قانون هوک – به زبان ساده

زمانی که وارد جایی می‌شوید و در بعد از باز شدن آرام بسته می‌شود، فنرها وارد عمل شده‌اند. بسیاری از وسیله‌های ورزشی نیز که برای قوی شدن عضلات خود استفاده می‌کنید از فنر استفاده می‌کنند. به صورت کلی باید گفت فنرها کاربرد زیادی در زندگی روزمره انسان دارند. اولین بار فیزیکدان انگلیسی «رابرت هوک» رفتار فنر را بررسی کرد، به همین دلیل نام این فیزیکدان با فنر عجین شده است و عموم فیزیکدانان قانون فنر را به عنوان قانون هوک می‌شناسند. در این آموزش قوانین حاکم بر فنرها را بررسی خواهیم کرد.

نیروی فنر

$$\large F=-kx$$‌

شبیه ساز قانون هوک

در شبیه‌ساز دانشگاه کلورادو که در ادامه ارائه شده است، می‌توانید قانون هوک را در سیستم‌های شامل فنرهای مختلف بررسی کنید. در این شبیه‌ساز، می‌توانید ثابت فنر و نیروی وارد شده را تغییر داده و میزان جابجایی، تعادل و برآیند نیرو را مشاهده کنید.

ترکیب فنرها

واضح است که در ابزاری که با فنر کار می‌کنند، یک فنر به کار نرفته و ترکیب چندین فنر باعث به وجود آمدن یک عملکرد نهایی شده است. به همین دلیل مهم است بدانیم زمانی که دو یا چند فنر در سیستم قرار می‌گیرند ثابت فنر‌ها به صورت مجموع، چگونه محاسبه می‌شود.

ترکیب سری فنرها

اگر فنرها پشت سر یکدیگر قرار گیرند، یک ترکیب سری از فنرها را داریم. در این حالت ثابت فنر حاصل برابر است با:

$$\large \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdot\cdot\cdot$$

مشخص است که در این حالت فنر حاصل از ترکیب فنرها، ثابتی کوچکتر از ثابت هر یک از فنرها دارد.

ترکیب موازی فنرها

اگر فنرها روبه‌روی یکدیگر قرار گیرند، یک ترکیب موازی از آنها داریم. در این حالت ثابت فنر حاصل برابر است با:

$$\large k=k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot$$

مشخص است که در این حالت فنر حاصل از ترکیب فنرها، ثابتی بزرگتر از ثابت هر یک از فنرها دارد.

انرژی پتانسیل کشسانی

$$\large U=-\int F dx=\int_{x_{i}}^{x_{f}}kx\ dx=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)$$

فیلم آموزش قانون هوک در فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

نوسان فنر

$$\large m\ddot{x}=ma=F=-kx$$

در نتیجه، معادله حرکت جسمی به جرم $$m$$ که از فنری با ثابت $$k$$ آویزان شده، برابر است با:

$$\large\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\quad\quad (1)$$

$$\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) \quad\quad (2)$$

نقاط کمینه پتانسیل و اختلالات کوچک

اگر به یک سیستم فیزیکی با تعادل پایدار، اختلال کوچکی وارد شود، شروع به نوسان حول نقطه تعادل کرده که این نوسان به خوبی توسط قانون هوک توضیح داده می‌شود.

$$\large U(x) \approx U(x_0) + \left. \frac12 (x-x_0)^2 \frac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x=x_0}\quad\quad (3)$$

برای سیستم‌های چند‌ ذره‌ای، جرم سیستم را به صورت جرم کاهیده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$\large \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \cdots$$

بدین ترتیب، برای این نوسان، فرکانس طبیعی حرکت برابر است با:

$$\large \omega = \sqrt{\frac{1}{\mu} \left. \frac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x=x_0}}$$

برای فهم بیشتر مطالب گفته شده، این مطلب را با حل چند مثال به پایان می‌رسانیم.

مثال‌هایی از قانون هوک

مثال ۱: با استفاده از قانون هوک و یک فنر که از قانون هوک پیروی می‌کند، چگونه می‌توان جرم یک جسم را محاسبه کرد؟

$$\large mg=-k\ \Delta x\rightarrow m=|\frac{-k\Delta x}{g}|$$

مثال ۲: جسمی به جرم $$m$$ به فنری با ثابت $$k$$ متصل شده که آن را به اندازه $$x$$ از حالت تعادل جابه‌جا کرده و باعث نوسان فنر می‌شود. بیشترین سرعتی که این جسم تجربه می‌کند، چه قدر است (از نیروی مقاومت هوا صرف نظر کنید)؟

حل: با استفاده از اصل پایستگی انرژی، انرژی جنبشی و انرژی کشسانی فنر داریم:

$$\large \frac12 mv^2 = \frac12 kx^2$$

$$\large \rightarrow v=x\sqrt{\frac{k}{m}}$$

مثال ۳: جسمی به جرم $$m$$ به دو فنر که ثابت هر یک از آن‌ها $$k$$ است مانند شکل زیر متصل شده است. اگر این جسم باعث بیشترین جابه‌جایی $$L$$ در سیستم شود، معادله حرکت جسم بر حسب زمان چگونه است؟

حل: معادله حرکت نوسانی فنر به صورت زیر به دست آمد:

$$\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)$$

از طرفی چون فنرها به صورت موازی با یکدیگر ترکیب شده‌اند، ثابت کل فنر برابر است با:

$$\large k=k_1+k_2\rightarrow2k$$

و معادله حرکت به صورت زیر تغییر می‌کند:

$$\large x(t)=A\cos(\sqrt{\frac{2k}{m}}t)+B\sin(\sqrt{\frac{2k}{m}}t)$$

برای حل این مسأله، مبدأ زمان را لحظه‌ای در نظر می‌گیریم که جسم در پایین‌ترین نقطه قرار دارد و به اندازه $$L$$ جابه‌جا شده است، در این صورت داریم:

$$\large x(0)=L\quad\quad \dot{x}(0)=0$$

$$\large x(0)=A=L\quad\quad \dot{x}(0)=B\sqrt{\frac{2k}{m}}=0\rightarrow B=0$$

و معادله حرکت این سیستم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large x(t) = L\cos \left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t \right)$$

$$\large U = \epsilon \left[ \left(\frac{r_m}{r} \right)^{12} - 2\left( \frac{r_m}{r} \right)^6 \right]$$

که $$\epsilon$$ عمق چاه پتانسیل را مشخص می‌کند و $$r_{m}$$ عمیق‌ترین نقطه در چاه پتانسیل است. فرکانس طبیعی نوسانات مربوط به حرکت دو جسم با جرم‌های $$m$$ حول نقطه تعادل چاه پتانسیل چه‌قدر است؟

حل: با توجه به اینکه سیستم از دو جسم با جرم های مساوی تشکیل شده است، جرم کاهیده برابر با $$\mu = \frac{m}{2}$$ است. اگر معادله‌ پتانسیل را حول نقطه تعادل یعنی $$r_{m}$$ تا مرتبه دوم بسط دهیم، داریم:

$$\large U(r) \approx -\epsilon + 36 \frac{\epsilon}{r_m^2} (r-r_m)^2$$

با در نظر گرفتن جمله دوم این بسط و رابطه $$\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{\mu} \left. \frac{d^2 U}{dx^2} \right.}$$ فرکانس به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \omega_0 = \sqrt{\frac{2}{m} 72 \frac{\epsilon}{r_m^2}} = \frac{12}{r_m} \sqrt{\frac{\epsilon}{m}}$$