نامساوی مثلثی – به زبان ساده

در مطالب گذشته در مورد نحوه رسم نامعادلات و مفاهیم مربوط به نامساوی‌ها بحث کردیم. همچنین در مطلبی جداگانه در مورد نامساوی شوارتز صحبت شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد نامساوی جدیدی تحت عنوان نامساوی مثلثی صبحت کنیم.

نامساوی مثلثی

نامساوی مثلثی بیان می‌کند که مجموع دو طول در یک مثلث، بزرگ‌تر از طول سوم است.

در شکل زیر سه مثلث مختلف نشان داده شده که برای همه آن‌ها این قانون برقرار است.

نامساوی مثلثی از این مفهوم نتیجه می‌شود که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه برابر با خط مستقیمِ متصل‌کننده دو نقطه است. برای نمونه اگر اندازه دو ضلع از یک مثلث برابر با $$6$$ باشد، در این صورت اندازه ضلع سوم قطعا کمتر از $$12$$ خواهد بود.

مثال ۱

فرض کنید اندازه دو ضلع جانبی یک مثلث به‌ترتیب برابر با $$9$$ و $$15$$ باشند. در این صورت اندازه ضلع سوم در کدام بازه قرار می‌گیرد.

در ابتدا فرض کنید اندازه ضلع سوم برابر با $$X$$ باشد. توجه داشته باشید که مقدار $$X$$ قطعا باید کمتر از $$9 + 15$$ باشد. از طرفی حاصل جمع مقدار $$X$$ با هریک از اعداد $$15$$ یا $$9$$ باید بیشتر از عدد دوم باشد. در نتیجه حداقل مقدارِ $$X$$ نیز برابر با $$15-9$$ است. در نتیجه نهایتا بازه $$X$$ برابر است با:

$$x < 9 + 15 \quad , \quad 15 < x + 9 \quad , \quad 9 < x + 15$$

بنابراین در نهایت می‌توان گفت که $$x$$ باید در بازه زیر قرار داشته باشد.

$$6 < x < 24$$

فیلم اثبات قضیه نامساوی مثلث + مثال‌های کاربردی (فیلم آموزش رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۲

لوزی ترسیم شده در زیر را به همراه طول‌های ارائه شده برای آن در نظر بگیرید. فرض کنید طول تمامی اضلاع اعدادی صحیح هستند.

با توجه به طول‌های ارائه شده در بالا، طول $$A D$$ چقدر است؟

در ابتدا مثلث سمت راست را در نظر بگیرید. در این مثلث، نامساوی را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\color {white} {A C + A D > C D } A C + A D > C D \color {white} {A C + A D > C D }$$

با جایگذاری مقادیر داریم:

$$5 + A D > 15 \Rightarrow A D > 10$$

با توجه به مثلث سمت چپ نیز می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:

$$A B + B D > A D \Rightarrow 4 + 8 = 12 > A D$$

با توجه به دو نامساوی فوق می‌توان گفت طول $$A D$$ در بازه زیر قرار می‌گیرد.

$$10 < A D < 12$$

تنها عدد صحیح قابل قبول که در بازه فوق می‌تواند قرار بگیرد، $$A D = 11$$ است.

مثال ۳

اگر سه ضلع یک مثلث مطابق با سه معادله $$x + 2 , 2 x + 7 , 4 x + 1$$ بدست آید، در این صورت مقدار $$x$$ در چه بازه‌ای می‌تواند قرار گیرد.

$$\begin {array} { l } { ( x + 2 ) + ( 2 x + 7 ) > ( 4 x + 1 ) \Rightarrow x < 8 } \\ { ( x + 2 ) + ( 4 x + 1 ) > ( 2 x + 7 ) \Rightarrow x > \frac { 4 } { 3 } } \\ { ( 2 x + 7 ) + ( 4 x + 1 ) > ( x + 2 ) \Rightarrow x > - \frac { 6 } { 5 } } \end {array}$$

بنابراین مقدار $$x$$ باید در بازه $$\frac { 4 } { 3 } < x < 8$$ قرار داشته باشد.

بردار

نامساوی مثلثی را می‌توان در قالب بردار‌ها نیز بیان کرد. بدین منظور دو بردار $$x , y$$ را در فضای $$R ^ n$$ در نظر بگیرید. فرض کنید $$|| \ \ ||$$ نشان‌دهنده اندازه بردار باشد. در این صورت می‌توان شکل بردار نامساوی مثلثی را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| \leq \| \mathbf { x } \| + \| \mathbf { y } \|$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

برای اثبات کافی است عبارت $$( \| \mathbf { x } \| + \|\mathbf{y}\|)^{2} \| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| ^ { 2 }$$ را به‌توان $$2$$ برسانیم. با انجام این کار داریم:

$$\begin {aligned} ( \| \mathbf { x } \| + \| \mathbf { y } \| ) ^ { 2 } -\| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| ^ { 2 } & = \| \mathbf { x} \| ^ { 2 } + \| \mathbf { y } \| ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \| -( \mathbf { x } + \mathbf { y } ) \cdot ( \mathbf { x } + \mathbf { y } ) \\ &=\|\mathbf { x } \| ^ { 2 } + \| \mathbf { y } \| ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \|-(\mathbf { x } \cdot \mathbf { x } ) - ( \mathbf { y } \cdot \mathbf { y} ) - 2 ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) \\ &=2\|\mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \| - 2 ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) \\ & \geq 0 \end {aligned}$$

نامساوی مثلثی را می‌توان به نوعی به قانون کسینوس‌ها مرتبط کرد. این قانون به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos ( \theta )$$