال کوشی برای مشتق

در این بخش، فرمول انتگرال کوشی را برای همه مشتق‌های $$f ^ {(n)} (z )$$ تابع $$f$$ بیان می‌کنیم.

قضیه ۲ (فرمول انتگرال کوشی برای مشتق): اگر $$f ( z )$$ و $$C$$ در فرضیاتی مشابه فرمول انتگرال کوشی صدق کنند، آنگاه برای همه $$z$$های درون $$C$$، داریم:

$$\large \begin {equation} f ^ { (n ) } ( z ) = \frac { n ! } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { n + 1 } } d w , \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots \end {equation} \quad \quad ( 3 )$$

که در آن، $$C$$ یک منحی بسته ساده با چرخش پادساعتگرد بوده و $$z$$ درون $$C$$ و $$f ( w )$$ درون و روی $$C$$ تحلیلی است.

مثال ۴

حاصل انتگرال $$I = \int _ C \frac {e ^ {2z}} { z ^ 4 } d z$$ را به دست آورید که در آن، $$C : | z | = 1$$.

حل: با استفاده از فرمول کوشی برای مشتق و با در نظر گرفتن $$f (z ) = e ^ { 2 z }$$، داریم:‌

$$\large \begin {equation} I = \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z ^ { 4 } } d z = \frac { 2 \pi i } { 3 ! } f ^ { \prime \prime \prime } ( 0 ) = \frac { 8 } { 3 } \pi i \end {equation}$$

مثال 5

فرض کنید $$C$$ کانتور شکل زیر باشد. حاصل انتگرال مثال قبل را به دست آورید.

$$C$$ مثال 5" width="334" height="225">

حل: این مثال، دقیقاً مشابه مثال قبل حل می‌شود:

$$\large \begin {equation} I = \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z ^ { 4 } } d z = \frac { 2 \pi i } { 3 ! } f ^ { \prime \prime \prime } ( 0 ) = \frac { 8 } { 3 } \pi i \end {equation}$$

یک رویکرد دیگر برای مثال‌های اساسی

فرض کنید $$C$$ یک منحنی بسته ساده حول $$0$$ باشد. می‌دانیم که

$$\large \int _ C \frac { 1 } { z } d z = 2 \pi i .$$

فرمول انتگرال کوشی نتیجه مشابهی خواهد داشت. فرض کنید $$f ( z ) = 1$$ باشد. در نتیجه، طبق این فرمول، داریم:

$$\large \begin {equation} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z - 0 } d z = f ( 0 ) = 1 \end {equation}$$

به طور مشابه، فرمول کوشی برای مشتق، نتیجه زیر را خواهد داشت:‌

$$\large \begin {equation} \int _ { C } \frac { 1 } { ( z ) ^ { n } } d z = \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z ^ { n + 1 } } d z = f ^ { ( n ) } ( 0 ) = 0 , \quad n > 1 \end{equation}$$

مثال 6

انتگرال $$\int _ C \frac { \cos ( z ) } { z ( z ^ 2 + 8 )} d z$$  را برای کانتور زیر محاسبه کنید.

$$C$$ مثال 6" width="304" height="229">

حل: تابع $$f ( z ) = \cos ( z ) / ( z ^ 2 + 8 )$$ را در نظر می‌گیریم. از آنجا که ریشه‌های $$z ^ 2 + 8$$ بیرون منحنی هستند، $$f ( z )$$ روی منحنی $$C$$ و درون آن تحلیلی است. بنابراین، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {equation} \int _ { C } \frac { \cos ( z ) / \left ( z ^ { 2 } + 8 \right ) } { z } d z = \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z } d z = 2 \pi i f ( 0 ) = 2 \pi i \frac { 1 } { 8 } = \frac { \pi i } { 4 } \end {equation}$$

مثال ۷

انتگرال $$\int _ C \frac { 1 } { ( z ^ 2 + 4 ) ^ 2 } d z$$ را روی کانتور شکل زیر حساب کنید.

