حلقه و کات ست در مدار | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با روش‌های تحلیل گره و تحلیل مش آشنا شدیم. در این آموزش با روش‌های تحلیل حلقه و کات ست در مدار آشنا می‌شویم. روش‌های حلقه و کات ست انعطاف بیشتری نسبت به روش‌های تحلیل مش و گره دارند. این روش‌ها در نوشتن معادلات حالت مدار به کار می‌روند و کاربردهای زیادی در تحلیل مدار با کامپیوتر دارند.

در ادامه، ماتریس حلقه $$\mathbf { B}$$ و ماتریس کات ست $$\mathbf { Q }$$ را معرفی می‌کنیم.

قضیه اساسی نظریه گراف

یک درخت متعلق به گراف، یک زیرگراف همبند است که شامل همه گره‌های گراف است و حلقه‌ای ندارد.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک 1 + مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

درخت در تحلیل حلقه و کات ست بسیار مهم است. درخت یک گراف، عموماً یکتا نیست. شاخه‌هایی که در درخت نیستند، «لینک» (Link) نامیده می‌شوند.

ویژگی‌های حلقه و کات ست

گراف همبند $$\mathcal { G}$$ را با $$n _ t$$ گره و $$b$$ شاخه در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید $$T$$ یک درخت از $$\mathcal { G}$$ باشد. در این صورت، خواهیم داشت:

• یک مسیر یکتا در طول درخت بین دو گره وجود دارد.
• تعداد $$n _ t - 1$$ شاخه درخت و $$b - n _ t + 1$$ لینک وجود دارد.
• هر لینک از $$T$$ و مسیر درخت یکتا بین گره‌ها یک حلقه یکتا را تشکیل می‌دهند که «حلقه اساسی» (Fundamental Loop) نام دارد.
• هر شاخه درخت از $$T$$ به همراه تعدادی از لینک‌ها یک کات ست از $$\mathcal { G}$$ را تعریف می‌کند. این کات ست، «کات ست اساسی» (Fundamental Cut Set) نام دارد.
• 

  فیلم آموزش ساختارهای جبری، گراف ها و ماتریس ها در فرادرس

  کلیک کنید

فرض کنید $$\mathcal { G}$$ دارای $$n _ t$$ گره، $$b$$ شاخه و $$s$$ بخش جدا و $$T _ 1$$، $$T_ 2$$، ... و $$T_ s$$ درخت‌های هر بخش جدا باشند. مجموعه $$\{ T_ 1 , T_ 2 , ... , T_ s \}$$ «جنگل» $$\mathcal { G}$$ نامیده می‌شود.

تحلیل حلقه

یک گراف همبند با $$b$$ شاخه و $$n _ t$$ گره داریم. درخت $$T$$ را در نظر بگیرید.

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

$$n = n _ t - 1$$ شاخه درخت و $$l = b - n _ t$$ لینک وجود دارد. شماره لینک‌ها $$1$$، $$2$$، ... و $$l$$ و شماره درخت از $$l + 1$$ تا $$b$$ است. هر لینک و هر مسیر یکتا از شاخه‌ها درخت یک حلقه اساسی را تعریف می‌کند.

شکل ۴ حلقه اساسی درختِ انتخاب شده را نشان می‌دهد.

جهت جریان حلقه مشابه جهت KVL لینک برای هر حلقه اساسی تعیین می‌شود. KVL برای حلقه‌ها به صورت زیر است:

• حلقه ۱: $$v _ 1 - v _ 5 + v _ 6 = 0$$
• حلقه ۲: $$v _ 2 + v _ 5 - v _ 6 + v _ 7 + v _ 8 = 0$$
• حلقه ۳: $$v _ 3 - v _ 6 + v _ 7 + v _ 8 = 0$$
• حلقه ۴: $$v _ 4 - v _ 6 + v _ 7 = 0$$

یا به فرم ماتریسی:

با اعمال KVL به هر حلقه اساسی، مجموعه‌ای از $$l$$ معادله مستقل خطی تشکیل خواهد شد. اگر جهت مرجع حلقه موافق لینکی باشد که آن را تعریف می‌کند، KVL به فرم زیر خواهد بود:

$$\mathbf { B v = 0 }$$

$$\mathbf { B}$$ یک ماتریس $$l \times b$$ است که ماتریس حلقه اساسی نامیده می‌شود.

$$b _ { i k }$$ یکی از سه مقدار زیر را می‌تواند بگیرد:

• $$1$$ اگر شاخه $$k$$ در حلقه $$i$$ بوده و موافق جهت مرجع باشد.
• $$- 1$$ اگر شاخه $$k$$ در حلقه $$i$$ باشد و مخالف جهت مرجع باشد.
• $$0$$ اگر شاخه $$k$$ در حلقه $$i$$ نباشد.

ماتریس حلقه اساسی را می‌توان به صورت زیر افراز کرد:

$$\large \mathbf { B } = \left [ \begin {array} { l l } { 1 } _ { \mathbf l } & \mathbf { F } \end {array} \right ]$$

KCL را می‌توان به فرم زیر نوشت:

$$\large \mathbf { j } = \mathbf { B } ^ { T } \mathbf { i } = \left [ \begin {array} { c } { 1 } _ { 1 } \\ \mathbf { F } ^ { T } \end {array} \right ] \mathbf { i }$$

KCL برای شکل ۴ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large \begin {array} { l l } j _ { 1 } = i _ { 1 } & j _ { 5 } = - i _ { 1 } + i _ { 2 } \\ j _ { 2 } = i _ { 2 } & j _ { 6 } = i _ { 1 } - i _ { 2 } - i _ { 3 } - i _ { 4 } \\ j _ { 3 } = i _ { 3 } & j _ { 7 } = i _ { 2 } + i _ { 3 } + i _ { 4 } \\ j _ { 4 } = i _ { 4 } & j _ { 8 } = i _ { 2 } + i _ { 3 } \end {array}$$

و به فرم ماتریسی، داریم:

$$\large \left [ \begin {array} { c } j _ { 1 } \\ j _ { 2 } \\ j _ { 3 } \\ j _ { 4 } \\ j _ { 5 } \\ j _ { 6 } \\ j _ { 7 } \\ j _ { 8 } \end {array} \right ] = \left [ \begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } i _ { 1 } \\ i _ { 2 } \\ i _ { 3 } \\ i _ { 4 } \end {array} \right ]$$

تحلیل حلقه مدارهای خطی تغییرناپذیر با زمان

در یک مدار مقاومتی، معادلات شاخه به فرم زیر هستند:

$$\large \mathbf { v } = \mathbf { R } \mathbf { j } + \mathbf { v } _ { s } - \mathbf { R } \mathbf { i } _ { s }$$

با ضرب ماتریس $$\mathbf { B}$$ از چپ و اعمال KCL و KVL، خواهیم داشت:

$$\large \mathbf { B R B } ^ { T } = - \mathbf { B } \mathbf { v } _ { s } + \mathbf { B R J } _ { s }$$

یا

$$\large \mathbf { Z } _ { \mathbf { l } } \mathbf { i } = \mathbf { e } _ { s }$$

که در آن،

$$\large \begin {array} { c } \mathbf { Z } _ { \mathbf { l } } @ \mathbf { B R B } ^ { T } \quad \mathbf { e } _ { s } = - \mathbf {B} \mathbf { v } _ { s } + \mathbf { B R J } _ { s } \end {array}$$

$$\mathbf { Z } _ { \mathbf { l  } }$$ ماتریس امپدانس حلقه و $$\mathbf { e } _ { s }$$ بردار منبع ولتاژ حلقه است.

مثال تحلیل حلقه

معادله حلقه اساسی مدار شکل ۵ را بنویسید.

پاسخ: معادلات شاخه به صورت زیر هستند:

$$\large \left [ \begin {array} { c } v _ { 1 } \\ v _ { 2 } \\ v _ { 3 } \\ v _ { 4 } \\ v _ { 5 } \\ v _ { 6 } \\ v _ { 7 } \\ v _ { 8 } \end {array} \right ] = \left [ \begin {array} { c c c c c } R _ { 1 } & & & & \\ & R _ { 2 } & & & && 0 \\ & & R _ { 3 } & & \\ & & & & R _ { 4 } \\ & & & & & R _ { 5 } \\ & 0& & & & &R_{6} \\ & & & & & & & R _ { 7 } \\ & & & & & & & & R _ { 8 } \end{array}\right] = \left [ \begin {array} { c } j _ { 1 } \\ j _ { 2 } \\ j _ { 3 } \\ j _ { 4 } \\ j _ { 5 } \\ j _ { 6 } \\ j _ { 7 } \\ j _ { 8 } \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { c } v _ { s 1 } \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ R _ { 8 } j _ { s 8 } \end {array} \right ]$$

$$\large = \left [ \begin {array} { c c c c } R _ { 1 } + R _ { 5 } + R _ { 6 } & - R _ { 5 } - R _ { 6 } & - R _ { 6 } & - R _ { 6 } \\ - R _ { 5 } - R _ { 6 } & R _ { 2 } + R _ { 5 } + R _ {6 }+ R_ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } \\ - R _ { 6 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 3 } + R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } \\ -R _ { 6 } & R _{ 6 } + R _ { 7 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } & R _ { 4 } + R _ { 6 } + R _ { 7 } \end {array} \right ]$$

و معادلات حلقه به شکل زیر هستند:

$$\large \left [ \begin {array} { c c c c } R _ { 1 } + R _ { 5 } + R _ { 6 } & - R _ { 5 } - R _ { 6 } & - R _ { 6 } & - R _ { 6 } \\ - R _ { 5 } - R _ { 6 } & R _ { 2 } + R _ { 5 } + R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } \\ - R _ { 6 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 3 } + R _ { 6 } + R _ { 7 } + R _ { 8 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } \\ - R _ { 6 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } & R _ { 6 } + R _ { 7 } & R _ { 4 } + R _ { 6 } + R _ { 7 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } i _ { 1 } \\ i _ { 2 } \\ i _ { 3 } \\ i _ { 4 } \end {array} \right ] \\= \left [ \begin {array} { c } - v _ { s 1 } \\ - R _ { 8 } j _ { s 8 } \\ - R _ { 8 } j _ { s 8 } \\ 0 \end {array} \right ]$$

ویژگی‌های ماتریس امپدانس حلقه

برای مدارهای RLC در حالت دائمی سینوسی ماتریس امپدانس حلقه $$\mathbf { Z } _ { l } ( j \omega ) = \mathbf { B Z } _ { b }( j \omega ) \mathbf { B } ^ { T }$$ بوده و دارای ویژگی‌های زیر است:

• اگر عنصر تزویج وجود نداشته باشد، ماتریس $$\mathbf { Z } _ b ( j \omega )$$ قطری است و ماتریس امپدانس حلقه متقارن است.
• اگر عنصر تزویج وجود نداشته باشد، ماتریس $$\mathbf { Z } _ b ( j \omega )$$ را می‌توان بدون بازبینی نوشت:
  • $$Z _ { ii } ( j \omega )$$ مجموع امپدانس در حلقه $$i$$ است.
  • $$Z _ { i k}  ( j \omega )$$ مجموع یا منفی مجموع امپدانس شاخه $$k$$ امپدانس مشترک با حلقه $$i$$. علامت مثبت اعمال می‌شود اگر جهت شاخه $$k$$ موافق جهت حلقه باشد.
• اگر همه منابع جریان به منابع ولتاژ تونن تبدیل شوند، آنگاه $$e _ { s k }$$ مجموع منابع ولتاژی است که موجب برقراری جریان در حلقه می‌شود.

تحلیل کات ست

تحلیل کات ست دوگان تحلیل حلقه است. هر شاخه درخت یک کات ست یکتا را تعریف می‌کند.

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

کات ست اساسی مدار شکل ۴ در شکل ۶ نشان داده شده است.

KCL را می‌توان برای هر کات ست به صورت زیر نوشت:

• کات ست ۱: $$j _ 1 - j _ 2 + j _ 5 = 0$$
• کات ست ۲: $$- j _ 1 + j _ 2 + j_ 3 + j _ 4 + j _ 5 = 0$$
• کات ست ۳: $$- j _ 2 - j _ 3 - j _ 4 + j _ 7 = 0$$
• کات ست ۴: $$- j _ 2 - j _ 3 + j _ 8 = 0$$

به فرم ماتریسی، داریم:

$$\large \left [ \begin {array} { r r r r r r r } \begin {array} { c } \end {array} 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } j _ { 3 } \\ j _ { 4 } \\ j _ { 5 } \\ j _ { 6 } \\ j _ { 7 } \\ j _ { 8 } \end {array} \right ] = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ]$$

یا

$$\large \mathbf { Qj = 0 }$$

 با اعمال KCL به هر کات ست اساسی، $$n$$ معادله جبری همگن خطی در $$j _ 1$$، $$j _ 2$$، ... و $$j _ b$$ به دست می‌آید که مجموعه‌ای از $$n$$ معادله مستقل خطی را نتیجه می‌دهد.

ماتریس کات ست اساسی $$\mathbf { Q}$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$q _ { i k}$$ یکی از سه مقدار زیر را می‌تواند بگیرد:

• $$1$$ اگر شاخه $$k$$ متعلق به کات ست $$i$$ باشد و موافق با جهت مرجع.
• $$-1$$ اگر شاخه $$k$$ متعلق به کات ست $$i$$ باشد و مخالف با جهت مرجع.
• $$0$$ اگر شاخه $$k$$ به کات ست $$i$$ متعلق نباشد.

ماتریس کات ست را می‌توان به صورت زیر افراز کرد:‌

$$\large \mathbf { Q } = \left [ \mathbf { E } \mid  { 1 } _ { n } \right ]$$

که شامل $$l$$ لینک و $$n$$ کات ست است.

از آنجا که ولتاژ هر شاخه یک ترکیب خطی از ولتاژهای شاخه درخت است و اگر ولتاژهای درخت $$e _ 1$$، $$e _ 2$$، ... و $$e _ n$$ باشد، آنگاه برای شکل ۶، KVL به صورت زیر است:

$$\large \begin {aligned} & v _ { 1 } = v _ { 5 } - v _ { 6 } = e _ { 1 } - e _ { 2 } \\ & v _ { 2 } = - v _ { 5 } + v _ { 6 } - v _ { 7 } - v _ { 8 } = - e _ { 1 } + e _ 2 - e _ 3 - e _ 4 \\ & v _ { 3 } = v _ { 6 } - v _ { 7 } - v _ { 8 } = e _ { 2 } -e _ { 3 } - e _ { 4 } \\ & v _ { 4 } = v _ { 6 } - v _ { 7 } = e _ { 2 } - e _ { 3 } \\ & v _ { 5 } = e _ { 1 } \\ & v _ { 6 } = e _ { 2 } \\ & v _ { 7} = e _ { 3 } \\ & v _ { 8 } = e _ { 4 } \end {aligned}$$

یا

$$\large \mathbf { v } = \left [ \begin {array} { r r r r } 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } e _ { 1 } \\ e _ { 2 } \\ e _ { 3 } \\ e _ { 4 } \end {array} \right ]$$

یا

$$\large \mathbf { V } = \mathbf {Q } ^ T \mathbf { e }$$

تحلیل کات ست مدارهای خطی تغییرناپذیر با زمان

در تحلیل کات ست، قوانین کیرشهف به صورت زیر هستند:

KCL:

$$\large \mathbf { Qj = 0 }$$

KVL:‌

$$\large \mathbf { v } = \mathbf { Q} ^ T \mathbf { e }$$

و معادلات شاخه به صورت زیر نوشته می‌شوند:‌

$$\large \mathbf { j } = \mathbf { G } \mathbf { v } + \mathbf { j } _ { s } -\mathbf { G } \mathbf { v } _ { s }$$

با ترکیب KVL و KCL و معادلات شاخه، خواهیم داشت:

$$\large \mathbf { Q } \mathbf { G } \mathbf { Q } ^ { T } \mathbf { e } = \mathbf { Q } \mathbf { G } \mathbf { v } _ { s } - \mathbf { Q } \mathbf { j } _ { s }$$

یا

$$\large \mathbf { Y } _ { q } \mathbf { e } = \mathbf { i } _ { \mathbf { s } }$$

که در آن،

$$\large \mathbf { Y } _ { q } @ \mathbf { Q } \mathbf { G } \mathbf { Q } ^ { T } \quad \mathbf { i } _ { s } @ \mathbf { Q } \mathbf { G } \mathbf { v } _ { s } - \mathbf { Q } \mathbf { j } _ { s }$$

$$\mathbf { Y} _ q$$ ماتریس ادمیتانس و $$\mathbf { i } _ s$$ بردار منبع جریان است.

ویژگی‌های ماتریس کات ست

برای مدار RLC با منابع سینوسی در حالت دائمی، ویژگی‌های ماتریس ادمیتانس $$\mathbf {Y} _ q$$ به صورت زیر هستند:

$$\large \mathbf { Y } _ q ( j \omega ) = \mathbf { Q } \mathbf { Y} _ b ( j \omega ) \mathbf { Q} ^ T$$

• اگر شبکه عنصر تزویج نداشته باشد، ادمیتانس شاخه قطری خواهد بود و ماتریس ادمیتانس کات ست $$\mathbf { Y} _ q$$ متقارن است.
• اگر تزویج وجود نداشته باشد، $$\mathbf { Y} _ q$$ را می‌توان بدون بازبینی نوشت:
  • $$Y_ { i i } ( j \omega )$$ مجموع ادمیتانس در کات ست $$i$$ است.
  • $$Y _ { i k} (j\omega )$$ مجموع یا منفی مجموع ادمیتانس شاخه مشترک به کات ست $$i$$ و کات ست $$k$$ است. علامت مثبت زمانی اعمال می‌شود که شاخه $$i$$ و شاخه $$k$$ جهت یکسانی داشته باشند.
• اگر همه منابع ولتاژ را به منابع نورتن تبدیل کنیم، آنگاه $$i _ { s k }$$ مجموع جبری همه آن جریان‌هایی است که جهت آن‌ها مخالف کات ست است.

مثال تحلیل کات ست

معادله کات ست شکل ۷ را با بازبینی بنویسید.

پاسخ:

$$\large \left [ \begin {array} { c c c c } G _ { 1 } + G _ { 2 } + G _ { 5 } & - G _ { 1 } - G _ { 2 } & G _ { 2 } & G _ { 2 } \\ - G _ { 1 } - G _ { 2 } & G _ { 1 } + G _ { 2 } + G _ { 3 } +G _ { 4 } + G _ { 6 } & - G _ { 2 } - G _ { 3 } - G _ { 4 } & - G _ { 2 } - G _ { 3 } \\ G _ { 2 } & - G _ { 2 } - G _ { 3 } - G _ { 4 } & G _ { 2 } + G _ { 3 } + G _ { 4 } + G _ { 7 } & G _ { 2 } + G _ { 3 } \\ G _ { 2 } & - G _ { 2 } - G _ { 3 } & G _ { 2 } + G _ { 3 } & G _ { 2 } + G _ { 3 } + G _ { 8 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } e _ { 1 } \\ e _ { 2 } \\ e _ { 3 } \\ e _ { 4 } \end {array} \right ] \\= \left [ \begin {array} { c } G _ { 1 } v _ { s 1 } \\ - G _ { 1 } v_ { s 1 } \\ 0 \\ j _ { s 8 } \end {array} \right ]$$

نکاتی درباره تحلیل حلقه و کات ست

تحلیل حلقه و کات ست نسبت به تحلیل حلقه و مش عمومی‌تر هستند، زیرا درخت را می‌توان با طرق مختلف انتخاب کرد. برای یک درخت مشخص، تحلیل حلقه به تحلیل مش و تحلیل کات ست به تحلیل گره تبدیل می‌شود.

رابطه بین $$\mathbf { B}$$ و $$\mathbf { Q}$$ به صورت زیر است:

$$\mathbf {B}\mathbf {Q} ^ T =0$$ و $$\mathbf { Q B } ^ T = 0$$

معرفی فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ فرادرس

برای آشنایی بیشتر با تحلیل حلقه و کات ست در مدار، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ فرادرس مراجعه کنید. این دوره ویدیویی آموزشی با مدت زمان ۱۰ ساعت و ۵۷ دقیقه‌ای در قالب هشت درس تهیه و تنظیم شده است.

در درس اول، تبدیل لاپلاس و مبانی شبکه‌های LTI شرح داده می‌شود. درس دوم درباره مفهوم تزویج و روابط آن در مدارهای الکتریکی است. درس سوم به روش‌های منظم تحلیل مدار شامل، گره، مش، فضای حالت و حلقه و کات ست می‌پردازد. فرکانس‌های طبیعی مدار موضوع درس چهارم است. در درس پنجم نیز توابع شبکهپرداخته می‌شود. قضایای شبکه و دوقطبی‌ها نیز موضوعات مهمی هستند که به ترتیب در درس‌های ششم و هفتم مورد بررسی قرار می‌گیرند. در نهایت، در درس هشتم، سؤالات مربوط به دو دوره آزمون کارشناسی ارشد به طور کامل حل شده‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۲ + اینجا کلیک کنید.