قطر لوزی چیست و چه ویژگی هایی دارد؟ — به زبان ساده + حل مثال

قطر لوزی پاره خطی است که گوشه‌های مقابل آن را به یکدیگر وصل می‌کند. اندازه این پاره خط، برای محاسبه محیط و مساحت لوزی استفاده می‌شود. در این آموزش، به معرفی مفهوم قطر لوزی و کاربردهای آن برای محاسبه محیط و مساحت به همراه حل چند مثال می‌پردازیم.

لوزی چیست؟

لوزی، یک چهار ضلعی با ضلع‌های برابر است. به دلیل موازی بودن ضلع‌های رو به رویی در لوزی، این شکل هندسی به عنوان نوع خاصی از متوازی الاضلاع در نظر گرفته می‌شود.

اجزای لوزی چه هستند؟

ضلع، راس (گوشه)، زاویه داخلی و قطر، از اجزای اصلی لوزی هستند. تصویر زیر، اجزای مختلف لوزی را نمایش می‌دهد.

قطر لوزی چیست ؟

در اشکال هندسی چند ضلعی، به پاره‌خطی که راس‌های غیر مجاور را به یکدیگر وصل می‌کند، قطر می‌گویند. بر اساس این تعریف، قطر لوزی، پاره خطی است که دو راس رو به رویی لوزی را به یکدیگر وصل می‌کند.

لوزی، دو قطر دارد. این قطرها با عنوان قطر کوچک و قطر بزرگ شناخته می‌شوند. البته در مربع (یک حالت خاص لوزی)، قطرها هم‌اندازه هستند.

قطر لوزی چه کاربردی دارد؟

اندازه قطرهای لوزی، معمولا به منظور محاسبه مساحت مورد استفاده قرار می‌گیرد. البته امکان محاسبه محیط لوزی با استفاده از اندازه قطرها نیز وجود دارد. در بخش‌های بعدی، به معرفی فرمول‌های محیط و مساحت لوزی با قطر و حل یک مثال از هر مورد خواهیم پرداخت.

ویژگی های قطر لوزی چه هستند؟

قطرهای لوزی، دارای خواص متعددی هستند که در ادامه، به معرفی برخی از مهم‌ترین آن‌ها می‌پردازیم:

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

• قطرهای لوزی، یکدیگر را با زاویه قائمه (90 درجه) قطع می‌کنند.
• قطرهای لوزی، عمود منصف یکدیگر هستند.
• قطرهای لوزی، نیم‌ساز زاویه‌ها هستند.
• با رسم قطرها، لوزی به چهار مثلث قائم الزاویه برابر (هم‌نهشت) تقسیم می‌شود.
• با مشخص کردن نقطه میانی قطرهای لوزی و اتصال آن‌ها به یکدیگر، یک لوزی دیگر به وجود می‌آید.

برخی از خواص بالا، در تعیین فرمول محیط و مساحت لوزی با قطر اهمیت دارند.

فرمول محیط لوزی با قطر چیست ؟

محیط لوزی، اندازه دور آن است. بر اساس این تعریف، محیط لوزی از جمع اندازه ضلع‌های آن به دست می‌آید. با این وجود، امکان تعیین محیط لوزی با استفاده از اندازه قطرهای آن نیز وجود دارد. فرمول محیط لوزی با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

$$P = 2 \sqrt {q^2 + p^2}$$

• P: محیط لوزی
• q: اندازه یکی از قطرها
• p: اندازه قطر دیگر

فرمول محیط لوزی با قطر، با استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید.

مثال 1: محاسبه محیط لوزی توسط قطر

لوزی دارای قطرهایی به اندازه 6 و 8 سانتی‌متر است. محیط لوزی را حساب کنید.

برای محاسبه محیط شکل بالا، فرمول محیط لوزی با قطر را می‌نویسیم:

$$P = 2 \sqrt {q^2 + p^2}$$

• P: محیط لوزی
• q: اندازه قطر بزرگ برابر 8 سانتی‌متر
• p: اندازه قطر کوچک برابر 6 سانتی‌متر

اندازه هر قطر لوزی را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$P = 2 \sqrt {6^2 + 8^2}$$

$$P = 2 \sqrt {36 + 64}$$

$$P = 2 \sqrt {100}$$

$$P = 2 \times 10$$

$$P = 20$$

در نتیجه، محیط لوزی برابر با 20 سانتی‌متر است. در این مثال، قطر لوزی با واحد سانتی‌متر بیان شد. قطر یک پاره‌خط است و با واحدهای اندازه‌گیری طول، نظیر میلی‌متر، سانتی‌متر، متر و غیره بیان می‌شود. نسبت ضلع به محیط لوزی همواره برابر با 4 است.

فرمول مساحت لوزی با قطر چیست؟

مساحت لوزی، اندازه سطح آن است. این اندازه، از ضرب قطرها تقسیم بر دو به دست می‌آید. فرمول مساحت لوزی با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

2 ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

عبارت جبری مساحت لوزی با قطر نیز برابر است با:

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

$$A=\frac{p q}{2}$$

• A: مساحت لوزی
• p: اندازه یکی از قطرها
• q: اندازه قطر دیگر

این فرمول، متداول‌ترین فرمول مساحت لوزی و اصلی‌ترین کاربرد قطر در محاسبات مرتبط با لوزی است. به منظور آشنایی با روش‌های دیگر محاسبه مساحت لوزی، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• مساحت لوزی بدون قطر چگونه بدست می‌آید؟ — به زبان ساده + حل مثال
• مسئله در مورد مساحت لوزی با جواب — حل سوالات امتحانی
• مساحت لوزی داخل مستطیل چیست؟ — به زبان ساده + حل مثال

مثال 2: محاسبه مساحت لوزی توسط قطر

در مثال 1، محیط یک لوزی با قطرهای 6 و 8 سانتی‌متر را به دست آوردیم. مساحت این لوزی چند است؟

فرمول مساحت لوزی با قطر را برای این لوزی می‌نویسیم:

$$A=\frac{p q}{2}$$

• A: مساحت
• p: اندازه قطر بزرگ برابر 8 سانتی‌متر
• q: اندازه قطر بزرگ برابر 6 سانتی‌متر

$$A=\frac{8 \times 6}{2}$$

$$A=\frac{48}{2}$$

$$A=24$$

در نتیجه، مساحت لوزی برابر 24 سانتی‌متر مربع است. از آنجایی که واحد قطر لوزی برابر به صورت سانتی‌متر بیان شده بود، مساحت را به صورت سانتی‌متر مربع بیان کردیم.

قطر لوزی چگونه بدست می آید ؟

قطرهای لوزی از روی اندازه محیط یا مساحت محاسبه می‌شوند. در بخش‌های قبلی، فرمول‌های محیط و مساحت لوزی با قطر و مثال‌های آن‌ها را بررسی کردیم. اندازه قطرهای لوزی، معمولا با استفاده از این فرمول‌ها، مخصوصا فرمول مساحت، به دست می‌آید. در ادامه، فرمول محاسبه قطر لوزی را با حل چند مثال توضیح می‌دهیم.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه 1 در فرادرس

کلیک کنید

مثال 3: تعیین اندازه‌های لوزی

اندازه یکی از قطرهای لوزی زیر برابر 12 است. به جای علامت‌های سوال، اندازه مربوط را به دست بیاورید. سپس، محیط و مساحت لوزی را حساب کنید.

تعیین اندازه‌های مجهول

اندازه یکی از ضلع‌های لوزی برابر 8 است. از آنجایی که تمام ضلع‌های لوزی اندازه برابر دارند، عدد 8 را به جای علامت‌های سوال روی هر ضلع می‌نویسیم.

بر روی شکل، اندازه بخشی از یک قطر (عدد 5/5) آورده شده است. قطرهای لوزی، یکدیگر را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند. بنابراین، بخش دیگر قطر نیز برابر 3/5 بوده و اندازه کامل قطر برابر (11=5/5×2) است. این عدد را هم بر روی شکل می‌نویسیم.

بر اساس صورت مسئله، اندازه قطر دیگر لوزی برابر 12 است. در نتیجه، اندازه هر قسمت از آن برابر با (6=2÷12) خواهد بود.

تعیین محیط لوزی

محیط لوزی، برابر اندازه ضلع ضربدر چهار است:

ضلع × 4 = محیط لوزی

8 × 4 = محیط لوزی

32 = محیط لوزی

تعیین مساحت لوزی

مساحت لوزی، از ضرب قطرها تقسیم بر دو به دست می‌آید:

2 ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

2 ÷ (11 × 12) = مساحت لوزی

2 ÷ (132) = مساحت لوزی

66 = مساحت لوزی

مثال 4: تعیین مجموع زوایای داخلی لوزی

مجموع زوایای داخلی لوزی را به دست بیاورید.

در لوزی، زاویه‌های مقابل با هم‌اندازه هستند. با توجه به تصویر بالا، زاویه یکی از راس‌های لوزی برابر 120 است. بنابراین، زاویه راس مقابل آن نیز برابر 120 درجه است.

پاره‌خط رسم شده از دو راس لوزی، به عنوان یکی از قطرهای آن محسوب می‌شود. این پاره خط، همیشه زاویه راس را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. به عبارت دیگر، قطر لوزی، نیم‌ساز راس‌‌های آن است. بنابراین، زاویه کنار زاویه 30 درجه نیز برابر با 30 درجه خواهد بود.

مشابه مرحله قبل، زاویه‌های مقابل را نیز می‌نویسیم.

اکنون با داشتن تمام زاویه‌ها می‌توانیم مجموع زوایای داخلی را مطابق با رابطه زیر به دست بیاوریم:

60° + 120° + 60° + 120° = مجموع زوایای داخلی

360° = مجموع زوایای داخلی لوزی

در نتیجه، مجموع زوایای داخلی لوزی برابر 360 درجه است. در این مثال، مجموع زوایای داخلی لوزی را با جمع ساده زاویه هر راس به دست آوردیم. به طور کلی، محاسبه مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها با استفاده فرمول مخصوص انجام می‌شود.

مثال 5: محاسبه قطر لوزی با مساحت و قطر دیگر

تصویر زیر، یک لوزی به مساحت 198 متر مربع و قطر بزرگ 22 متر را نمایش می‌دهد. قطر کوچک این لوزی را پیدا کنید.

به دلیل مشخص بودن اندازه مساحت و یکی از قطرها، ابتدا باید فرمول مساحت لوزی با قطر را بنویسیم:

2 ÷ (قطر کوچک × قطر بزرگ) = مساحت لوزی

اکنون، اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

2 ÷ (قطر کوچک × 22) = 198

اگر عبارت تقسیم بر دو را به سمت دیگر ببریم، علامت آن به ضرب تغییر می‌کند:

قطر کوچک × 22 = 2 × 198

قطر کوچک × 22 = 396

در نتیجه:

22 ÷ 396 = قطر کوچک

18 = قطر کوچک

قطر کوچک لوزی برابر 18 متر است.

مثال 6: محاسبه قطر لوزی با مساحت

تصویر زیر، یک لوزی با زاویه‌های داخلی 90 درجه را نمایش می‌دهد. اگر مساحت این لوزی برابر 98 سانتی‌متر مربع باشد، اندازه هر یک از قطرهای آن چقدر خواهد بود؟

اگر یکی از زاویه‌های داخلی لوزی برابر 90 درجه باشد، آن لوزی به عنوان یک مربع در نظر گرفته می‌شود. در مربع اندازه قطرها با هم برابرند (p=q). به دلیل مشخص بودن اندازه مساحت، فرمول مساحت لوزی با قطر را می‌نویسیم:

$$A=\frac{p q}{2}$$

• A: مساحت
• p: اندازه قطر
• q: اندازه قطر

حاصل قطرها در فرمول بالا، برابر مجذور یکی از آن‌ها (ضرب قطر در خودش یا p²) است:

$$A=\frac{p^2}{2}$$

اندازه مساحت را در این فرمول قرار می‌دهیم:

$$98=\frac{p^2}{2}$$

نسبت بالا را برای محاسبه p طرفین وسطین می‌کنیم:

$$p^2= 98 \times 2$$

$$p^2= 196$$

$$p= \sqrt {196}$$

$$p= 14$$

در نتیجه، اندازه هر دو قطر لوزی (مربع) برابر 14 سانتی‌متر است.

مثال 7: محاسبه قطر لوزی با محیط و قطر دیگر

محیط یک لوزی برابر 10 میلی‌متر است. اگر قطر کوچک آن برابر با 3 میلی‌متر باشد، قطر بزرگ آن را حساب کنید.

تصویر بالا، شکل لوزی با دو قطر آن را نمایش می‌دهد. قطرها، این لوزی را به چهار مثلث قائم الزاویه تقسیم کرده‌اند. برای حل مسئله (تعیین قطر بزرگ)، به اندازه وتر و ساق‌های این مثلث‌ها نیاز داریم.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

اندازه وتر مثلث‌های قائم الزاویه، برابر با اندازه ضلع‌های لوزی است. این اندازه را می‌توانیم از روی فرمول محیط لوزی به دست بیاوریم:

ضلع × 4 = محیط لوزی

ضلع × 4 = 10

4 ÷ 10 = ضلع

2/5 = ضلع

اندازه ضلع لوزی یا وتر هر یک از مثلث‌های قائم الزاویه برابر 2/5 میلی‌متر است. قطرهای لوزی، عمود منصف یکدیگرند (همدیگر را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند). بنابراین، اندازه ساق کوچک مثلث‌های قائم الزاویه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

2 ÷ 3 = ساق کوچک مثلث

1/5 = ساق کوچک مثلث

اکنون اندازه وتر (2/5 میلی‌متر) و یکی از ساق‌های مثلث‌های قائم الزاویه (1/5 میلی‌متر) را داریم. می‌خواهیم به کمک این اندازه‌ها اندازه ساق دیگر مثلث‌های قائم الزاویه (نصف قطر بزرگ لوزی) را حساب کنیم. بهترین گزینه برای این کار، استفاده از قضیه فیثاغورس است. به این منظور، یکی از مثلث‌ها را در نظر می‌گیریم و اندازه‌های معلوم را بر روی آن مشخص می‌کنیم.

بر اساس قضیه فیثاغورس، رابطه زیر بین وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه برقرار است:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• c: وتر برابر 2/5 میلی‌متر
• a: ساق اول برابر 1/5 میلی‌متر
• b: ساق دوم

اندازه‌های معلوم را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$2.5^2 = 1.5^2 + b^2$$

$$6.25 = 2.25 + b^2$$

$$b^2 = 6.25 - 2.25$$

$$b^2 = 4$$

$$b = \sqrt {4}$$

$$b = 2$$

ساق دیگر مثلث قائم الزاویه برابر 2 میلی‌متر است. این عدد، نصف قطر دیگر لوزی را نمایش می‌دهد. بنابراین، داریم:

ساق مثلث × 2 = قطر لوزی

2 × 2 = قطر لوزی

4 = قطر لوزی

در نتیجه، قطر بزرگ لوزی برابر 4 میلی‌متر است.

سوالات متداول در رابطه با قطر لوزی

در این بخش، به برخی از سوالات پرکاربرد در رابطه با قطر لوزی، به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

قطر لوزی چیست؟

به پاره خطی که راس‌های رو به رویی لوزی را به هم وصل می‌کند، قطر لوزی می‌گویند.

لوزی چند قطر دارد؟

لوزی، دو قطر دارد.

فرمول محاسبه قطر لوزی چیست؟

فرمول محاسبه قطر لوزی با مساحت برابر «دو برابر مساحت تقسیم بر قطر دیگر» یا 2A÷q است.

قطرهای لوزی چه رابطه‌ای با هم دارند؟

قطرهای لوزی، عمود منصف یکدیگر هستند. به عبارت دیگر، این قطرها همدیگر را با زاویه 90 درجه قطع کرده و به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند.