محاسبه طول کمان – از صفر تا صد

طول کمان در مختصات قائم

همچنین، فرض می‌‌کنیم که $$f^\prime\left( x \right)$$ نیز روی بازه $$[a,b]$$ پیوسته باشد.

آنگاه، طول منحنی $$y=f(x)$$ از $$x=a$$ تا $$x=b$$ با رابطه زیر به دست می‌‌آید:

$$\large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f ^ \prime \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } .$$

اگر از نماد لایبنیتس برای مشتق استفاده کنیم، طول کمان با فرمول زیر نشان داده می‌‌شود:

$$\large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) } ^ 2 } } d x } .$$

در اینجا تابعی را معرفی می‌‌کنیم که طول کمان یک منحنی را از یک نقطه ثابت منحنی اندازه می‌‌گیرد. فرض کنید $${P_0}\left( {a,f\left( a \right)} \right)$$ نقطه اولیه روی منحنی $$y = f\left( x \right)$$ ($$a \le x \le b$$) باشد، آنگاه طول کمان منحنی از $${P_0}\left( {a,f\left( a \right)} \right)$$ تا نقطه $$Q\left( {x,f\left( x \right)} \right)$$ توسط انتگرال زیر محاسبه می‌‌شود:

$$\large S \left ( x \right ) = \int \limits _ a ^ x { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } ,$$

در اینجا $$t$$ متغیر داخلی انتگرال و تابع $$S(x)$$ نیز تابع طول کمان است.

طول کمان منحنی پارامتری

اگر منحنی $$C$$ با معادلات پارامتری زیر نشان داده شود:

$$\large { x = x \left ( t \right ) , \; \; } \kern0pt { y = y \left ( t \right ) , }$$

که در آن پارامتر $$t$$ بین $$t_1$$ و $$t_2$$ باشد، آنگاه طول کمان منحنی برابر است با:

$$\large L = \int \limits _ { { t _ 1 } } ^ { { t _ 2 } } { \sqrt { { { \left [ { x’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { y’ \left ( t \right ) } \right ] } ^ 2 } } d t } .$$

طول کمان در مختصات قطبی

$$\large L = \int \limits _ \alpha ^ \beta { \sqrt { { { \left [ { r \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } + { { \left [ { r ^ \prime \left ( \theta \right ) } \right ] } ^ 2 } } d \theta } .$$

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

طول پاره‌‌خط $$y = 7x + 2$$ را از $$x=2$$ تا $$x=6$$ به دست آورید.

حل: ابتدا مسئله را به صورت کلی حل می‌‌کنیم. پاره‌‌خط دلخواهی را در نظر بگیرید که با رابطه $$y = mx+n$$ تعریف می‌‌شود. طول پاره‌‌خط را در بازه $$\left[ {a,b} \right]$$ محاسبه می‌‌کنیم. بدیهی است که

$$\large { y ^ \prime = f ^ \prime \left ( x \right ) } = { \left ( { m x + n } \right ) ^ \prime } = { m . }$$

با استفاده از فرمول طول کمان، داریم:

$$\large { L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { m ^ 2 } } d x } } = { \sqrt { 1 + { m ^ 2 } } \left ( { b – a } \right ) . }$$

بنابراین، طول پاره‌‌خط $$y = 7x + 2$$ برابر است با:

$$\large { L = \sqrt { 1 + { 7 ^ 2 } } \left ( { 6 – 2 } \right ) } = { 4 \sqrt { 5 0 } } = { 2 0 \sqrt 2 . }$$

مثال ۲

طول کمان سهمی نیم‌مکعبی $$y = {x^{\frac{3}{2}}}$$ را از $$x=0$$ تا $$x=5$$ بیابید.

حل: از فرمول طول کمان استفاده می‌‌کنیم:

$$\large L = \int \limits _ a ^ b { \sqrt { 1 + { { \left [ { f’ \left ( x \right ) } \right ] } ^ 2 } } d x } .$$

در اینجا $$f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}}$$، $$f^\prime\left( x \right) = \left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^\prime = \large{\frac{3}{2}}\normalsize{x^{\frac{1}{2}}}$$، $$a=0$$ و $$b=5$$ است. در نتیجه:

$$\large { L = \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac { 3 } { 2 } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) } ^ 2 } } d x } } = { \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 1 + \frac { { 9 x } } { 4 } } d x} } = { \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 0 ^ 5 { \sqrt { 4 + 9 x } d x } . }$$

$$\large { { u ^ 2 } = 4 + 9 x , } \; \; \Rightarrow { u = \sqrt { 4 + 9 x } , } \; \; \Rightarrow { 2 u d u = 9 d x , } \; \; \Rightarrow { d x = \frac { { 2 u d u } } { 9 } . }$$

هنگامی که $$x=0$$ است، $$u=2$$ و هنگامی که $$x=5$$ است، $$u=7$$ خواهد بود. بنابراین، انتگرال به صورت زیر محاسبه می‌‌شود:

$$\large { L = \frac { 1 } { 2 } \int \limits _ 2 ^ 7 { \left ( { u \cdot \frac { 2 } { 9 } u } \right ) d u } } = { \frac { 1 } { 9 } \int \limits _ 2 ^ 7 { { u ^ 2 } d u } } = { \frac { 1 } { 9 } \cdot \left . { \frac { { { u ^ 3 } } } { 3 } } \right | _ 2 ^ 7 } = { \frac { 1 } { { 2 7 } } \left ( { { 7 ^ 3 } – { 2 ^ 3 } } \right ) } = { \frac { { 3 3 5 } } { { 2 7 } } . }$$

مثال ۳

حل: ابتدا محیط نیم‌‌دایره بالا را محاسبه کرده و سپس جواب حاصل را در 2 ضرب می‌‌کنیم. نیم‌‌دایره بالا با تابع زیر تعریف می‌‌شود:

$$\large y = \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } .$$

با مشتق گرفتن از این تابع خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} { y ^ \prime = f ^ \prime \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { { \cancel { 2 } x } } { { \cancel { 2 } \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } } = { – \frac { x } { { \sqrt { { R ^ 2 } – { x ^ 2 } } } } . } $$