حل: از مخرج به صورت زیر فاکتورگیری می‌کنیم:

$$\large \frac { 1 } { \left ( z ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( z - 2 i ) ^ { 2 } ( z + 2 i ) ^ { 2 } }$$

تابع $$f ( z )$$ را نیز به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

$$\large f ( z ) = \frac { 1 } { ( z + 2 i ) ^ { 2 } }$$

واضح است که $$f ( z )$$ درون $$C$$ تحلیلی است. بنابراین، با استفاده از فرمول کوشی برای مشتق، داریم:

$$\large \begin {align*} \int _ { C } \frac { 1 } { \left ( z ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } d z & = \int _ { C } \frac { f ( z ) } { ( z - 2 i ) ^ { 2 } } = 2 \pi i f ^ { \prime } ( 2 i ) \\ & = 2 \pi i \left [ \frac { - 2 } { ( z + 2 i ) ^ { 3 } } \right ] _ { z = 2 i } = \frac { 4 \pi i } { 6 4 i } = \frac { \pi } { 1 6 } \end {align*}$$

مثال 8

انتگرال $$\int _ C \frac { z } { z ^ 2 + 4 } d z$$ را روی منحنی $$C$$ شکل زیر حساب کنید.

$$C$$ مثال 8" width="285" height="268">

حل: انتگرالده در $$\pm 2 i$$ دارای دو تکینگی بوده و منحنی $$C$$ آن‌ها را در بر گرفته است. در اینجا راه‌حل مثال قبل کارساز نخواهد بود، زیرا نمی‌توانیم $$f ( z )$$ مناسب را که در کل درون $$C$$ تحلیلی باشد، پیدا کنیم. راه‌حل این است که منحنی را به دو بخش تقسیم کنیم. توجه کنید که $$C _ 3$$ هم رو به عقب و هم رو به جلو پیمایش می‌کند.

$$C$$ به به قسمت جدا تقسیم شده که هر کدام تنها یک نقطه منفرد را احاطه کرده‌اند." width="346" height="333">

تساوی زیر را داریم:

$$\large \frac { z } { z ^ { 2 } + 4 } = \frac { z } { ( z - 2 i ) ( z + 2 i ) }$$

$$f _ 1 ( z )$$ و $$f _ 2 ( z )$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$\large f _ { 1 } ( z ) = \frac { z } { z + 2 i } \quad \text {,} \quad f _ { 2 } ( z ) = \frac { z } { z - 2 i }$$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$\large \frac { z } { z ^ { 2 } + 4 } = \frac { f _ { 1 } ( z ) } { z - 2 i } = \frac { f_ { 2 } ( z ) } { z + 2 i }$$

در نتیجه، انتگرال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} \int _ { C } \frac { z } { z ^ { 2 } + 4 } d z & = \int _ { C _ { 1 } + C _ { 3 } - C _ { 3 } + C _ { 2 } } \frac { z } { z ^ { 2 } + 4 } d z \\ & = \int _ { C _ { 1 } + C _ { 3 } } \frac { f _ { 1 } ( z ) } { z - 2 i } d z + \int _ { C _ { 2 } - C _ { 3 } } \frac { f _ { 2 } ( z ) } { z + 2 i } d z \end {align*}$$

از آنجا که $$f _ 1$$ درون منحنی بسته ساده $$C _ 1 + C _ 3$$ تحلیلی است و $$f _ 2$$ دورن منحنی بسته ساده $$C _ 2 - C _ 3$$ تحلیلی است، می‌توان فرمول انتگرال کوشی را به این دو انتگرال اعمال کرد. در نهایت، حاصل انتگرال برابر خواهد بود با:

$$\large 2 \ pi i (( f _ 1 ( 2 i ) + f _ 2 ( - 2 i )) = 2 \pi i ( 1/ 2 + 1 / 2 ) = 2 \pi i .$$

می‌توانستیم این مسئله را با بسط کسرهای جزئی نیز حل کنیم:

$$\large \begin {equation} \frac { z } { ( z - 2 i ) ( z + 2 i ) } = \frac { A } { z - 2 i } + \frac { B } { z + 2 i } \end {equation}$$

که $$A = f _ 1 ( 2 i )$$ و $$B = f _ 2 ( - 2 i )$$ حاصل می‌شود. به سادگی می‌توان فرمول انتگرال کوشی را به این دو عبارت اعمال کرد.

نامساوی مثلثی برای انتگرال

قبلاً در مجله فرادرس با نامساوی مثلثی آشنا شدیم. طبق نامساوی مثلثی، رابطه زیر را داریم:

$$\large | z _ 1 + z _ 2 | \le | z _ 1 + | z _ 2 | \;\;\;\;\; ( 4 a )$$

یک تعبیر دیگر از این نامساوی به صورت زیر است:

$$\large | z _ 1 | - | z _ 2 | \le | z _ 1 - z _ 2 | . \;\;\;\;\; (4 b )$$

که از (۴a) رابطه زیر حاصل می‌شود:‌

$$\large | z _ 1 | = | ( z _ 1 - z _ 2 ) + z _ 2 | \le | z _ 1 - z _ 2 | + | z _ 2 | .$$

از آنجا که انتگرال اساساً یک مجموع است، نامساوی مثلثی را می‌توان برای انتگرال‌ها نیز بیان کرد.

قضیه ۳ (نامساوی مثلثی برای انتگرال‌): فرض کنید $$g ( t)$$ یک تابع مختلط از یک متغیر حقیقی باشد که در $$a \le t \le b$$ تعریف شده است. در نتیجه، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { a } ^ { b } g ( t ) d t \right | \leq \int _ { a } ^ { b } \left | g ( t ) \right | d t \end {equation}$$

اثبات: این نامساوی با تقریب انتگرال توسط یک مجموع ریمان اثبات می‌شود:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { a } ^ { b } g ( t ) d t \right | \approx \left | \sum g \left ( t _ { k } \right ) \Delta t \right | \leq \sum \left | g \left ( t _ { k } \right ) \right | \Delta t \approx \int _ { a } ^ { b } | g ( t ) | d t \end {equation}$$

نامساوی وسط نامساوی مثلثی استاندارد برای مجموع‌های اعداد مختلط است.

قضیه ۴ (نامساوی مثلثی برای انتگرال): برای هر تابع $$f ( z )$$ و هر منحنی $$\gamma$$، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { \gamma } f ( z ) d z \right | \leq \int _ { \gamma } | f ( z ) | | d z | \end {equation}$$

که در آن، $$d z = \gamma ^ \prime ( t ) d t$$ و $$|d z | = | \gamma ^ \prime ( t ) | d t$$.

اثبات: با استفاده از قضیه قبل، این قضیه به سادگی اثبات می‌شود:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { \gamma } f (z ) d z \right | = \left | \int _ { a } ^ { b } f ( \gamma ( t ) ) \gamma ^ { \prime } ( t ) d t \right | \leq \int _ { a } ^ { b } \left | f ( \gamma ( t ) ) \| \gamma ^ { \prime } ( t ) \right | d t = \int _ { \gamma } | f ( z ) | | d z | \end {equation}$$

نتیجه: اگر $$| f ( z ) | < M$$ روی $$C$$ باشد، آنگاه:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { C } f ( z ) d z \right | \leq M \cdot ( \text {length of } C ) \end {equation}$$

که length of C طول $$C$$ را نشان می‌دهد.

اثبات: فرض کنید $$\gamma ( t)$$ که $$a \le t \le b$$، تابع پارامتری شده $$C$$ باشد. با استفاده از نامساوی مثلثی، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { C } f ( z ) d z \right | \leq \int _ { C } | f ( z ) | | d z | = \int _ { a } ^ { b } | f ( \gamma ( t ) ) | \left | \gamma ^ { \prime } ( t ) \right | d t \leq \int _ { a } ^ { b } M \left | \gamma ^ { \prime } ( t ) \right | d t = M \cdot ( \text {length of } C ) \end {equation}$$

در اینجا از رابطه زیر استفاده کردیم:

$$\large \begin {equation} \left | \gamma ^ { \prime } ( t ) \right | d t = \sqrt { \left ( x ^ { \prime } \right ) ^ { 2 } + \left ( y ^ { \prime } \right ) ^ { 2 } } d t = d s \end {equation}$$

که عنصر طول کمان است.

مثال ۹

حاصل انتگرال حقیقی زیر را به دست آورید.

$$\large I = \int _ {-\infty}^{\infty} \frac { 1 } { ( x ^ 2 + 1 )^ 2 } d x$$

حل: راه‌حل زیرکانه این مسئله، انتگرال‌گیری از $$f ( z ) - 1 / ( z ^ 2 + 1 ) ^ 2$$ روی کانتور بسته $$C _ 1 + C _ R$$ است که در شکل زیر نشان داده شده است و وقتی $$R$$ به بینهایت میل می‌کند، $$C _ R$$ حذف می‌شود.

تنها نقطه تکین تابعِ

$$\large f ( z ) = \frac { 1 } { ( z + i ) ^ 2 ( z - i ) ^ 2 }$$

درون کانتور، $$z = i$$ است. بنابراین:

$$\large g ( z ) = \frac { 1 } { ( z + i )^ 2} .$$

از آنجا که $$g$$ روی و درون کانتور تحلیلی است، با استفاده از فرمول انتگرال کوشی خواهیم داشت:‌

$$\large \begin {equation} \int _ { C _ { 1 } + C _ { R } } f ( z ) d z = \int _ { C _ { 1 } + C _ { R } } \frac { g ( z ) } { ( z - i ) ^ { 2 } } d z = 2 \pi i g ^ { \prime } ( i ) = 2 \pi i \frac { - 2 } { ( 2 i ) ^ { 3 } } = \frac { \pi } { 2 } \end {equation}$$

$$C _ 1$$ را با $$\gamma ( x ) = x$$ و $$- R \le x \le R$$ پارامتری می‌کنیم. بنابراین:

$$\large \begin {equation} \int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = \int _ { - R } ^ { R } \frac { 1 } { \left ( x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x \end {equation}$$

با میل دادن $$R$$ به بینهایت، مقدار $$I$$ به دست می‌آید.

در ادامه، $$C _ R$$ را با $$\gamma ( \theta ) = R e ^ { i \theta }$$ و $$0 \le \theta \le \pi$$ پارامتری می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {equation} \int _ { C _ { R } } f ( z ) d z = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 1 } { \left ( R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right ) ^ { 2 } } i R \mathrm { e } ^ { i \theta } d \theta \end {equation}$$

با استفاده از نامساوی مثلثی برای انتگرال‌ها، اگر $$R > 1$$ باشد، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { C _ { R } } f ( z ) d z \right | \leq \int _ { 0 } ^ { \pi } \left | \frac { 1 } { \left ( R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right ) ^ { 2 } } i R \mathrm { e } ^ { i \theta } \right | d \theta \end {equation} \;\;\;\;\; ( 5 )$$

همچنین، با استفاده از نامساوی مثلثی (۴b)، می‌دانیم:

$$\large \left |R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right | \geq \left | R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } \right | - | 1 | = R ^ { 2 } - 1$$

در نتیجه:

$$\large \frac { 1 } { \left | R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right | } \leq \frac { 1 } { R ^ { 2 } - 1 } \quad \Rightarrow \quad \frac { 1 } { \left | R ^{ 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right | ^ { 2 } } \leq \frac { 1 } { \left ( R ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { 2 } }$$

با استفاده از معادله (۵) می‌توان نوشت:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { C _ { R } } f ( z ) d z \right | \leq \int _ { 0 } ^ { \pi } \left | \frac { 1} { \left ( R ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { 2 i \theta } + 1 \right ) ^ { 2 } } i \operatorname {Re} ^ { i \theta } \right | d \theta \leq \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { R } { \left ( R ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { 2 } } d \theta = \frac { \pi R } { \left ( R ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { 2 } } \end {equation}$$

واضح است که وقتی $$R$$ به بینهایت میل میکند، این عبارت صفر خواهد شد. بنابراین، وقتی $$R$$ بزرگ می‌شود، انتگرال روی کانتور $$C _ 1 + C _ R$$ به $$I$$ میل خواهد کرد. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که $$I = \pi / 2$$.

اثبات فرمول انتگرال کوشی

قبل از اثبات فرمول انتگرال کوشی، یک قضیه مفید را بیان می‌کنیم.

قضیه ۵ (بسط دوم قضیه کوشی): فرض کنید $$A$$ یک ناحیه همبند ساده شامل نقطه $$z _ 0$$ باشد. همچنین فرض کنید $$g$$ تابعی با مشخصات زیر باشد:

1. تحلیلی روی $$A - \{ z _ 0 \}$$
2. پیوسته روی $$A$$ (به ویژه $$g$$ در $$z _ 0$$ انحراف (Blowup) نداشته باشد).

آنگاه برای همه منحنی‌های بسته $$C$$ در $$A$$، داریم:

$$\large \int _ C g ( z ) d z = 0$$

اثبات: نسخه توسعه یافته قضیه کوشی بیان می‌کند:

$$\large \int _ C g ( z ) d z = \int _ { C _ r } g ( z ) d z ,$$

که در آن، $$C _ r$$ دایره‌ای به شعاع $$r$$ حول $$z _ 0$$ است.

$$A$$، منحنی‌های $$C$$ و $$C_ r$$ و نقطه $$z _ 0$$" width="249" height="205">

از آنجا که $$g ( z )$$ پیوسته است، می‌دانیم که $$| g ( z ) |$$ درون $$C _ r$$ محدود است یا به عبارتی $$| g ( z ) | < M$$. نتیجه نامساوی مثلثی بیان می‌کند:

$$\large \begin {equation} \left | \int _ { C _ { r } } g ( z ) d z \right | \leq M \left ( \text { length of } C _ { r } \right ) = M 2 \pi r \end {equation}$$

که در آن، $$\text { length of } C _ { r }$$ طول $$C _ r$$ را نشان می‌دهد. از آنجا که $$r$$ می‌تواند به اندازه دلخواه کوچک باشد، داریم:

$$\large \int _ C g ( z ) d z = 0 .$$

با استفاده از این موضوع، می‌توانیم نشان دهیم $$g ( z )$$ در واقع در $$z _ 0$$ تحلیلی است. از آنجا که $$g ( z )$$ یک پادمشتق دارد، اثبات قضیه کوشی مشابه خواهد بود.

اثبات فرمول انتگرال کوشی

فرمول انتگرال کوشی را از قضیه ۱ تکرار می‌کنیم:

$$\large f ( z _ 0 ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ C \frac { f ( z )} { z - z _ 0 } d z .$$

$$A$$ و نقطه $$z _ 0$$" width="245" height="222">

اثبات (فرمول انتگرال کوشی): ابتدا فرض کنید:

$$\large g ( z ) = \frac { f ( z ) - f ( z _ 0 ) } { z - z _ 0 } .$$

از آنجا که $$f ( z )$$ روی $$A$$ تحلیلی است، می‌دانیم $$g ( z )$$ روی $$A - \{ z _ 0 \}$$ تحلیلی است. از آنجا که مشتق $$f$$ در $$z _ 0$$ وجود دارد، می‌دانیم:

$$\large \lim _ {z \to z_ 0 } = f' ( z _ 0 )$$

یعنی اگر $$g ( z _ 0 ) = f' ( z _ 0 )$$ را تعریف کنیم، آنگاه $$g$$ در $$z _ 0$$ پیوسته است. با استفاده از گسترش یافته قضیه کوشی، خواهیم داشت:

$$\large \int _ { C } g ( z ) d z = 0 \quad \Rightarrow \quad \int _ { C } \frac { f ( z ) - f \left ( z _ { 0 } \right ) } { z - z _ { 0 } } d z = 0$$

بنابراین:

$$\large \begin {equation} \int _ { C } \frac { f ( z ) } { z - z _ { 0 } } d z = \int _ { C } \frac { f \left ( z _ { 0 } \right ) } { z - z _ { 0 } } d z = f \left ( z _ { 0 } \right ) \int _ { C } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } d z = 2 \pi i f \left ( z _ { 0 } \right ) \end {equation}$$

تساوی اخیر انتگرال $$1 / ( z - z _ 0 )$$ روی حلقه‌ای حول $$z _ 0$$ است.

اثبات فرمول انتگرال کوشی برای مشتق

همان‌طور که می‌دانیم، طبق فرمول انتگرال کوشی معادله (۳)، داریم:

$$\large \begin {equation} f ^ { ( n ) } ( z ) = \frac { n ! } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { n + 1 } } d w , \quad n = 0 , 1 , 2 , \ldots \end {equation}$$

ابتدا یک اثبات سریع را ارائه می‌دهیم و سپس اثبات اصلی را بیان می‌کنیم.

اثبات سریع

یک نمایش انتگرالی برای $$f ( z ) , z \in A$$ داریم و از آن برای پیدا کردن نمایش انتگرالی $$f' ( z ) , z \in A$$ استفاده می‌کنیم.

$$\large \begin {equation} f ^ { \prime } ( z ) = \frac { d } { d z } \left [ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { w -z } d w \right ] = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { d }{ d z } \left ( \frac { f ( w ) } { w - z } \right ) d w = \frac { 1 }{ 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { 2 } } d w \end {equation}$$

توجه کنید از آنجا که $$z \in A$$ و $$w \in C$$، می‌دانیم $$w -z \neq 0$$. بنابراین:

$$\large f' ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ C \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ 2 } d w$$

اکنون با تکرار این فرایند، یعنی با استقرای ریاضی، می‌توانیم فرمول را برای مشتق‌های بالاتر نشان دهیم.

اثبات اصلی‌

این اثبات را با کمک حد زیر انجام می‌دهیم:

$$\large \lim _ { \Delta z \to 0 } \frac { f ( z + \Delta z ) - f ( z )} { \Delta z }$$

همچینین از نمایش انتگرالی دو عبارت کمک می‌گیریم:

$$\large \begin {equation} f ( z + \Delta z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { w - z - \Delta z } d w , \quad f ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { w - z } d w \end {equation}$$

اکنون با انجام عملیات ریاضی، داریم:

$$\large \begin {equation} \begin {aligned} \frac { f ( z + \Delta z ) - f ( z ) } { \Delta z } & = \frac { 1 } { 2 \pi i \Delta z } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { w - z -\Delta z } - \frac { f ( w ) } { w - z } d w \\ & = \frac { 1 } { 2 \pi i \Delta z } \int _ { C } \frac { f ( w ) \Delta z } { ( w - z - \Delta z ) ( w - z ) } d w \\ & = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { ( w -z ) ^ { 2 } - \Delta z ( w - z ) } d w \end {aligned} \end {equation}$$

با میل کردن $$\Delta z$$ به صفر، فرمول کوشی برای $$f' ( z )$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {equation} f ^ { \prime } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } \frac { f ( w ) } { ( w - z ) ^ { 2 } } d w \end {equation}$$

نتایج فرمول انتگرال کوشی

در این بخش، چند نتیجه مهم و کاربردی را که از فرمول انتگرال کوشی حاصل شده‌اند بیان می‌کنیم.

وجود مشتقات

قضیه ۶: فرض کنید $$f ( z )$$ روی ناحیه $$A$$ تحلیلی باشد. آنگاه $$f$$ دارای مشتقات همه مراتب است.

اثبات: این قضیه با فرمول انتگرال کوشی برای مشتق اثبات می‌شود. بدین معنی که یک فرمول برای همه مشتقات داریم، بنابراین، همه مشتقات وجود دارند.

به طور دقیق‌تر می‌توان گفت که برای هر نقطه $$z$$ در $$A$$، می‌توانیم یک دیسک کوچک حول $$z _ 0$$ قرار دهیم که کاملاً‌ درون $$A$$ قرار گیرد. فرض کنید $$C$$ مرز دیسک باشد، آنگاه فرمول کوشی فرمولی برای همه مشتقات $$f ^ { ( n ) } ( z _ 0 )$$ برحسب انتگرال‌های روی $$C$$ ارائه می‌دهد و این انتگرال‌ها وجود دارند.

نامساوی کوشی

قضیه ۷ (نامساوی کوشی): فرض کنید $$C _ R$$ دایره $$| z - z _ 0 | = R$$ باشد. فرض کنید $$f ( z )$$ روی $$C _ R$$ و درون آن، یعنی روی دیسک $$| z -z _ 0 | \le R$$ تحلیلی باشد. در نهایت، فرض کنید $$M _ R = \max |f ( z ) |$$ برای $$z$$ روی $$C_ R$$ باشد. در نتیجه، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | f ^ { ( n ) } \left ( z _ { 0 } \right ) \right | \leq \frac { n ! M _ { R } } { R ^ { n } } , \quad n = 1 , 2 , 3 , \ldots \end {equation} \;\;\;\;\; ( 6 )$$

اثبات: با استفاده از فرمول انتگرال کوشی برای مشتق (معادله (۳))، داریم:

$$\large \begin {equation} \left | f ^ { ( n ) } \left ( z _ { 0 } \right ) \right | \leq \frac { n ! } { 2 \pi } \int _ { C _ { R } } \frac{|f(w)|}{\left|w-z_{0}\right|^{n+1}}|d w| \leq \frac{n !}{2 \pi } \frac { M _ { R } } { R ^ { n + 1 } } \int _ { C _ { R } } | d w | = \frac { n ! } { 2 \pi } \frac { M _ { R } } { R ^ { n +1 } } \cdot 2 \pi R \end {equation}$$

قضیه لیوویل

قضیه ۸ (قضیه لیوویل): فرض کنید $$f ( z )$$ یک تابع تام بوده و در صفحه مختلط کران‌دار باشد (یعنی برای همه $$z \in \mathbf{C}$$، $$| f ( z )| < M$$)، آنگاه $$f ( z )$$ ثابت است.

اثبات: برای هر دایره با شعاع $$R$$ حول $$z _ 0$$، نامساوی کوشی بیان می‌کند که $$| f' ( z _ 0 )| \le \frac { M } { R}$$ است. اما، $$R$$ می‌تواند به هر اندازه‌ای که بخواهیم بزرگ باشد. در نتیجه، می‌توان نتیجه گرفت که برای هر $$z _ 0 \in \mathbf {C}$$، تابع $$f ( z )$$ ثابت است. از آنجا که مشتق صفر است، خود تابع ثابت است.

به طور خلاصه، می‌توان گفت که اگر $$f$$ یک تابع تام و کران‌دار باشد، آنگاه ثابت خواهد بود.

نتیجه (قضیه اساسی جبر): هر چندجمله‌ای $$P$$ با درجه $$n \ge 1$$، یعنی:

$$\large \begin {equation} P ( z ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } z + \ldots + a _ { n } z ^ { n } , a _ { n } \neq 0 \end {equation}$$

دقیقاً $$n$$ ریشه دارد.

اصل بیشینه قدر مطلق

به طور خلاصه می‌توان گفت اصل بیشینه قدر مطلق بیان می‌کند که اگر  $$f$$ یک تابع تحلیلی و غیرثابت در دامنه $$A$$ باشد، آنگاه $$|f ( z) |$$ در $$A$$ ماکزیمم نسبی نخواهد داشت و ماکزیمم مطلق $$|f|$$ در مرز $$A$$ رخ می‌دهد.

برای اثبات اصل بیشینه قدر مطلق، ابتدا ویژگی مقدار میانگین را اثبات می‌کنیم.

قضیه ۹ (ویژگی مقدار میانگین): فرض کنید $$f ( z )$$ روی دیسک بسته‌ای با شعاع $$r$$ و مرکز $$z _ 0$$، یعنی مجموعه $$|z- z_ 0 | \le r$$ تحلیلی باشد. آنگاه، داریم:

$$\large \begin {equation} f \left ( z _ { 0 } \right ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f \left ( z _ { 0 } + r \mathrm { e } ^ { i \theta } \right ) d \theta \end {equation} \;\;\;\;\; ( 7 )$$

اثبات: این قضیه، کاربردی از فرمول انتگرال کوشی روی دیسک $$D _ r = | z - z _ 0 \le r$$ است.

$$C _ r$$" width="209" height="171">

می‌توانیم $$C _ r$$ را که مرز $$D _ r$$ است، پارامتری کنیم:

$$\large \begin {equation} \gamma ( t ) = z _ { 0 } + r \mathrm { e } ^ { i \theta } , \quad \text { } 0 \leq \theta \leq 2 \pi , \quad \Rightarrow \gamma ^ { \prime } ( \theta ) = i r \mathrm { e } ^ { i \theta } \end {equation}$$

طبق فرمول کوشی، داریم:

$$\large \begin {align*} f \left ( z _ { 0 } \right ) & = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C _ { r } } \frac { f ( z ) } { z - z _ { 0 } } d z = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { f \left ( z _ { 0 } + r \mathrm { e } ^ { i \theta } \right ) } { r \mathrm { e } ^ { i \theta } } i r \mathrm { e } ^ { i \theta } d \theta \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f \left ( z _ { 0 } + r \mathrm { e } ^ { i \theta } \right ) d \theta \end {align*}$$

و اثبات کامل می‌شود.

به عبارت دیگر، می‌توانیم بگوییم ویژگی مقدار میانگین بیان می‌کند که $$f ( z _ 0 )$$ میانگین حسابی مقادیر روی دایره است. اکنون می‌توانیم قضیه بیشینه قدر مطلق را بیان کنیم.

قضیه ۱۰ (اصل بیشه قدر مطلق): فرض کنید $$f ( z )$$ در ناحیه همبند $$A$$ تحلیلی بوده و $$z _ 0$$ نقطه‌ای درون $$A$$ باشد.

1. اگر $$| f |$$ دارای یک ماکزیمم نسبی در $$z _ 0$$ باشد، آنگاه $$f( z )$$ در همسایگی این نقطه ثابت است.
2. اگر $$A$$ کران‌دار و همبند بوده و $$f$$ در $$A$$ و روی مرز آن پیوسته باشد، آنگاه $$f$$ یک ثابت است یا ماکزیمم قدر مطلق $$|f |$$ فقط در مرز $$A$$ رخ می‌دهد.

اثبات این قضیه با کمک فرمول انتگرال کوشی به راحتی انجام می‌شود.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات مهندسی
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضیات مهندسی (مرور – تست کنکور ارشد)
• فراکتال چیست؟ — به زبان ساده
• توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد
• فرم نمایی و قطبی اعداد مختلط — به زبان ساده

^^