کاربردهای انتگرال خطی — همراه با مثال

۸۸۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۱ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳۲ دقیقه
کاربردهای انتگرال خطی — همراه با مثال

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، انتگرال خطی را معرفی کردیم. انتگرال خطی کاربردهای مختلفی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. در این آموزش، کاربردهای انتگرال خطی در هندسه را بررسی می‌کنیم. به طور خاص، کاربرد انتگرال خطی را در موارد زیر معرفی می‌کنیم:

  • طول منحنی
  • مساحت ناحیه محدود به یک منحنی بسته
  • حجم حاصل از دوران یک منحنی بسته حول یک خط

در ادامه، هر یک از این موارد را توضیح خواهیم داد.

طول یک منحنی

فرض کنید $$C$$ یک منحنی تکه‌ای هموار باشد که در بازه $$ \alpha \le t \le \beta $$ با بردار موقعیت $$ \mathbf{r}\left( t \right) $$ توصیف می‌شود. در این صورت، می‌توان طول منحنی را با انتگرال زیر محاسبه کرد:

$$ \large { L = \int\limits _ C { d s } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left | { \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } \left ( t \right ) } \right | d t } \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } $$

که در آن $$ \large\frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}}\normalsize $$ مشتق و $$x (t) $$، $$y(t)$$ و $$z (t) $$ مؤلفه‌های بردار موقعیت $$ \mathbf{r}\left( t \right) $$ هستند.

اگر منحنی $$C$$ دوبعدی باشد، فرمول طول منحنی به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \large { L = \int \limits _ C { d s} } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left | { \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } \left ( t \right ) } \right | d t } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2} + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } . } $$

اگر منحنی $$C$$ مربوط به نمودار تابع پیوسته و مشتق‌پذیر $$ y = f (x ) $$ در صفحه $$xy $$ باشد، طول منحنی برابر خواهد بود با:

$$ \large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } d x } . $$

در نهایت، اگر منحنی $$C$$ با معادله $$ r = r\left( \theta \right) $$ در بازه $$ \alpha \le \theta \le \beta $$ از مختصات قطبی تعریف شده و $$ r (\theta )$$ در بازه $$ \left[ {\alpha ,\beta } \right] $$ پیوسته و مشتق‌پذیر باشد، طول منحنی با فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$ \large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d r } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } + { r ^ 2 } } d \theta } . $$

مساحت ناحیه محصور در یک منحنی بسته

اگر $$C$$ یک منحنی تکه‌ای هموار بسته در صفحه $$xy $$ باشد (شکل ۱)، مساحت ناحیه $$R$$ محدود به این منحنی، برابر است با:‌

$$ \large { S = \oint \limits _ C { x d y } } = { – \oint \limits _ C { y d x } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ C { x d y – y d x } . } $$

شکل ۱
شکل ۱

در اینجا فرض شده که کانتور $$C$$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد.

اگر منحنی بسته $$C$$ به فرم پارامتری $$ \mathbf { r } \left ( t \right ) = \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right ) $$ باشد، مساحت ناحیه متناظر با آن را می‌توان از فرمول زیر به دست آورد:‌

$$ \large \begin {align*}\large S & = \int \limits _ \alpha ^ \beta { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } d t } = { – \int \limits _ \alpha ^ \beta { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } d t } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left [ { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } } \right . } - { \left . { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } } \right ] d t . } } \end {align*} $$

حجم حاصل از دوران یک منحنی بسته حول محور $$\LARGE{x} $$

فرض کنید $$R$$ ناحیه‌ای در نیم‌صفحه $$ y \ge 0 $$ باشد که با دوران پادساعتگرد منحنی تکه‌ای هموار بسته $$C$$ محصور شده است.

همچنین فرض کنید حجم $$ \Omega $$ با چرخش ناحیه $$R$$ حول محور $$x$$ تشکیل شده باشد (شکل ۲).

شکل ۲
شکل ۲

در نتیجه، حجم به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { V = – \pi \oint \limits _ C { { y ^ 2 } d x } } = { – 2 \pi \oint \limits _ C { x y d y} } = { – \frac { \pi }{ 2 } \oint \limits _ C { 2 x y d y + { y ^ 2 } d x } . } $$

مثال‌های حل شده کاربردهای انتگرال خطی

در ادامه، چند مثال حل شده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

طول کمان منحنی $$ a{y^2} = {x^3} $$ را برای $$ 0 \le x \le 5a $$ و $$ y \ge 0 $$ به دست آورید.

حل: می‌توانیم تابع را به صورت $$ {y^2} = {\large\frac{{{x^3}}}{a}\normalsize} $$ یا $$ y = \pm \sqrt {\large\frac{{{x^3}}}{a}\normalsize} $$ بنویسیم. از آنجایی که $$ y \ge 0 $$ است، فقط ریشه مثبت معادله منحنی را در نظر می‌گیریم (شکل ۳).

شکل ۳
شکل ۳

بنابراین، طول کمان به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
L & = \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x }
= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { d } { { d x } } \left ( { \sqrt { \frac { { { x ^ 3 } } } { a } } } \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } }
\\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { a } } } { { 2 \sqrt { \frac { { { x ^ 3 } } } { a } } } } } \right ] } ^ 2 } } d x } }
= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { 3 \sqrt x } } { { 2 \sqrt a } } } \right ] } ^ 2 } } d x } }
\\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + \frac { { 9 x } } { { 4 a } } } d x } }
= { \frac { 1 } { { 2 \sqrt a } } \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 4 a + 9 x } d x } }
\\ & = { \frac { 1 } { { 1 8 \sqrt a } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \left ( { 9 x + 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 3 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { x = 0 } ^ { 5 a } } \right ] }
\\ &= { \frac { 1 } { { 2 7 \sqrt a } } \left [ { { { \left ( { 4 5 a + 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } – { { \left ( { 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } \right ] } \\
& = { \frac { 1 } { { 2 7 \sqrt a } } \left [ { \sqrt { { { \left ( { 4 9 a } \right ) } ^ 3 } } – \sqrt { { { \left ( { 4 a } \right ) } ^ 3 } } } \right] } \\
& = { \frac { a } {{ 2 7 } } \left ( { \sqrt { {{ 4 9 } ^ 3 } } – \sqrt { { 4 ^ 3 } } } \right ) }
= { \frac { a } { { 2 7 } } \left ( { { 7 ^ 3 } – { 2 ^ 3 } } \right ) }
= { \frac { { 3 3 5 } } { { 2 7 } } . }
\end {align*} $$

مثال ۲

طول ستاره‌گون $$ { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { y ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } = { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ستاره‌گون در شکل ۴ نشان داده شده است.

شکل ۴
شکل ۴

با توجه به تقارن ستاره‌گون، می‌توانیم طول کمان ربع اول را محاسبه کرده و نتیجه را در $$4$$ ضرب کنیم. معادله ستاره‌گون در ربع اول، به صورت زیر است:‌

$$ \large { y = { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } , \; \; } \kern-0.3pt \, \, \, \, \kern-0.3pt { x \in \left [ { 0 , a } \right ] . \; } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { \frac { { d y } } { { d x } } \text { = } } \kern0pt { \frac { 3 } { 2 } { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left ( { – \frac { 2 } { 3 } { x^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } = { – \frac { { { { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } } {{ { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } } $$

همچنین خواهیم داشت:

$$ \large { { \left ( { \frac { { d y } } {{ d x } } } \right ) ^ 2 } \text { = } } \kern0pt { { \left [ { – \frac { { { { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } }{ { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } } \right ] ^ 2 } } = { \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } } = { \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } – 1 . } $$

در نتیجه، طول ستاره‌گون برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = 4 \int \limits _ 0 ^ a { \sqrt { 1 + \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } – 1 } \, d x } = { 4 \int \limits _ 0 ^ a { \frac { { { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } } d x } } = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \int \limits _ 0 ^ a { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } d x } } \\ & = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ a } \right ] } = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \cdot \frac { 3 } { 2 } { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } = { 6 a . }
\end {align*} $$

مثال ۳

طول یک منحنی فضایی را که با معادله پارامتری $$ \mathbf { r } \left ( t \right ) = \left ( { 3 t , 3 { t ^ 2 } , 2 { t ^ 3 } } \right ) $$ در $$ 0 \le t \le 1 $$ داده شده است، به دست آورید.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { L = \int \limits _ C { d s } \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
L & = \int \limits _ C { d s } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \left ( { 6 t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { 6 { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 9 + 3 6 { t ^ 2 } + 3 6 { t ^ 4 } } d t } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { { { \left ( { 3 + 6 { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { 3 + 6 { t ^ 2 } } \right ) d t } } = { \left . { \left ( { 3 t + 2 { t ^ 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { 5 . }
\end {align*} $$

مثال ۴

طول کمان یک چرخ‌زاد را با معادله پارامتری $$ \mathbf{r}\left( t \right) = \big( {a\left( {t – \sin t} \right),} {a\left( {1 – \cos t} \right)} \big)  $$ برای $$ 0 \le t \le 2\pi $$ به دست آورید (شکل ۵).

شکل ۵
شکل ۵

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { L = \int \limits _ C { d s } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } . } $$

مشتق‌های معادله بالا به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
\frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { { d \left ( { a \left ( { t – \sin t } \right ) } \right ) } } { { d t } } = { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) , } \\
\frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { { d \left ( { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ) } } { { d t } } = { a \sin t . }
\end {align*} $$

بنابراین، طول چرخ‌زاد برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { { { \left ( { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { a \sin t } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 1 – 2 \cos t + { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } \, d t } } = { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 2 – 2 \cos t } \, d t} } \\ & = { a \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 1 – \cos t } \, d t } } = { a \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 2 { { \sin } ^ 2 } \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) } d t } } = { 2 a \int \limits _ 0 ^ 2 { \sin \frac { t } { 2 } d t } } \\ & = { 2 a \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos \frac { t } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { t = 0 } ^ { 2 \pi } } \right ] } = { 4 a \left ( { – \cos \pi + \cos 0 } \right ) } = { 8 a . }
\end {align*} $$

مثال ۵

طول سهمی $$ y = {x^2} $$ را برای $$ 0 \le x \le 1 $$ محاسبه کنید.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } $$

بنابراین، داریم:

$$ \large { L } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { d x } } } \right ] } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + 4 { x ^ 2 } } d x } . } $$

برای محاسبه انتگرال، از تغییر متغیر $$ x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}\tan t $$ و در نتیجه $$ dx = {\large\frac{1}{2}\normalsize} {\large\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\normalsize} $$‌ استفاده می‌کنیم. بنابراین، تساوی‌های $$ 2x = \tan t $$‌ و $$ t = \arctan \left( {2x} \right) $$ را خواهیم داشت. وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ t = \arctan 0 = 0 $$ و وقتی $$ x = 1 $$ است، $$ t = \arctan 2 $$ خواهد بود.

بنابراین، طول سهمی برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = { \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \sqrt { 1 + { { \tan } ^ 2 } t } \cdot \frac { { d t } } { { 2 { { \cos } ^ 2 } t } } } } - { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { d t } } { { { { \cos } ^ 3 } t } } } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { \cos t d t } } { { { { \cos } ^ 4 } t } } } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { d \left ( { \sin t } \right ) } } { { { { \left ( { 1 – { \sin ^ 2 } t } \right ) } ^ 2 } } } } . }
\end {align*} $$

از یک تغییر متغیر دیگر نیز استفاده می‌کنیم. بنابراین، $$ \sin t = z $$ را در نظر می‌گیریم. اگر $$ t = 0$$ باشد، آنگاه $$z = 0$$ خواهد بود. اگر $$ t = \arctan 2 $$ باشد، داریم:

$$ \large { z = \sin \left ( { \arctan 2 } \right ) } = { \sqrt { \frac { { { { \left [ { \tan \left ( { \arctan 2 } \right ) } \right ] } ^ 2 } } } { { { { \left [ { \tan \left ( { \arctan 2 } \right ) } \right ] } ^ 2 } + 1 } } } } = { \sqrt { \frac {{ { 2 ^ 2 } } } { { { 2 ^ 2 } + 1 } } } } = { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } . } $$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large { \sin \alpha } = { \sqrt { \frac { { { { \tan } ^ 2 } \alpha } } { { { { \tan } ^ 2 } \alpha + 1 } } } . } $$

در نتیجه، فرمول محاسبه طول منحنی به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ \large { L = \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – { z ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } . } $$

اکنون انتگرال‌ده اخیر را به کسرهای جزئی بسط می‌دهیم:

$$ { \frac { 1 } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } }
= { \frac { A } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } } + \frac { B } { { 1 – z } } }
+ { \frac {C } { { { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } + { \frac { D } { { 1 + z } } } $$

$$ \large \begin {align*}
1 & = A { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 + { B { \left ( { 1 – z } \right ) } { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 }
+ { { C { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } + { D { \left ( { 1 + z } \right ) } { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 , } \\
1 & = A \left ( { 1 + 2 z + { z ^ 2 } } \right ) + \left ( { B – B z } \right ) \left ( { 1 + 2 z + { z ^ 2 } } \right )
+ { C \left ( { 1 – 2 z + { z ^ 2 } } \right ) } \\ & \, \,\,\,\,\,\,\, + { \left ( { D + D z } \right ) \left ( { 1 – 2 z + { z ^ 2 } } \right ) , } \\
1 & = A + 2 A z + A { z ^ 2 }
+ { B – B z + 2 B z – 2 B { z ^ 2 } + B { z ^ 2 } – B { z ^ 3 } }
\\ & \,\,\,\,\,\,\,+ { C – 2 C z + C { z ^ 2 } }
+ { D + D z – 2 D z – 2 D { z ^ 2 } + D { z ^ 2 } + D { z ^ 3 } . }
\end {align*} $$

از روابط بالا، به دستگاه معادلات زیر می‌رسیم:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
A + B + C + D = 1 \\
2 A + B – 2 C – 2 D = 0 \\
A – B + C – D = 0 \\
– B + D = 0
\end{array} \right . . $$

با حل دستگاه معادلات بالا، ضرایب به دست می‌آید:

$$ \large {A = B = C = D }={ \frac{1}{4}.} $$

بنابراین، طول منحنی برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
L & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 }{ { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } } \\ & = { { \frac { 1 } { 8 } \left [ { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { 1 – z } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 }{ { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { 1 + z } } } } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { 8 } \left [ { \left . {\left( {\frac{1}{{1 – z}} – \ln \left| {1 – z} \right| }\right.}\right.}-{\left.{\left.{ \frac{1}{{1 + z}} }\right.}\right.}+{\left.{\left.{ \ln \left| {1 + z} \right|} \right)} \right|_0^{\large\frac{2}{{\sqrt 5 }}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{8}\left[ {\left. {\left( {\frac{{2z}}{{1 – {z^2}}} – \ln \left| {\frac{{1 + z}}{{1 – z}}} \right|} \right)} \right|_0^{\large\frac{2}{{\sqrt 5 }}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{8}\left[ {\frac{{2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{1 – {{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} – \ln \left| {\frac{{1 + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{1 – \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}} \right|}\right] } = {\frac{1}{8}\left( {4\sqrt 5 + \ln \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 – 2}}} \right) }\\ & = {\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{1}{8}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}}}{{5 – 4}} } = {\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) }\approx{ 1,48.}
\end {align*} $$

مثال ۶

طول دل‌گونی را محاسبه کنید که معادله آن در مختصات قطبی به صورت زیر است:

$$ \large r = 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) $$

شکل ۶
شکل ۶

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { r ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d r } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } . $$

بنابراین، طول دل‌گون را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {align*}
L & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \Big [ { { { \left ( { 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } \right ) } ^ 2 } + } } } \kern0pt { { { { { \left ( { \frac { { d \left ( { 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } \right ) } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \theta } }
\\ & = { 5 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 1 + \cos \theta } d \theta } }
= { 5 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 2 { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } } \\ &
= { 1 0 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } . }
\end {align*} $$

توجه کنید که وقتی $$ 0 \le \theta \le \pi $$ باشد، $$ {\cos {\large\frac{\theta }{2}\normalsize}} \ge 0 $$ و وقتی $$ \pi \le \theta \le 2\pi $$ باشد، $$ {\cos {\large\frac{\theta }{2}\normalsize}} \le 0 $$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
{ \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } & = { \cos \frac { \theta } { 2 }, \; \; \; } \kern-0.3pt {\;\;0 \le \theta \le \pi ,} \\
{ \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } & = { - \cos \frac { \theta } { 2 }, \; \; \; } \kern-0.3pt \; \;\pi \le \theta \le 2\pi .
\end {align*} $$

بنابراین، انتگرال را به دو انتگرال تفکیک می‌کنیم و طول دلگون را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
L & = 1 0 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta }
= { { 1 0 \left [ { \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos \frac { \theta }{ 2 } d \theta } } \right . } + { \left . { \int \limits _ \pi ^ { 2 \pi } { \left ( { – \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) d \theta } } \right ] } } \\
& = { { 1 0 \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin \frac { \theta } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { \theta = 0 } ^ \pi } \right . } - { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \sin \frac { \theta } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { \theta = \pi } ^ { 2 \pi } } \right ] } }
= { 2 0 \left [ { \left ( { \sin \frac { \pi } { 2 } – \sin 0 } \right ) } \right . } - { \left . { \left ( { \sin \pi – \sin \frac { \pi } { 2 } } \right ) } \right ] } \\
& = { 2 0 \left [ { \left ( { 1 – 0 } \right ) – \left ( { 0 – 1 } \right ) } \right ] } = { 4 0 . }
\end {align*} $$

مثال ۷

مساحت ناحیه محدود به سهمی $$ y = {\large\frac{1}{x}\normalsize} $$، محور $$x$$ و خطوط عمودی $$x = 1$$ و $$ x= 2 $$ را به دست آورید (شکل ۷).

شکل ۷
شکل ۷

حل: می‌توانیم مساحت را با استفاده از انتگرال خطی زیر محاسبه کنیم:

$$ \large { S = – \oint \limits _ C { y d x } } = { – \int \limits _ { A B } { y d x } – \int \limits _ { B D } { y dx } } - { \int \limits _ { D E } { y d x } } - { \int \limits _ { E A } { y d x } . } $$

حاصل هر یک از انتگرال‌ها را جداگانه به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
- \int \limits _ { A B } { y d x } & = – \int \limits _ 1 ^ 2 { 0 \cdot d x } = { 0 , } \\
- \int \limits _ { B D } { y d x } & = – \int \limits _ 0 ^ 0 { y d x } = { 0 , } \\
- \int \limits _ { D E } { y d x } & = – \int \limits _ 2 ^ 1 { \frac { { d x } } { x } } = { \left . { \left ( { – \ln x } \right ) } \right | _ 2 ^ 1 } = { – \ln 1 + \ln 2 } = { \ln 2 , } \\
- \int \limits _ { E A } { y d x } & = – \int \limits _ 0 ^ 0 { y d x } = { 0 . }
\end {align*} $$

بنابراین، مساحت ناحیه، برابر است با:

$$ \large S = \ln 2 . $$

مثال ۸

مساحت ناحیه محدود به بیضی زیر را به دست آورید:

$$ \large x = a \cos t , y = b \sin t , 0 \le t \le 2 \pi $$

شکل ۸
شکل ۸

حل: ابتدا از فرمول $$ { S = \oint \limits _ C { x d y } } { = \int \limits _ \alpha ^ \beta { x \left ( t \right ) { \large \frac { { d y } }{ { d t } } \normalsize } d t } . } $$ استفاده می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {align*}
S & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { a \cos t \frac { { d \left ( { b \sin t } \right ) }} { { d t } } d t } = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \cos } ^ 2 } t d t } } \\ & = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { 1 + \cos 2 t } } { 2 } d t } } = { \frac { { a b } }{ 2 } \left [ { \left . { \left ( { t + \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left ( { 2 \pi + 0 } \right ) – 0 } \right ] } = { \pi a b . }
\end {align*} $$

علاوه بر فرمول بالا، می‌توانیم از دو فرمول زیر نیز برای محاسبه مساحت مورد نظر استفاده کنیم:

$$ \large \begin {align*}
S & = – \oint \limits _ C { y d x } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } d t } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { b \sin t \frac { { d \left ( { a \cos t } \right ) } } { { d t } } d t } } \\ & = { – a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { – { { \sin } ^ 2 } t } \right ) d t } } = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { 1 – \cos 2 t } } { 2 } d t } } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { t – \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left ( { 2 \pi – 0 } \right ) – 0 } \right ] } = { \pi a b . }
\end {align*} $$

$$ \large \begin {align*}
S & = \frac { 1 } { 2 } \oint \limits _ C { x d y – y d x } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left [ { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } – y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } } \right ] d t } } \\ & = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left [ { a \cos t \frac { { d \left ( { b \sin t } \right ) } } { { d t } } } \right . } } - { { \left . { b \sin t \frac { { d \left ( { a \cos t } \right) } } { {d t } }} \right ] d t} } } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } {\left( {{{\cos } ^ 2 } t + { \sin ^ 2 } t } \right ) d t} } = { \frac { { a b }} { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d t } } = {\frac { { a b } }{ 2 } \cdot 2 \pi } = {\pi ab.}
\end {align*} $$

مثال ۹

حجمی را که از دوران ناحیه محصور منحنی $$ y = 2 – \sin x $$ و خطوط $$ x = 0 $$، $$ x = 2\pi $$ و $$y = 0$$ حول محور $$x$$ تشکیل می‌شود، به دست آورید.

حل: ناحیه $$R$$ در شکل ۹ نشان داده شده است.

شکل ۹
شکل ۹

با فرمول زیر می‌توان حجم مورد نظر را به دست آورد:

$$ \large { V = – \pi \oint \limits _ C { { y ^ 2 } d x } } = { – \pi \left [ { \int \limits _ { O A } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { A B } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { B D } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { D O } { { y ^ 2 } d x } } \right ] . } $$

محاسبه تک تک انتگرال‌ها به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
\int \limits _ { O A } { { y ^ 2 } d x } & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { 0 d x } = 0 , \\
\int \limits _ { A B } { { y ^ 2 } d x } & = \int \limits _ { 2 \pi } ^ { 2 \pi } { { y ^ 2 } d x } = 0 , \\
{ \int \limits _ { B D } { { y ^ 2 } d x } } & = { \int \limits _ { 2 \pi } ^ 0 { { { \left ( { 2 – \sin x } \right ) } ^ 2 } d x } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \left ( { 2 – \sin x } \right ) } ^ 2 } d x } } \\ & = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 – 4 \sin x + { { \sin } ^ 2 } x } \right ) d x } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 – 4 \sin x } \right . } + { \left . { \frac { { 1 – \cos 2 x } } { 2 } } \right ) d x } } \\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 \sin x – \frac { 9 } { 2 } + \frac { { \cos 2 x } } { 2 } } \right ) d x } } = { \left . { \left ( { – 4 \cos x – \frac { 9 } { 2 } x + \frac { { \sin 2 x } } { 2} } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \\ & = { \left ( { – 4 – 9 \pi + 0 } \right ) } - { \left ( { – 4 – 0 + 0 } \right ) } = { – 9 \pi , } \\
\int \limits_{DO} {y^2}dx & = \int \limits_0^0 {{y^2}dx} = 0.
\end {align*} $$

بنابراین، حجم مورد نظر برابر است با:

$$ \large {V = – \pi \left( {0 + 0 – 9\pi + 0} \right) }={ 9{\pi ^2}.} $$

مثال ۱۰

حجم بیضی‌واری را به دست آورید که با دوران بیضی با نیم‌محورهای $$a$$ و $$b$$ حول محور $$x$$ تشکیل شده است (شکل ۱۰).

شکل ۱۰
شکل ۱۰

حل: معادلات پارامتری بیضی به صورت زیر هستند:

$$ \large { x = a \cos t , \; \; \; } \kern-0.3pt { y = b \sin t . } $$

می‌توانیم نیمه بالایی بیضی را برای $$ y \ge 0 $$ در نظر بگیریم. در نتیجه، حجم بیضی‌وار با نیم‌محورهای $$a$$ و $$b$$ به صورت زیر است:‌

$$ \large \begin {align*}
V & = – \pi \int \limits _ C { { y ^ 2 } d x }
= { – \pi \int \limits _ { A O B } { { y ^ 2 } d x } – \pi \int \limits _ { B O A } { { y ^ 2} d x } } \\ &
= { – \pi \int \limits _ { – a } ^ a { { 0 ^ 2 } d x } – \pi \int \limits _ a ^ { – a } { { y ^ 2 } d x } } = { – \pi \int \limits _ a ^ { – a } { { y ^ 2 } d x } , }
\end {align*} $$

که در آن، $$ y (x) $$ معادله نیمه بالایی بیضی را نشان می‌دهد. حجم را می‌توان به فرم پارامتری زیر محاسبه کرد:

$$ \large \begin {align*}
V & = – \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \left ( { y \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } \frac { { d x } } { { d t} } d t } = { – \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \left ( { b \sin t } \right ) } ^ 2 } \frac { { d \left ( { a \cos t } \right ) } } { { d t } } d t } } \\ & = { – \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } t \left ( { – \sin t } \right ) d t } } = { – \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } t \, d \left ( { \cos t } \right ) } } \\ & = { \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { { \cos ^ 2 } t – 1 } \right ) d \left ( { \cos t } \right ) } } = { \pi a { b ^ 2 } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } t } } { 3 } – \cos t } \right ) } \right | _0 ^ \pi } \right ] } \\ & = { { \pi a { b ^ 2 } \left [ { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } \pi } } { 3 } – \cos \pi } \right ) } \right . } - { \left . { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } 0 } } { 3 } – \cos 0 } \right ) } \right ] } } \\ & = {{\pi a{b^2}\left[ {\left( { – \frac{1}{3} + 1} \right) }\right.} - { \left.{ \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)} \right] }} = {\frac{{4\pi a{b^2}}}{3}.}
\end {align*} $$

بر اساس رای ۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *