تابع جزء صحیح — به زبان ساده

۴۲۸۶۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۲ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
تابع جزء صحیح — به زبان ساده

پیش‌تر، در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، توابعی مانند قدر مطلق، نمایی، هذلولوی و... را معرفی کردیم. در ادامه این سلسله آموزش‌ها، تابع جزء صحیح را معرفی می‌کنیم.

997696

جزء صحیح چیست؟

ابتدا به چند جمله زیر توجه کنید:

  • جزء صحیح عدد 2.352.35، عدد 22 است.
  • جزء صحیح عدد 4.36-4.36، عدد 5-5 است.
  • جزء صحیح عدد 1-1، عدد 1-1 است.

ویژگی مشترک سه عبارت بالا چیست؟ همان‌طور که شما هم پی برده‌اید، برای نوشتن جزء صحیح یک عدد، نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی با آن را نوشته‌ایم. در حقیقت می‌توان گفت، عبارت جزء صحیح یک عدد، معادل عبارت نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی با آن عدد است. برای تعریف جزء صحیح، معمولاً عبارت‌ بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی را نیز به‌کار می‌برند. توابع جزء صحیح را «تابع کف» (Floor Function) نیز می‌نامند. در شکل زیر، جزء صحیح عدد 2.312.31 روی محور نشان داده شده است.

تابع جزء صحیح

در جدول زیر، جزء صحیح چند عدد نوشته شده است.

عددجزء صحیح
1.1-1.12-2
0000
1.011.0111
2.92.922
3333

نمادهای جزء صحیح یا تابع جزء صحیح یک عدد را با براکت ناقص نیز نشان می‌دهند.

تابع جزء صحیح

تا دهه 1970 معمولاً از براکت ([ ]) کامل برای نشان دادن جزء صحیح استفاده می‌شد و پس از آن، براکت ناقص (\lfloor \, \rfloor) به‌کار رفت. البته هنوز هم براکت کامل برای نمایش تابع جزء صحیح مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در ادامه، تعریف رسمی جزء صحیح را بیان می‌کنیم.

تعریف تابع جزء صحیح

تابع جزء صحیح، بر مبنای همان مفهوم جزء صحیح تعریف می‌شود که در بالا بیان کردیم. تابع جزء صحیح xx را معمولاً با نماد y=[x]y=[x] نشان می‌دهند. به همین دلیل، آن را تابع براکت نیز می‌نامند. سه تعریف ریاضی این تابع، به‌صورت زیر است:

ابتدا فرض کنید xx یک عدد حقیقی باشد، آن‌گاه:

تعریف ۱: جزء صحیح متغیر xx، سوپریمم مجموعه اعداد صحیحی است که از xx بزرگ‌تر نیستند. به عبارت دیگر:

جزء صحیح

تعریف ۲: جزء صحیح عدد حقیقی xx، بزرگ‌ترین عضو مجموعه اعداد صحیح زیر است:

جزء صحیح

تعریف ۳: جزء صحیح xx، عدد صحیح منحصر به فرد [x][x] است که در رابطه زیر صدق می‌کند:

جزء صحیح

خواص تابع جزء صحیح

در این بخش، چند مورد از مهم‌ترین خواص توابع جزء صحیح را بیان می‌کنیم. با استفاده از تعاریفی که بیان کردیم، به‌راحتی می‌توان این ویژگی‌ها را اثبات کرد.

فرض کنید [x]=a[x]=a (که aa یک عدد صحیح است)، آن‌گاه داریم:

  1.  [x]=a[x]=a اگر و تنها اگر ax<a+1a \le x < a+1
  2.  [x]=a[x]=a اگر و تنها اگر x1x-1
  3.  [x][x] اگر و تنها اگر xx
  4.  a[x]a \le [x] اگر و تنها اگر axa \le x
  5.  [x+a]=[x]+a[x+a]=[x]+a
  6.  [x]+[y][x+y][x]+[y]+1[x]+[y]\le [x+y] \le [x]+[y]+1
تصویر گرافیکی یک دانش آموزش در حال نوشتن در دفتر در کلاس

معادلات توابع جزء صحیح

معادلات شامل توابع جزء صحیح را می‌توان با توجه به تعاریف و خواصی که بیان شد، به‌سادگی حل کرد. برای آشنایی بیشتر، یک مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال

معادله زیر را حل کنید:

[0.5+[x]]=20[0.5+[x]]=20

حل: ابتدا فرض می‌کنیم [x]=y[x]=y. در نتیجه، داریم:

[0.5+y]=20[0.5+y]=20

طبق تعریف تابع جزء صحیح، رابطه بالا، معادل با نامساوی زیر است:

20y+0.5<2120 \le y+0.5<21

یا

19.5y<20.519.5 \le y <20.5

از آن‌جایی که yy برابر با جزء صحیح xx است، باید یک عدد صحیح باشد. بنابراین، داریم:

y=20=[x]y=20=[x]

در نتیجه، پاسخ xx به‌صورت زیر خواهد بود:

20x<2120 \le x <21

نمودار تابع جزء صحیح

ابتدا از ساده‌ترین تابع جزء صحیح، یعنی y=[x]y=[x] شروع می‌کنیم. اگر به تعریف تابع جزء صحیح دقت کنیم، می‌توانیم حدس بزنیم که نمودار مربوط به این تابع، به صورت بازه ای خواهد بود. جدول زیر، این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد:

مقادیر yمقادیر x
1-11x<0-1 \le x <0
000x<10 \le x <1
111x<21 \le x <2

نمودار مربوط به جدول بالا به صورت زیر خواهد بود:

نمودار پله‌ای

به‌دلیل شکل خاص نمودار جزء صحیح، آن را پلکانی یا پله‌ای می‌نامند.

مثال

نمودار تابع y=[12x]y=[\frac{1}{2}x] را رسم کنید.

حل: برای رسم توابع جز صحیح، آن‌ها را به‌صورت بازه‌ای بررسی می‌کنیم. برای رسم نمودار مربوط به این مثال، ابتدا جدول زیر را تشکیل می‌دهیم که شامل بازه‌های مختلف xx است.

مقادیر yمقادیر xبازه x/2
1-12x<0-2 \le x <0112x <0-1 \le \frac{1}{2}x  <0
000x<20 \le x <2012x <10 \le \frac{1}{2}x  <1
112x<42 \le x <4112x <21 \le \frac{1}{2}x  <2

با توجه به سه بازه نمونه که انتخاب و بررسی کردیم، نمودار مربوط به تابع جز صحیح، به صورت زیر خواهد بود:

تابع جز صحیح

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس با مفهوم جزء صحیح و توابع جزء صحیح آشنا شدیم. این توابع یکی از بخش‌های مهم در ریاضیات دبیرستان و دانشگاهی است.

بر اساس رای ۱۷۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
وبلاگ فرادرس
۱۲ دیدگاه برای «تابع جزء صحیح — به زبان ساده»

سلام استاد
میخاستم بپرسم نمودارy=[3x]+[2x] به چه صورت هست؟

ممنون یادم رفته بود

سلام امیرحسین عزیز.
خوشحالیم که این آموزش برایتان مفید بوده است.
شاد و سربلند باشید.

کل اینترنتو گشتم یدونه فرمول کلی واسه حد مجموع براکتی با استفاده از قضیه فشردگی پیدا نمیشه! شما همچین فرمولی سراغ دارین؟

گوینده خوبه فقط مثال ها رو خوب توضیح نمیده الان تو این ویدیو بجای اینکه از تابع بره به دامنه برعکس توضیح داده یعنی فقط خط خوانی شده البته با توجه به رایگان بودن مقالات زحمت ها و کارهای همه عزیزان فرادرس بی نهایت قابل قدره

سلام بسیار عالی بود فقط لطف کنید راه حل مثالتونا کوتاه تر کنید به جای جز صحیح ، جز صحیح0.5 به علاوه ی جز صحیح x چون جز صحیح x طبیعتا عدیدی صحیح است میتوان نوشت جز صحیح 0.5 به علاوه ی جز صحیح x که جز صحیح 0.5 صفر است پس جز صحیح x برابر 20 میشود پسx بزرگتر یا برابر با20 و کوچک تر از 21 میباشد..

سلام.
بله سخن شما کاملاً صحیح است. همان‌گونه که در عنوان نیز ذکر شده، هدف بیان مفهوم توابع جزء صحیح به زبان ساده بوده و به همین دلیل سعی کرده‌ایم مسائل را تا حد ممکن به‌صورت نظام‌مند حل کنیم.
سپاس از همراهی‌تان.

عاااالی بود. خدا خیرتون بده. خدا قوت موفق باشید

عااااااااااحححلیی بود

سلام محمد عزیز.
خوشحالیم که این آموزش برایتان مفید بوده است.
سالم و سربلند باشید.

سلام
آموزش ها بسیار عالی و جامع هست
اما اگر میشه گوینده ویدیو رو عوض کنید
صداش برای آدم تمرکز نمیزاره
کلمات هم گاهی اوقات درست اداء نمیشن
ممنون میشم

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *