کاربردهای انتگرال خطی — همراه با مثال

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، انتگرال خطی را معرفی کردیم. انتگرال خطی کاربردهای مختلفی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. در این آموزش، کاربردهای انتگرال خطی در هندسه را بررسی می‌کنیم. به طور خاص، کاربرد انتگرال خطی را در موارد زیر معرفی می‌کنیم:

• طول منحنی
• مساحت ناحیه محدود به یک منحنی بسته
• حجم حاصل از دوران یک منحنی بسته حول یک خط

در ادامه، هر یک از این موارد را توضیح خواهیم داد.

طول یک منحنی

فرض کنید $$C$$ یک منحنی تکه‌ای هموار باشد که در بازه $$\alpha \le t \le \beta$$ با بردار موقعیت $$\mathbf{r}\left( t \right)$$ توصیف می‌شود. در این صورت، می‌توان طول منحنی را با انتگرال زیر محاسبه کرد:

$$\large { L = \int\limits _ C { d s } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left | { \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } \left ( t \right ) } \right | d t } \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } }$$

که در آن $$\large\frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}}\normalsize$$ مشتق و $$x (t)$$، $$y(t)$$ و $$z (t)$$ مؤلفه‌های بردار موقعیت $$\mathbf{r}\left( t \right)$$ هستند.

اگر منحنی $$C$$ دوبعدی باشد، فرمول طول منحنی به صورت زیر در خواهد آمد:

$$\large { L = \int \limits _ C { d s} } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left | { \frac { { d \mathbf { r } } } { { d t } } \left ( t \right ) } \right | d t } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2} + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } . }$$

اگر منحنی $$C$$ مربوط به نمودار تابع پیوسته و مشتق‌پذیر $$y = f (x )$$ در صفحه $$xy$$ باشد، طول منحنی برابر خواهد بود با:

$$\large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } d x } .$$

در نهایت، اگر منحنی $$C$$ با معادله $$r = r\left( \theta \right)$$ در بازه $$\alpha \le \theta \le \beta$$ از مختصات قطبی تعریف شده و $$r (\theta )$$ در بازه $$\left[ {\alpha ,\beta } \right]$$ پیوسته و مشتق‌پذیر باشد، طول منحنی با فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$\large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d r } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } + { r ^ 2 } } d \theta } .$$

مساحت ناحیه محصور در یک منحنی بسته

اگر $$C$$ یک منحنی تکه‌ای هموار بسته در صفحه $$xy$$ باشد (شکل ۱)، مساحت ناحیه $$R$$ محدود به این منحنی، برابر است با:‌

$$\large { S = \oint \limits _ C { x d y } } = { – \oint \limits _ C { y d x } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ C { x d y – y d x } . }$$

در اینجا فرض شده که کانتور $$C$$ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد.

اگر منحنی بسته $$C$$ به فرم پارامتری $$\mathbf { r } \left ( t \right ) = \left ( { x \left ( t \right ) , y \left ( t \right ) } \right )$$ باشد، مساحت ناحیه متناظر با آن را می‌توان از فرمول زیر به دست آورد:‌

$$\large \begin {align*}\large S & = \int \limits _ \alpha ^ \beta { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } d t } = { – \int \limits _ \alpha ^ \beta { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } d t } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ \alpha ^ \beta { \left [ { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } } \right . } - { \left . { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } } \right ] d t . } } \end {align*}$$

حجم حاصل از دوران یک منحنی بسته حول محور $$\LARGE{x}$$

فرض کنید $$R$$ ناحیه‌ای در نیم‌صفحه $$y \ge 0$$ باشد که با دوران پادساعتگرد منحنی تکه‌ای هموار بسته $$C$$ محصور شده است.

همچنین فرض کنید حجم $$\Omega$$ با چرخش ناحیه $$R$$ حول محور $$x$$ تشکیل شده باشد (شکل ۲).

در نتیجه، حجم به صورت زیر خواهد بود:

$$\large { V = – \pi \oint \limits _ C { { y ^ 2 } d x } } = { – 2 \pi \oint \limits _ C { x y d y} } = { – \frac { \pi }{ 2 } \oint \limits _ C { 2 x y d y + { y ^ 2 } d x } . }$$

مثال‌های حل شده کاربردهای انتگرال خطی

در ادامه، چند مثال حل شده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

طول کمان منحنی $$a{y^2} = {x^3}$$ را برای $$0 \le x \le 5a$$ و $$y \ge 0$$ به دست آورید.

حل: می‌توانیم تابع را به صورت $${y^2} = {\large\frac{{{x^3}}}{a}\normalsize}$$ یا $$y = \pm \sqrt {\large\frac{{{x^3}}}{a}\normalsize}$$ بنویسیم. از آنجایی که $$y \ge 0$$ است، فقط ریشه مثبت معادله منحنی را در نظر می‌گیریم (شکل ۳).

بنابراین، طول کمان به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {align*} L & = \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } = { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { d } { { d x } } \left ( { \sqrt { \frac { { { x ^ 3 } } } { a } } } \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } } \\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { \frac { { 3 { x ^ 2 } } } { a } } } { { 2 \sqrt { \frac { { { x ^ 3 } } } { a } } } } } \right ] } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { 3 \sqrt x } } { { 2 \sqrt a } } } \right ] } ^ 2 } } d x } } \\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 1 + \frac { { 9 x } } { { 4 a } } } d x } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt a } } \int \limits _ 0 ^ { 5 a } { \sqrt { 4 a + 9 x } d x } } \\ & = { \frac { 1 } { { 1 8 \sqrt a } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \left ( { 9 x + 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 3 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { x = 0 } ^ { 5 a } } \right ] } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 7 \sqrt a } } \left [ { { { \left ( { 4 5 a + 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } – { { \left ( { 4 a } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } \right ] } \\ & = { \frac { 1 } { { 2 7 \sqrt a } } \left [ { \sqrt { { { \left ( { 4 9 a } \right ) } ^ 3 } } – \sqrt { { { \left ( { 4 a } \right ) } ^ 3 } } } \right] } \\ & = { \frac { a } {{ 2 7 } } \left ( { \sqrt { {{ 4 9 } ^ 3 } } – \sqrt { { 4 ^ 3 } } } \right ) } = { \frac { a } { { 2 7 } } \left ( { { 7 ^ 3 } – { 2 ^ 3 } } \right ) } = { \frac { { 3 3 5 } } { { 2 7 } } . } \end {align*}$$

مثال ۲

طول ستاره‌گون $${ x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { y ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } = { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } }$$ را محاسبه کنید.

حل: ستاره‌گون در شکل ۴ نشان داده شده است.

با توجه به تقارن ستاره‌گون، می‌توانیم طول کمان ربع اول را محاسبه کرده و نتیجه را در $$4$$ ضرب کنیم. معادله ستاره‌گون در ربع اول، به صورت زیر است:‌

$$\large { y = { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } , \; \; } \kern-0.3pt \, \, \, \, \kern-0.3pt { x \in \left [ { 0 , a } \right ] . \; }$$

بنابراین، داریم:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } \text { = } } \kern0pt { \frac { 3 } { 2 } { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } \left ( { – \frac { 2 } { 3 } { x^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } = { – \frac { { { { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } } {{ { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } }$$

همچنین خواهیم داشت:

$$\large { { \left ( { \frac { { d y } } {{ d x } } } \right ) ^ 2 } \text { = } } \kern0pt { { \left [ { – \frac { { { { \left ( { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } }{ { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } } \right ] ^ 2 } } = { \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } } = { \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } – 1 . }$$

در نتیجه، طول ستاره‌گون برابر است با:

$$\large \begin {align*} L & = 4 \int \limits _ 0 ^ a { \sqrt { 1 + \frac { { { a ^ { \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } – 1 } \, d x } = { 4 \int \limits _ 0 ^ a { \frac { { { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } } { { { x ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } } d x } } = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \int \limits _ 0 ^ a { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } d x } } \\ & = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } { { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) } \right | _ 0 ^ a } \right ] } = { 4 { a ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } \cdot \frac { 3 } { 2 } { a ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } = { 6 a . } \end {align*}$$

مثال ۳

طول یک منحنی فضایی را که با معادله پارامتری $$\mathbf { r } \left ( t \right ) = \left ( { 3 t , 3 { t ^ 2 } , 2 { t ^ 3 } } \right )$$ در $$0 \le t \le 1$$ داده شده است، به دست آورید.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { L = \int \limits _ C { d s } \text { = } } \kern0pt { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d z } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } }$$

بنابراین، داریم:

$$\large \begin {align*} L & = \int \limits _ C { d s } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \left ( { 6 t } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { 6 { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 9 + 3 6 { t ^ 2 } + 3 6 { t ^ 4 } } d t } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { { { \left ( { 3 + 6 { t ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \left ( { 3 + 6 { t ^ 2 } } \right ) d t } } = { \left . { \left ( { 3 t + 2 { t ^ 3 } } \right ) } \right | _ 0 ^ 1 } = { 5 . } \end {align*}$$

مثال ۴

طول کمان یک چرخ‌زاد را با معادله پارامتری $$\mathbf{r}\left( t \right) = \big( {a\left( {t – \sin t} \right),} {a\left( {1 – \cos t} \right)} \big)$$ برای $$0 \le t \le 2\pi$$ به دست آورید (شکل ۵).

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { L = \int \limits _ C { d s } } = { \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left ( { \frac { { d x } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } ^ 2 } } d t } . }$$

مشتق‌های معادله بالا به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} \frac { { d x } } { { d t } } & = \frac { { d \left ( { a \left ( { t – \sin t } \right ) } \right ) } } { { d t } } = { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) , } \\ \frac { { d y } } { { d t } } & = \frac { { d \left ( { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ) } } { { d t } } = { a \sin t . } \end {align*}$$

بنابراین، طول چرخ‌زاد برابر است با:

$$\large \begin {align*} L & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { { { \left ( { a \left ( { 1 – \cos t } \right ) } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { a \sin t } \right ) } ^ 2 } } d t } } \\ & = { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 1 – 2 \cos t + { { \cos } ^ 2 } t + { { \sin } ^ 2 } t } \, d t } } = { \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 2 – 2 \cos t } \, d t} } \\ & = { a \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 1 – \cos t } \, d t } } = { a \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ 2 { \sqrt { 2 { { \sin } ^ 2 } \left ( { \frac { t } { 2 } } \right ) } d t } } = { 2 a \int \limits _ 0 ^ 2 { \sin \frac { t } { 2 } d t } } \\ & = { 2 a \left [ { \left . { \left ( { – \frac { { \cos \frac { t } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { t = 0 } ^ { 2 \pi } } \right ] } = { 4 a \left ( { – \cos \pi + \cos 0 } \right ) } = { 8 a . } \end {align*}$$

مثال ۵

طول سهمی $$y = {x^2}$$ را برای $$0 \le x \le 1$$ محاسبه کنید.

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x }$$

بنابراین، داریم:

$$\large { L } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { { \left [ { \frac { { d \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } } { { d x } } } \right ] } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + { { \left ( { 2 x } \right ) } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 1 { \sqrt { 1 + 4 { x ^ 2 } } d x } . }$$

برای محاسبه انتگرال، از تغییر متغیر $$x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}\tan t$$ و در نتیجه $$dx = {\large\frac{1}{2}\normalsize} {\large\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\normalsize}$$‌ استفاده می‌کنیم. بنابراین، تساوی‌های $$2x = \tan t$$‌ و $$t = \arctan \left( {2x} \right)$$ را خواهیم داشت. وقتی $$x = 0$$ باشد، $$t = \arctan 0 = 0$$ و وقتی $$x = 1$$ است، $$t = \arctan 2$$ خواهد بود.

بنابراین، طول سهمی برابر است با:

$$\large \begin {align*} L & = { \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \sqrt { 1 + { { \tan } ^ 2 } t } \cdot \frac { { d t } } { { 2 { { \cos } ^ 2 } t } } } } - { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { d t } } { { { { \cos } ^ 3 } t } } } } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { \cos t d t } } { { { { \cos } ^ 4 } t } } } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \arctan 2 } { \frac { { d \left ( { \sin t } \right ) } } { { { { \left ( { 1 – { \sin ^ 2 } t } \right ) } ^ 2 } } } } . } \end {align*}$$

از یک تغییر متغیر دیگر نیز استفاده می‌کنیم. بنابراین، $$\sin t = z$$ را در نظر می‌گیریم. اگر $$t = 0$$ باشد، آنگاه $$z = 0$$ خواهد بود. اگر $$t = \arctan 2$$ باشد، داریم:

$$\large { z = \sin \left ( { \arctan 2 } \right ) } = { \sqrt { \frac { { { { \left [ { \tan \left ( { \arctan 2 } \right ) } \right ] } ^ 2 } } } { { { { \left [ { \tan \left ( { \arctan 2 } \right ) } \right ] } ^ 2 } + 1 } } } } = { \sqrt { \frac {{ { 2 ^ 2 } } } { { { 2 ^ 2 } + 1 } } } } = { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } . }$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large { \sin \alpha } = { \sqrt { \frac { { { { \tan } ^ 2 } \alpha } } { { { { \tan } ^ 2 } \alpha + 1 } } } . }$$

در نتیجه، فرمول محاسبه طول منحنی به صورت زیر در خواهد آمد:

$$\large { L = \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – { z ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } . }$$

اکنون انتگرال‌ده اخیر را به کسرهای جزئی بسط می‌دهیم:

$${ \frac { 1 } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { A } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } } + \frac { B } { { 1 – z } } } + { \frac {C } { { { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } + { \frac { D } { { 1 + z } } }$$

$$\large \begin {align*} 1 & = A { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 + { B { \left ( { 1 – z } \right ) } { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } + { { C { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } + { D { \left ( { 1 + z } \right ) } { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 , } \\ 1 & = A \left ( { 1 + 2 z + { z ^ 2 } } \right ) + \left ( { B – B z } \right ) \left ( { 1 + 2 z + { z ^ 2 } } \right ) + { C \left ( { 1 – 2 z + { z ^ 2 } } \right ) } \\ & \, \,\,\,\,\,\,\, + { \left ( { D + D z } \right ) \left ( { 1 – 2 z + { z ^ 2 } } \right ) , } \\ 1 & = A + 2 A z + A { z ^ 2 } + { B – B z + 2 B z – 2 B { z ^ 2 } + B { z ^ 2 } – B { z ^ 3 } } \\ & \,\,\,\,\,\,\,+ { C – 2 C z + C { z ^ 2 } } + { D + D z – 2 D z – 2 D { z ^ 2 } + D { z ^ 2 } + D { z ^ 3 } . } \end {align*}$$

از روابط بالا، به دستگاه معادلات زیر می‌رسیم:

$$\large \left \{ \begin {array} { l } A + B + C + D = 1 \\ 2 A + B – 2 C – 2 D = 0 \\ A – B + C – D = 0 \\ – B + D = 0 \end{array} \right . .$$

با حل دستگاه معادلات بالا، ضرایب به دست می‌آید:

$$\large {A = B = C = D }={ \frac{1}{4}.}$$

بنابراین، طول منحنی برابر است با:

$$\large \begin {align*} L & = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 }{ { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } } \\ & = { { \frac { 1 } { 8 } \left [ { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 – z } \right ) } ^ 2 } } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { 1 – z } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 } { { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { { { \left ( { 1 + z } \right ) } ^ 2 } } } } } \right . } + { \left . { \int \limits _ 0 ^ { \large \frac { 2 }{ { \sqrt 5 } } \normalsize } { \frac { { d z } } { { 1 + z } } } } \right ] } } \\ & = { \frac { 1 } { 8 } \left [ { \left . {\left( {\frac{1}{{1 – z}} – \ln \left| {1 – z} \right| }\right.}\right.}-{\left.{\left.{ \frac{1}{{1 + z}} }\right.}\right.}+{\left.{\left.{ \ln \left| {1 + z} \right|} \right)} \right|_0^{\large\frac{2}{{\sqrt 5 }}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{8}\left[ {\left. {\left( {\frac{{2z}}{{1 – {z^2}}} – \ln \left| {\frac{{1 + z}}{{1 – z}}} \right|} \right)} \right|_0^{\large\frac{2}{{\sqrt 5 }}\normalsize}} \right] } \\ & = {\frac{1}{8}\left[ {\frac{{2 \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{1 – {{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} – \ln \left| {\frac{{1 + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{1 – \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}} \right|}\right] } = {\frac{1}{8}\left( {4\sqrt 5 + \ln \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 – 2}}} \right) }\\ & = {\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{1}{8}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}}}{{5 – 4}} } = {\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{1}{4}\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) }\approx{ 1,48.} \end {align*}$$

مثال ۶

طول دل‌گونی را محاسبه کنید که معادله آن در مختصات قطبی به صورت زیر است:

$$\large r = 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right )$$

حل: از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { r ^ 2 } + { { \left ( { \frac { { d r } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } .$$

بنابراین، طول دل‌گون را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$\large \begin {align*} L & = \kern0pt { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \Big [ { { { \left ( { 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } \right ) } ^ 2 } + } } } \kern0pt { { { { { \left ( { \frac { { d \left ( { 5 \left ( { 1 + \cos \theta } \right ) } \right ) } } { { d \theta } } } \right ) } ^ 2 } } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \theta } } \\ & = { 5 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 1 + \cos \theta } d \theta } } = { 5 \sqrt 2 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { 2 { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } } \\ & = { 1 0 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } . } \end {align*}$$

توجه کنید که وقتی $$0 \le \theta \le \pi$$ باشد، $${\cos {\large\frac{\theta }{2}\normalsize}} \ge 0$$ و وقتی $$\pi \le \theta \le 2\pi$$ باشد، $${\cos {\large\frac{\theta }{2}\normalsize}} \le 0$$ است. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {align*} { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } & = { \cos \frac { \theta } { 2 }, \; \; \; } \kern-0.3pt {\;\;0 \le \theta \le \pi ,} \\ { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } & = { - \cos \frac { \theta } { 2 }, \; \; \; } \kern-0.3pt \; \;\pi \le \theta \le 2\pi . \end {align*}$$

بنابراین، انتگرال را به دو انتگرال تفکیک می‌کنیم و طول دلگون را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} L & = 1 0 \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \sqrt { { { \left ( { \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } d \theta } = { { 1 0 \left [ { \int \limits _ 0 ^ \pi { \cos \frac { \theta }{ 2 } d \theta } } \right . } + { \left . { \int \limits _ \pi ^ { 2 \pi } { \left ( { – \cos \frac { \theta } { 2 } } \right ) d \theta } } \right ] } } \\ & = { { 1 0 \left [ { \left . { \left ( { \frac { { \sin \frac { \theta } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { \theta = 0 } ^ \pi } \right . } - { \left . { \left . { \left ( { \frac { { \sin \frac { \theta } { 2 } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } \right | _ { \theta = \pi } ^ { 2 \pi } } \right ] } } = { 2 0 \left [ { \left ( { \sin \frac { \pi } { 2 } – \sin 0 } \right ) } \right . } - { \left . { \left ( { \sin \pi – \sin \frac { \pi } { 2 } } \right ) } \right ] } \\ & = { 2 0 \left [ { \left ( { 1 – 0 } \right ) – \left ( { 0 – 1 } \right ) } \right ] } = { 4 0 . } \end {align*}$$

مثال ۷

مساحت ناحیه محدود به سهمی $$y = {\large\frac{1}{x}\normalsize}$$، محور $$x$$ و خطوط عمودی $$x = 1$$ و $$x= 2$$ را به دست آورید (شکل ۷).

حل: می‌توانیم مساحت را با استفاده از انتگرال خطی زیر محاسبه کنیم:

$$\large { S = – \oint \limits _ C { y d x } } = { – \int \limits _ { A B } { y d x } – \int \limits _ { B D } { y dx } } - { \int \limits _ { D E } { y d x } } - { \int \limits _ { E A } { y d x } . }$$

حاصل هر یک از انتگرال‌ها را جداگانه به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} - \int \limits _ { A B } { y d x } & = – \int \limits _ 1 ^ 2 { 0 \cdot d x } = { 0 , } \\ - \int \limits _ { B D } { y d x } & = – \int \limits _ 0 ^ 0 { y d x } = { 0 , } \\ - \int \limits _ { D E } { y d x } & = – \int \limits _ 2 ^ 1 { \frac { { d x } } { x } } = { \left . { \left ( { – \ln x } \right ) } \right | _ 2 ^ 1 } = { – \ln 1 + \ln 2 } = { \ln 2 , } \\ - \int \limits _ { E A } { y d x } & = – \int \limits _ 0 ^ 0 { y d x } = { 0 . } \end {align*}$$

بنابراین، مساحت ناحیه، برابر است با:

$$\large S = \ln 2 .$$

مثال ۸

مساحت ناحیه محدود به بیضی زیر را به دست آورید:

$$\large x = a \cos t , y = b \sin t , 0 \le t \le 2 \pi$$

حل: ابتدا از فرمول $${ S = \oint \limits _ C { x d y } } { = \int \limits _ \alpha ^ \beta { x \left ( t \right ) { \large \frac { { d y } }{ { d t } } \normalsize } d t } . }$$ استفاده می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {align*} S & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { a \cos t \frac { { d \left ( { b \sin t } \right ) }} { { d t } } d t } = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \cos } ^ 2 } t d t } } \\ & = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { 1 + \cos 2 t } } { 2 } d t } } = { \frac { { a b } }{ 2 } \left [ { \left . { \left ( { t + \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left ( { 2 \pi + 0 } \right ) – 0 } \right ] } = { \pi a b . } \end {align*}$$

علاوه بر فرمول بالا، می‌توانیم از دو فرمول زیر نیز برای محاسبه مساحت مورد نظر استفاده کنیم:

$$\large \begin {align*} S & = – \oint \limits _ C { y d x } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } d t } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { b \sin t \frac { { d \left ( { a \cos t } \right ) } } { { d t } } d t } } \\ & = { – a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { – { { \sin } ^ 2 } t } \right ) d t } } = { a b \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \frac { { 1 – \cos 2 t } } { 2 } d t } } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left . { \left ( { t – \frac { { \sin 2 t } } { 2 } } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \right ] } = { \frac { { a b } } { 2 } \left [ { \left ( { 2 \pi – 0 } \right ) – 0 } \right ] } = { \pi a b . } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} S & = \frac { 1 } { 2 } \oint \limits _ C { x d y – y d x } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left [ { x \left ( t \right ) \frac { { d y } } { { d t } } – y \left ( t \right ) \frac { { d x } } { { d t } } } \right ] d t } } \\ & = { { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left [ { a \cos t \frac { { d \left ( { b \sin t } \right ) } } { { d t } } } \right . } } - { { \left . { b \sin t \frac { { d \left ( { a \cos t } \right) } } { {d t } }} \right ] d t} } } \\ & = { \frac { { a b } } { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } {\left( {{{\cos } ^ 2 } t + { \sin ^ 2 } t } \right ) d t} } = { \frac { { a b }} { 2 } \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { d t } } = {\frac { { a b } }{ 2 } \cdot 2 \pi } = {\pi ab.} \end {align*}$$

مثال ۹

حجمی را که از دوران ناحیه محصور منحنی $$y = 2 – \sin x$$ و خطوط $$x = 0$$، $$x = 2\pi$$ و $$y = 0$$ حول محور $$x$$ تشکیل می‌شود، به دست آورید.

حل: ناحیه $$R$$ در شکل ۹ نشان داده شده است.

با فرمول زیر می‌توان حجم مورد نظر را به دست آورد:

$$\large { V = – \pi \oint \limits _ C { { y ^ 2 } d x } } = { – \pi \left [ { \int \limits _ { O A } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { A B } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { B D } { { y ^ 2 } d x } } \right . } +{ \left . { \int \limits _ { D O } { { y ^ 2 } d x } } \right ] . }$$

محاسبه تک تک انتگرال‌ها به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} \int \limits _ { O A } { { y ^ 2 } d x } & = \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { 0 d x } = 0 , \\ \int \limits _ { A B } { { y ^ 2 } d x } & = \int \limits _ { 2 \pi } ^ { 2 \pi } { { y ^ 2 } d x } = 0 , \\ { \int \limits _ { B D } { { y ^ 2 } d x } } & = { \int \limits _ { 2 \pi } ^ 0 { { { \left ( { 2 – \sin x } \right ) } ^ 2 } d x } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { { { \left ( { 2 – \sin x } \right ) } ^ 2 } d x } } \\ & = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 – 4 \sin x + { { \sin } ^ 2 } x } \right ) d x } } = { – \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 – 4 \sin x } \right . } + { \left . { \frac { { 1 – \cos 2 x } } { 2 } } \right ) d x } } \\ &= { \int \limits _ 0 ^ { 2 \pi } { \left ( { 4 \sin x – \frac { 9 } { 2 } + \frac { { \cos 2 x } } { 2 } } \right ) d x } } = { \left . { \left ( { – 4 \cos x – \frac { 9 } { 2 } x + \frac { { \sin 2 x } } { 2} } \right ) } \right | _ 0 ^ { 2 \pi } } \\ & = { \left ( { – 4 – 9 \pi + 0 } \right ) } - { \left ( { – 4 – 0 + 0 } \right ) } = { – 9 \pi , } \\ \int \limits_{DO} {y^2}dx & = \int \limits_0^0 {{y^2}dx} = 0. \end {align*}$$

بنابراین، حجم مورد نظر برابر است با:

$$\large {V = – \pi \left( {0 + 0 – 9\pi + 0} \right) }={ 9{\pi ^2}.}$$

مثال ۱۰

حجم بیضی‌واری را به دست آورید که با دوران بیضی با نیم‌محورهای $$a$$ و $$b$$ حول محور $$x$$ تشکیل شده است (شکل ۱۰).

حل: معادلات پارامتری بیضی به صورت زیر هستند:

$$\large { x = a \cos t , \; \; \; } \kern-0.3pt { y = b \sin t . }$$

می‌توانیم نیمه بالایی بیضی را برای $$y \ge 0$$ در نظر بگیریم. در نتیجه، حجم بیضی‌وار با نیم‌محورهای $$a$$ و $$b$$ به صورت زیر است:‌

$$\large \begin {align*} V & = – \pi \int \limits _ C { { y ^ 2 } d x } = { – \pi \int \limits _ { A O B } { { y ^ 2 } d x } – \pi \int \limits _ { B O A } { { y ^ 2} d x } } \\ & = { – \pi \int \limits _ { – a } ^ a { { 0 ^ 2 } d x } – \pi \int \limits _ a ^ { – a } { { y ^ 2 } d x } } = { – \pi \int \limits _ a ^ { – a } { { y ^ 2 } d x } , } \end {align*}$$

که در آن، $$y (x)$$ معادله نیمه بالایی بیضی را نشان می‌دهد. حجم را می‌توان به فرم پارامتری زیر محاسبه کرد:

$$\large \begin {align*} V & = – \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \left ( { y \left ( t \right ) } \right ) } ^ 2 } \frac { { d x } } { { d t} } d t } = { – \pi \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \left ( { b \sin t } \right ) } ^ 2 } \frac { { d \left ( { a \cos t } \right ) } } { { d t } } d t } } \\ & = { – \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } t \left ( { – \sin t } \right ) d t } } = { – \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { { { \sin } ^ 2 } t \, d \left ( { \cos t } \right ) } } \\ & = { \pi a { b ^ 2 } \int \limits _ 0 ^ \pi { \left ( { { \cos ^ 2 } t – 1 } \right ) d \left ( { \cos t } \right ) } } = { \pi a { b ^ 2 } \left [ { \left . { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } t } } { 3 } – \cos t } \right ) } \right | _0 ^ \pi } \right ] } \\ & = { { \pi a { b ^ 2 } \left [ { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } \pi } } { 3 } – \cos \pi } \right ) } \right . } - { \left . { \left ( { \frac { { { { \cos } ^ 3 } 0 } } { 3 } – \cos 0 } \right ) } \right ] } } \\ & = {{\pi a{b^2}\left[ {\left( { – \frac{1}{3} + 1} \right) }\right.} - { \left.{ \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)} \right] }} = {\frac{{4\pi a{b^2}}}{3}.} \end {align*}$$