مقایسه کسرها — آموزش ریاضی به زبان ساده + مثال و تمرین

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با کسرها و جمع و ضرب و تقسیم آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش، با روش مقایسه کسرها آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

مقایسه کسرها به معنای تعیین کسر بزرگ‌تر و کوچک‌تر بین دو یا چند کسر است. از آنجا که کسرها از دو بخش صورت و مخرج تشکیل شده‌اند، می‌توان آن‌ها را با استفاده از مجموعه‌ای از قوانین مقایسه کرد. در ادامه، درباره این مو درباره مقایسه کسرها بیشتر بیاموزیم.

کسر چیست؟

قبل از بررسی مفهوم مقایسه کسرها، بهتر است مفاهیم مربوط به کسرها و ویژگی‌های آن‌ها را مرور کنیم. کسر یک نسبت و جزئی از یک کل است و از دو قسمت صورت و مخرج تشکیل شده است. در واقع، کسرها اعدادی هستند که با تقسیم تعریف می‌شوند و برای نشان دادن هر تعداد از قسمت‌های مساوی یک چیز به‌کار می‌روند. آن‌ها اعدادی حقیقی به‌فرم $$\frac p  q$$ هستند که در آن‌ها $$p$$ و $$q$$ اعدادی صحیح‌اند. عدد $$p$$ صورت کسر و عدد $$q$$  مخرج کسر نامیده می‌شود. بنابراین، در کسر $$\frac 23$$ عدد ۲ صورت و عدد ۳ مخرج کسر است و آن را «دو سوم» می‌خوانیم.

در گام‌های زیر می‌توان برای کسر $$\frac 23$$ یک شکل رسم کرد.

۱. ابتدا کل شکل که ۱ واحد است را رسم می‌کنیم.

۲. این یک واحد را طبق مخرج (عدد ۳) به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم (یعنی $$\frac 13$$).

۳. به‌اندازه عدد صورت، یعنی ۲، را رنگ می‌زنیم و به کسر $$\frac 23$$ می‌رسیم.

کسرها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

• کسرهای سره که در آن‌ها صورت از مخرج کوچک‌تر است، مثل $$\frac 45$$
• کسرهای ناسره که در آن‌ها صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است، مانند $$\frac 7 4$$.
• عدد مخلوط که بخشی از آن یک عدد صحیح و بخشی از آن یک کسر است. بخش کسری این عدد همواره یک کسر سره است.

برای آشنایی با اعداد مخلوط، می‌توانید به آموزش «عدد مخلوط چیست و به چه اعدادی می گویند؟ — به زبان ساده» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

فیلم آموزش خلاقیت و هوش مالی کودکان و نوجوانان در فرادرس

کلیک کنید

مقایسه کسر چیست؟

منظور از مقایسه کسرها، در واقع، این موضوع است که تعیین کنیم که از بین دو یا چند کسر کدم‌یک بزرگ‌تر و کدام‌یک کوچک‌تر است و کدام کسرها با هم برابر هستند. مقایسه کسرها شامل مجموعه‌ای از قوانین مربوط به صورت و مخرج است. همان‌طور که گفتیم، هنگامی که دو کسر با هم مقایسه می‌شوند، درواقع، کسر بزرگ‌تر و کوچک‌تر را تعیین می‌کنیم. البته ممکن است دو کسر مساوی باشند. در زندگی روزمره بسیار پیش می‌آید که کسرها را مقایسه کنیم. به عنوان مثال، زمانی که نیاز به مقایسه نسبت مواد در حین دستور غذایی یا مقایسه نمرات امتحانات و غیره داریم، باید کسرها را با هم مقایسه کنیم.

در ادامه، روش‌های مختلف مقایسه کسرها را مرور می‌کنیم. برای مقایسه کسرها راه‌های متفاوتی وجود دارد که در همه آن‌ها صورت‌ها و مخرج‌های دو کسر دخیل هستند. روش‌های مقایسه کسرها معمولاً به دسته‌هایی تقسیم می‌شوند که در ادامه هریک را توضیح خواهیم داد.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مقایسه کسرها با مخرج مساوی

در مقایسه کسرها با مخرج یکسان، تعیین کسر بزرگ‌تر یا کوچک‌تر یا مساوی آسان‌تر است. پس از بررسی یکسان بودن مخرج‌ها، می‌توانیم به‌سادگی صورت‌های آن‌ها را مقایسه کنیم. کسری با صورت بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است. همچنین، وقتی مخرج‌های دو کسر برابر باشند، اگر صورت یکی کوچک‌تر از دیگری باشد، آن کسر کوچک‌تر است. اگر هم صورت و مخرج دو کسر مساوی باشند، کسرها نیز برابر هستند. به عنوان مثال، دو کسر $$\frac 6 {17}$$ و $$\frac {16}{17}$$ را با هم مقایسه می‌کنیم.

• گام ۱: مخرج کسرهای داده‌شده را مشاهده می‌کنیم. می‌بینیم که مخرج هر دو کسر برابر با ۱۷ است. بنابراین، مخرج‌ها مساوی هستند و برای مقایسه باید سراغ صورت‌ها برویم.
• گام ۲: اکنون، صورت‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم. می‌بینیم که ببینیم که $$16$$ از $$6$$ بزرگ‌تر است. یعنی $$16>6$$.
• گام ۳: کسری با صورت بزرگ‌تر کسر بزرگ‌تر است. بنابراین، $$\frac {16}{17}>\frac 6 {17}$$.

مقایسه کسرها با مخرج متفاوت

برای مقایسه کسرها با مخرج‌های غیرمشابه، باید آن‌ها را به کسرهایی با مخرج‌ مساوی تبدیل کنیم. برای این کار، باید مخرج مشترک بگیریم. برای گرفتن مخرج مشترک نیز باید کوچک‌ترین مضرب مشترک یا ک.م.م. دو مخرج را پیدا کنیم. وقتی مخرج‌ها را برابر کردیم، می‌توانیم کسرها را به‌راحتی با هم مقایسه کنیم.

در این آموزش، روش برابر کردن دو مخرج را بیان می‌کنیم. اگر می‌خواهید با مخرج مشترک گرفتن و نحوه به‌دست آوردن ک.م.م. بیشتر آشنا شوید، به آموزش‌های «مخرج مشترک چیست، چگونه مخرج مشترک بگیریم؟ — به زبان ساده» و «ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

به‌عنوان مثال، دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 25$$ را با هم مقایسه می‌کنیم. بدین منظور، گام‌های زیر را طی می‌کنیم.

گام ۱: ابتدا مخرج کسرهای داده‌شده را مشاهده می‌کنیم. می‌بینیم که این دو مخرج اعداد $$2$$ و $$5$$ هستند و برابر نیز نیستند و متفاوت‌اند. بنابراین، باید دو کسر را به‌گونه‌ای بازنویسی کنیم که مخرج آن‌ها برابر شود. بدین منظور، باید ک.م.م. دو عدد را پیدا کنیم.

گام ۲: اکنون ک.م.م. را پیدا می‌کنیم. ک. م. م. دو عدد $$10$$ است که کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد است. حال باید صورت و مخرج کسر را در عددهای مناسبی ضرب کنیم تا مخرج‌ها برابر با ک.م.م. و یکسان شوند.

ابتدا، صورت و مخرج کسر نخست را در عدد ۵ ضرب می‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$\frac 12 = \frac {1 \times 5 }{2 \times 5} = \frac {5 }{10}$$

اکنون، صورت و مخرج کسر دوم را در ۲ ضرب می‌کنیم:

$$\frac 25 = \frac { 2 \times 2 }{5 \times 2} = \frac {4 }{10}$$

گام ۳: اکنون دو کسر $$\frac 5 {10}$$ و $$\frac 4 {10}$$ داریم که مخرج‌های آن‌ها برابر است. از آنجا که مخرج‌ها یکسان هستند، صورت‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم و می‌بینیم که $$5$$ بزرگ‌تر از $$4$$ است.

گام ۴: کسری با صورت بزرگ‌تر، کسر بزرگ‌تر است، یعنی $$\frac 5 { 10}$$ بزرگ‌تر از $$\frac 4 {10}$$ است. بنابراین، می‌توان چنین نتیجه گرفت که $$\frac 12$$ بزرگ‌تر از $$\frac 25$$ است و این‌‌گونه نوشت:

$$\frac 12 > \frac 25$$

مقایسه کسرها با صورت مساوی

لازم به ذکر است که اگر مخرج‌ها متفاوت باشند و صورت‌ها یکسان باشند، به‌راحتی می‌توان با مشاهده مخرج‌ها کسرها را با هم مقایسه کرد. در اینجا با چیزی عکس حالت برابر بودن مخرج‌‌ها مواجه هستیم. بدین شکل که کسری بزرگ‌تر است که مخرج آن کوچک‌تر باشد. همچنین، کسری کوچک‌تر است که مخرج آن بزرگ‌تر باشد. برای مثال، $$\frac 23$$ بزرگ‌تر از $$\frac 26$$ است.

فیلم آموزش نقاشی – ویژه کودکان در فرادرس

کلیک کنید

مقایسه کسرها با شکل

برای تجسم کسرهای بزرگ‌تر و کوچک‌تر می‌توانیم از روش‌ها و مدل‌های گرافیکی مختلف استفاده کنیم. به تصویر زیر توجه کنید که شکل‌های الف و ب را نشان می‌دهد که دو کسر را نمایش داده‌اند. به‌راحتی می‌توانیم بگوییم که $$\frac 4 8 < \frac 4 6$$ است، زیرا $$\frac 46$$ ناحیه رنگ شده بزرگ‌تری نسبت به $$\frac 48$$ دارد. توجه داشته باشید که کسر کوچک‌تر مساحت کمتری از همان شکل را اشغال می‌کند. نکته‌ای که در اینجا باید مورد توجه قرار گیرد این است که اندازه شکل‌های الف و ب باید دقیقاً یکسان باشد تا مقایسه قسمت‌های رنگ شده معتبر باشد.

اگر به دو کسر دقت کنیم، صورت آن‌ها برابر است. بنابراین، مطابق آنچه در بخش مقایسه کسرها با صورت مساوی گفتیم، چون مخرج کسر $$\frac 48$$ بزرگ‌تر است، بنابراین این کسر کوچک‌تر است.

مقایسه دو کسر منفی

مقایسه کسرهای منفی کار آسانی است. کافی است بدانیم که چگونه دو کسر مثبت با هم مقایسه می‌شوند. همان‌طور که می‌دانیم، عدد $$-2$$ بزرگ‌تر از $$-5$$ است. بنابراین، اگر دو عدد منفی را مقایسه کنیم، آن عددی بزرگ‌تر است که قدرمطلق آن کوچک‌تر باشد. اعداد کسری نیز از این قاعده مستثنا نیستند.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم دو کسر منفی $$-\frac 12$$ و $$-\frac 1 5$$ را با هم مقایسه کنیم. در گا‌م‌های زیر این موضوع را شرح می‌دهیم.

گام ۱: ابتدا قدرمطلق دو کسر را می‌نویسیم. قدرمطلق دو عدد $$\frac 12$$ و $$\frac 15$$ است.