پرش هیدرولیکی پدیده‌ایست که به وفور در رودخانه‌ها و کانال‌های روباز دیده می‌شود. نخستین بار، «لئوناردو داوینچی» (Leonardo da Vinci) مخترع و نقاش ایتالیایی در قرن شانزدهم میلادی، پرش هیدرولیکی را مشاهده و ثبت کرد. پس از او اما تا اوایل قرن نوزدهم طول کشید تا «جورجیو بیدونه» (Giorgio Bidone) مهندس ایتالیایی، اولین مقاله را در این زمینه منتشر کند. او در مقاله خود نشان داد هنگامی که جریانی تند به جریانی با سرعت آرام می‌رسد، انرژی جنبشی چگونه منتشر می‌شود. فرض کنید، سیالی با سرعت زیاد در یک کانال روباز جریان دارد. در این حالت ممکن است به علتی، جریان ناپایدار شود. اکنون بروز کوچکترین اعوجاجی می‌تواند سطح بالای جریان را به صورت ناگهانی، به ارتفاع بالاتری ببرد. به این پدیده، پرش هیدرولیکی گفته می‌شود. شکل زیر، نمونه‌ای از این پدیده را نشان می‌دهد. در اینجا، وجود مانع سر راه جریان، موجب اعوجاج شده است.

اغتشاش جریان

انواع پرش هیدرولیکی

پرش هیدرولیکی هنگامی رخ می‌دهد که تغییر ناگهانی از حالت فوق بحرانی به حالت زیر بحرانی در جریان اتفاق بیفتد. در حالت فوق بحرانی، نیروی اینرسی غالب است. اما در حالت زیر بحرانی، نیروی گرانش غلبه می‌کند. مهمترین عاملی که در پرش هیدرولیکی تأثیر می‌گذارد، عدد فرود (Froude Number) اولیه است. این عدد به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$\large Fr_1 = \frac {u_1}{\sqrt{gD}}$$

در رابطه بالا، $$\large u_1$$ سرعت متوسط طولی در قسمت ابتدای جریان است. $$\large g$$ شتاب گرانش را نشان می‌دهد. عمق میانگین هیدرولیکی را هم با $$\large D$$ نشان داده‌ایم. براساس این عدد بدون بُعد، پرش هیدرولیکی را می‌توان به صورت زیر دسته‌بندی کرد.

پرش موجی (Undular Jump): در این حالت، عدد فرود در بازه $$\large 1 < Fr_1 < 1.7$$ قرار می‌گیرد. در این دسته (مانند شکل زیر)، امواج به صورت جزئی تشکیل می‌شود. تفاوت عمق در بالا دست و پایین دست جریان کم است و حالت انتقال، ناگهانی نیست.

پرش موجی

پرش ضعیف (Weak Jump): هنگامی که عدد فرود در بازه $$\large 1.7 < Fr_1 < 2.5$$ باشد، به این پدیده، پرش ضعیف گفته می‌شود. در پرش ضعیف، جریان‌های ادی (Eddy) روی سطح تشکیل می‌شود. شکل زیر را در نظر بگیرید. افت انرژی کم است و نسبت عمق نهایی به عمق اولیه، بین 2 تا 3/1 است.

پرش ضعیف

پرش نوسانی (Oscillating Jump): در پرش نوسانی، عدد فرود در بازه $$\large 2.5 < Fr_1 < 4.5$$ قرار دارد. در این نوع پرش، جت آب از بالا به پایین نوسان می‌کند و امواج سطحیِ تشکیل شده، تا انتها ادامه می‌یابند. نسبت عمق نهایی به عمق اولیه، بین 3/1 تا 5 است. این پرش ممکن است اثرات مخربی هم داشته باشد. پرش نوسانی در شکل زیر نشان داده شده است.

پرش نوسانی

پرش پایدار (Steady Jump): اگر عدد فرود در بازه $$\large 4.5 < Fr_1 < 9$$ قرار بگیرد، پرش هیدرولیکی از نوع پایدار است. در پرش پایدار، محل وقوع پرش، صرف نظر از شرایط پایین دست جریان، ثابت می‌ماند. سطح آب در پایین دست به میزان قابل توجهی بالا می‌رود. نسبت عمق نهایی به عمق اولیه، بین 5/9 تا ۱۲ است و داخل ناحیه پرش، توربولانس بسیار محدود خواهد بود. در این حالت، غلتاب (Roller)هایی روی سطح تشکیل می‌شود. شکل زیر، شماتیک پرش پایدار را نشان می‌دهد.

پرش پایدار

پرش قوی (Strong Jump): در پرش قوی، عدد فرود در بازه $$\large Fr_1 >9$$ خواهد بود. در این حالت و مطابق شکل زیر، ارتفاع پرش بسیار زیاد است. قدرت انتشار انرژی در بیشترین میزان خود قرار دارد. نسبت عمق نهایی به عمق اولیه از عدد ۱۲ فراتر می‌رود و ممکن است به ۲۰ هم برسد. در این پرش، افت انرژی بیش از 70 درصد خواهد بود. پرش قوی در شکل زیر نشان داده شده است.

پرش قوی

تحلیل جریان در پرش هیدرولیکی

برای تحلیل دقیق این پدیده، شکل زیر را در نظر بگیرید. در اینجا، سرعت متوسط جریان بالا دست و پایین دست را به ترتیب با $$\large u_1$$ و $$\large u_2$$ نشان داده‌ایم. همچنین عمق جریان در بالا دست و پایین دست به ترتیب با $$\large H_1$$ و $$\large H_2$$ نام‌گذاری شده است. حجم کنترل مطابق شکل، مرزهای بالا دست و پایین دست جریان را در بر گرفته است. معادلات پایستگی جرم و مومنتوم خطی را برای این حجم کنترل می‌نویسیم. برای سادگی محاسبات، عرض کانال را به اندازه واحد فرض کردیم.

حجم کنترل

جریان در این حجم کنترل، پایدار است. در نتیجه، پایستگی جرم به صورت زیر نوشته می‌شود.

$$\large u_1H_1 = u_2H_2 = Q$$

در رابطه بالا، $$\large Q$$، نرخ دبی حجمی را نشان می‌دهد. برای اعمال نظریه مومنتوم خطی در مسیر جریان، نیروهای هیدرواستاتیک را در دو طرف مشخص می‌کنیم. این نیرو در مرز بالا دست جریان، برابر $$\large \rho g \frac {H^2_1}{2}$$ است. در اینجا $$\large \rho$$ چگالی سیال بوده و ثابت فرض می‌شود. به طریق مشابه، نیروی هیدرواستاتیک در پایین دست جریان را هم با $$\large \rho g \frac {H^2_2}{2}$$ نشان می‌دهیم. بنابراین، تغییرات نیروی هیدرواستاتیک در طول این مسیر، برابر با $$\large \rho g \frac {(H^2_2-H^2_1)}{2}$$ خواهد بود. از نیروهای ویسکوزی که ممکن است روی مرز صلب تأثیر بگذارند، چشم‌پوشی کرده‌ایم. با تفاضل مومنتوم ورودی و خروجی در حجم کنترل، نظریه مومنتوم خطی را می‌توان به شکل زیر نوشت.

$$\large \rho u^2_2H_2 – \rho u^2_1H_1 = \frac {1}{2} \rho g (H^2_1 – H^2_2)$$

رابطه قبل را می‌توان با وارد کردن دبی، به طریق زیر بازنویسی کرد.

$$\large \frac {Q^2}{H_1H_2} (H_1 – H_2) = \frac {g}{2} (H_1 – H_2)(H_1 + H_2)$$

حال، اگر $$\large H_1 = H_2$$ برقرار باشد، هیچ پرشی رخ نداده است. در غیر این صورت، رابطه بالا را به صورت زیر ساده می‌کنیم.

$$\large \frac {2Q^2}{gH_1H_2} =(H_1 + H_2)$$

(رابطه ۱)

رابطه بالا را می‌توان به عنوان یک معادله درجه دوم برحسب $$\large H_2$$ در نظر گرفت. بنابراین، با حل این معادله درجه دوم، عمق جریان در پایین دست، به دست می‌آید.

$$\large H_2 = -\frac {H_1}{2} \pm \sqrt {\frac {H^2_1}{4} + \frac {8Q^2}{gH_1}}$$

بدیهی است که تنها جوابی که در حالت واقعی قابل قبول است، با علامت $$\large +$$ به دست می‌آید. در نتیجه، عمق محاسبه شده برای پایین دست جریان به صورت زیر است.

$$\large H_2 = -\frac {H_1}{2} (-1+ \sqrt {1+\frac {8 Q^2}{gH^3_1}})$$

رابطه بالا، چگونگی ارتباط بین عمق در بالا دست و پایین دست جریان را نشان می‌دهد. از طرفی، در ابتدای این قسمت دیدیم که با توجه به قانون پایستگی جرم، نسبت $$\large \frac {H_2}{H_1} = \frac {u_1}{u_2}$$ برقرار است. پس به راحتی می‌توان بین سرعت جریان در بالا دست و پایین دست هم رابطه‌ای برقرار کرد. از طرف دیگر، با توجه به تعریف عدد فرود در ابتدای این مقاله، می‌توانیم با نوشتن این عدد برای بالا دست و پایین دست جریان، رابطه زیر را نتیجه‌گیری کنیم.

$$\large \begin{cases} Fr_1 = \frac {u_1}{\sqrt{gH_1}} \\ Fr_2 = \frac {u_2}{\sqrt{gH_2}} \end{cases}\\~\\
\large \Rightarrow~~~Fr_2 = Fr_1 (\frac {-1 + \sqrt {1+8Fr^2_1}}{2})^{-\frac {3}{2}}
$$

نمودار عدد فرود

نسبت عدد فرود $$\large \frac {Fr_2}{Fr_1}$$ و نسبت عمق جریان $$\large \frac {H_1}{H_2}$$ در نمودار شکل بالا به عنوان تابعی از عدد فرود جریان بالا دست، رسم شده است. پارامتر $$\large \dot {W}$$ در شکل، نشان دهنده افت انرژی در عرض واحد کانال است. با توجه به نمودار و روابط بالا می‌توان به نتایج زیر رسید.

  • عدد فرود بالا دست همیشه بزرگتر از واحد است.
  • عدد فرود در جریان پایین دست همیشه کوچکتر از واحد است. در یک پرش هیدرولیکی، جریان بالا دست، همیشه فوق بحرانی است. در حالی که جریان پایین دست نیز همیشه زیر بحرانی است. این رفتار در موج شوک (Shock Wave) هم اتفاق می‌افتد. در موج شوک، جریان بالا دست همیشه در حالت فوق بحرانی است. در حالی که جریان پایین دست آن، در حالت زیر بحرانی قرار دارد.

افت انرژی در پرش هیدرولیکی

برای محاسبه افت انرژی در این پدیده، شکل زیر را در نظر بگیرید. در این شکل، لوله جریان رسم شده است. فشار اتمسفر را روی سطح آزاد با $$\large p_A$$ نشان می‌دهیم. در این صورت، فشار استاتیک $$\large p_1$$ در ورود به لوله جریان با ارتفاع $$\large \alpha H_1$$ (با شرط $$\large 0<\alpha < 1$$) و فشار کل $$\large p^T_1$$، به شیوه زیر محاسبه می‌شود.

افت انرژی در پرش هیدرولیکی

$$\large p_1 = p_A + (1-\alpha)\rho gH_1\\~\\
\large p^T_1 = p_A + (1-\alpha)\rho g H_1 + \alpha\rho gH_1 + \frac {1}{2}\rho u^2_1\\~\\
\large \Rightarrow ~~~p^T_1 = p_A+\rho gH_1 + \frac {1}{2}\rho u^2_1$$

به طور مشابه، فشار کل در پایین دست لوله جریان، به صورت زیر خواهد بود.

$$\large p^T_2=p_A + \rho gH_2 + \frac {1}{2}\rho u^2_2$$

به این ترتیب، افت فشار کل با عبور از پرش هیدرولیکی و در مسیر لوله جریان به طریق زیر به دست می‌آید.

$$\large p^T_1-p^T_2= \rho g(H_1-H_2) + \frac {1}{2}\rho (u^2_1-u^2_2)$$

اکنون با استفاده از قانون پایستگی جرم و رابطه شماره ۱، افت فشار کل را به شکل زیر می‌نویسیم.

$$\large p^T_1-p^T_2= \frac {\rho g(H_2-H_1)^3}{4H_2H_1}$$

بنابراین، افت انرژی در پرش هیدرولیکی و در عرض واحد کانال، به صورت زیر به دست می‌آید.

$$\large \dot{W} = (p^T_1-p^T_2)Q\\~\\
\large \Rightarrow~~~ \frac {\dot{W}}{\rho g H_1Q} = \frac {(H_2-H_1)^3}{4H_2H^2_1}$$

مقدار بی‌بُعد در سمت چپ مساوی، معرف افت انرژی است که در نمودار قبلی هم رسم شده بود. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، افزایش پرش، تأثیر قابل ملاحظه‌ای روی افت انرژی دارد. در شرایط واقعی، افت انرژی به صورت ترکیبی از تلاطم شدید و پرش پدیدار می‌شود. در رودخانه‌ها هنگامی که مانعی سر راه جریان قرار داشته باشد، جریان فوق بحرانی شده و به سمت پایین دست، شتاب می‌گیرد. در نهایت پس از پرش هیدرولیکی، انرژی‌اش پخش شده و دوباره به حالت زیر بحرانی برمی‌گردد. تصویر سمت چپ در شکل زیر، مثالی رایج از این پدیده را نشان می‌دهد. اما تصویر سمت راست، نشان می‌دهد پرش هیدرولیکی فقط مختص سیالات نیست. در این تصویر، سرازیر شدن مواد گرانول را از یک سطح شیبدار مشاهده می‌کنید. لایه بالا دست جریان، نازک بوده و سرعت بسیار بالایی دارد. همین موضوع، عکس‌برداری از این پدیده را مشکل کرده است.

مثال پرش هیدرولیکی

امواج جزر و مدی

فرض کنید موجی از سمت اقیانوس وارد مسیر باریکی مانند دهانه رودخانه شود. جریان رودخانه و موج هر کدام در خلاف جهت یکدیگر در حال حرکتند. در این حالت، امواجی غیر عادی در دهانه رودخانه تشکیل می‌شود که جریان رودخانه را به عقب می‌زند. به این پدیده، موج جزر و مدی (Tidal Bore) گفته می‌شود. با این وجود، چنین پدیده‌ای فقط در نقاط انگشت‌شماری از کره زمین رخ می‌دهد. رودخانه باید نسبتاً کم‌عمق بوده و خروجی آن به اقیانوس یا دریا باریک و کم عرض باشد. در کنار این موارد، اگر دهانه رود هم مسطح و عریض باشد، شرایط برای تشکیل امواج جزر و مدی فراهم می‌شود. البته در برخی نقاط، استثناهایی هم برای تشکیل این امواج وجود دارد. نمونه‌های از این پدیده را می‌توان در رودخانه‌های آمازون در برزیل، کیان‌تانگ در چین، مِرسی در انگلستان، کامپار در اندونزی و ساپانا در ایالات متحده آمریکا جستجو کرد. ارتفاع این امواج تا ۹ متر هم گزارش شده است. شکل زیر، وقوع این پدیده را در دهانه رودخانه کیان‌تانگ چین نشان می‌دهد.

tidal bore

برای تحلیل این امواج، شکل زیر را در نظر بگیرید. در تصویر الف، دستگاه مختصات روی زمین ثابت شده است. موج جزر و مدی با سرعت $$\large V$$ به سمت بالا دست رودخانه حرکت می‌کند. ارتفاع جریان رودخانه $$\large h_1$$ بوده و با سرعت $$\large u_1$$ به سمت پایین دست در حال حرکت است. جریان پشت موج جزر و مدی هم ارتفاعی برابر با $$\large h_2$$ دارد و سرعت آن با $$\large u_2$$ نشان داده شده است. در تصویر ب، دستگاه مختصات روی موج گرانشی ثابت شده است. در این حالت، با پرش هیدرولیکی ایستا مواجه هستیم. عمق بالا دست برابر $$\large h_1$$ و سرعت آن برابر $$\large v_1 = V + u_1$$ است. در سوی دیگر، عمق و سرعت جریان در پایین دست هم به ترتیب $$\large h_2$$ و $$\large v_2 = V – u_2$$ است. با نوشتن پایستگی جرم، استفاده از تعریف عدد فرود و بازنویسی آن برای سرعت $$\large V$$، عبارت زیر محاسبه می‌شود.

tidal bore analysis

$$\large (\frac {h_2}{h_1})^2 + \frac {h_2}{h_1} – \frac {2(u_1 + V)^2}{gh_1} = 0\\~\\
\large V=-u_1 + \sqrt{\frac {gh_2(h_1 + h_2)}{2h_1}}$$

می‌بینیم که سرعت پیشروی موج جزر و مدی، تابعی از عمق جریان در بالا دست و پایین دست است. در شرایطی که $$\large h_1\approx h_2\approx h$$ برقرار باشد، رابطه بالا به صورت $$\large V\approx -u + \sqrt {gh}$$ ساده می‌شود. به عبارت دیگر، یک موج جزر و مدی ضعیف خواهیم داشت که با سرعت $$\large \sqrt {gh}$$ نسبت به جریان رودخانه حرکت می‌کند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک، آموزش‌های زیر نیز پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 6 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *