توابع لژاندر — از صفر تا صد

نوع خاصی معادله دیفرانسیل معمولی وجود دارد که با نام معادله دیفرانسیل لژاندر شناخته می‌شود و در فیزیک و مهندسی کاربرد زیادی دارد. این معادله به ویژه در حل معادله لاپلاس در مختصات کروی بسیار کارساز است. در این آموزش با معادله لژاندر و توابع لژاندر آشنا می‌شویم.

تعاریف و معرفی

در این بخش برخی توابع و معادله‌های مرتبط با لژاندر را معرفی می‌کنیم.

معادله لژاندر و توابع لژاندر

معادله دیفرانسیل رتبه دوم زیر به عنوان معادله لژاندر نامیده می‌شود:

$$ \large \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } - 2 x \frac { d y } { d x } + n ( n + 1 ) y = 0 \quad n > 0 , \quad | x | < 1 $$

جواب عمومی این معادله تابعی از دو تابع لژاندر به فرم زیر است:

$$ \large y = A P _ { n } ( x ) + B Q _ { n } ( x ) \quad | x | < 1 $$

که در آن، $$  P _ n ( x ) = \frac { 1 } { 2 ^ n n ! } \frac { d ^ n } { d x ^ n } ( x ^ 2 - 1 ) ^ n $$ تابع لژاندر نوع اول و $$  Q _ n ( x ) = \frac { 1 } { 2} P _ n ( x ) \ln \frac { 1 + x } { 1 - x } $$ تابع لژاندر نوع دوم است.

معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر

معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر به صورت زیر است:

$$ \large \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } - 2 x \frac { d y } { d x } + \left [ n ( n + 1 ) - \frac { m ^ { 2 } } { 1 - x^ { 2 } } \right ] y = 0 $$

اگر $$ m = 0 $$ را در این معادله قرار دهیم، معادله دیفرانسیل به معادله لژاندر کاهش می‌یابد.

جواب عمومی معادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:

$$ \large y = A P _ n ^ m ( x ) + B Q _ n ^ m ( x ) $$

که در آن، $$ P _ n ^ m ( x ) $$ و $$ Q _ n ^ m ( x ) $$ توابع وابسته لژاندر نوع اول و نوع دوم به شکل زیر هستند:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \mathbf { P } _ { n } ^ { m } ( x ) = \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { m / 2 } \frac { d ^ { m } } { d x ^ { m } } P _ { n } ( x ) } \\
{ Q _ { n } ^ { m } ( x ) = \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { m / 2 } \frac { d ^ { m } } { d x ^{ m } } Q _ { n } ( x ) }
\end {array} $$

معادله لژاندر و جواب‌های آن

معادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:

$$ \large \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } - 2 x \frac { d y } { d x } + n ( n + 1 ) y = 0 \quad n > 0 , \quad | x | < 1 $$

یا به طور معادل:

$$ \large \frac { d } { d x } \left [ \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) \frac { d y } { d x } \right ] + n ( n + 1 ) y = 0 \quad n > 0 , \quad | x | < 1 $$

جواب‌های این معادله، توابع لژاندر مرتبه $$n$$ نامیده می‌شوند. جواب عمومی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large y = A P _ n ( x ) + B Q _ n ( x ) \quad \quad | x | < 1 $$

که در آن، $$ P _ n ( x ) $$ و $$ Q _ n ( x ) $$ توابع لژاندر نوع اول و دوم مرتبه $$ n$$ هستند.

اگر $$ n =0, 1 , 2 , 3 , \ldots $$ باشد، توابع $$ P _ n ( x ) $$، چندجمله‌ای‌های لژاندر نامیده شده و با فرمول ردریگو (Rodrigue’s Formula) ارائه می‌شوند:

$$ \large \mathbf { P } _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } \left ( x ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { n } $$

توابع لژاندر نوع اول $$ P _ n ( x ) $$ و نوع دوم $$ Q _ n ( x ) $$ از مرتبه‌های $$ n = 0 , 1 , 2 , 3 $$ در دو شکل زیر نشان داده شده‌اند.

چند چندجمله‌ای اول لژاندر به صورت زیر هستند:

$$ \begin {array} {ll}
{ \mathrm { P } _ { 0 } ( x ) = 1 } & { \mathrm { P } _ { 3 }( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left ( 5 x ^ { 3 } - 3 x \right ) } \\
{ \mathrm { P } _ { 1 } ( x ) = x } & { \mathrm { P } _ { 3 } ( x ) = \frac { 1 } { 8 } \left ( 3 5 x ^ { 4 } - 3 0 x ^ { 2 } + 3 \right ) } \\
{ \mathrm { P } _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left ( 3 x ^ { 2 } - 1 \right ) } & { \mathrm { P } _ { 3 } ( x ) = \frac { 1 } { 8 } \left ( 6 3 x ^ { 5 } - 7 0 x ^ { 3 } + 1 5 x \right ) }
\end {array} $$

فرمول بازگشتی چندجمله‌ای به صورت زیر است:

$$ \large \begin {aligned}
& \mathbf { P } _ { n + 1 } ( x ) = \frac { 2 n + 1 } { n + 1 } x P _ { n } ( x ) - \frac { n } { n + 1 } P _ { n - 1 } ( x ) \\
& \mathbf { P } _ { n + 1 } ^ { \prime } ( x ) -\mathbf { P } _ { n - 1 } ^ { \prime } ( x ) = ( 2 n + 2 ) \mathbf { P } _ { n } ( x )
\end {aligned} $$

و از آن در به دست آوردن چندجمله‌‌ای‌های مرتبه بالاتر استفاده می‌شود. در همه موارد $$ P _ { n } ( 1 ) = 1 $$ و $$ P _ n ( - 1 ) = ( - 1 ) ^ n $$ است.

تعامد چندجمله‌ای‌های لژاندر

چندجمله‌ای‌ای لژاندر $$P _ m ( x ) $$ و $$ P _ n ( x ) $$ را در بازه $$ - 1 \le x \le 1 $$ متعامد می‌گوییم، اگر

$$ \large \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { P } _ { m} ( x ) \mathrm { P } _ { n } ( x ) d x = 0 \quad \quad m \neq n $$

و در نتیجه، داریم:

$$ \large \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left [ \mathrm { P } _ { n } ( x ) \right ] ^ { 2 } d x = \frac { 2 } { 2 n + 1 } \quad m = n $$

سری متعامد چندجمله‌ای‌های لژاندر

هر تابع $$ f ( x ) $$ را که در بازه $$ -1 \le x \le 1 $$ محدود و تک‌مقداره بوده و تعداد متناهی ناپیوستگی در این بازه داشته باشد، می‌توان با یک سری از چندجمله‌ای‌های لژاندر بیان کرد.

تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large \begin {aligned}
f ( x ) & = A _ { 0 } \mathrm { P } _ { 0 } ( x ) + A _ { 1 } \mathrm { P } _ { 1 } ( x ) + A _ { 2 } \mathrm { P } _ { 2 }( x ) + \ldots \quad - 1 \leq x \leq 1 \\
& = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } A _ { n } \mathrm { P } _ { n } ( x )
\end {aligned} $$

با ضرب هر دو طرف رابطه در $$ P _ m ( x ) d x $$ و و انتگرال‌گیری نسبت به $$ x $$ از $$ x = - 1 $$ تا $$ x = 1 $$، داریم:

$$ \large \int _ { - 1 } ^ {1 } f ( x ) P _ { m } ( x ) d x = \sum _ { n =0 } ^ { \infty } A _ { n } \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { m } ( x ) P _ { n } ( x ) d x $$

با توجه به ویژگی تعامد چندجمله‌ای‌های لژاندر می‌توان نوشت:

$$ \large A _ { n } = \frac { 2 n + 1 } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } f ( x ) P _ { n } ( x ) d x \quad n = 0 , 1 , 2 , 3 \dots $$

از آنجا که با زوج بودن $$ n $$ تابع $$ P _ n ( x ) $$ یک تابع زوج از $$ x $$ است و هنگام فرد بودن $$ n $$، تابع $$ P _ n ( x ) $$ یک تابع فرد است، بنابراین، وقتی $$ n $$ فرد و $$ f ( x ) $$ زوج باشد، $$ A_ n $$ صفر می‌شود.

در نتیجه، برای تابع زوج $$ f ( x ) $$ داریم:

$$ \large A _ { n } = \left \{ \begin {array} {ll} { 0 } & { n \text { is odd }} \\ { ( 2 n + 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) P _ { n } ( x ) d x } & { n \text { is even }} \end {array} \right . $$

در حالی که برای تابع فرد $$ f ( x ) $$ خواهیم داشت:

$$ \large A _ { n } = \left \{ \begin {array} {ll} { ( 2 n + 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) P _ { n } ( x ) d x } & { n \text { is odd }} \\ { 0} & { n \text { is even }} \end {array} \right . $$

وقتی $$ x = \cos \theta $$ باشد، تابع $$ f ( \theta) $$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large f ( \theta ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } A _ { n } \mathrm { P } _ { n } ( \cos \theta ) \quad 0 \leq \theta \leq \pi $$

که در آن:

$$ \large A _ { n } = \frac { 2 n + 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \theta ) P _ { n } ( \cos \theta ) \sin \theta d \theta \quad n = 0 , 1 , 2 , 3 \dots $$

ویژگی‌های چندجمله‌ای‌های لژاندر

فرم انتگرالی چندجمله‌ای لژاندر به صورت زیر است:

$$ \large \mathrm { P } _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } [ x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } \cos t ] ^ { n } d t $$

مقادیر $$ P _ n ( x ) $$ در $$ x = 0 $$ و $$ x = \pm 1 $$ به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {aligned}
& \begin {array} { l l }
{ \mathrm { P } _ { 2 \mathrm { n } } ( 0 ) = \frac { ( - 1 ) ^ { n } \Gamma ( n + 1 / 2 ) } { \sqrt { \pi \Gamma }( n + 1 ) } } & { \mathrm { P } _ { 2 n + 1 } ( 0 )= 0 } \\
{ \mathrm { P } _ { 2 n } ^ { \prime } ( 0 ) = 0 } & { \mathrm { P } _ { 2 n + 1 } ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { ( - 1 ) ^ { n } 2 \Gamma ( n + 3 / 2 ) } { \sqrt { \pi \Gamma ( n+1 ) } } }
\end {array} \\
& \mathrm { P } _ { n } ( 1 ) = 1 \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad \mathrm { P } _ {n } ( - 1 ) = ( - 1) ^ { n } \\
&\mathrm { P } _ { n } ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { n ( n + 1 1 )} { 2 } \quad \quad P_ {n } ^ { \prime } ( - 1 ) = (- 1 ) ^ { n - 1 }\frac { n ( n + 1 ) } { 2 } \\
& \left | \mathrm { P } _ { n } ( x ) \right | \leq 1
\end {aligned} $$

علامت‌های پریم مشتق نسبت به $$ x $$ را نشان می‌دهند، بنابراین، در $$ x = 1 $$ داریم: $$  \mathrm { P }' _ n ( 1 ) = \frac { d \mathrm { P } _ n ( x ) )} { d x } $$.

تابع مولد چندجمله‌ای‌های لژاندر

اگر $$ A $$ یک نقطه ثابت با مختصات $$( x _ 1 , y _ 1 , z _ 1 ) $$ و $$P$$ نقطه متغیر $$ ( x , y , z ) $$ باشند و فاصله $$ AP $$ با $$ R $$ مشخص شود، داریم:

$$ \large R ^ 2 = ( x - x _ 1 ) ^ 2 + ( y - y _ 1 ) ^ 2 + ( z - z _ 0 ) ^ 2 $$

با توجه به قضیه پتانسیل نیوتنی می‌دانیم که پتانسیل در نقطه $$P$$ نسبت به جرم واحد در نقطه $$ A $$ به صورت زیر است:

$$ \large \phi = \frac { C } { R } $$

که $$ C $$ یک ثابت است. می‌توان نشان داد که این تابع یک جواب برای معادله لاپلاس است.

در برخی شرایط، می‌خواهیم $$ \phi $$ را برحسب توان‌های $$ r $$ یا $$ r ^ { - 1 } $$ گسترش دهیم که $$ r = \sqrt { x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 } $$ فاصله مبدأ $$O$$ تا نقطه $$P$$ است.

در شکل بالا:

$$ \large a = | \overrightarrow {OA} | , \; r = | \overrightarrow {OB}| , \; \phi = \frac { C } { R} = \frac { c } { \sqrt { r ^ 2 + a ^ 2 - 2 \cos ^ { - 1 } \theta }} $$

با جایگذاری، می‌توان نوشت:

$$ \large \phi = \frac { C } { r } [ 1 - 2 x t + t ^ 2 ] ^ { - 1 / 2 } $$

که در آن:

$$ \large t = \frac { a } { r } , \;\;\;\;\; x = \cos \theta $$

بنابراین:

$$ \large \phi \equiv \frac { C } { r } g ( x , t ) $$

زاویه $$ \theta $$ بین بردارهای $$ \overrightarrow { O A } $$ و $$ \overrightarrow { O P } $$ را تعیین کرده و می‌نویسیم:

$$ \large R ^ 2 = r ^ 2 + a ^ 2 - 2 \cos ^ { - 1 } \theta $$

که در آن، $$ a= | \overrightarrow { O A } | $$ است. اگر $$ r / R = t $$ و $$ x = \cos \theta $$ را در نظر بگیریم، آنگاه خواهیم داشت:

$$ \large g ( x , t ) = ( 1 - 2 x t + t ^ 2 ) ^ { - 1 / 2 } $$

که به عنوان تابع مولد برای $$ \mathrm { P } _ n ( x ) $$ تعریف شده است. با استفاده از گسترش بسط دوجمله‌ای، داریم:

$$ \large g ( x , t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) n \frac { \left ( 2 x t - t ^ { 2 } \right ) ^ { n } } { n ! } $$

نماد $$ ( \alpha ) _ n $$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ \large \begin {array} { l }
{ ( \alpha ) _ { n } = \alpha ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) \ldots ( \alpha + n - 1 ) = \Pi_ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( \alpha + k ) } \\
{ ( \alpha ) _ { 0 } = 1 }
\end {array} $$

بنابراین، داریم:

$$ \large g ( x , t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { (1 / 2 ) n } { n ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { n ! ( 2 x ) ^ { n - k } t ^ { n - k } \left ( - t ^ { 2 } \right ) ^ { k } } { k ! ( n - k ) ! } $$

که می‌توان نوشت:

$$ \large g ( x , t ) = \left ( 1 - 2 x t + t ^ { 2 } \right ) ^ { - 1 / 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left [ \sum _ { k = 0 } ^ { n / 2 } \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( 2 n - 2 k ) ! x ^ { n - 2 k } } { 2 k ! ( n - k ) ! } \right ] t ^ { n } $$

ضریب  $$ t ^ n $$ چندجمله‌ای لژاندر $$ \mathrm { P} _ n ( x ) $$ برابر با  $$ t ^ n $$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large \begin {aligned}
& g ( x , t ) = \left ( 1 - 2 x t + t ^ { 2 } \right ) ^ { - 1 / 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P _ { n } ( x ) t ^ { n } \ \
& | x | \leq 1 , | t | < 1
\end {aligned} $$

توابع لژاندر نوع دوم

جواب‌های دوم و خطی مستقل معادله لژاندر برای $$n$$ که یک عدد صحیح است، توابع لژاندر نوع دوم نامیده می‌شوند و به صورت زیر هستند:

$$ \large \mathrm { Q } _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { P } _ { n } ( x ) \ln \frac { 1 + x } { 1 -x } = \mathrm { W } _ { n - 1 } ( x ) $$

که

$$ \large \mathrm { W } _ { n - 1 } ( x ) = \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { m } \mathbf { P } _ { m - 1 } ( x ) \mathrm { P } _ { n - m } ( x ) $$

یک چندجمله‌ای درجه $$ ( n - 1 ) $$ است. جمله اول $$ \mathrm { Q} _ n ( x ) $$ دارای تکینگی‌های لگاریتمی در $$ x = \pm 1 $$ یا $$ \theta = 0 $$ و $$\pi$$ است.

چند چندجمله‌ای نخست به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {aligned}
& \mathrm { Q } _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 1 - x } \\
& \mathrm { Q } _ { 1 } ( { x } ) = \mathrm { P } _ { 1 } ( { x } ) \mathrm { Q } _ { 0 } ( { x } ) - 1 \\
& \mathrm { Q } _ { 2 } ( x ) = \mathrm { P } _ { 2 } ( x ) \mathrm { Q } _ { 0 } ( x ) - \frac { 3 } { 2 } x\\
& \mathrm { Q } _ { 3 } ( x ) = \mathrm { P } _ { 3 } ( x ) \mathrm { Q } _ { 0 } ( x ) - \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 }
\end {aligned} $$

این چندجمله‌ای‌ها توابع درجه زوجی را نشان می‌دهند که باید در  $$ x $$ فرد باشند و بالعکس.

چندجمله‌ای مرتبه بالاتر  $$ \mathrm { Q } _ n ( x ) $$ را می‌توان با فرمول‌های بازگشتی دقیقاً مشابه چندجمله‌ای‌های  $$ \mathrm { P } _ n ( x ) $$ به دست آورد.

روابط بیشماری با استفاده از توابع لژاندر می‌توان در قالب نظریه آنالیز مختلط به دست آورد. یکی از این رابطه‌ها رابطه انتگرالی $$ \mathrm { Q} _ n ( x ) $$ است:

$$ \large \mathrm { Q } _ { n } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } [ x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } \cosh \theta ] ^ { -n - 1 } d \theta \quad | x | > 1 $$

و تابع مولد آن به صورت زیر است:

$$ \large \left ( 1 - 2 x t + t ^ { 2 } \right ) ^ { - 1 / 2 } \cosh ^ { - 1 } \frac { t - x } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { Q } _ { n } ( x ) t ^ { n } $$

برخی از مقادیر خاص $$ \mathrm {Q}_ n ( x ) $$ به شرح زیر هستند:

$$ \large \begin {aligned}
\mathrm { Q } _ { 2 n } ( 0 ) & = 0 & & \mathrm { Q } _ { 2 n + 1 } ( 0 ) = ( - 1 ) ^ { n + 1 } \frac { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots 2 n } { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots ( 2 n - 1 ) } \\
\mathrm { Q } _ { n } ( 1 ) & = \infty & & \mathrm { Q } _ { n } ( - x ) = ( - 1 ) ^ { n + 1 } \mathrm { Q } _ { n } ( x )
\end {aligned} $$

معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر

معادله دیفرانسیلِ

$$ \large \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2} } - 2 x \frac { d y } { d x } + \left [ n ( n + 1 ) - \frac { m ^ { 2 } } { 1 -x ^ { 2 } } \right ] y = 0 $$

معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر نامیده می‌شود. اگر $$m = 0$$، این معادله به معادله لژاندر کاهش می‌یابد. جواب‌های معادله بالا توابع وابسته لژاندر نامیده می‌شوند. در اینجا، بحث را به حالت مهمی که $$m $$ و $$n$$ اعداد صحیح نامنفی هستند محدود می‌کنیم. در این حالت جواب عمومی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large y = A \mathrm { P } _ n ^ m ( x ) + B \mathrm { Q } _ n ^ m ( x ) $$

که در آن، $$ \mathrm { P } _ n ^ m $$ و $$ \mathrm { Q } _ n ^ m ( x ) $$، به ترتیب، توابع وابسته لژاندر نوع اول و دوم نام دارند. این توابع برحسب توابع لژاندر معمولی بیان می‌شوند:

$$ \large \begin {array} { l }
{ \mathrm { P } _ { n } ^ { m } ( x ) = \left ( 1 -x ^ { 2 } \right ) ^ { m / 2 } \frac { d ^ { m } } { d x ^ { m } } \mathrm { P } _ { n } ( x ) } \\
{ \mathrm { Q } _ { n } ^ { m } ( x ) = \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { m / 2 } \frac { d ^ { m } } { d x ^ { m } } \mathrm { Q } _ { n } ( x ) }
\end {array} $$

توابع $$ \mathrm { P} _ n ^ m ( x ) $$ در بازه $$ - 1 \le x \le 1 $$ کران‌دارند، در حالی که توابع $$ \mathrm { Q } _ n ^ m ( x ) $$ در $$ x \pm 1 $$ بدون کران هستند.

چند تابع وابسته لژاندر نوع اول به شرح زیر هستند:

$$ \large
\begin {array} { l l }
{ \mathrm { P } _ { n } ^ { 0 } (x ) = } { \mathrm { P } _ { n } ( x ) } \\
{ \mathrm { P } _ { n } ^ { m } ( x ) = \frac { \left ( 1 -x ^ { 2 } \right ) ^ { m / 2 } } { 2 ^ { n } n ! } \frac { d ^ { m + n } } {d x ^ { m+ n } } \left ( x ^ { 2 } - 1 \right ) ^ { n } = 0 } & { m > n } \\
{ \mathrm { P } _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) = \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { P } _ { 3 } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 3 } { 2 } \left ( 5 x ^ { 2 } - 1 \right ) \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } \\
{ \mathrm { P } _ { 2 } ^ { \prime } ( x ) = 3 x \left ( 1 -x ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { P } _ { 3 } ^ { 2 } ( x ) = 1 5 x \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) } \\
{ \mathrm { P } _ { 2 } ^ { 2 } ( x ) = 3 \left ( 1 -x ^ { 2 } \right ) } & { \mathrm { P } _ { 3 } ^ { 3 } ( x ) = 1 5 \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } }
\end {array} $$

فرمول‌های بازگشتی $$ \mathrm { P } _n ^ m ( x ) $$ نیز به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {aligned}
( n + 1 - m ) \mathrm { P } _ { n + 1 } ^ { m } ( x ) & =( 2 n + 1 ) x P _ { n } ^ { m } ( x ) - ( n + m ) \mathrm { P } _ { n - 1 } ^ { m } ( x ) \\
P _ { n } ^ { m + 2 } ( x ) & = \frac { 2 ( m + 1 ) } { \left ( 1 - x ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } x P _ { n } ^ { m + 1 } - ( n - m ) ( n + m + 1 ) P _ { n } ^ { m } ( x )
\end {aligned} $$

تعامد $$ \Large \mathrm { P } _ n ^ m ( x ) $$

مشابه چندجمله‌ای‌ لژاندر، توابع لژاندر $$ \mathrm {P}_ n ( x ) $$ در بازه $$ -1 \le x \le 1 $$ متعامد هستند:

$$ \large \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { P } _ { n } ^ { m } ( x ) \mathrm { P } _ { k } ^ { m } ( x ) d x = 0 \quad n \neq k $$

و همچنین:

$$ \large \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left [ \mathrm { P } _ { n } ^ { m } ( x ) \right ] ^ { 2 } d x = \frac { 2 } { 2 n + 1 } \frac { ( n + m ) ! } { ( n - m ) ! } $$

سری تعامد توابع لژاندر وابسته

هر تابع $$ f ( x ) $$ که در بازه $$ - 1 \le x \le 1$$ کران‌دار و تک‌مقداره است را می‌توان به عنوان یک سری از توابع لژاندر وابسته توصیف کرد:

$$ \large f ( x ) = A _{ m } P _ { 1 } ^ { m } ( x ) + A _ { m + 1 } P _ { m + 1 } ^ { m } ( x ) + A _ { m + 2 } P _ { m+ 2 } ^ { m } ( x ) + \cdots $$

که در آن، ضرایب به صورت زیر تعیین می‌شوند:

$$ \large A _ { k } = \frac { 2 k + 1 } { 2 } \frac { ( k - m) ! } { ( k + m ) ! } \int _ { - 1 } ^ { 1 } f ( x ) P _ { k } ^ { m } ( x ) d x $$