دامنه توابع کسری – نحوه تعیین به زبان ساده + مثال

به تابعی با فرم $$F ( x ) = \frac { u ( x ) } { v ( x ) }$$، تابع کسری می‌گویند. $$u ( x )$$ و $$v ( x )$$، می‌توانند هر تابع دلخواهی باشند. البته در صورت چندجمله‌ای بودن این توابع، $$F ( x )$$، یک تابع گویا محسوب می‌شود. دامنه یک تابع، مجموعه مقادیر قابل قبول به عنوان ورودی آن تابع است. دامنه توابع کسری مانند $$F ( x)$$، به دامنه توابع صورت $$u ( x )$$ و مخرج $$v ( x )$$ بستگی دارد. یکی از مهم‌ترین محدودیت‌های دامنه توابع کسری، صفر نبودن مخرج آن‌ها است. در صورت صفر بودن مخرج کسر، مقدار تابع «تعریف نشده» خواهد بود. بنابراین، مقادیری که مخرج کسر را برابر با صفر کنند، در دامنه توابع کسری جای ندارند. چالش اصلی در تعیین دامنه توابع کسری، به دست آوردن همین مقادیر است. در این مقاله از مجله فرادرس، قصد داریم نحوه به دست آوردن دامنه توابع کسری را در حالت‌های مختلف به همراه مثال‌ها و تمرین‌های متنوع آموزش دهیم.

تابع کسری چیست؟

در تقسیم‌بندی انواع توابع ریاضی، تابعی با عنوان «تابع کسری» وجود ندارد. به طور کلی، منظور از تابع کسری، تابعی است که آن را به صورت تقسیم دو تابع دیگر نمایش می‌دهند.

البته، به تقسیم دو تابع چندجمله‌ای، «تابع گویا» (Rational Function) می‌گویند. به عنوان مثال، تابعی مانند $$f ( x )$$ را در نظر بگیرید که از تقسیم دو تابع $$P ( x )$$ و $$Q ( x )$$ به دست می‌آید:

$$f ( x ) = \frac { P ( x ) }{ Q ( x ) }$$

اگر $$P ( x )$$ و $$Q ( x )$$، توابع چندجمله‌ای باشند، $$f ( x )$$، یک تابع گویا محسوب می‌شود. دقت کنید که حتی اگر یک تابع چندجمله‌ای را بر عدد ۱ (تابع ثابت) تقسیم کنیم، نمایش کسری این تقسیم نیز یک تابع گویا خواهد بود. در این مقاله از مجله فرادرس، بر روی تعیین دامنه تقسیم توابع مختلف تمرکز می‌کنیم. تقسیم توابع چندجمله‌ای (تابع گویا)، تنها یکی از حالت‌های مورد بررسی در این مقاله است.

دامنه چیست؟

«دامنه» (Domain)، مجموعه اعدادی است که با قرار دادن اعضای آن درون یک تابع، جواب موجه به دست آید.

به عنوان مثال، تابع رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \sqrt { x }$$

اگر به جای $$x$$، یک عدد منفی قرار دهیم، هیچ خروجی تعریف شده‌ای برای تابع نخواهیم داشت. بر اساس خواص توابع رادیکالی با فرجه زوج، حاصل عبارت زیر رادیکال باید ۰ یا عددی بزرگ‌تر از ۰ باشد. بنابراین، برای متغیر ورودی $$x$$ در تابع بالا، محدودیت $$x\geq۰$$ نوشته شده و دامنه $$f ( x )$$ به صورت زیر بیان می‌شود:

$$D: \{ x | x \in [ ۰ , \ + \infty ) \}$$

یا

$$D: \{ x | x \in R _ ۰ ^ + \}$$

دامنه توابع کسری چیست؟

دامنه تابع کسری، مجموعه‌ای از تمام اعدادی است که با قرار دادن آن‌ها در صورت و مخرج کسر، به یک خروجی تعریف شده برسیم.

به عنوان مثال، تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$

$$f ( x )$$، از تقسیم یک تابع ثابت (۱) بر یک تابع خطی (x) تشکیل شده است. با قرار دادن مقادیر مثبت و منفی مجموعه اعداد حقیقی، جواب به دست آمده برای $$f ( x )$$، یک مقدار مشخص و تعریف شده خواهد بود. به عنوان مثال، اگر عدد ۱+ را درون این تابع قرار دهیم، خواهیم داشت:

$$f ( ۱ ) = \frac { ۱ } { ۱ } = ۱$$

با قرار دادن عدد ۱- در تابع نیز به نتیجه زیر خواهیم رسید:

$$f ( - ۱ ) = \frac { ۱ } { - ۱ } = - ۱$$

اگر عدد ۰ را درون تابع جایگذاری کنیم، خروجی تابع برابر با مثبت بی‌نهایت خواهد شد:

$$f ( ۰ ) = \frac { ۱ } { ۰ } = + \infty$$

$$+ \infty$$، یک جواب «تعریف نشده» است. بنابراین، عدد ۰ در مجموعه اعداد موجه برای $$x$$ جای نخواهد داشت. به عبارت دیگر، دامنه تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$، شامل تمام اعداد حقیقی، به غیر از ۰ است. این دامنه به صورت زیر بیان می‌شود:

$$D : \{ x | x \in ( - \infty , \ + \infty ) , \ x \ne ۰ \}$$

یا

$$D : \{ x | x \in R , \ x \ne ۰ \}$$

همان‌طور که مشاهده کردید، مخرج هیچ کسری نمی‌تواند برابر با ۰ باشد. این ویژگی، به عنوان محدودیت اصلی در تعیین دامنه توابع کسری مورد استفاده قرار می‌گیرد.

دامنه توابع کسری چگونه بدست می آید؟

دامنه یک تابع کسری با توجه به محدودیت‌های توابع صورت و مخرج کسر به دست می‌آید. به عنوان مثال، در توابع رادیکالی با فرجه زوج، عبارت زیر رادیکال نمی‌تواند منفی باشد. در توابع لگاریتمی نیز دقیقا چنین محدودیتی وجود دارد. در توابع مثلثاتی نیز محدودیت‌های مشابه وجود دارد. علاوه بر این‌ها، مخرج هیچ کسری نباید برابر با ۰ شود. تمام این محدودیت‌های در کنار یکدیگر، بازه دامنه توابع کسری را مشخص می‌کنند. در بخش‌های بعدی، به طور کامل راجع به نحوه تعیین دامنه انواع توابع کسری و ترکیب آن‌ها با توابع دیگر بحث می‌کنیم.

دامنه توابع کسری چند جمله ای

«تابع چندجمله‌ای» (Polynomial Function)، تابعی به فرم زیر است:

$$f ( x ) = a _ { n } x ^ { n } + \ a _ { n - ۱ } x ^ { n - ۱ } + \ ... \ + \ a _ { ۱ } x + \ a _ { ۰ }$$

دامنه این تابع، تمام اعضای مجموعه اعداد حقیقی ($$\mathbb{R}$$) را دربرمی‌گیرد. اگر دو تابع چندجمله‌ای بر یکدیگر تقسیم کنیم، تابع گویا به وجود می‌آید.

دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی به غیر از ریشه‌های مخرج است. به عبارت دیگر، متغیر ورودی تابع کسری با صورت و مخرج چندجمله‌ای، می‌تواند هر مقداری به غیر از مقدار صفرکننده عبارت مخرج باشد.

مثال ۱: تعیین دامنه تابع کسری چندجمله ای

تابع گویا $$f ( x ) = \dfrac { x + ۳ } { x ^ ۲ − ۹ }$$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم دامنه این تابع را به دست بیاوریم. به این منظور، مقادیری از $$x$$ که باعث صفر شدن مخرج می‌شوند را تعیین می‌کنیم. این مقادیر عبارت هستند از:

$$x ^ ۲ - ۹ = ۰$$

$$x ^ ۲ = ۹$$

$$x = \pm ۳$$

بر اساس محدودیت دامنه توابع کسری، مخرج کسر نباید برابر با ۰ باشد. مقادیر ۳+ و ۳-، مخرج کسر را برابر با ۰ می‌کنند. بنابراین:

$$x \ne \pm ۳$$

از آنجایی که صورت و مخرج کسر، عبارت‌های چندجمله‌ای هستند، محدودیت دیگری برای دامنه تابع $$f ( x )$$ وجود نخواهد داشت. در نتیجه، دامنه تابع کسری $$f ( x ) = \dfrac { x + ۳ } { x ^ ۲ − ۹ }$$، مجموعه اعداد حقیقی، به غیر از $$x = + ۳$$ و $$x = - ۳$$‌ است. این دامنه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in \mathbb{ R } , x \ne \pm ۳ \}$$

دامنه توابع کسری رادیکالی

توابع رادیکالی، توابعی هستند که به فرم زیر نوشته می‌شوند:

$$f ( x ) = \sqrt [ r ] { u ( x ) }$$

$$u ( x )$$، عبارت زیر رادیکال و $$r$$، ریشه یا فرجه رادیکال است. دامنه توابع رادیکالی، به فرجه آن‌ها بستگی دارد.

برای توابع رادیکالی با فرجه فرد، هیچ محدودیتی اضافی به دامنه اعمال نمی‌شود. در صورت زوج بودن فرجه رادیکال، عبارت زیر آن نمی‌تواند منفی باشد. اگر در صورت یا مخرج یک تابع کسری، عبارت رادیکالی با فرجه زوج وجود داشته باشد، محدودیت آن در دامنه تابع کسری اعمال می‌شود. در ادامه، با یک مثال نحوه تعیین دامنه توابع کسری زیر رادیکال را توضیح می‌دهیم.

مثال ۲: تعیین دامنه تابع کسری رادیکالی

در این مثال، قصد داریم دامنه تابع $$f ( x ) = \sqrt { \frac { ۴ } { x + ۳ } }$$ را به دست بیاوریم. $$f ( x )$$، یک تابع گویا (تقسیم چندجمله‌ای‌ها) زیر رادیکال را نمایش می‌دهد. به منظور تعیین دامنه این تابع، باید محدودیت دامنه توابع کسری (صفر نشدن مخرج کسر) و محدودیت دامنه توابع رادیکالی (غیرمنفی شدن عبارت زیر رادیکال) را در نظر بگیریم. به این ترتیب، برای محدودیت اول، داریم:

$$x + ۳ \ne ۰$$

$$x \ne - ۳$$

بنابراین، $$x$$ نمی‌تواند برابر با ۳- باشد. بر اساس محدودیت دوم، داریم:

$$\frac { ۴ } { x + ۳ } \ge ۰$$

شرط بالا، برای مقادیر بزرگ‌تر از ۳- برقرار است. توجه داشته باشید که در صورت برابر بودن $$x$$ با ۳-، مخرج کسر برابر با ۰ شده و محدودیت اول نقض می‌شود. اگر این دو محدودیت را کنار یکدیگر قرار دهیم، به نتیجه زیر می‌رسیم:

$$x \gt - ۳$$

$$x$$های بزرگ‌تر از ۳-، مجموعه دامنه را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، دامنه $$f ( x )$$‌ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in ( - ۳ , \ + \infty )\}$$

دامنه توابع کسری لگاریتمی

«تابع لگاریتمی» (Logarithmic Function)، یک تابع غیرجبری است که به فرم زیر نوشته می‌شود:

$$f ( x ) = \log _ { a } x$$

یا

$$y = \log _ { a } x$$

توابع لگاریتمی، عکس توابع توانی عمل می‌کنند. بر اساس همین ویژگی، رابطه لگاریتمی بالا را می‌توان به صورت رابطه توانی زیر نوشت:

$$a ^ y = x$$

دامنه تابع لگاریتمی، محدودیت مخصوص به خود را دارد. بر اساس این محدودیت، عبارت درون لگاریتم باید مثبت (بزرگ‌تر از ۰) باشد. جدول زیر، رابطه کلی برای تعیین دامنه توابع لگاریتمی را نمایش می‌دهد.

اگر توابع لگاریتمی را با توابع کسری ترکیب کنیم، تعیین دامنه آن‌ها بر اساس محدودیت‌های هر دو نوع تابع تعیین می‌شود. در ادامه با حل یک مثال، به توضیح این حالت می‌پردازیم.

مثال ۳: تعیین دامنه تابع لگاریتمی کسری

در این مثال، قصد داریم دامنه تابع کسری $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \log ( x ) }$$ را به دست بیاوریم. عبارت $$\log ( x )$$ در مخرج کسر قرار دارد و نمی‌تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، محدودیت اول برای تعیین دامنه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\log ( x ) \ne ۰$$

بر اساس خصوصیات لگاریتم، می‌دانیم عبارت $$\log ( x )$$، زمانی ۰ می‌شود که به جای $$x$$، عدد ۱ را درون آن قرار دهیم. به این ترتیب، داریم:

$$x \ne ۱$$

به عبارت دیگر، $$x$$ نمی‌تواند برابر با ۱ باشد. از طرف دیگر، توابع لگاریتمی، محدودیت دامنه مخصوص به خود را دارند. بر اساس این محدودیت، عبارت درون لگاریتم باید مثبت باشد. بنابراین:

$$x > ۰$$

بر اساس محدودیت‌های به دست آمده، محدوده $$x$$های قابل قبول عبارت است از:

$$۰ \lt x \lt ۱$$

یا

$$x \gt ۱$$

در نتیجه، دامنه تابع لگاریتمی کسری $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \log ( x ) }$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in ( ۰ , \ ۱ ) \ \cup \ (۱ , \ + \infty ) \}$$

دامنه توابع کسری جز صحیح

«تابع جز صحیح» (Integer Part Function)، تابعی با خروجی صحیح است. به عبارت دیگر، ورودی یا دامنه این تابع هرچه که باشد، خروجی یا برد آن، یک عدد صحیح خواهد بود.

تابع زیر، ساده‌ترین فرم یک تابع جز صحیح را نمایش می‌دهد:

$$f ( x ) = [ x ]$$

دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی ($$\mathbb { R }$$) است. اگر یک عدد حقیقی دلخواه را درون این تابع قرار دهیم، خروجی آن، نزدیک‌ترین عدد صحیح به مقدار ورودی خواهد بود. به طور کلی، محدودیت دامنه توابع جز صحیح، محدودیت عبارتی است که درون براکت قرار می‌گیرد. این موضوع را با یک مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۴: دامنه تابع جز صحیح کسری

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \left \lfloor \frac { ۱ }{ x ^ ۲ - ۲۵ } \right \rfloor$$

$$f ( x )$$، یک تابع کف است. این تابع، حاصل عبارت درون براکت را به نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از آن تبدیل می‌کند. به عنوان مثال، با قرار دادن $$x = ۱$$ در $$f ( x )$$، خواهیم داشت:

$$\begin {aligned} f ( ۱ ) = \left \lfloor \frac { ۱ }{ ۱ ^ ۲ - ۲۵ } \right \rfloor \\ = \left \lfloor \frac { ۱ }{ ۱ - ۲۵ } \right \rfloor \\ = \left \lfloor \frac { ۱ }{ - ۲۴ } \right \rfloor \\ = \left \lfloor - ۰/۰۴۲ \right \rfloor \\ \end {aligned}$$

نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از ۰/۰۴۲-، عدد ۱- است. بنابراین:

$$f ( ۱ ) = \left \lfloor - ۰/۰۴۲ \right \rfloor = - ۱$$

 عبارت درون براکت، یک تابع کسری است. از این‌رو، مخرج کسر نمی‌تواند برابر با ۰ باشد. به عبارت دیگر:

$$x ^ ۲ - ۲۵ \ne ۰$$

$$x ^ ۲ \ne ۲۵$$

$$x \ne \pm ۵$$

بر اساس محدودیت دامنه توابع کسری، مقدار $$x$$ نباید ۵+ یا ۵- باشد. به غیر از این دو عدد، هر عدد دلخواه دیگری را می‌توانیم درون $$f ( x )$$ قرار دهیم؛ چراکه توابع جز صحیح، ذاتا محدودیتی در دامنه ندارند. در نتیجه، دامنه تابع $$f ( x ) = \left \lfloor \frac { ۱ }{ x ^ ۲ - ۲۵ } \right \rfloor$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in \mathbb { R } , \ x \ne \pm ۵ \}$$

دامنه توابع کسری قدر مطلق

تابع قدر مطلق، تابعی است که خروجی منفی نداشته و دامنه آن به عبارت درون قدر مطلق بستگی دارد.

به عنوان مثال، دامنه تابع $$f ( x ) = | x |$$ برابر با مجموعه اعداد حقیقی (از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت) است. اکنون، این تابع را به مخرج یک کسر می‌بریم:

$$g ( x ) = \frac { ۱ } { | x | }$$

$$g ( x )$$، یک تابع کسری با مخرج قدر مطلق است. قدر مطلق، هیچ محدودیتی را برای تعیین دامنه تابع به وجود نمی‌آورد. بنابراین، به منظور تعیین دامنه $$g ( x )$$، محدودیت توابع کسری را برای عبارت مخرج می‌نویسیم:

$$| x | \ne ۰$$

$$x \ne ۰$$

بر اساس این محدودیت، متغیر $$x$$ نمی‌تواند برابر با ۰ باشد. به این ترتیب، دامنه $$g ( x )$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D _ { g ( x ) } : \{ x | x \in \mathbb {R} , \ x \ne ۰ \}$$

یا

$$D _ { g ( x ) } : \{ x | x \in ( - \infty , \ + \infty ), \ x \ne ۰ \}$$

مثال ۵: دامنه تابع کسری با مخرج قدر مطلق

تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \frac { x ^ ۲ - ۳ x - ۷ } { | x | - ۱ }$$

$$f ( x )$$، یک تابع کسری است که صورت آن را یک تابع چندجمله‌ای و مخرج آن را یک تابع قدر مطلق تشکیل می‌دهد. به دلیل چندجمله‌ای بودن صورت، هیچ محدودیتی در خروجی آن وجود ندارد. با این وجود، محدودیت صفر نبودن مخرج کسر هنوز پابرجاست. از آنجایی که تابع قدر مطلق در مخرج کسر قرار دارد، محدودیت مذکور را برای آن می‌نویسیم:

$$| x | - ۱ \ne ۰$$

این محدودیت را بر حسب $$x$$ حل می‌کنیم:

$$| x | \ne ۱$$

می‌دانیم که قدر مطلق، علامت خروجی خود را مثبت می‌کند. بنابراین، چه در نامساوی بالا به جای $$x$$، عدد ۱+ را قرار داده، چه عدد ۱- را قرار دهیم، خروجی $$| x |$$ برابر با ۱ خواهد بود.به این ترتیب، خواهیم داشت:

$$x \ne \pm ۱$$

به غیر از این محدودیت، محدودیت دیگری برای تعیین دامنه وجود ندارد. در نتیجه، دامنه $$f ( x )$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in \mathbb {R} , \ x \ne \pm ۱ \}$$

یا

$$D : \{ x | x \in ( - \infty , \ + \infty ), \ x \pm ۱ \}$$

دامنه توابع کسری مثلثاتی

دامنه توابعی که ترکیبی از توابع کسری و مثلثاتی هستند، با استفاده از محدودیت‌های این دو نوع تابع به دست می‌آید.

در بخش‌های قبلی، نحوه تعیین دامنه توابع کسری را توضیح دادیم. دامنه توابع مثلثاتی، در جدول زیر آورده شده‌اند.

نکته جالب در مورد دامنه‌های زیر این است که به غیر از دامنه سینوس و کسینوس، دامنه چهار تابع دیگر (تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت)، با استفاده از محدودیت دامنه توابع کسری به دست می‌آیند. در بخش تمرین‌ها، دامنه تانژانت را به کمک محدودیت مذکور اثبات می‌کنیم.

مثال ۶: تعیین دامنه تابع کسری با مخرج سینوس

در این مثال، قصد داریم دامنه تابع کسری مثلثاتی زیر را به دست بیاوریم:

$$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \sin ( x ) }$$

$$f ( x )$$، یک تابع کسری با مخرج مثلثاتی را نمایش می‌دهد. مخرج این کسر، یک تابع سینوسی است. می‌دانیم که دامنه تابع $$\sin ( x )$$، مجموعه اعداد منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت را دربرمی‌گیرد. بر اساس محدودیت دامنه توابع کسری و به دلیل قرارگیری سینوس در مخرج کسر، مقدار آن نمی‌تواند برابر با صفر باشد. به عبارت دیگر:

$$\sin ( x ) \ne ۰$$

عبارت بالا، تنها محدودیت دامنه تابع $$f ( x )$$ است. بنابراین، برای تعیین دامنه $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \sin ( x ) }$$، باید مقادیری که باعث صفر شدن سینوس می‌شوند را از مجموعه اعداد منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت حذف کنیم. $$\sin ( x )$$ در زاویه ۰ و ۱۸۰ درجه ($$\pi$$) برابر با صفر است (این خروجی، در بازه‌های ۱۸۰ درجه‌ای تکرار می‌شود). بنابراین، هر ورودی دیگری به جز ضرایب صحیح ۱۸۰ درجه ($$\pi n$$)، در مجموعه دامنه تابع $$f ( x )$$ قرار خواهد داشت. بازه ورودی‌های قابل قبول در ربع اول و دوم دایره مثلثاتی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$۲ \pi n \lt x \lt \pi + ۲ \pi n$$

یا

$$x \in (۲ \pi n , \ \pi + ۲ \pi n )$$

بیان بازه ورودی‌های قابل قبول در ربع سوم و چهارم نیز به صورت زیر انجام می‌گیرد:

$$\pi + ۲ \pi n \lt x \lt ۲ \pi + ۲ \pi n$$

یا

$$x \in (\pi + ۲ \pi n , \ ۲ \pi + ۲ \pi n )$$

$$n$$، یک عدد صحیح است. با استفاده از بازه‌های بالا، دامنه $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \sin ( x ) }$$ را به صورت زیر بیان می‌کنیم:

$$D : \{ x | x \in (۲ \pi n , \ \pi + ۲ \pi n ) \ \cup \ (\pi + ۲ \pi n , \ ۲ \pi + ۲ \pi n ) , \ n \in \mathbb {Z} \}$$

یا

$$D : \{ x | x \in (- \infty , \ + \infty ) , x \ne \pi n , \ \ n \in \mathbb {Z} \}$$

دامنه توابع چند متغیره کسری

توابعی که بیش از یک متغیر مستقل دارند با عنوان «توابع چندمتغیره» (Multivariable Functions) شناخته می‌شوند.

به عنوان مثال، تابع زیر یک تابع چند متغیره است:

$$f ( x , \ y ) = x y$$

تابع $$f ( x , \ y )$$، در یک فضای دوبعدی قرار دارد. دامنه این تابع، مجموعه زوج مقدار $$( x , \ y )$$ است که با قرار دادن آن‌ها درون تابع، یک مقدار معلوم و مشخص به دست بیاید. بنابراین، دامنه توابع چندمتغیره، با در نظر گرفتن موجه بودن هر دو مقدار $$x$$ و $$y$$ تعیین می‌شود.

مثال ۷: تعیین دامنه تابع کسری چند متغیره

تابع $$f ( x , \ y ) = \frac { x } { y }$$ را در نظر بگیرید. این تابع چندمتغیره، از تقسیم متغیر $$x$$ بر متغیر $$y$$ به وجود می‌آید. بر اساس محدودیت توابع کسری، مخرج کسر نباید ۰ باشد. بنابراین:

$$y \ne ۰$$

در نتیجه، به غیر از $$( x , \ ۰ )$$، تابع $$f ( x , \ y )$$، هر زوج مقدار دلخواهی را به عنوان ورودی قبول می‌کند. به این ترتیب، دامنه تابع چندمتغیره $$f ( x , \ y ) = \frac { x } { y }$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \left \{ ( x , \ y ) | ( x , \ y ) \in \mathbb {R} ^ ۲ , \ y \ne ۰ \right \}$$

حل تمرین دامنه توابع کسری

در این بخش، به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با نحوه به دست آوردن دامنه توابع کسری، چند تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

تمرین ۱: دامنه تابع گویا

دامنه تابع $$f ( x ) = \frac { ۴ x } { ۵ ( x − ۱ )( x − ۵ )}$$ را به دست بیاورید.

تابع $$f ( x )$$، یک تابع گویا (تابع کسری با صورت و مخرج چندجمله‌ای) محسوب می‌شود. دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی منهای ریشه‌های مخرج است. به عبارت دیگر، $$x$$هایی که عبارت $$۵ ( x − ۱ )( x − ۵ )$$ را برابر با ۰ کنند، در مجموعه دامنه $$f ( x )$$ جای ندارند. بنابراین، داریم:

$$۵ ( x − ۱ )( x − ۵ ) \ne ۰$$

$$x - ۱ \ne ۰$$

$$x \ne ۱$$

$$x - ۵ \ne ۰$$

$$x \ne ۵$$

در نتیجه، $$x$$ نمی‌تواند برابر با ۱ یا ۵ باشد. بر این اساس، دامنه تابع $$f ( x ) = \frac { ۴ x } { ۵ ( x − ۱ )( x − ۵ )}$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in \mathbb{ R } , x \ne \{ ۱, \ ۵ \}\}$$

تمرین ۲: دامنه رادیکال در مخرج کسر

دامنه تابع $$f ( x ) = \frac { ۲ }{ \sqrt {x ^ ۲ - ۲ x - ۳ } }$$ را تعیین کنید.

$$f ( x )$$، تابعی کسری است که مخرج آن از یک عبارت رادیکالی (رادیکال چندجمله‌ای) تشکیل می‌شود. بنابراین، برای به دست آوردن دامنه این تابع، باید محدودیت دامنه توابع کسری و رادیکالی را در نظر بگیریم. برای شروع، ابتدا با تجزیه عبارت‌های تابع، آن را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$f ( x ) = \frac { ۲ }{ \sqrt {( x + ۱ ) ( x - ۳ )} }$$

بر اساس محدودیت دامنه توابع رادیکالی، عبارت زیر رادیکال باید غیرمنفی (بزرگتر مساوی صفر) باشد. این محدودیت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$( x + ۱ ) ( x - ۳ ) \ge ۰$$

با امتحان کردن مقادیر مختلف $$x$$، خواهیم دید که $$x$$های بزرگ‌تر یا مساوی ۳، در محدودیت بالا صدق می‌کنند. بنابراین، داریم:

$$x \ge ۳$$

عبارت رادیکالی، در مخرج کسر قرار دارد. به همین دلیل و بر اساس محدودیت دامنه توابع کسری، این عبارت نمی‌تواند برابر با صفر باشد. به عبارت دیگر:

$$( x + ۱ ) ( x - ۳ ) \ne ۰$$

در نتیجه:

$$x \ne - ۱$$

$$x \ne ۳$$

اگر محدودیت‌های بالا را با محدودیت قبلی در نظر بگیریم، به نتیجه زیر می‌رسیم:

$$x \gt ۳$$

به این ترتیب، دامنه تابع $$f ( x )$$، مقادیر بزرگ‌تر از ۳ را در برمی‌گیرد. این دامنه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in ( + ۳ , \ + \infty ) \}$$

تمرین ۳: دامنه تقسیم توابع لگاریتمی

دامنه تابع زیر را به دست بیاورید:

$$f ( x ) = \frac { \log \left ( ۳ x ^ ۲ - ۶ \right ) }{ \log ( ۴ x - ۳ ) }$$

$$f ( x )$$، تابعی را نمایش می‌دهد که از تقسیم دو تابع لگاریتمی به دست آمده است. بنابراین، تعیین دامنه این تابع، به محدودیت دامنه توابع کسری و محدودیت دامنه توابع لگاریتمی بستگی دارد. بر اساس محدودیت دامنه توابع کسری، عبارت مخرج ($$\log ( ۴ x - ۳ )$$) نباید برابر با ۰ شود. به این ترتیب، داریم:

$$\log ( ۴ x - ۳ ) \ne ۰$$

حاصل لگاریتم زمانی ۰ می‌شود که عبارت درون آن برابر با ۱ باشد. بر اساس این ویژگی، عبارت درون لگاریتم بالا نباید برابر با ۱ شود:

$$۴ x - ۳ \ne ۱$$

$$۴ x \ne ۴$$

$$x \ne ۱$$

بر اساس محدودیت مخرج تابع کسری، $$x$$ نمی‌تواند برابر با ۱ باشد. توابع صورت و مخرج، هر دو از نوع توابع لگاریتمی هستند. محدودیت دامنه این توابع، مثبت بودن عبارت درون لگاریتم‌ها است. برای محدودیت صورت داریم:

$$۳ x ^ ۲ - ۶ \gt ۰$$

$$۳ x ^ ۲ \gt ۶$$

$$x ^ ۲ \gt ۲$$

$$x \gt \sqrt { ۲ }$$

برای محدودیت مخرج نیز داریم:

$$۴ x - ۳ \gt ۰$$

$$۴ x \gt ۳$$

$$x \gt \frac { ۳ } { ۴ }$$

اکنون، هر سه محدودیت را در کنار یکدیگر می‌نویسیم:

$$x \ne ۱$$

$$x \gt \sqrt { ۲ } = ۱/۴۱$$

$$x \gt \frac { ۳ } { ۴ } = ۰/۷۵$$

بازه مشترک بین این سه محدودیت، دامنه تابع مورد سوال را نمایش می‌دهد. این بازه، عبارت است از:

$$x \gt \sqrt { ۲ }$$

در نتیجه، دامنه $$f ( x )$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \left \{ x | x \in \left ( \sqrt { ۲ } , \ + \infty \right ) \right \}$$

تمرین ۴: دامنه کسر با تابع جز صحیح

دامنه تابع $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \lceil x \rceil }$$ را تعیین کنید.

مخرج $$f ( x )$$، یک تابع سقف است. این تابع، عبارت درون خود را به نزدیک‌ترین عدد صحیح بعدی (بزرگ) تبدیل می‌کند. به عنوان مثال، اگر عدد ۱/۲ را درون $$\lceil x \rceil$$ قرار دهیم، خروجی آن برابر با ۲ می‌شود. به دلیل کسری بودن تابع $$f ( x )$$، مخرج آن نمی‌تواند برابر با ۰ باشد. به عبارت دیگر:

$$\lceil x \rceil \ne ۰$$

شرط بالا، تنها محدودیت در تعیین دامنه تابع $$f ( x )$$ است. اعداد کوچک‌تر مساوی ۰ و بزرگ‌تر از ۱- مقادیری هستند که باعث صفر شدن $$\lceil x \rceil$$ می‌شوند. بنابراین، این مقادیر در دامنه تابع جای ندارند. در نتیجه، دامنه $$f ( x ) = \frac { ۱ }{ \lceil x \rceil }$$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$D : \{ x | x \in ( - \infty , ۱ ] \ \cup \ ( ۰ , \ + \infty ) \}$$

برد توابع کسری چیست و چگونه بدست می آید؟

«برد» (Range) یک تابع کسری، مجموعه خروجی‌های حاصل از قرار دادن اعضای دامنه در درون تابع است.

البته اگر دامنه یک تابع را محدود کنیم، مجموعه خروجی‌های آن به دو گروه خروجی‌های واقعی (برد) و خروجی‌های احتمالی (هم‌دامنه) تقسیم می‌شوند. «هم‌دامنه» (Codomain)، مجموعه خروجی‌هایی است که برای کل دامنه (بدون محدودیت) به دست می‌آید. به عنوان مثال، تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$

در این مقاله از مجله فرادرس آموختیم که دامنه تابع بالا برابر است با:

$$D : \{ x | x \in \mathbb { R } , \ x \ne ۰ \}$$

اگر اعضای دامنه را درون تابع قرار دهیم، خروجی‌های آن هر عددی به غیر از ۰ خواهد بود. در واقع، هم‌دامنه این تابع، مجموعه اعداد حقیقی به غیر از ۰ است. اکنون، دامنه تابع را به مقادیر زیر محدود می‌کنیم:

$$\{ - ۲ , \ - ۱ , \ ۱ , \ ۲ \}$$

به این ترتیب، خروجی‌های تابع برای این دامنه عبارت هستند از:

$$\{ - \frac { ۱ }{ ۲ } , \ - \frac { ۱ }{ ۱ }, \ \frac { ۱ }{ ۱ }, \ \frac { ۱ }{ ۲ } \}$$

مجموعه بالا به عنوان برد تابع در نظر گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که با محدود کردن دامنه، تغییری در اعضای هم‌دامنه رخ نمی‌دهد اما برد، با توجه به دامنه تغییر می‌کند. در نتیجه، برد توابع کسری، با قرار دادن اعضای دامنه در درون تابع به دست می‌آید.

سوالات متداول در رابطه با دامنه توابع کسری

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث دامنه توابع کسری به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف دامنه تابع کسری چیست؟

دامنه تابع کسری، مجموعه مقادیری است که با قرار دادن اعضای آن درون رابطه تابع، یک جواب مشخص و تعریف شده به دست بیاید.

محدودیت دامنه تابع کسری چیست؟

محدودیت اصلی دامنه توابع کسری، صفر نشدن مخرج است.

نحوه تعیین دامنه توابع کسری به چه صورت است؟

برای تعیین دامنه یک تابع کسری، ابتدا مقادیر صفرکننده مخرج به دست می‌آیند. سپس این مقادیر، از مجموعه دامنه خارج می‌شوند.

روش تعیین دامنه تابع کسری ترکیب شده با دیگر توابع چیست؟

برای تعیین دامنه توابع کسری ترکیب‌شده با توابع دیگر، ضمن در نظر گرفتن محدودیت صفر نشدن مخرج کسر، محدودیت‌های مربوط به توابع دیگر نیز به دامنه اعمال می‌شوند.

نحوه بدست آوردن دامنه تابع کسری زیر رادیکال چگونه است؟

دامنه توابع کسری زیر رادیکال، با در نظر گرفتن محدودیت صفر نشدن مخرج کسر و محدودیت غیرمنفی بودن عبارت زیر رادیکال به دست می‌آیند.

تفاوت دامنه و برد توابع کسری چیست؟

دامنه تابع کسری، مقادیری است که با قرار دادن آن‌ها درون تابع، به یک جواب تعریف شده می‌رسیم. برد تابع کسری، جواب‌های به دست آمده از قرار دادن دامنه در تابع هستند.