ضریب پراکندگی چیست؟ – به زبان ساده + فرمول محاسبه

مطلب پیشنهادی:

واریانس و اندازه‌های پراکندگی — به زبان ساده

شروع مطالعه

مطلب پیشنهادی:

انحراف میانگین — به زبان ساده

شروع مطالعه

واریانس و انحراف معیار چه هستند و چگونه محاسبه می‌شوند؟

در سومین بخش از اندازه‌گیری‌های مطلق پراکندگی، به معرفی و روش محاسبه واریانس و انحراف معیار می‌پردازیم. یادگیری این مبحث به ما کمک می‌کند تا بتوانیم از فرمول ضریب پراکندگی مهمی به نام فرمول ضریب تغییرات به‌راحتی در حل مسائل آماری خود استفاده کنیم. واریانس یا $$\sigma^2$$ به‌صورت میانگین حسابی مجذور انحرافات داده‌ها از مقدار میانگین تعریف می‌شود، در حالی که انحراف معیار یا $$\sigma$$ معادل است با ریشه دوم واریانس.

پس این دو کمیت معمولا به دنبال هم محاسبه می‌شوند و با داشتن واریانس، پیدا کردن انحراف معیار آسان است. در واقع واریانس برابر است با مجذور انحراف معیار. این کمیت‌ها از اساسی‌ترین پارامترهای آماری محسوب می‌شوند که در ادامه با بررسی مثال نحوه محاسبه آن‌ها را آموزش می‌دهیم.

نکته مهم در محاسبه واریانس این است که آیا برای داده‌های یک نمونه محاسبه می‌شود یا جامعه آماری. اگر داده‌های جمعیت را بررسی می‌کنیم، فرمول واریانس به شکل زیر است:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}$$

که در آن μ میانگین جمعیت است و n تعداد مشاهدات. با داشتن واریانس، انحراف معیار داده‌ها در یک جامعه آماری به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}}$$

چنانچه داده‌های ما مربوط به یک نمونه باشند، فرمول واریانس برابر است با:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

در رابطه بالا $$\bar{x}$$ میانگین نمونه است. ‌واریانس برای نمونه را با $$s^2$$ هم نشان می‌دهند. بنابراین فرمول انحراف معیار در این حالت می‌شود:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

تقریبا هر دو فرمول مشابه هم هستند، تفاوت اساسی در مخرج است که در مورد جمعیت n و در مورد نمونه n-1 در نظر گرفته می‌شود. اصلاح n به n-1 برای نمونه، تصحیح بسل نام دارد و باعث شده است نتایج درست‌تری حاصل شود.

محاسبه واریانس جهت اطلاع از گستردگی یک مجموعه داده خیلی مهم است. برای مثال اگر تمام داده‌های ما یکسان باشند، در این صورت واریانس صفر است. هر واریانس مخالف صفری، همواره یک عدد مثبت است. واریانس پایین به معنای این است که داده‌های نقطه‌ای ما هم به مقدار میانگین و هم به یکدیگر نزدیکتر هستند. در حالی که واریانس بالا نشان‌دهنده این است که داده‌های نقطه‌ای نسبت به میانگین و یکدیگر توزیع گسترده‌تری دارند و از هم دورتر هستند.

برای مثال فرض کنید می‌خواهیم انحراف معیار را در مورد جامعه آماری زیر پیدا کنیم:

$$1, 3, 6, 7, 12$$

محاسبه با پیدا کردن میانگین، واریانس و در نهایت انحراف معیار کامل می‌شود. پس ابتدا فرمول میانگین را به شکل زیر می‌نویسیم:

$$\mu=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$

$$\Rightarrow \mu=\frac{1+ 3+ 6+ 7+12}{5}=5.8$$

حالا به کمک جدول زیر قدم به قدم واریانس را حساب می‌کنیم. می‌دانیم فرمول واریانس برای یک جامعه آماری به شکل زیر است:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}$$

مرحله بعدی این است که آخرین سلول از ستون سوم جدول بالا را به تعداد داده‌ها تقسیم کنیم تا واریانس به‌دست آید:

$$\Rightarrow \sigma^2=\frac{70.8}{5}=14.16$$

بنابراین انحراف معیار طبق فرمول زیر می‌شود:

$$\Rightarrow \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{14.16}=3.76$$

مثال

واریانس نمونه را برای یک مجموعه داده به شکل $$2, 6, 12, 15$$ پیدا کنید:

پاسخ

دقت کنید در صورت سوال ذکر شده است واریانس نمونه، پس فرمول مناسب برای حل این سوال به شکل زیر است:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

ابتدا باید $$\bar{x}$$ را پیدا کنیم. سپس با توجه به فرمول بالا و در نظر گرفتن n-1 در مخرج، واریانس پیدا می‌شود:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$

$$\Rightarrow \bar{x}=\frac{2+6+12+15}{4}=8.75$$

حالا به کمک جدول زیر گام به گام واریانس را به‌دست می‌آوریم:

مرحله بعدی این است که آخرین سلول از ستون سوم جدول بالا را به n-1 تقسیم کنیم تا واریانس به‌دست آید:

$$\Rightarrow \sigma^2=\frac{102.74}{3}=34.24$$

تمرین

دامنه میان‌چارکی و انحراف چارک چه هستند و چگونه محاسبه می‌شوند؟

تا اینجا یاد گرفتیم که به میزان تفاوت مقادیر یک توزیع نسبت به مقادیر متوسط، پراکندگی گفته می‌شود و اندازه‌گیری پراکندگی ممکن است مطلق باشد یا با محاسبه انواع ضریب پراکندگی انجام شود. همچنین با بخشی از کمیت‌های مهم در ارزیابی پراکندگی آشنا شدیم. در ادامه با یکی دیگر از کمیت‌های آماری مهم به نام دامنه میان‌چارکی آشنا می‌شویم که برابر است با اختلاف مقادیر چارک بالا یا چارک سوم (Q₃) و چارک پایین یا چارک اول (Q₁) و با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$Q_3-Q_1$$

برای اینکه بهتر درک کنید مفهوم چارک چیست، شکل زیر را در نظر بگیرید:

چارک‌ها به منظور تقسیم یک مجموعه داده به چهار بخش مساوی استفاده می‌شوند. اگر بخواهیم در یک مجموعه داده چارک اول و سوم را به راحتی پیدا کنیم، می‌توانیم از روابط زیر استفاده کنیم:

• چارک بالا یا Q₃: اندازه آیتم $$3(\frac{n+1}{4})$$ام
• چارک پایین یا Q₁: اندازه آیتم $$\frac{n+1}{4}$$ام

انحراف چارک که با نماد QD نشان داده می‌شود، به‌صورت نصف اختلاف مقادیر چارک بالا و پایین در یک مجموعه داده تعریف می‌شود. گفتیم اختلاف مقادیر دو چارک بالا و پایین با دامنه میان‌چارکی برابر است. پس می‌توانیم بگوییم انحراف چارک با نصف دامنه میان‌چارکی برابر است:

$$QD=\frac{Q_3-Q_1}{2}$$

بنابراین با فرمول انحراف چارک نیز آشنا شدیم. برای مثال فرض کنید داده‌هایی به شکل زیر در اختیار دارید و می‌خواهید انحراف چارک را پیدا کنید:

$$150, 100, 268, 280, 195, 140, 200$$

بهتر است ابتدا دامنه میان‌چارکی را پیدا کنیم. اما پیش از آن، اولین گام در مبحث چارک این است که داده‌های خود را به ترتیب از کمترین تا بیشترین مقدار مرتب کنیم:

$$100, 140, 150, 195, 200, 268, 280$$

حالا می‌توانیم چارک اول و سوم را پیدا کنیم. طبق فرمولی که در بالا گفتیم، چارک پایین برابر است با اندازه آیتم $$\frac{n+1}{4}$$ام که می‌شود:

$$\frac{7+1}{4}=2$$

دقت کنید n برابر است با تعداد داده‌ها که در اینجا معادل است با عدد هفت. پس باید ببینیم مقدار آیتم دوم در داده‌های مرتب شده ما چیست:

$$Q_1=140$$

همچنین برای چارک بالا خواهیم داشت:

$$3(\frac{7+1}{4})=6$$

ششمین آیتم در داده‌های مرتب شده برابر است با عدد ۲۶۸. پس داریم:

$$Q_3=268$$

حالا با داشتن چارک اول و سوم می‌توانیم دامنه‌ میان‌چارکی و به دنبال آن، انحراف چارک را محاسبه کنیم:

$$Q_3-Q_1=268-140=128$$

$$QD=\frac{Q_3-Q_1}{2}$$

$$\Rightarrow QD=\frac{128}{2}=64$$

محاسبه انحراف چارک برای داده‌های گروه‌بندی شده

در این بخش با یک مثال نشان می‌دهیم که اگر داده‌های گروه‌بندی شده داشتیم، چگونه می‌توانیم انحراف چارک را پیدا کنیم. فرض کنید جدول زیر نمرات کسب شده توسط دانش‌آموزان یک کلاس را به شما می‌دهد:

در این مثال شرایط کمی با مثال قبلی متفاوت است. در واقع با مجموعه داده‌هایی سروکار داریم که دارای فراوانی هستند، یعنی دو سری داده داریم. در چنین شرایطی باید فراوانی تجمعی یا CF را محاسبه کنیم. به این منظور، لازم است ابتدا داده‌های خود را مرتب کنیم که در این مثال داده‌ها به‌صورت پیش فرض مرتب شده هستند.

سپس اولین فراوانی تجمعی برابر خواهد شد با فراوانی مطلق اولین یا کوچکترین مقدار. دومین فراوانی تجمعی برابر است با مجموع اولین فراوانی تجمعی و دومین فراوانی مطلق. سومین فراوانی تجمعی برابر است با مجموع دومین فراوانی تجمعی و سومین فراوانی مطلق و به همین ترتیب. در جدول زیر این روند را نشان داده‌ایم:

حالا با در نظر گرفتن آخرین عدد از ستون سوم، یعنی ۱۹۹ به‌عنوان n، می‌توانیم چارک‌های بالا و پایین را طبق روندی که توضیح داد‌ه بودیم، به‌دست آوریم. چارک پایین برابر است با اندازه آیتم $$\frac{n+1}{4}$$ام که می‌شود:

$$\frac{199+1}{4}=50$$

سپس باید ببینیم مقدار آیتم پنجاهم در جدول بالا برابر با کدام مقدار است. به ستون سوم نگاه می‌کنیم. عدد ۵۰ در این ستون از ۴۶ بیشتر و از ۷۴ کمتر است. پس باید نمره‌ای که معادل با ردیف سوم است، یعنی عدد ۶۸ را به‌عنوان چارک پایین در نظر بگیریم:

$$Q_1=68$$

همچنین برای چارک بالا خواهیم داشت:

$$3(\frac{199+1}{4})=150$$

صد و پنجاهمین آیتم در داده‌‌های ستون سوم بین ۱۳۶ و ۱۶۰ قرار دارد. پس نمره معادل با این چارک ۸۸ خواهد بود:

$$Q_3=88$$

حالا با داشتن چارک اول و سوم می‌توانیم دامنه‌ میان‌چارکی و به دنبال آن، انحراف چارک را محاسبه کنیم:

$$Q_3-Q_1=88-68=20$$

$$QD=\frac{Q_3-Q_1}{2}$$

$$\Rightarrow QD=\frac{20}{2}=10$$

اندازه‌گیری نسبی پراکندگی

پس از اینکه با روش محاسبه کمیت‌های مهم در اندازه‌گیری پراکندگی آشنا شدیم، حالا می‌توانیم انواع مختلف فرمول ضریب پراکندگی را معرفی کنیم. در اندازه‌گیری نسبی پراکندگی، داده‌هایی داریم که ممکن است دارای واحد‌های مختلفی باشند یا اصلا واحد نداشته باشند. پس حاصل اندازه‌گیری نسبی پراکندگی، اعدادی بدون واحد است که ضریب پراکندگی نام دارند. معمولا زمانی که دو یا چند مجموعه داده با مقادیر میانگین کاملا متفاوت داریم، لازم است اندازه‌گیری نسبی انجام دهیم، به این صورت که انواع ضریب پراکندگی شامل موارد زیر را محاسبه می‌کنیم:

• ضریب دامنه یا Coefficient of Range
• ضریب انحراف میانگین یا Coefficient of Mean Deviation
• ضریب تغییرات یا Coefficient of Variation
• ضریب انحراف چارک یا Coefficient of Quartile Deviation

در ادامه هر ضریب پراکندگی را تعریف کرده و با حل مثال، روش محاسبه آن‌ها را توضیح خواهیم داد. پیشنهاد می‌کنیم موارد بیان شده در این بخش را با موارد مشابه بخش قبل حتما مقایسه کنید تا دید دقیق‌تری نسبت به انواع اندازه‌گیری‌های پراکندگی، ضریب پراکندگی و فرمول ضریب پراکندکی به‌دست آورید.

ضریب دامنه چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

به‌عنوان ساده‌ترین ضریب پراکندگی، ابتدا ضریب دامنه را توضیح می‌دهیم. گفتیم دامنه برابر است با اختلاف میان بیشترین و کمترین مقادیر در یک مجموعه داده. اگر نسبت دامنه را به مجموع بیشترین و کمترین مقادیر داده محاسبه کنیم، ضریب دامنه یا CR را پیدا کرده‌ایم. بنابراین فرمول ضریب پراکندگی در این بخش به شکل زیر است:

$$CR=\frac{L-S}{L+S}$$

که در آن L برابر است با بیشترین مقدار داده و S کمترین مقدار داده محسوب می‌شود.

مثال

برای دو گروه داده زیر، ضریب پراکندگی دامنه را محاسبه کنید:

$$63, 89, 98, 125, 79, 108, 117, 68$$

$$43.5, 13.6, 18.9, 38.4, 61.4, 29.8$$

پاسخ

در اولین گروه، بیشترین مقدار یا L برابر است با ۱۲۵ و کمترین مقدار یا S می‌شود ۶۳. بنابراین ضریب دامنه یا QR با کاربرد فرمول ضریب پراکندگی مناسب برابر خواهد شد با:

$$CR=\frac{L-S}{L+S}$$

$$\Rightarrow CR=\frac{125-63}{125+63}=0.33$$

در مورد داده‌های گروه دوم، هم به همین شکل عمل می‌کنیم:

$$L=61.4$$

$$S=13.6$$

$$CR=\frac{L-S}{L+S}$$

$$\Rightarrow CR=\frac{61.4-13.6}{61.4+13.63}=0.64$$

تمرین

ضریب انحراف میانگین چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

دومین ضریب پراکندگی که می‌خواهیم توضیح دهیم، ضریب انحراف میانگین یا CMD است. برای تعریف این کمیت هم نیاز داریم از تعریف ارائه شده در بخش‌های قبل برای انحراف میانگین استفاده کنیم. پس از محاسبه انحراف میانگین، کافی است مقدار به‌دست آمده را به مقدار داده‌ای که در مرکزی‌ترین نقطه از نقاط داد‌ه‌های ما قرار می‌گیرد، تقسیم کنیم تا ضریب انحراف میانگین را داشته باشیم. پس فرمول ضریب پراکندگی مناسب برای این کمیت به شکل زیر است:

$$CMD=\frac{\sum_{i=1}^n |x_i-\mu|}{\mu n}$$

در رابطه بالا $$\mu$$ برابر است با میانگین داده‌ها. در صورتی که مقدار مرکزی معادل میانه است، فرمول به شکل زیر اصلاح خواهد شد:

$$CMD=\frac{\sum_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|}{\bar{x}n}$$

 که در آن $$\bar{x}$$ میانه است.

ضریب تغییرات چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

در بخش‌های قبل یاد گرفتیم انحراف معیار و واریانس چه هستند و چگونه محاسبه می‌شوند. انحراف معیار به نوعی اندازه‌گیری مطلقی از پراکندگی محسوب می‌شود که نمی‌توان از آن جهت مقایسه دو مجموعه داده با واحدهای مختلف استفاده کرد. به همین دلیل برای اینکه بتوانیم چنین مقایسه‌ای داشته باشیم، نیاز است از کمیت متفاوتی استفاده کنیم.

مهم‌ترین ضریب پراکندگی، ضریب تغییرات یا CV است که جهت مقایسه دو مجموعه داده از نظر ثبات، میزان سازگاری و همگنی بکار می‌رود. مرسوم است ضریب تغییرات را در قالب درصد بیان کنیم. ضریب تغییرات نوعی اندازه‌گیری نسبی است که توسط «کارل پیرسون» (Karl Pearson) معرفی شد. به همین دلیل، این ضریب را ضریب تغییرات پیرسون هم می‌نامند. فرمول این ضریب پراکندگی به شکل زیر است:

$$CV=\frac{\sigma}{\mu}\times100 \%$$

که در آن $$\sigma$$ انحراف معیار و $$\mu$$ میانگین است. تمام توزیع‌ها یا سری‌های داده‌ای که ضریب تغییرات بالایی دارند، معمولا دارای همگنی، سازگاری، ثبات و یکنواختی کمتری هستند. برای اینکه با نحوه محاسبه این ضریب بهتر آشنا شوید، مثال زیر را در نظر بگیرید.

فرض کنید دانش‌آموزان دو کلاس امتحان مشابهی داشته‌اند و میانگین نمرات هر دو کلاس برابر با ۷۵ شده است. اگر این کمیت تنها مشخصه مقایسه آماری دو کلاس باشد، احتمالا نتیجه‌گیری شما این خواهد شد که دو کلاس مشابه هم هستند. به‌ویژه اینکه حتی ضریب دامنه دو مجموعه داده ما نیز برابر با ۱۵ است. اما واقعیت این است که داده‌های این بررسی به شکل زیر هستند:

$$70, 70, 70, 70, 85, 85$$

$$70, 72, 73, 75, 75, 85$$

اگر یک بررسی اجمالی روی دو گروه داده داشته باشیم، متوجه خواهیم شد که در گروه دوم مقادیر داده‌ها به میانگین یعنی عدد ۷۵ نزدیکتر هستند، در حالی که در گروه اول مقادیر داده‌ها از میانگین دورتر است. پس احتمالا ضریب تغییرات برای گروه اول نسبت به گروه دوم بیشتر است. بیاید با استفاده از فرمول این پیش‌بینی را نشان دهیم. فرمول ضریب پراکندگی در این بخش معادل فرمول ضریب تغییرات و به شکل زیر است:

$$CV=\frac{\sigma}{\mu}\times100 \%$$

پس باید انحراف معیار را محاسبه کنیم. فرمول واریانس را می‌نویسیم و به کمک جداول زیر، قدم به قدم واریانس را برای هر گروه پیدا می‌کنیم. انحراف معیار هم با گرفتن جذر واریانس تعیین می‌شود:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}$$

محاسبات گروه اول:

مرحله بعدی این است که آخرین سلول از ستون سوم جدول بالا را به تعداد داده‌ها تقسیم کنیم تا واریانس برای گروه اول به‌دست آید:

$$\Rightarrow \sigma^2=\frac{300}{6}=50$$

بنابراین انحراف معیار برای اولین گروه داده برابر است با:

$$\Rightarrow \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{50}=7.07$$

حالا می‌توانیم ضریب تغییرات گروه اول را محاسبه کنیم:

$$CV=\frac{\sigma}{\mu}\times100 \%=\frac{7.07}{75}\times100 \%=9.42$$

محاسبات گروه دوم:

حالا باید آخرین سلول از ستون سوم جدول بالا را به تعداد داده‌ها تقسیم کنیم تا واریانس برای گروه دوم به‌دست آید:

$$\Rightarrow \sigma^2=\frac{138}{6}=23$$

بنابراین انحراف معیار برای دومین گروه می‌شود:

$$\Rightarrow \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{23}=4.79$$

و ضریب تغییرات گروه دوم نیز برابر است با:

$$CV=\frac{\sigma}{\mu}\times100 \%=\frac{4.79}{75}\times100 \%=6.38$$

پس ثابت کردیم که طبق محاسبات هم ضریب تغییرات گروه اول از ضریب تغییرات گروه دوم بیشتر می‌شود و این نتیجه با پیش‌بینی اولیه ما مطابقت دارد. همچنین به اهمیت محاسبه ضریب تغییرات برای بررسی دقیق‌تر دو مجموعه داده پی بردیم و دیدیم که ممکن است حتی با داشتن میانگین و ضریب دامنه مساوی، واریانس و در نتیجه پراکندگی دو مجموعه داده ما کاملا متفاوت باشد.

مثال

میانگین دمای ضبط شده برای یک بازه زمانی پنج روزه در زمستان سال گذشته به‌صورت زیر گزارش شده است:

$$18, 22, 19, 25, 12$$

اگر میانگین این داده‌ها برابر با ۱۹٫۲ باشد، ضریب تغییرات را محاسبه کنید:

پاسخ

در این سوال مقدار میانگین داده‌ها داده شده است. پس تقریبا محاسبه آسان‌تری برای ضریب تغییرات با فرمول زیر در پیش داریم:

$$CV=\frac{\sigma}{\mu}\times100 \%$$

ابتدا باید انحراف معیار را پیدا کنیم که از واریانسی با فرمول زیر حاصل می‌شود:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

دقت کنید چون پنج روز از کل روزهای سال انتخاب شده است، پس باید فرمول واریانس نمونه را استفاده کنیم که در آن مخرج یک واحد کمتر از تعداد کل داده‌ها است. پس در نهایت واریانس برابر می‌شود با:

$$\Rightarrow \sigma^2=\frac{94.8}{4}=23.7$$

بنابراین انحراف معیار می‌شود:

$$\Rightarrow \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{23.7}=4.9$$

و ضریب تغییرات نیز برابر است با:

$$CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times100 \%=\frac{4.9}{19.2}\times100 \%=25.52$$

تمرین

ضریب انحراف چارک چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟

در بخش‌های قبل یاد گرفتیم انحراف چارک اندازه مطلقی از پراکندگی برای داده‌هایی با واحد مشابه را به ما می‌دهد. اما برای مقایسه تنوع دو یا تعداد بیشتری توزیع داده که در قالب واحدهای مختلفی بیان می‌شوند، نیاز داریم یک اندازه‌گیری نسبی روی پراکندگی داشته باشیم. به این منظور باید یک ضریب پراکندگی جدید به نام ضریب انحراف چارک یا CQD را محاسبه کنیم. برای محاسبه این ضریب کافی است ابتدا انحراف چارک را محاسبه کنیم و سپس آن را به مجموع مقادیر چارک اول و سوم تقسیم کنیم:

$$CQD=\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}$$

که در آن چارک بالا یا Q₃ برابر است با اندازه آیتم $$3(\frac{n+1}{4})$$ام، در حالی که چارک پایین یا Q₁ با اندازه آیتم $$\frac{n+1}{4}$$ام معادل است. پس فرمول ضریب پراکندگی برای انحراف چارک را هم یاد گرفتیم.

مثال

اگر داده‌هایی به‌صورت زیر داشته باشیم، ضریب انحراف چارک چقدر است؟

پاسخ

در این سوال داده‌های گروه‌بندی شده داریم. پس لازم است در اولین قدم پس از مرتب کردن داده‌ها، فراوانی تجمعی را به‌دست آوریم:

بنابراین با در نظر گرفتن n برابر با ۱۰۷ ادامه می‌دهیم. اولین قدم محاسبه چارک اول است که برابر می‌شود با اندازه آیتم $$3(\frac{n+1}{4})$$ام:

$$3(\frac{107+1}{4})=27$$

آیتم بیست و هفتم در داده‌ها بین ۲۴ و ۵۳ در ستون سوم قرار دارد و داده معادل آن می‌شود ۲۴. پس چارک پایین برابر است با:

$$Q_1=24$$

حالا می‌رویم سراغ چارک بالا که برابر است با اندازه آیتم $$3(\frac{n+1}{4})$$ام:

$$3(\frac{107+1}{4})=81$$

آیتم هشتاد و یکم در ستون سوم جدول بین ۸۰ و ۱۰۷ قرار دارد. پس داده معادل با آن ۴۳ است:

$$Q_3=43$$

با داشتن چارک‌های بالا و پایین و با نوشتن فرمول ضریب انحراف چارک، به‌راحتی کمیت موردنظر در سوال محاسبه می‌شود:

$$CQD=\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}$$

$$\Rightarrow CQD=\frac{43-24}{43+24}=\frac{19}{67}=0.28$$

اندازه‌گیری پراکندگی و تمایل مرکزی

پس از اینکه انواع ضریب پراکندگی و فرمول محاسبه هر کدام را کاملا آموختیم، در این بخش می‌خواهیم اندازه‌گیری پراکندگی را با بررسی تمایل مرکزی مقایسه کنیم و ببینیم فواید و کاربرد هر کدام به چه صورت است. اندازه‌گیری پراکندگی و تمایل مرکزی هر دو جزء روش‌هایی هستند که برای توصیف داده‌ها بکار می‌روند. همچنین رابطه این دو اندازه‌گیری به این صورت است که هر چه پراکندگی داده‌های ما در یک توزیع کمتر باشد، تمایل مرکزی بیشتر است.

اما باید به تفاوت این دو نیز کاملا آگاه باشیم. تفاوت‌های این دو اندازه‌گیری عبارت‌اند از:

• تمایل مرکزی برای اعدادی بکار می‌رود که یک توصیف کمی از خواص مجموعه داده ما ارائه می‌دهند، در حالی که اندازه پراکندگی به منظور کمی‌سازی تنوع پراکندگی داده‌ها بکار می‌رود.
• اندازه‌گیری تمایل مرکزی با محاسبه کمیت‌هایی مانند میانگین، میانه و مد انجام می‌شود.
• اندازه‌گیری پراکندگی شامل پارامترهای بیشتری مثل دامنه، واریانس، انحراف معیار، انحراف میانگین و انحراف چارک است که برای محاسبه برخی از این پارامترها، نیاز داریم ابتدا میانگین، میانه یا مد را به‌دست آوریم.

مسیر یادگیری کابردهای آمار و احتمال با فرادرس

با توجه به اینکه برای درک بهتر شاخه‌های جدید علم مانند «علم داده» (Data Science) نیاز به دانش قوی در زمینه مقدمات آمار و پراکندگی دارید، بنابراین در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی مهم در رابطه با مباحث آمار و احتمال که با حوزه علم داده مرتبط است، به شما معرفی کنیم:

1. فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی جامع و با مثال های مختلف فرادرس
2. فیلم آموزش آمار ریاضی ۲ – آزمون فرض فرادرس
3. فیلم آموزش مبانی احتمال مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان انواع داده در کامپیوتر فرادرس
5. فیلم آموزش مفاهیم آماری در داده کاوی و پیاده سازی آن در پایتون Python فرادرس
6. فیلم آموزش یادگیری ماشین و پیاده سازی در پایتون Python بخش یکم فرادرس

همچنین در لیست زیر برخی از کاربردی‌ترین دوره‌های فرادرس را که شامل مفاهیم آماری در زمینه یادگیری ماشین، نحوه کار با نرم‌افزارهای آماری مانند اکسل یا SPSS می‌شوند را مشاهده می‌کنید:

1. مجموعه آموزش اس پی اس اس SPSS – مقدماتی تا پیشرفته فرادرس
2. فیلم آموزش آنالیز واریانس با اس پی اس اس SPSS فرادرس
3. فیلم آموزش آمار مرور و حل سوالات آزمون های استخدامی فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان درخت تصمیم در یادگیری ماشین فرادرس
5. فیلم آموزش محاسبات آماری در اکسل Excel فرادرس

جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم انواع مختلف فرمول ضریب پراکندگی چگونه تعریف می‌شوند. همچنین یاد گرفتیم درک مفهوم پراکندگی به ما نشان می‌دهد نحوه توزیع داده‌ها در یک مجموعه داده چگونه است و برای اینکه بتوانیم آن را اندازه‌گیری کنیم، نیاز است کمیت‌های مختلفی محاسبه شوند. در جدول زیر، خلاصه‌ای از تمام فرمول‌های مورد نیاز در بررسی، اندازه‌گیری و تحلیل پراکندگی را جمع‌آوری کرده‌ایم: