محاسبه جرم با چگالی — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مفاهیم مربوط به چگالی آشنا شدیم. در این آموزش با محاسبه جرم با چگالی با انتگرال آشنا می‌شویم.

جرم یک میله نازک

می‌توانیم از انتگرال‌گیری یک تابع چگالی برای محاسبه جرم استفاده کنیم.

یک سیم یا میله نازک را در نظر بگیرید که در بازه $$[a, b ]$$ قرار گرفته است.

چگالی میله در هر نقطه $$x$$ با تابع چگالی $$\rho \left( x \right)$$ تعریف می‌شود. با فرض اینکه $$\rho \left( x \right)$$ یک تابع انتگرال پذیر باشد، جرم میله با استفاده از انتگرال زیر به دست می‌آید:

$$\large m = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) d x } .$$

جرم یک قرص (دیسک) نازک

فرض کنید $$\rho \left( r \right)$$ چگالی شعاعی یک قرص به شعاع $$R$$ باشد.

جرم این قرص به صورت زیر قابل محاسبه است:

$$\large m = 2 \pi \int \limits _ 0 ^ R { r \rho \left ( r \right ) d r } .$$

جرم ناحیه محصور بین دو منحنی

ناحیه محصور بین دو منحنی $$y = f\left( x \right)$$ و $$y = g\left( x \right)$$ و دو خط $$x = a$$ و $$x = b$$ را در نظر بگیرید.

اگر چگالی لایه‌ای که این ناحیه را در بر گرفته فقط به مختصات $$x$$ وابسته باشد، جرم کل لایه با انتگرال زیر به دست می‌آید:

$$\large m = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) \left [ { f \left ( x \right ) – g \left ( x \right ) } \right ] d x }$$

که در آن، رابطه $$f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$$ در بازه $$[a , b ]$$ برقرار بوده و $$\rho ( x )$$ چگالی تغییر ماده در طول محور $$x$$ است.

جرم یک جسم با تابع چگالی یک بعدی

جسم $$S$$ را در نظر بگیرید که در جهت $$x$$ و از $$x = a$$ تا $$x = b$$ با سطح مقطع $$A(x)$$ گسترانیده شده است.

فرض کنید تابع چگالی $$\rho \left( x \right)$$ به $$x$$ وابسته بوده، اما درون هر برش مقطعی $$A ( x )$$ ثابت باشد.

جرم این جسم برابر است با:

$$\large m = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) A \left ( x \right ) d x } .$$

جرم جسم حاصل از دوران

فرض کنید $$S$$ جسمی باشد که از دوران ناحیه زیر منحنی $$y = f ( x )$$ در بازه $$[a , b ]$$ حول محور $$x$$ ایجاد شده باشد.

اگر $$\rho \left( x \right)$$ چگالی ماده جسم وابسته به مختصات $$x$$ باشد، آنگاه جرم جسم را می‌توان با فرمول زیر محاسبه کرد:

$$\large m = \pi \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ){ f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } .$$

مثال‌های محاسبه جرم با چگالی

در این بخش، مثال‌های مختلفی از محاسبه جرم با چگالی را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

میله‌ای با با چگالی خطی $$\rho \left( x \right) = {x^3} + x$$ روی محور $$x$$ از $$x = 0$$ تا $$x = 2$$ قرار دارد. جرم میله را به دست آورید.

حل: با استفاده از انتگرال‌گیری، داریم:

$$\large { m = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 2 { \left ( { { x ^ 3 } + x } \right ) d x } } = { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ 4 } } } { 4 } + \frac { { { x ^ 2 } } } {2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 2 } = { 6 . }$$

اگر $$\rho$$ برحسب کیلوگرم بر متر بوده و $$x$$ برحسب متر اندازه‌گیری شود، آنگاه $$m = 6\,\text{kg}$$ خوهد بود.

مثال ۲

میله‌ای به طول $$L = 10\,\text{cm}$$ را در نظر بگیرید که جرم آن با تابع چگالی $$\rho \left( x \right) = 50{e^{ – \frac{x}{{10}}}}$$ برحسب $$\large{\frac{\text{g}}{\text{cm}}}\normalsize$$ توزیع شده و $$x$$ برحسب $$\text{cm}$$ است. جرم میله را محاسبه کنید.

حل: برای یافتن جرم میله، از تابع چگالی انتگرال می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} m & = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) d x } = { \int \limits _ 0 ^ { 1 0 } { 5 0 { e ^ { – \frac { x } { { 1 0 } } } } d x } } = { – 5 0 0 \left . { { e ^ { – \frac { x } { { 1 0 } } } } } \right | _ 0 ^ { 1 0 } }\\ & = { 5 0 0 \left ( { 1 – \frac { 1 } { e } } \right ) } = { \frac { { 5 0 0 \left ( { e – 1 } \right ) } } { e } }\approx { 3 1 6 \, \text {g} . } \end {align*}$$

مثال ۳

فرض کنید تراکم خودروها در ازدحام ترافیک یک بزرگراه، به طور خطی از ۳۰ تا ۱۵۰ خودرو در کیلومتر بر خط تغییر کند. طول هر خط ۵ کیلومتر است. اگر ۴ خط وجود داشته باشد، تعداد کل خودروهای مسیر بزرگراه را محاسبه کنید.

حل: ابتدا معادله‌ای برای تابع چگالی $$\rho \left( x \right)$$ به دست می‌آوریم. از آنجایی که تابع خطی است، با دو نقطه می‌توان آن را توصیف کرد:

$$\large { \rho \left ( 0 \right ) = 3 0 , \; \; } \kern0pt { \rho \left ( 5 \right ) = 1 5 0 . }$$

با استفاده از این دو نقطه، می‌توان معادله خط را به دست آورد:

$$\large \begin {align*} & \frac { { \rho – 3 0 } } { { 1 5 0 – 3 0 } } = \frac { { x – 0 } } { { 5 – 0 } } , \; \; \Rightarrow { \frac { { \rho – 3 0 } } {{ 1 2 0 } } = \frac { x } { 5 } , } \; \; \\ & \Rightarrow { \rho – 30 = 2 4 x , } \; \; \Rightarrow { \rho \left ( x \right ) = 2 4 x + 3 0 . } \end {align*}$$

اکنون تعداد خودروهای بزرگراه را به دست می‌آوریم. برای این کار، از تابع چگالی انتگرال گرفته و نتیجه را در ۴ ضرب می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} N & = 4 \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) d x } = { 4 \int \limits _ 0 ^ 5 { \left ( { 2 4 x + 3 0 } \right ) d x } }\\ & = { \left . { 4 \left ( { 1 2 { x ^ 2 } + 3 0 x } \right ) } \right | _ 0 ^ 5 } = { 4 \left ( { 3 0 0 + 1 5 0 } \right ) } = { 1 8 0 0 \, \text {cars}}. \end {align*}$$

مثال ۴

مقدار باکتری موجود در یک پتری دیش به شعاع $$R$$ را در صورتی محاسبه کنید که چگالی در مرکز $$\rho _ 0$$ بوده و به صورت خطی در لبه آن به صفر میل کند.

حل: چگالی باکتری با قانون زیر تغییر می‌کند:

$$\large \rho \left ( r \right ) = { \rho _ 0 } \left ( { 1 – \frac { r } { R } } \right )$$

که در آن، $$0 \le r \le R$$.

برای یافتن تعداد کل باکتری درون پتری دیش، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large N = 2 \pi \int \limits _ 0 ^ R { r \rho \left ( r \right ) d r } .$$

این انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} N & = 2 \pi { \rho _ 0 } \int \limits _ 0 ^ R { r \left ( { 1 – \frac { r } { R } } \right ) d r } = { 2 \pi { \rho _ 0 } \int \limits _ 0 ^ R { \left ( { r – \frac { {{ r ^ 2 } } } { R } } \right ) d r } } \\ & = { 2 \pi { \rho _ 0 } \left . { \left ( { \frac { { { r ^ 2 } } } { 2 } – \frac { { {r ^ 3 } } } { { 3 R } } } \right ) } \right | _ 0 ^ R } = { 2 \pi { \rho _ 0 } \left ( { \frac { { { R ^2 } }} { 2 } – \frac { { { R^ 2 } } } { 3} } \right ) } \\ & = { \frac { { 2 \pi { \rho _ 0 }{ R ^ 2} } } { 6 } } = { \frac { { \pi { \rho _ 0 } { R ^ 2 } } } { 3 } . } \end{align*}$$

مثال ۵

فرض کنید توزیع ستاره‌ای در یک کهکشان از قانون نمایی زیر تبعیت کند:

$$\large \rho \left ( r \right ) = { \rho _ 0 } { e ^ { – \frac { r } { h } } }$$

جرم کهکشان را با پارامترهای $${\rho _0} = {10^3}\large{\frac{{{M_{\odot}}}}{{{\text{kpc}^2}}}}\normalsize$$ و $$h = {10^4}\,\text{kpc}$$ تخمین بزنید که در آن، $${M_{\odot}}$$ جرم خورشیدی و $$\text{kpc}$$ معرف یک کیلوپارسیک (هر $$\text{kpc}$$ برابر با ۳۲۶۲ سال نوری) است.

حل: فرض می‌کنیم کهکشان به فرم یک قرص باشد و در نتیجه، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد:

$$\large m = 2 \pi \int \limits _ 0 ^ R r \rho \left ( r \right ) d r .$$

از آنجایی که مقدار دقیق شعاع $$R$$ کهکشان نامعلوم است، آن را برابر با بینهایت قرار می‌دهیم. بنابراین، انتگرال ناسره زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { m = 2 \pi \int \limits _ 0 ^ \infty { r \rho \left ( r \right ) d r } } = { 2 \pi { \rho _ 0 } \int \limits _ 0 ^ \infty { r { e ^ { – \frac { r } { h } } } d r } } = { 2 \pi { \rho _ 0 } \lim \limits _ { b \to \infty } \int \limits _ 0 ^ b { r { e ^ { – \frac { r } { h } } } d r } . }$$

با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \int { \underbrace r _ u \underbrace { { e ^ { – \frac { r }{ h } } } d r } _ { d v } } & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 }{ l } } { u = r } \\ { d v = { e ^ { – \frac { r } { h } } } d r } \\ { d u = d r } \\ { v = – h { e ^ { – \frac { r } { h } } } } \end {array} } \right ] } = { – h r { e ^ { – \frac { r } { h } } } – \int { \left ( { – h { e ^ { – \frac { r } { h } } } } \right ) d r } } \\ & = { – h r { e ^ { – \frac { r } { h } } } + h \int { { e ^ { – \frac { r } { h } } } d r } } = { – h r { e ^ { – \frac { r } { h } } } – { h ^ 2 } { e ^ { – \frac { r } { h } } } } \\ & = { – h \left ( { r + h } \right ) { e ^ { – \frac { r } { h } } } . }<br /> \end {align*} $$

با حدگیری، خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} m & = 2 \pi { \rho _ 0 } \lim \limits _ { b \to \infty } \int \limits _ 0 ^ b { r { e ^ { – \frac { r } { h } } } d r } \\ & = { 2 \pi { \rho _ 0 } h \lim \limits _ { b \to \infty } \left [ { \left . { \left ( { – \left ( { r + h } \right ) { e ^ { – \frac { r } { h } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ b } \right ] } \\ & = { 2 \pi { \rho _ 0 } h \lim \limits _ { b \to \infty } \left [ { h – \frac { { b + h } }{ { { e ^ { \frac { b } { h } } } } } } \right ] . } \end {align*}$$

حال از قاعده هوپیتال استفاده می‌کنیم:

$$\large { \lim \limits _ { b \to \infty } \left [ { h – \frac { { b + h } } { { { e ^ { \frac { b } { h } } }} } } \right ] } = { h – \lim \limits _ { b \to \infty } \frac { { \left ( { b + h } \right ) ^ \prime } } { { \left ( { { e ^ { \frac { b } { h } } } } \right ) ^ \prime } } } = { h – \lim \limits _ { b \to \infty } \frac { 0 } { { \frac { 1 } { h } { e ^ { \frac { b } { h } } } } } } = { h . }$$

در نتیجه، جرم کهکشان از معادله زیر به دست خواهد آمد:

$$\large m = 2\pi {\rho _0}{h^2}.$$

با جایگذاری مقادیر داده شده اندازه جرم به دست می‌آید:

$$\large { m = 2 \pi \times { 1 0 ^ 3 } \times { \left ( { { { 1 0 } ^ 4 } } \right ) ^ 2 } } = { 2 \pi \times { 10 ^ { 1 1 } } } \approx { 6 . 2 8 \times { 1 0 ^ { 1 1} } \, { M _ \odot } }$$

که تقریباً نصف جرم کهکشان راه شیری است.

مثال ۶

یک لایه، ناحیه محدود به یک کمان سینوسی و محور $$x$$ را اشغال کرده است. چگالی هر نقطه از لایه متناسب با فاصله نقطه از محور $$y$$ است. جرم لایه را به دست آورید.

حل: فرمول کلی جرم یک ناحیه بین دو نمودار به صورت زیر است:

$$\large m = \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ) \left [ { f \left ( x \right ) – g \left ( x \right ) } \right ] d x } .$$

با قرار دادن تابع و حدود انتگرال، خواهیم داشت:

$$\large m = \int \limits _ 0 ^ \pi { x \sin x d x } .$$

برای محاسبه این انتگرال، از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> m & = \int \limits _ 0 ^ \pi { \underbrace x _ u \underbrace { \sin x d x } _ { d v } } = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { u = x } \\<br /> { d v = \sin x d x } \\<br /> { d u = d x } \\<br /> { v = – \cos x }<br /> \end {array} } \right ] } = { \left . { \left ( { – x \cos x } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi – \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { – \cos x } \right ) d x } } \\ & = { \left . { \left ( { – x \cos x } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi + \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos x d x } } = { \left . { \left ( { \sin x – x \cos x } \right ) } \right | _ 0 ^ \pi } = { \pi . }<br /> \end {align*} $$

اگر چگالی $${\rho \left( x \right)}$$ برحسب $$\large{\frac{\text{kg}}{\text{m}}}\normalsize$$ و $$x$$ برحسب $$\text{m}$$ باشد، آنگاه جرم لایه برابر با $$m = \pi\,\text{kg}$$ خواهد بود.

مثال ۷

لایه‌ای یک نیم‌دایره بالایی به شعاع ۱ و به مرکز مبدأ را در بر گرفته است. چگالی این لایه با تابع $$\rho \left( y \right) = {y^3}$$ داده شده است. جرم لایه را به دست آورید.

حل: تابع چگالی در طول محور $$y$$ تغییر می‌کند. بنابراین، از فرمول زیر برای محاسبه حجم لایه استفاده می‌کنیم:

$$\large m = \int \limits _ c ^ d { \rho \left ( y \right ) \left [ { f \left ( y \right ) – g \left ( y \right ) } \right ] d y } .$$

به دلیل تقارن نسبت به محور $$y$$، می‌توانیم از ۰ تا ۱ انتگرال بگیریم و سپس جواب را در ۲ ضرب کنیم.

معادله دایره در ربع اول $$x = f\left( y \right) = \sqrt {1 – {y^2}}$$ است. بنابراین، جرم لایه با انتگرال زیر بیان می‌شود:

$$\large m = 2 \int \limits _ 0 ^ 1 { { y ^ 3 } \sqrt { 1 – { y ^ 2 } } d y } .$$

برای محاسبه انتگرال، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} 1 – { y ^ 2 } & = { z ^2 } , \; \; \Rightarrow { { y ^ 2 } = 1 – { z ^ 2 } , \; \; } \kern0pt { y d y = – z d z , \; \; } \kern0pt \\ { y ^ 3 } d y & = \left ( { 1 – { z ^ 2 } } \right ) \left ( { – z d z } \right ) = { \left ( { { z ^ 3 } – z } \right ) d z . } \end {align*}$$

وقتی $$y=0$$ باشد، $$z = 1$$ است و وقتی $$y = 1$$ باشد، $$z = 0$$ خواهد بود. بنابراین، انتگرال برحسب $$z$$ به صورت زیر در می‌آید:

$$\large \begin {align*} m & = 2 \int \limits _ 1 ^ 0 { \left ( { { z ^ 3 } – z } \right ) z d z } = { 2 \int \limits _ 1 ^ 0 { \left ( { { z ^ 4 } – { z ^ 2 } } \right ) d z } } = { 2 \left . { \left [ { \frac { { { z ^ 5 } } } { 5 } – \frac { {{ z ^ 3 } } } { 3 } } \right ] } \right | _ 1 ^ 0 } \\ & = { 2 \left [ { 0 – \left ( { \frac { 1 } { 5 } – \frac { 1 } { 3 } } \right ) } \right ] } = { 2 \left ( { \frac { 1 } { 3 } – \frac { 1 } { 5 } } \right ) } = { \frac { 4 } { { 1 5 } } . } \end {align*}$$

مثال ۸

یک مخروط دایره‌ای قائم با شعاع قاعده $$R$$ و ارتفاع $$H$$ را در نظر بگیرید. جرم مخروط را در صورتی به دست آورید که چگالی در طول محور عمودی تغییر کرده و توسط تابع $$\rho \left( y \right) = k{y^2}$$ توصیف شود.

حل: یک برش نازک را در ارتفاع $$y$$ و موازی با قاعده در نظر بگیرید. شعاع $$r$$ از سطح مقطع را می‌توان با استفاده از تشابه مثلث‌ها تعیین کرد:

$$\large { \frac { r } { R } = \frac { { H – y } } { H } , } \; \; \Rightarrow { r = \frac { R } { H } \left ( { H – y } \right ) . }$$

جرم برش به ضخامت $$dy$$ برابر است با:

$$\large \begin {align*} d m & = \rho \left ( y \right ) d V = \pi { r ^ 2 } \rho \left ( y \right ) d y \\ & = { \frac { { \pi { R ^ 2 } \rho \left ( y \right ) { { \left ( { H – y } \right ) } ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } d y } = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } { y ^ 2 } { { \left ( { H – y } \right ) } ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } d y . } \end {align*}$$

برای محاسبه کل جرم مخروط، از $$y= 0$$ تا $$y = H$$ از رابطه بالا انتگرال می‌گیریم:

$$\large \begin {align*} m & = \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { { y ^ 2 } { { \left ( { H – y } \right ) } ^ 2 } d y } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { { y ^ 2 } \left ( { { H ^ 2 } – 2 H y + { y ^ 2 } } \right ) d y } } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } }{ { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { \left ( { { H ^ 2 } { y ^ 2 } – 2 H { y ^ 3 } + { y ^ 4 } } \right ) d y } } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } {{ { H ^ 2 } } } \left . { \left ( { \frac { { { H ^ 2 } { y ^ 3 }} } { 3 } – \frac { { H { y ^ 4 } } } { 2 } + \frac { { { y ^ 5 } } } { 5 } } \right ) } \right | _ 0 ^ H } \\ & = { \pi k { R ^ 2 } { H ^ 3 } \left ( { \frac { 1 } { 3 } – \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 } { 5 } } \right ) } = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } { H ^ 3 } } } { { 3 0 } } . } \end {align*}$$

صحت جواب را با تحلیل واحدها بررسی می‌کنیم. چگالی با تابع $$\rho \left( y \right) = k{y^2}$$ توصیف می‌شود. بنابراین، اگر متغیر $$y$$ برحسب متر و جرم برحسب کیلوگرم باشد، آنگاه ضریب $$k$$ برحسب $$\large{\frac{\text{kg}}{\text{m}^5}}\normalsize$$ خواهد بود. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} { { m } = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } { H ^ 3 } } } { { 3 0 } } } } = { \left [ { \frac { { k g } } { { { m ^ 5 } } } } \right ] \left [ { { m ^ 2 } } \right ] \left [ { { m ^ 3 } } \right ] } = { \frac { { \left [ { k g } \right ] \cancel { \left [ { { m ^ 5 } } \right ] } } } { { \cancel { \left [ { { m ^ 5 } } \right ] } } } } = { \left [ { k g } \right ] . } $$

مثال ۹

یک مخروط دایره‌ای را به شعاع قاعده $$R$$ و ارتفاع $$H$$ در نظر بگیرید که با چرخش حول محور $$x$$ ایجاد شده است. چگالی مخروط با تابع $$\rho \left( x \right) = kx$$ داده شده است. جرم مخروط را با فرض اینکه مرکز قاعده آن در مبدأ قرار دادشته باشد، به دست آورید.

حل: جرم مخروط از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$\large m = \pi \int \limits _ a ^ b { \rho \left ( x \right ){ f ^ 2 } \left ( x \right ) d x } .$$

معادله خط راست $$y = f\left( x \right)$$ نیز به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { y = f \left ( x \right ) } = { R – \frac { R } { H } x } = { \frac { R } { H } \left ( { H – x } \right ) . }$$

با جایگذاری تابع چگالی $$\rho \left( x \right) = kx$$ و انتگرال‌گیری از $$x = 0$$ تا $$x = H$$، داریم:

$$\large \begin {align*} m & = \pi \int \limits _ 0 ^ H { k x \frac { {{ R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } { { \left ( { H – x } \right ) } ^ 2 } d x } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { x { { \left ( { H – x } \right ) } ^ 2 } d x } } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { x \left ( { { H ^ 2 } – 2 H x + { x ^ 2 } } \right ) d x } } \\ &= { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \int \limits _ 0 ^ H { \left ( { { H ^ 2 } x – 2 H { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) d x } } \\ & = { \frac { { \pi k { R ^ 2 } } } { { { H ^ 2 } } } \left . { \left ( { \frac { { { H ^ 2 } { x ^ 2 } } }{ 2 } – \frac { { 2 H { x ^ 3 } } } { 3 } + \frac { { { x ^ 4 } } } {4 } } \right ) } \right | _ 0 ^ H } \\ & = { \pi k { R ^ 2 } { H ^ 2 } \left ( { \frac { 1 } { 2 } – \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } } \right ) } = { \frac { { 5 \pi k { R ^ 2 } { H ^ 2 } } } { { 1 2 } } . } \end {align*}$$

لازم به ذکر است که اگر شعاع و ارتفاع مخروط برحسب متر، و جرم برحسب کیلوگرم اندازه‌گیری شوند، ضریب $$k$$ برحسب $${\large{\frac{{\text{kg}}}{{{\text{m}^4}}}}\normalsize}$$ خواهد بود.

مثال ۱۰

چگالی هسته درونی زمین تقریباً‌ $$13000\,\large{\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}}\normalsize$$ است. فرض کنید چگالی زمین در نزدیکی سطح آن برابر با چگالی آب، یعنی $$1000\,\large{\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}}\normalsize$$ باشد. اگر چگالی به صورت خطی تغییر کند و شعاع زمین $$6200\,\text{km}$$ باشد، جرم زمین را تخمین بزنید.

حل: ابتدا معادله مربوط به محاسبه جرم یک گوی با توزیع چگالی خطی را به دست می‌آوریم. اگر یک لایه دلخواه با ضخامت $$d r$$ در فاصله $$r$$ از مرکز انتخاب کنیم، حجم برابر خواهد بود با:

$$\large d V = 4 \pi { r ^ 2 } d r .$$

جرم لایه نیز برابر است با:

$$\large { d m = \rho \left ( r \right ) d V } = { 4 \pi \rho \left ( r \right ) { r ^ 2 } d r . }$$

بنابراین، جرم کل گوی با فرمول زیر محاسبه خواهد شد:

$$\large m = 4 \pi \int \limits _ 0 ^ R { \rho \left ( r \right ){ r ^ 2 } d r } .$$

با فرض اینکه چگالی به صورت خطی کاهش پیدا کند، آن را به فرم $$\rho \left( r \right) = a – br$$ می‌نویسیم، که در آن، $$a$$ و $$b$$ ضرایب مثبتی هستند که می‌توان آن‌ها را از شرایط مرزی به دست آورد. در نتیجه، جرم زمین به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \begin {align*} m & = 4 \pi \int \limits _ 0 ^ R { \left ( { a – b r } \right ){ r ^ 2 } d r } = { 4 \pi \int \limits _ 0 ^ R { \left ( { a { r ^ 2 } – b { r ^ 3 } } \right ) d r } } \\ & = { 4 \pi \left . { \left ( { \frac { { a { r ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { b { r ^ 4 } } } { 4 } } \right ) } \right | _ 0 ^ R } = { 4 \pi \left ( { \frac { { a { R ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { b { R ^ 4 } } } { 4 } } \right ) . } \end {align*}$$

اکنون، با استفاده از شرایط مسئله، ضرایب $$a$$ و $$b$$ را به دست می‌آوریم. این شرایط به صورت زیر هستند:

$$\large { \rho \left ( 0 \right ) = 1 3 0 0 0 \frac { { \text {kg} } } { { { \text {m} ^ 3 } } } , \; \; } \kern0pt { \rho \left ( R \right ) = 1 0 0 0 \frac { { \text {kg} } } { { { \text{m} ^ 3 } } } , \; \; } \kern0pt { R = 6 2 0 0 \, \text {km} = 6 . 2 \times 1 0 ^ 6 \, \text {m,} }$$

با استفاده از فرمول دونقطه‌ای یک خط راست، داریم:

$$\large \begin{align*} & \frac { { \rho \left ( r \right ) – \rho \left ( 0 \right ) } } { { \rho \left ( R \right ) – \rho \left( 0 \right ) } } = \frac { { r – 0 } } { { R – 0 } } , \; \; \Rightarrow { \rho \left ( r \right ) = \rho \left ( 0 \right ) + \frac { { \rho \left ( R \right ) – \rho \left ( 0 \right ) } } { R } r } \\ &= { 1 3 0 0 0 + \frac { { 1 0 0 0 – 1 3 0 0 0 } } { { 6 . 2 \times { { 1 0 } ^ 6 } } } r } = { 1 3 0 0 0 – 1 . 9 3 5 \times { 1 0 ^ { – 3 } } r . } \end {align*}$$

بنابراین، $$a = 13000$$ و $$b = 1.935\times{10^{-3}}$$.

اکنون می‌توانیم کل جرم زمین را محاسبه کنیم:

$$\large \begin{align*} m & = 4 \pi \left ( { \frac { { a { R ^ 3 } } } { 3 } – \frac { { b { R ^ 4 } } } { 4 } } \right ) \\ & = { 4 \pi \left [ { \frac { { 1 . 3 \times { { 1 0 } ^ 4 } \times { { \left ( { 6 . 2 \times { { 1 0 } ^ 6 } } \right ) } ^ 3 } } } { 3 } } \right . } - { \left . { \frac { { 1 . 9 3 5 \times { { 1 0 } ^ { – 3 } } \times { { \left ( { 6 . 2 \times { { 1 0 } ^ 6 } } \right ) } ^ 4 } } } { 4 } } \right ] } \\ & = { 4 \pi \left [ { 1 0 3 . 2 8 \times { { 1 0 } ^ { 2 2 } } – 7 1 4 . 8 1 \times { { 1 0 } ^ { 2 1 } } } \right ] } \approx { 4 \times { 1 0 ^ { 2 4 } } \, \text {kg} . } \end {align*}$$

این نتیجه، تقریباً‌ ۳۰ درصد کمتر از جرم واقعی زمین ($$6 \times {10^{24}}\,\text{kg}$$) است. این بدین معنی است که لایه‌های درونی، در واقع چگال‌تر یا متراکم‌تر از تقریب‌های خطی آن است.

اگر به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا علاقه‌مند هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی عمومی ۲ (مرور و حل تمرین)
• مجموعه آموزش‌های فیزیک
• آموزش فیزیک پایه ۱
• کاربردهای انتگرال خطی — همراه با مثال
• انتگرال معین — از صفر تا صد
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های انتگرال

^^