نامساوی مثلثی — به زبان ساده

۷۶۹۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۷ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
نامساوی مثلثی — به زبان ساده

در مطالب گذشته در مورد نحوه رسم نامعادلات و مفاهیم مربوط به نامساوی‌ها بحث کردیم. همچنین در مطلبی جداگانه در مورد نامساوی شوارتز صحبت شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد نامساوی جدیدی تحت عنوان نامساوی مثلثی صبحت کنیم.

نامساوی مثلثی

نامساوی مثلثی بیان می‌کند که مجموع دو طول در یک مثلث، بزرگ‌تر از طول سوم است.

در شکل زیر سه مثلث مختلف نشان داده شده که برای همه آن‌ها این قانون برقرار است.

triangular-inequality

نامساوی مثلثی از این مفهوم نتیجه می‌شود که کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه برابر با خط مستقیمِ متصل‌کننده دو نقطه است. برای نمونه اگر اندازه دو ضلع از یک مثلث برابر با $$ 6 $$ باشد، در این صورت اندازه ضلع سوم قطعا کمتر از $$ 12 $$ خواهد بود.

مثال ۱

فرض کنید اندازه دو ضلع جانبی یک مثلث به‌ترتیب برابر با $$ 9 $$ و $$ 15 $$ باشند. در این صورت اندازه ضلع سوم در کدام بازه قرار می‌گیرد.

در ابتدا فرض کنید اندازه ضلع سوم برابر با $$ X $$ باشد. توجه داشته باشید که مقدار $$ X $$ قطعا باید کمتر از $$ 9 + 15 $$ باشد. از طرفی حاصل جمع مقدار $$ X $$ با هریک از اعداد $$ 15 $$ یا $$ 9 $$ باید بیشتر از عدد دوم باشد. در نتیجه حداقل مقدارِ $$ X $$ نیز برابر با $$ 15-9 $$ است. در نتیجه نهایتا بازه $$ X $$ برابر است با:

$$ x < 9 + 15 \quad , \quad 15 < x + 9 \quad , \quad 9 < x + 15 $$

بنابراین در نهایت می‌توان گفت که $$ x $$ باید در بازه زیر قرار داشته باشد.

$$ 6 < x < 24 $$

مثال ۲

لوزی ترسیم شده در زیر را به همراه طول‌های ارائه شده برای آن در نظر بگیرید. فرض کنید طول تمامی اضلاع اعدادی صحیح هستند.

triangular-inequality

با توجه به طول‌های ارائه شده در بالا، طول $$ A D $$ چقدر است؟

در ابتدا مثلث سمت راست را در نظر بگیرید. در این مثلث، نامساوی را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \color {white} {A C + A D > C D } A C + A D > C D \color {white} {A C + A D > C D } $$

با جایگذاری مقادیر داریم:

$$ 5 + A D > 15 \Rightarrow A D > 10 $$

با توجه به مثلث سمت چپ نیز می‌توان نامساوی زیر را بیان کرد:

$$ A B + B D > A D \Rightarrow 4 + 8 = 12 > A D$$

با توجه به دو نامساوی فوق می‌توان گفت طول $$ A D $$ در بازه زیر قرار می‌گیرد.

$$ 10 < A D < 12 $$

تنها عدد صحیح قابل قبول که در بازه فوق می‌تواند قرار بگیرد، $$ A D = 11 $$ است.

مثال ۳

اگر سه ضلع یک مثلث مطابق با سه معادله $$ x + 2 , 2 x + 7 , 4 x + 1 $$ بدست آید، در این صورت مقدار $$ x $$ در چه بازه‌ای می‌تواند قرار گیرد.

$$ \begin {array} { l } { ( x + 2 ) + ( 2 x + 7 ) > ( 4 x + 1 ) \Rightarrow x < 8 } \\ { ( x + 2 ) + ( 4 x + 1 ) > ( 2 x + 7 ) \Rightarrow x > \frac { 4 } { 3 } } \\ { ( 2 x + 7 ) + ( 4 x + 1 ) > ( x + 2 ) \Rightarrow x > - \frac { 6 } { 5 } } \end {array} $$

بنابراین مقدار $$ x $$ باید در بازه $$ \frac { 4 } { 3 } < x < 8 $$ قرار داشته باشد.

بردار

نامساوی مثلثی را می‌توان در قالب بردار‌ها نیز بیان کرد. بدین منظور دو بردار $$ x , y $$ را در فضای $$ R ^ n $$ در نظر بگیرید. فرض کنید $$ || \ \ || $$ نشان‌دهنده اندازه بردار باشد. در این صورت می‌توان شکل بردار نامساوی مثلثی را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$ \| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| \leq \| \mathbf { x } \| + \| \mathbf { y } \| $$

triangular-inequality

برای اثبات کافی است عبارت $$ ( \| \mathbf { x } \| + \|\mathbf{y}\|)^{2} \| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| ^ { 2 } $$ را به‌توان $$ 2 $$ برسانیم. با انجام این کار داریم:

$$ \begin {aligned} ( \| \mathbf { x } \| + \| \mathbf { y } \| ) ^ { 2 } -\| \mathbf { x } + \mathbf { y } \| ^ { 2 } & = \| \mathbf { x} \| ^ { 2 } + \| \mathbf { y } \| ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \| -( \mathbf { x } + \mathbf { y } ) \cdot ( \mathbf { x } + \mathbf { y } ) \\ &=\|\mathbf { x } \| ^ { 2 } + \| \mathbf { y } \| ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \|-(\mathbf { x } \cdot \mathbf { x } ) - ( \mathbf { y } \cdot \mathbf { y} ) - 2 ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) \\ &=2\|\mathbf { x } \| \| \mathbf { y } \| - 2 ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) \\ & \geq 0 \end {aligned} $$

نامساوی مثلثی را می‌توان به نوعی به قانون کسینوس‌ها مرتبط کرد. این قانون به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$ c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos ( \theta ) $$

در صورتی که مطلب بالا برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۴۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Brilliant
۴ دیدگاه برای «نامساوی مثلثی — به زبان ساده»

ممنونم فقط یه سوال. آیا میشه نامساوی مثلثی رو با استقرا برای nضلعی تعمیم داد؟

سلام خیلی خوب بود، فقط در قسمت بردار، یکی علامت نامساوی فکر کنم تشتباه گذاشته شده، دیگر هم اینکه علامت منها پایین آن قسمت مانده

عالی بود، ممنون

عالی بود تشکر از زحمتت

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *