دبی حجمی و کنترل آن در کانال باز – به زبان ساده

دبی حجمی عبوری از لوله‌ها را می‌توان به راحتی و با استفاده از انواع شیرهای صنعتی کنترل کرد. اما در کانال باز، انجام این کار به این سادگی نیست. برای کنترل دبی حجمی جریان در کانال باز، به دلیل محدودیت‌هایی که وجود دارد، باید قسمتی از کانال مسدود شود. بدین منظور، دو حالت امکان‌پذیر است. در حالت اول، با کمک یک دریچه سرریز (Overflow Gate) جریان از بالای یک مانع و در حالت دوم و با استفاده از یک دریچه زیرگذر (Underflow Gate) جریان از زیر یک مانع عبور می‌کند. تجهیزاتی که چنین امکانی را فراهم کنند، برای کنترل دبی حجمی در کانال باز مورد استفاده قرار می‌گیرند.

کنترل دبی حجمی با دریچه‌های زیرگذر

انواع مختلفی از دریچه‌های زیرگذر وجود دارد که می‌توان در کنترل دبی حجمی و اندازه‌گیری آن، از آنها استفاده کرد. هریک از این دریچه‌ها مزایا و معایب مخصوص به خود را دارد. دریچه‌های زیرگذر در پایین دیواره، سد یا کانال باز نصب می‌شوند.

دو نوع رایج از این دریچه‌ها، دریچه کشویی (Sluice Gate) و دریچه طبلی (Drum Gate) هستند. این دو دریچه را در شکل زیر مشاهده می‌کنید.

هنگامی که دریچه نیمه‌باز باشد، جریان بالادست در نزدیکی دریچه، شتاب می‌گیرد. به محض رسیدن به دریچه، سرعت به سرعت بحرانی می‌رسد و باز هم سرعت جریان بالاتر می‌رود تا با سرعت فوق بحرانی از دریچه عبور کند. بنابراین، دریچه زیرگذر مانند یک نازل همگرا -- واگرا در دینامیک گازها رفتار می‌کند. اگر جت سیال خارج شونده از دریچه در اتمسفر تخلیه شود، به جریان تخلیه این دریچه، جریان برون‌ریز آزاد (Free Outflow) گفته می‌شود (شکل الف). همچنین اگر سیال خارج شونده از دریچه، دارای جریان برگشتی باشد و جت خروجی مستغرق شود، جریان تخلیه در این دریچه، جریان برون‌ریز مستغرق (Drowned Outflow) نامیده خواهد شد (شکل ب). در جریان‌های مستغرق، جت سیال یک پرش هیدرولیکی (Hydraulic Jump) را تجربه می‌کند و در نتیجه، جریان پایین‌دست به صورت زیر بحرانی خواهد بود. علاوه بر این، سطح آشفتگی و میزان جریان برگشتی در جریان برون‌ریز مستغرق بیش از حد بوده و افت هد $$\large h_L$$ نیز زیاد است.

نمودار انرژی مخصوص برحسب عمق جریان برای سیالی که از دریچه زیرگذر عبور می‌کند در دو حالت جریان برون‌ریز آزاد و مستغرق رسم شده است. توجه کنید که در دریچه‌های ایده‌آل، انرژی مخصوص ثابت می‌ماند و از اثرات اصطکاک می‌توان صرف نظر کرد (از نقطه $$\large 1$$ تا نقطه $$\large 2a$$). ولی دریچه‌های واقعی این‌گونه نیستند و انرژی مخصوص در آنها با کاهش همراه است. در دریچه‌هایی که برون‌ریز آزاد دارند (نقطه $$\large 2b$$)، جریان پایین‌دست در حالت فوق بحرانی است ولی در مورد دریچه‌هایی که برون‌ریز آنها مستغرق است ($$\large 2c$$)، این جریان از نوع زیر بحرانی خواهد بود. زیرا پرش هیدرولیکی در آنها موجب آشفتگی شدیدی در جریان شده و مقدار زیادی انرژی تلف می‌شود.

اگر از اثرات اصطکاکی صرف نظر کنیم و سرعت جریان در بالادست (یا مخزن) کم باشد، با استفاده از معادله برنولی می‌توان نشان داد سرعت تخلیه یک جت آزاد از رابطه زیر پیروی می‌کند.

$$\large V\:=\: \sqrt {2g y_1}$$

برای اینکه اثرات اصطکاکی را نیز در نظر گرفته باشیم، رابطه بالا را با کمک ضریب تخلیه $$\large C_d$$ تصحیح می‌کنیم. در این حالت، سرعت تخلیه در دریچه و نرخ دبی حجمی به قرار زیر خواهد بود.

$$\large V\:=\: C_d \sqrt {2g y_1} \\~\\
\large \dot {V} \:=\: C_d ba \sqrt {2g y_1}$$

در اینجا، ضرایب $$\large b$$ و $$\large a$$ به ترتیب عرض و ارتفاع گشودگی دریچه را نشان می‌دهند. در جریان ایده‌آل، $$\large C_d\:=\:1$$ است ولی ضریب تخلیه برای جریان‌های واقعی همیشه از یک کوچکتر خواهد بود. با کمک نتایج آزمایشگاهی ضریب تخلیه، نمودار $$\large C_d$$ برحسب ضریب فشردگی $$\large y_2 /a$$ و نسبت عمق $$\large y_1 /a$$ در شکل زیر رسم شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بیشتر مقادیر $$\large C_d$$ مربوط به برون‌ریز آزاد، بین دو عدد $$\large 0.5$$ و $$\large 0.6$$ قرار دارند. در مورد جریان برون‌ریز مستغرق، مقادیر ضریب تخلیه و نرخ دبی حجمی به شدت کاهش پیدا کرده‌اند. اگر مقدار $$\large y_1 /a$$ ثابت باشد، با کاهش $$\large C_d$$، مقدار $$\large y_2 /a$$ زیاد می‌شود.

مثال: دریچه آبگیر با جریان برون‌ریز مستغرق

سؤال: آب از مخزنی به عمق $$\large 3\:m$$، از طریق یک دریچه آبگیر وارد کانال باز به عرض $$\large 6\:m$$ شده است. ارتفاع گشودگی دریچه $$\large 0.25\:m$$ است. اگر عمق جریان هنگامی که تمام تلاطم‌ها فروکش می‌کند، به $$\large 1.5\:m$$ برسد، نرخ دبی حجمی تخلیه را به دست آورید.

پاسخ: ابتدا نسبت عمق ($$\large y_1/a$$) و ضریب فشردگی ($$\large y_2/a$$) را محاسبه می‌کنیم.

$$\large \frac {y_1} {a}\:=\: \frac {3m} {0.25m} \:=\:12 \\~\\
\large \frac {y_2} {a}\:=\: \frac {1.5m} {0.25m} \:=\:6$$

با دقت در نموداری که پیش‌تر ارائه شد، ضریب تخلیه برابر با $$\large C_d\:=\: 0.47$$ به دست می‌آید. حالا می‌توانیم نرخ دبی حجمی را بیابیم.

$$\large \dot {V} \:=\: C_d ba \sqrt {2g y_1} \:=\: 0.47 (6\:m) (0.25 \:m) \sqrt {2(9.81 \:m/s^2) (3\:m)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ \dot {V} \:=\: 5.41 \:m^3/s$$

اگر جریان برون‌ریز، از نوع آزاد بود، ضریب تخلیه و نرخ دبی حجمی به ترتیب برابر با $$\large C_d\:=\: 0.59$$ و $$\large 6.78\: m^3/s$$ بودند. در نتیجه، هنگامی که جریان برون‌ریز از نوع مستغرق باشد، نرخ دبی حجمی به میزان زیادی کاهش می‌یابد.

کنترل دبی حجمی با دریچه‌های سرریز

اگر به یاد داشته باشید، انرژی مکانیکی کل یک سیال در هر مقطع عرضی از یک کانال باز را می‌توانیم برحسب هد و با کمک رابطه زیر بیان کنیم.

$$\large H\:=\: z_b \:+\: y\:+\: V^2/2g$$

در رابطه بالا، $$\large y$$ عمق جریان، $$\large z_b$$ ارتفاع کف کانال و $$\large V$$ هم سرعت متوسط جریان است. اگر بتوانیم از اثرات اصطکاکی صرف نظر کنیم (افت هد $$\large h_L =0$$)، انرژی مکانیکی کل ثابت می‌ماند. در این حالت، معادله یک‌بعدی انرژی برای جریان کانال باز بین بالادست (۱) و پایین‌دست (۲) به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large z_{b1} \:+\: y_1 \:+\: \frac {V^2_1} {2g} \:=\: z_{b2} \:+\: y_2 \:+\: \frac {V^2_2} {2g} \\~\\
\large E_{s1} \:=\: \Delta z_b \:+\: E_ {s2}$$

در این رابطه، انرژی مخصوص با $$\large E_s\:=\: y\:+\: V^2/2g$$ و اختلاف ارتفاع سطح زیرین سیال در قسمت ۲ نسبت به نقطه متناظرش در قسمت ۱ با $$\large \Delta z_b\:=\: z_{b2} \:-\: z_{b1}$$ نشان داده شده است. از این رو، اگر جریان رو به پایین باشد، انرژی مخصوص به اندازه $$\large |\Delta z_b|$$ افزایش می‌یابد و اگر جریان رو به بالا باشد، انرژی مخصوص سیال به میزان $$\large \Delta z_b$$ کاهش پیدا می‌کند. ضمناً اگر مسیر جریان افقی باشد، انرژی مخصوص تغییری نمی‌کند. توجه کنید که اگر اثرات اصطکاکی قابل چشم‌پوشی نباشند، در هر سه حالت، انرژی مخصوص کاهش می‌یابد.

برای کانالی با عرض ثابت $$\large b$$، با کمک روابط زیر در جریان پایدار، انرژی مخصوص به دست می‌آید.

$$\large \dot {V} \:=\: A_c V\:=\: byV \\~\\
\large V\:=\: \dot {V} /A_c \\~\\
\large E_s \:=\:y \:+\: \frac {\dot {V} ^2} {2gb^2 y^2}$$

تغییرات انرژی مخصوص $$\large E_s$$ با عمق جریان $$\large y$$ برای جریان پایدار در کانالی با عرض ثابت $$\large b$$ در شکل زیر نشان داده شده است. این نمودار، اطلاعات ارزشمندی را فراهم می‌کند. به محض اینکه شرایط جریان بالادست در قسمت ۱ مشخص شود، حالت سیال در قسمت ۲ یا در یک نمودار $$\large E_s-y$$ باید در نقطه‌ای روی منحنی انرژی مخصوص قرار بگیرد که از نقطه ۱ می‌گذرد.

کنترل دبی حجمی با قرار دادن مانع سر راه جریان

حالا جریان پایداری را در یک کانال افقی در نظر بگیرید که با صرف نظر از اصطکاک، از روی مانعی به ارتفاع $$\large \Delta z_b$$ عبور می‌کند. به شکل زیر توجه کنید. عرض کانال، ثابت و برابر با $$\large b$$ بوده و انرژی مخصوص آن به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large E_{s2} \:=\: E_{s1} \:+\: \Delta z_b$$

بنابراین، انرژی مخصوص سیال با عبور از روی مانع، به اندازه $$\large \Delta z_b$$ کاهش یافته و حالت آن در نمودار $$\large E_s -y$$ به اندازه $$\large \Delta z_b$$ به سمت چپ می‌رود. معادله پایستگی جرم برای کانالی با عرض زیاد به صورت زیر است.

$$\large y_2V_2 \:=\: y_1V_1 \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ V_2\:=\: (y_1/y_2) V_1$$

به این ترتیب، انرژی مخصوص سیال در عبور از روی مانع به دست می‌آید.

$$\large E_{s2} \:=\: y_2 \:+\: \frac {V^2_2} {2g} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ E_{s1} \:-\: \Delta z_b \:=\: y_2 \:+\: \frac {V^2_1} {2g} \times \frac {y^2 _1} {y^2 _2} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ y^3 _2 \:-\: (E_{s1} \:-\: \Delta z_b)\: y^2_2 \:+\: \frac {V^2_1} {2g} y^2 _1 \:=\:0$$

رابطه بالا، یک معادله چندجمله‌ای درجه سه برحسب $$\large y_2$$ است و در نتیجه سه ریشه دارد. با صرف نظر از مقدار منفی، می‌بینیم که عمق جریان سیال از روی مانع، دو جواب دارد.

حال سوال اینجاست که در بالای مانع، سطح جریان بالا می‌آید یا پایین می‌رود؟ در نگاه اول، این‌گونه به نظر می‌رسد که سطح جریان به تبعیت از مانعی که در سر راه جریان قرار دارد، بالا آمده و از روی مانع عبور می‌کند. انرژی مخصوص برابر با مجموع عمق جریان و هد دینامیکی است و براساس اینکه تغییرات سرعت چگونه باشد، هر دو حالت امکان‌پذیر است. به نمودار شکل قبل دقت کنید. اگر جریان پیش از رسیدن به مانع، زیر بحرانی باشد (حالت $$\large 1a$$)، عمق جریان $$\large y_2$$ کاهش می‌یابد (حالت $$\large 2a$$). اگر کاهش عمق جریان، بیشتر از ارتفاع مانع باشد ($$\large y_1- y_2> \Delta z_b$$)، روی سطح آزاد تورفتگی تشکیل خواهد شد. اما اگر جریان در لحظه رسیدن به مانع در حالت فوق بحرانی قرار داشته باشد (حالت $$\large 1b$$)،‌ عمق جریان در بالای مانع، بیشتر می‌شود (حالت $$\large 2b$$) و شکل مانع روی سطح آزاد تشکیل می‌شود.

اگر به جای وجود مانع در کانال، کاهش ارتفاع $$\large \Delta z_b$$ رخ دهد، شرایط برعکس می‌شود. در این حالت، به دلیل منفی بودن $$\large \Delta z_b$$، انرژی مخصوص افزایش می‌یابد. بنابراین، اگر پیش از کاهش ارتفاع، جریان در حالت زیر بحرانی باشد، عمق جریان افزایش و اگر در حالت فوق بحرانی باشد، عمق جریان کاهش می‌یابد.

بار دیگر وجود مانع را در نظر بگیریم. با افزایش ارتفاع مانع ($$\large \Delta z_b$$) نقطه شماره ۲ (هم $$\large 2a$$ و هم $$\large 2b$$) روی نمودار $$\large E_s -y$$به سمت چپ منتقل می‌شود تا در نهایت به نقطه بحرانی برسد. هنگامی که جریان روی مانع به حالت بحرانی می‌رسد، ارتفاع مانع به صورت زیر است و انرژی مخصوص سیال به کمترین سطح خود خواهد رسید.

$$\large \Delta z_c \:=\: E_{s1} \:-\: E_{sc} \:=\: E_{s1} \:-\: E_{min}$$

حالا سؤالی که پیش می‌آید این است که اگر باز هم ارتفاع مانع افزایش یابد چه اتفاقی خواهد افتاد؟ مشخص است که انرژی مخصوص از این کمتر نخواهد شد. زیرا همان‌طور که دیدیم، همین حالا هم در مینیمم مقدار خود قرار دارد. به عبارت دیگر، هم‌اکنون سیال در نقطه انتهایی سمت چپ روی نمودار $$\large E_s -y$$ قرار دارد. در نتیجه، سیال همچنان در نقطه بحرانی باقی خواهد ماند. در این حالت گفته می‌شود سیال در وضعیت خفگی قرار دارد.

در علم دینامیک گازها، خفگی جریان با حالتی معادل است که در آن، سرعت جریان در یک نازل همگرا، همزمان با اینکه فشار پایین‌دست پایین می‌آید، افزایش می‌یابد. این روند ادامه می‌یابد تا اینکه در خروجی نازل، سرعت جریان با سرعت صوت برابر شده و همزمان، فشار پایین‌دست به فشار بحرانی می‌رسد. از اینجا به بعد هرچقدر فشار پایین‌دست کاهش پیدا کند، تأثیری روی سرعت خروجی سیال از نازل نداشته و سرعت آن برابر با سرعت صوت باقی می‌ماند و جریان هنوز در حالت خفگی است.

کنترل دبی حجمی با کمک سرریز لبه پهن

بحث در مورد عبور جریان از روی یک مانع بلند را می‌توان به صورت خلاصه بیان کرد. اگر در جریان کانال باز، ارتفاع مانع به قدر کافی زیاد باشد، جریان عبوری از روی مانع همیشه بحرانی خواهد بود. موانعی که عمداً و به منظور اندازه‌گیری و کنترل دبی حجمی جریان در کانال‌های باز تعبیه می‌شوند، سرریز (Weir) نام دارند.

از این رو، سرعت جریان عبوری از روی چنین سرریزهایی را سرعت بحرانی می‌نامیم و به صورت $$\large V= \sqrt {g y_c}$$ تعریف می‌کنیم. در این رابطه، $$\large y_c$$ عمق بحرانی را نشان می‌دهد. نرخ دبی حجمی یک سرریز با عرض $$\large b$$ به طریق زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \dot {V} \:=\: A_c V\:=\: y_c b\times \sqrt {g y_c} \:=\: bg^{1/2} y_c ^{3/2}$$

سرریز لبه پهن (Broad-Crested Weir) که در شکل بالا مشاهده می‌کنید، یک بلوک مستطیلی با ارتفاع $$\large P_w$$ و طول $$\large L_w$$ است. تاج (Crest) این بلوک مستطیلی، افقی بوده و جریان بحرانی در آنجا اتفاق می‌افتد. بخشی از هد بالادست که در بالای سطح سرریز قرار می‌گیرد، هد سرریز نامیده شده و با نماد $$\large H$$ نشان داده می‌شود. اکنون می‌خواهیم رابطه‌ای برای $$\large y_c$$ که برحسب $$\large H$$ باشد پیدا کنیم. بدین منظور، معادله انرژی را با صرف نظر از اصطکاک، بین بالادست و قسمتی از جریان که در بالای سرریز قرار می‌گیرد، می‌نویسیم.

$$\large H\:+\: P_w \:+\: \frac {V^2_1} {2g} \:=\:y_c \:+\:P_w \:+\: \frac {V^2_c} {2g}$$

با جایگذاری مقدار $$\large V_c= \sqrt {gy_c}$$، رابطه بالا را بازنویسی می‌کنیم.

$$\large y_c\:=\: \frac {2} {3} (H\:+\: \frac {V^2_1} {2g})$$

اکنون با مقایسه این رابطه و رابطه‌ای که برای نرخ دبی حجمی نوشتیم، می‌توانیم دبی جریان ایده‌آل و بدون اصطکاک را تعیین کنیم.

$$\large \dot {V} _{ideal} \:=\:b \sqrt {g}\: (\frac {2} {3}) ^{3/2} (H\:+\: \frac {V^2_1} {2g})^{3/2}$$

این رابطه، وابستگی نرخ دبی حجمی را به پارامترهای مختلف جریان نشان می‌دهد ولی از آنجایی که اثرات اصطکاک در نظر گرفته نشده، دبی حجمی را کمی بیشتر از مقدار واقعی‌اش محاسبه می‌کند. با کمک برخی از ضرایب تصحیح، می‌توان این اثرات را نیز لحاظ کرد. ضریب تخلیه سرریز به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large \dot {V} _{ideal} \:=\:C_ {\text {wd, broad}}b \sqrt {g}\: (\frac {2} {3}) ^{3/2} (H\:+\: \frac {V^2_1} {2g})^{3/2}$$

مقادیر دقیق ضرایب تخلیه برای کنترل دبی حجمی در سرریزهای لبه پهن، با رابطه زیر به دست می‌آید.

$$\large C_ {\text {wd, broad}} \:=\: \frac {0.65} {\sqrt {1\:+\: H/ P_w}}$$

از طرفی، سرعت بالادست ($$\large V_1$$) معمولاً بسیار کم است. به خصوص زمانی که ارتفاع سرریز بلند باشد، این اتفاق رخ می‌دهد. در این حالت می‌توان از تقریب زیر برای به دست آوردن دبی حجمی استفاده کرد.

$$\large \dot {V} _{ideal} \:\cong\:C_ {\text {wd, broad}}b \sqrt {g}\: (\frac {2} {3}) ^{3/2} (H)^{3/2}$$

دقت کنید که تمام این روابط، برای زمانیست که جریان در بالای سرریز بحرانی باشد. همین موضوع، موجب بروز محدودیت‌هایی برای طول سرریز ($$\large L_w$$) می‌شود. اگر طول سرریز خیلی زیاد باشد ($$\large L_w> 12H$$)، اثرات برشی دیواره غالب می‌شود و جریان بالای سرریز را به جریان زیر بحرانی تبدیل می‌کنند. از طرف دیگر، اگر طول سرریز خیلی کوتاه باشد ($$\large L_w< 2H$$)، ممکن است سیال نتواند به سرعت بحرانی برسد. براساس نتایج آزمایشگاهی، بهترین طول برای سرریز لبه پهن در بازه $$\large 2H< L_w< 12H$$ قرار می‌گیرد. این نکته را نیز در نظر داشته باشید که ممکن است طول سرریز برای یک جریان، بلند و برای یک جریان دیگر، کوتاه باشد. این موضوع به مقدار هد سرریز وابسته است. به همین دلیل، پیش از انتخاب سرریز، حدود نرخ دبی حجمی باید تعیین شده باشد.

کنترل دبی حجمی با کمک سرریز لبه تیز

سرریز لبه تیز (Sharp-Crested Weir)، به یک صفحه عمودی گفته می‌شود که در کانال قرار می‌گیرد. در این سرریز، به منظور کنترل دبی حجمی و اندازه‌گیری آن، جریان به اجبار از قسمت گشودگی عبور داده می‌شود. انواع سرریز لبه تیز براساس شکل قسمت گشودگی، دسته‌بندی می‌شوند. اگر از یک صفحه نازک که لبه بالای آن صاف است، استفاده شود، مقطع عرضی جریان به شکل مستطیل خواهد بود. از این رو، به این سرریز، سرریز مستطیلی گفته می‌شود. در سرریز مثلثی، گشودگی بالای صفحه، به شکل مثلث است و جریان فقط از این قسمت عبور می‌کند.

جریان بالادست، زیر بحرانی بوده و به محض رسیدن به دریچه، به حالت بحرانی می‌رسد. سرعت سیال باز هم بیشتر می‌شود تا سیال فوق بحرانی به صورت جت آزاد تخلیه شود. شیب پایدار ارتفاع سطح آزاد جریان و تبدیل این هد ارتفاع به هد سرعت، موجب شتاب گرفتن سیال می‌شود. جریان آزاد عبوری از روی سرریز، جریان ریزشی (Nappe) نام دارد. جریان مایع عبوری از بالای سرریز لبه تیز نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید که در کانال افقی قرار گرفته است. برای سادگی، فرض کرده‌ایم که سرعت جریان بالادست سرریز در مقطع عرضی شماره ۱، تقریباً ثابت است.

انرژی کل جریان بالادست برحسب هد نسبت به کف کانال، همان انرژی مخصوص و برابر با حاصل‌جمع عمق جریان و هد سرعت است.

$$\large E_{s1} \:=\: y_1 \:+\: V^2_1 /2g \\~\\
\large y_1 \:=\: H\:+\: P_w$$

از آنجایی که هم سرعت و هم جهت جریان در بالای سرریز تغییر می‌کند، نمی‌توانیم از تحلیل جریان یک‌بعدی در اینجا استفاده کنیم ولی فشار در ناحیه جریان ریزشی، برابر با فشار اتمسفر است. برای یافتن رابطه ساده‌ای که تغییرات سرعت سیال را در بالای سرریز نشان دهد، اثرات اصطکاکی را حذف و از معادله برنولی استفاده می‌کنیم. بدین منظور، معادله برنولی را بین نقطه‌ای در جریان بالادست (نقطه ۱) و نقطه‌ای در بالای سرریز (نقطه ۲) و با فاصله $$\large h$$ از سطح آزاد در بالادست می‌نویسیم.

$$\large H\:+\: P_w \:+\: \frac {V^2_1} {2g} \:=\: (H\:+\: P_w \:-\: h) \:+\: \frac {u^2_2} {2g}$$

ساده کردن معادله بالا و مرتب کردن آن برحسب $$\large u_2$$، توزیع سرعت ایده‌آل را در بالای سرریز نتیجه می‌دهد.

$$\large u_2 \:=\: \sqrt {2gh \:+\: V^2_1}$$

در حقیقت، به محض ریزش آزاد سیال از بالای این سرریز، ارتفاع سطح جریان اندکی کاهش می‌یابد و جدایش جریان در لبه بالایی، جریان ریزشی را باریک‌تر می‌کند. در نتیجه، ارتفاع سطح جریان در بالای سرریز، به اندازه قابل توجهی از مقدار $$\large H$$ کمتر است. برای ساده‌تر شدن استخراج معادلات جریان، از این دو اثر صرف نظر می‌کنیم. اکنون با محاسبه انتگرال حاصل‌ضرب سرعت جریان در مساحت جزء دیفرانسیلی در تمام سطح جریان، نرخ دبی حجمی را به دست می‌آوریم.

$$\large \dot {V}\:=\: \int_{A_c}^{} u_2 dA_ {c2} \:=\: \int_{h=0}^{H} \sqrt {2gh \:+\: V^2_1} \:wdh$$

(رابطه ۱)

در رابطه بالا، $$\large w$$، عرض مقطع جریان در فاصله $$\large h$$ از سطح آزاد بالادست است. به صورت کلی، $$\large w$$ تابعی از $$\large h$$ است ولی مثلاً در مورد سرریزهای مستطیلی، این مقدار ثابت می‌ماند. در این صورت، محاسبه انتگرال ساده می‌شود و نرخ دبی حجمی در سرریز مستطیلی برای جریان ایده‌آلی که بتوان از اثرات اصطکاکی آن صرف نظر کرد، به صورت زیر خواهد بود.

$$\large \dot {V}_ {ideal}\:=\: \frac {2} {3} b\sqrt {2g} \left[ (H\:+\: \frac {V_1^2} {2g}) ^{3/2} \:-\: (\frac {V^2_1} {2g}) ^ {3/2} \right]$$

اگر ارتفاع سرریز نسبت به هد سرریز، خیلی بزرگتر باشد ($$\large P_w \gg H$$) سرعت جریان بالادست $$\large V_1$$ کم بوده و می‌توانیم از هد سرعت بالادست چشم بپوشیم. در این صورت رابطه $$\large V_1 /2g \ll H$$ برقرار بوده و رابطه دبی حجمی به صورت زیر تقریب زده می‌شود.

$$\large \dot {V}_ {ideal}\: \cong\: \frac {2} {3} b\sqrt {2g}H ^{3/2}$$

بنابراین، با داشتن دو مقدار هندسی، یکی عرض تاج ($$\large b$$) و دیگری هد سرریز ($$\large H$$) می‌توان نرخ دبی حجمی را محاسبه کرد. این تحلیل ساده شده، شکل کلی رابطه نرخ دبی حجمی را بیان می‌کند ولی برای اینکه بتواند اثرات اصطکاکی و کشش سطحی را نیز لحاظ کند، باید اصلاحاتی روی آن انجام شود. بدین منظور از ضریب تخلیه سرریز استفاده می‌کنیم که مقدار آن براساس نتایج آزمایشگاهی تعیین شده و با نماد $$\large C_{wd}$$ نشان داده می‌شود. به این ترتیب، رابطه نرخ دبی حجمی جریان در سرریز مستطیلی لبه تیز به صورت زیر خواهد بود. نماد $$\large C_{wd, \text { rec}}$$ نشان دهنده ضریب تخلیه در سرریز مستطیلی است.

$$\large \dot {V} _{\text {rec}} \:=\: C_{wd,\text { rec}} \frac {2} {3} b \sqrt {2g} \:H^ {3/2}$$

رابطه بالا را می‌توان در دامنه وسیعی از اعداد رینولدز در جریان بالادست ($$\large Re= V_1 H/v$$) به کار برد. دقت کنید که در رابطه بالا، عرض مستطیل باید با عرض کانال برابر باشد، در غیر این صورت، فشردگی جریان رخ می‌دهد و باید ضرایب دیگری هم برای تصحیح این اثر لحاظ شود. نوع دیگری از سرریزهای لبه تیز که برای اندازه‌گیری و کنترل دبی حجمی مورد استفاده قرار می‌گیرد، سرریز مثلثی است که شماتیک آن را در شکل زیر مشاهده می‌کنید.

یکی از مزایای این سرریز که تحت عنوان سرریز با شکاف $$\large V$$ هم شناخته می‌شود، زیاد بودن هد سرریز $$\large H$$ حتی برای نرخ دبی حجمی پایین است. همچنین، این سازه قادر است طیف وسیعی از نرخ دبی حجمی را با دقت بالایی اندازه‌گیری کند. با در نظر گرفتن ابعاد هندسی، عرض شکاف را می‌توانیم به صورت زیر بیان کنیم که $$\large \theta$$ زاویه شکاف $$\large V$$ را نشان می‌دهد.

$$\large w\:=\: 2(H \:-\: h) \: \tan (\theta /2)$$

با ادغام این رابطه با رابطه ۱ و محاسبه انتگرال برای نرخ دبی حجمی ایده‌آل در سرریز مثلثی، نتیجه زیر حاصل می‌شود.

$$\large \dot {V} _{\text {ideal, tri}} \:=\: \frac {8} {15} \tan (\frac {\theta} {2}) \sqrt {2g} H^ {5/2}$$

اگر بخواهیم اثرات اصطکاکی و سایر عوامل منجر به اتلاف انرژی را هم در نظر بگیریم، باز هم به ضریب تخلیه سرریز نیاز خواهیم داشت. به این ترتیب، نرخ دبی حجمی برای سرریز لبه تیز با شکاف مثلثی به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large \dot {V} \:=\: C_{wd,\: \text {tri}} \frac {8} {15} \tan (\frac {\theta} {2}) \sqrt {2g} H^ {5/2}$$

در عمل، مقدار ضریب $$\large C_{wd,\: \text {tri}}$$ عددی در بازه $$\large 0.58$$ تا $$\large 0.62$$ است. بنابراین، اصطکاک سیال، انقباض مقطع عرضی جریان و سایر اثراتی که موجب اتلاف انرژی می‌شوند، می‌توانند نرخ دبی حجمی را نسبت به حالت ایده‌آل، تا $$\large 40$$ درصد کاهش دهند. در بیشتر کاربردهای واقعی که شرایط $$\large H> 0.2 m$$ و $$\large 45^ \circ <\theta <120^ \circ$$ برقرار است، مقدار ضریب تخلیه سرریز در حدود $$\large C_{wd,\: \text {tri}} =0.58$$ تخمین زده می‌شود.

مثال ۱: کنترل دبی حجمی در عبور جریان زیر بحرانی از روی یک مانع

سؤال: در یک کانال باز افقی با عرض زیاد، جریان آب از روی مانعی به ارتفاع $$\large 15 \:cm$$ عبور می‌کند. اگر پیش از رسیدن به مانع، عمق جریان و سرعت آن به ترتیب برابر $$\large 0.80 \:m$$ و $$\large 1.2 \:m/s$$ باشد، پروفایل جریان را در بالای مانع مشخص کنید.

پاسخ: ابتدا عدد فرود در بالادست و عمق بحرانی را محاسبه می‌کنیم.

$$\large Fr_1 \:=\: \frac {V_1} {\sqrt {gy_1}} \:=\: \frac {1.2\: m/s} {\sqrt {(9.81\: m^2/s) (0.80 \:m)}} \:=\: 0.428 \\~\\
\large y_c \:=\: (\frac {\dot {V} ^2} {gb^2}) ^{1/3}\:=\: (\frac {(by_1 V_1 )^2} {gb^2}) ^{1/3} \:=\: (\frac {y_1^2 V_1^2} {g}) ^{1/3} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ y_c \:=\: (\frac {(0.8\:m) ^2( 1.2\: m/s) ^2} {9.81\: m/s^2}) ^{1/3} \:=\: 0.455 \:m$$

عدد فرود کوچکتر از یک است و در نتیجه، جریان در حالت زیر بحرانی قرار دارد. به همین دلیل، عمق جریان در بالای مانع کاهش می‌یابد. انرژی مخصوص جریان بالادست را به ترتیب زیر محاسبه می‌کنیم.

$$\large E_{s1} \:=\: y_1 \:+\: \frac {V_1^2} {2g} \:=\: (0.80 \:m) \:+\: \frac {(1.2\: m/s) ^2} {2 (9.81\: m/s^2)} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ E_{s1} \:=\: 0.873 \:m$$

اکنون، عمق جریان عبوری از روی مانع را به دست می‌آوریم.

$$\large y_2^3 \:-\: (E_{s1} \:-\: \Delta z_b) y_2^2 \:+\: \frac {V_1^2} {2g} y_1^2 \:=\:0 \\~\\
\large y_2^3 \:-\: (0.873 \:-\: 0.15 \:m) y_2^2 \:+\: \frac {(1.2\: m/s) ^2} {2(9.81\: m/s^2)} (0.80 \:m)^2 \:=\:0 \\~\\
\large y_2^3 \:-\: 0.723\: y_2^2 \:+\: 0.0470 \:=\:0$$

با حل معادله درجه سوم بالا، سه مقدار $$\large 0.59$$، $$\large 0.36$$ و $$\large -0.22$$ متر به دست می‌آید. مقدار منفی که عملاً غیر ممکن بوده و مقدار $$\large 0.36$$ نیز به دلیل اینکه از عمق بحرانی کوچکتر است و فقط در جریان فوق بحرانی رخ می‌دهد، اعتبار ندارد. بنابراین، تنها جواب قابل قبول برای عمق جریان، مقدار $$\large y_2=0.59m$$ است. حالا می‌توانیم فاصله سطح آب روی مانع را تا کف کانال محاسبه کنیم.

$$\large \Delta z_b \:+\: y_2 \:=\: 0.15 \:+\: 0.59 \:=\: 0.74 \:m$$

مقدار به دست آمده، از $$\large y_1= 0.80m$$ کوچکتر است. در نتیجه، یک تورفتگی در سطح آب تشکیل می‌شود. مقدار این تورفتگی به صورت زیر به دست می‌آید.

$$\large y_1\:-\: (y_2 \:+\: \Delta z_b) \:=\: 0.80 \:-\: (0.59 \:+\: 0.15)\:=\: 0.06m$$

توجه کنید که برقرار بودن رابطه $$\large y_2< y_1$$ به تنهایی برای وجود تورفتگی در سطح جریان، کافی نیست. فقط زمانی تورفتگی ایجاد می‌شود که حاصل عبارت $$\large y_1 -y_2$$ از ارتفاع مانع $$\large \Delta z_b$$ بزرگتر باشد. همچنین ممکن است مقدار واقعی تورفتگی متفاوت از $$\large 0.06m$$ باشد. زیرا هنوز اثرات اصطکاک و اتلاف انرژی در نظر گرفته نشده است.

مثال ۲: اندازه‌گیری و کنترل دبی حجمی با استفاده از سرریز

سؤال: جریان آب در یک کانال باز افقی به عرض $$\large 5m$$ برقرار است. به منظور اندازه‌گیری و کنترل دبی حجمی از یک سرریز مستطیلی لبه تیز با ارتفاع $$\large 0.60m$$ و عرض یکسان استفاده کرده‌ایم. اگر عمق جریان بالادست، $$\large 1.5m$$ باشد، نرخ دبی حجمی را به دست آورید.

پاسخ: ابتدا هد سرریز و ضریب تخلیه آن را به دست می‌آوریم.

$$\large H\:=\: y_1 \:-\: P_w \:=\: 1.5 \:-\: 0.60 \:=\: 0.90 \:m \\~\\
\large C_{wd, \text { rec}} \:=\: 0.598 \:+\: 0.0897\: \frac {H} {P_w} \:=\: 0.598 \:+\: 0.0897\: \frac {0.90} {0.60} \:=\: 0.733$$

شرط $$\large H/P_w <2$$ برقرار است؛ زیرا $$\large 0.9/0.6 =1.5$$. اکنون نرخ دبی حجمی آب عبوری از داخل کانال به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$\large \dot {V} _{\text {rec}} \:=\: C_{wd, \text { rec}} \frac {2} {3} b \sqrt {2g} H^ {3/2} \\~\\
\large =\: (0.733) \frac {2} {3} (5m) \sqrt {2 (9.81\: m/s^2)} (0.90 \:m) ^{3/2} \\~\\
\large \Rightarrow ~~~ \dot {V} _{\text {rec}} \:=\: 9.24\: m^3/s$$

سرعت جریان و هد سرعت در بالادست به صورت زیر است.

$$\large V_1 \:=\: \frac {\dot {V}} {by_1} \:=\: \frac {9.24\: m^3/s} {(5\:m) (1.5\:m)} \:=\: 1.23 \:m/s \\~\\
\large \frac {V_1^2} {2g} \:=\: \frac {(1.23\: m/s)^2} {2(9.81\: m/s^2)} \:=\: 0.77 \:m$$

این مقدار تقریباً برابر با $$\large 8.6$$ درصد از هد سرریز است که عدد قابل ملاحظه‌ای به حساب می‌آید. هنگامی که هد سرعت بالادست را در نظر بگیریم، نرخ دبی حجمی برابر با $$\large 10.2 m^3/s$$ می‌شود که در حدود $$\large 10$$ درصد بیش از مقدار به دست آمده است. بنابراین، غیر از حالت‌هایی که در آنها ارتفاع سرریز $$\large P_w$$ نسبت به هد سرریز $$\large H$$ خیلی بزرگتر باشد، بهتر است هد سرعت بالادست هم در نظر گرفته شود.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های مهندسی مکانیک
• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی مکانیک
• آموزش هیدرولیک برای مهندسین عمران
• تابع پتانسیل و جریان پتانسیل در سیالات — از صفر تا صد
• جریان یکنواخت در کانال باز – به زبان ساده
• ورتکس (Vortex) چیست؟ — به زبان ساده
• جریان تراکم‌ پذیر (Compressible Flow) — اصول و مفاهیم

^^