منحنی بوسان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۴۵۰۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۹ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵۵ دقیقه
منحنی بوسان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره خط مماس و قائم بر منحنی و انحنا و شعاع انحنای منحنی‌ها بحث کردیم. در این آموزش، منحنی بوسان و دایره بوسان را همراه با چند مثال حل شده معرفی خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

مرتبه یا درجه تماس خم‌های مسطح

فرض کنید $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ دو خم یا منحنی مسطح باشند که در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماس دارند یا اصطلاحاً همدیگر را بوسیده‌اند (شکل ۱) و مشتق‌های تا مرتبه $$ (n+1 ) $$ آن‌ها موجود است.

شگل ۱
شکل ۱

دو منحنی $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماسی با مرتبه $$ n $$ دارند، اگر شرایط زیر برقرار باشند:

$$ \large \begin {align*}
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \\ & \ldots , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = { g ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & \ne { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) .
\end{align*} $$

به طور خاص اگر $$ n = 1 $$ باشد، منحنی‌های $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ یک خط مماس مشترک دارند.

حالت $$ n = 0 $$ بدین معنی است که منحنی‌ها یک نقطه مشترک $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ دارند که در آن، $$ f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right) $$ است؛ اما مشتقات اول در آن نقطه برابر نیستند ($$ f’\left( {{x_0}} \right) \ne g’\left( {{x_0}} \right) $$). در این حالت، منحنی‌ها در نقطه $$M_0 $$ همدیگر را قطع می‌کنند.

می‌توانیم تفاضل بین توابع $$ \varphi \left( x \right) = g\left( x \right) – f\left( x \right) $$ را در یک همسایگی نقطه $$x _ 0 $$ در نظر بگیریم و بسط تیلور آن را با فرم پئانو (Peano’s Form) باقیمانده بنویسیم. اگر منحنی‌های $$ g (x) $$ و $$ f (x) $$ تماس مرتبه $$n $$ داشته باشند، آنگاه $$n$$ جمله اول سری صفر بوده و تفاضل $$ \varphi \left( x \right) $$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
\varphi \left ( x \right ) & = \frac { { { \varphi ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) ^ { n + 1 } } \\ & = { \frac { { { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) – { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } \cdot } \kern0pt { { \left ( { x – { x _0 } } \right ) ^ { n + 1 } } }
\end{align*} $$

که با $$ {\left( {x – {x_0}} \right)^{n + 1}} $$ متناسب است. در نتیجه، برای مقادیر زوج $$n $$، تفاضل $$ \varphi \left( x \right) $$ در سمت راست و چپ نقطه تماس $$ M_0 $$ علامت‌های مخالف خواهد داشت. حالت خاص $$ n = 0 $$ را در بالا بررسی کردیم.

برای $$n$$ فرد، منحنی‌های $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند، اصطلاحاً همدیگر را در نقطه $$ M_0 $$ می‌بوسند.

منحنی بوسان

فرض کنید معادله منحنی $$ y = f\left( x \right) $$ و دسته منحنی‌های $$ G\left( {x,y,a,b, \ldots ,\ell} \right) = 0 $$‌ با $$ n + 1 $$ پارامتر $$ a$$، $$b $$، $$ \ldots $$ و $$ l $$ داده شده است. با تغییر مقادیر پارامترها، یک منحنی را از دسته منحنی‌ها انتخاب می‌کنیم که بالاترین مرتبه ممکن تماس را با منحنی $$ y = f (x ) $$ در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ داشته باشد. این منحنی را «منحنی بوسان» (Osculating Curve) می‌نامند.

نمایش زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large \Phi \left ( { x , a , b , \ldots , l } \right ) = G \left ( { x , f \left ( x \right ) , a , b , \ldots , l } \right ) . $$

شرایط تماس به صورت زیر هستند:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
\Phi \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x_ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\Phi _ { { x ^ n } } ^ { \left ( n \right ) } \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0
\end{array} \right.. $$

شرایط بالا، یک دستگاه $$ n +1 $$ معادله‌ای را با $$ n + 1 $$ مجهول تشکیل می‌دهند. با حل این معادله، پارامترهای $$ a$$، $$ b $$، $$ \ldots $$ و $$ l $$ و معادله منحنی بوسان به دست می‌آیند. معمولاً مرتبه تماس منحنی بوسان، کمتر از $$ n $$ نیست (برای $$ n +1 $$ پارامتر). بنابراین، مرتبه تماس یک منحنی بوسان معمولاً یکی کمتر از تعداد پارامترها است.

دایره بوسان

در این بخش، معادله دایره بوسان را به دست می‌آوریم. فرض کنید تابع $$ y = f (x ) $$ داده شده که حداقل دو بار مشتق‌پذیر است. دسته دایره‌ها را می‌توان با معادله زیر توصیف کرد:

$$ \large { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } . $$

همانطور که می‌بینیم، در اینجا سه پارامتر داریم:‌ مختصات $$ a $$ و $$b$$ مرکز دایره و شعاع $$R$$ آن. واضح است که در این حالت، بالاترین مرتبه ممکن تماس، برابر با $$ 2 $$ است.

رابطه زیر را داریم:‌

$$ \large { \Phi \left ( { x , a , b , R } \right ) } = { { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2} } $$

مشتقات تابع $$ \Phi $$ به صورت زیر هستند:‌

$$ \large \begin {align*}
{ { \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 \left ( { x – a } \right ) + 2 \left ( { y – b } \right ) y ’ , } \; \; \; \kern-0.3pt \\
{ { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 + 2 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { y – b } \right ) y ^ { \prime \prime } . }
\end{align*} $$

با فرض اینکه منحنی‌ها در نقطه $$ \left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماس دارند، دستگاه سه معادله‌ای زیر را برای پیدا کردن دایره بوسان به دست می‌آوریم:

$$ \large { \left\{ \begin {array} { l }
\Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left\{ \begin {array} { l }
{ \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 \\
2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 \\
2 + 2 \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 + 2 \left ( { { y _ 0} – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0
\end {array} \right . } $$

از معادله آخر می‌توان مقدار $$ b $$ را پیدا کرد:

$$ \large 2 + 2 { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0 , \; \; \Rightarrow { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = – 1 – { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { y _ 0 } – b = – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y^ { \prime \prime } _ 0 } } } , \; \; } \Rightarrow { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } }{ { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } . } $$

با جایگذاری $$ {{y_0} – b} $$ در معادله دوم، مختصه $$ a $$ مرکز دایره به دست می‌آید:

$$ \large { 2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 0 } – a = – \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { x _ 0 } – a = \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , \; \; } \Rightarrow { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } . } $$

شعاع دایره بوسان را می‌توان از معادله اول تعیین کرد:

$$ \large \begin {align*}
& { { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( {{ y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } \cdot \kern0pt { \left [ { { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] , } \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ 3 } } } { { { { \left ( { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^2 }} \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . }
\end{align*} $$

می‌بینیم که مختصات $$ a $$ و $$b $$ مرکز دایره، مختصات مرکز انحنای منحنی $$ y = f (x ) $$ در $$ x _0 $$ هستند و شعاع دایره بوسان، برابر با شعاع انحنای منحنی در نقطه تماس است.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال حل شده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

منحنی سهمی بوسان با تابع نمایی $$ f\left( x \right) = {e^x} $$ را در نقطه $$ x _ 0 = 0 $$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم منحنی با معادله $$ y = g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c $$ تعریف شده باشد، که سه پارامتر دارد. بنابراین، می‌توانیم فرض کنیم مرتبه تماس منحنی‌ها برابر با $$ 2 $$ است. در نتیجه، ضرایب $$ a$$، $$ b $$ و $$c$$ را می‌توان از شرایط زیر محاسبه کرد:

$$ \large
\left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end{array} \right..
$$

مشتقات توابع $$ f\left( x \right) = {e^x} $$ و $$ g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c $$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large { f ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } , } \; \; \; \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } ; } \\ \large
{ g ’ \left ( x \right ) = { \left ( { a { x ^ 2 } + b x + c } \right ) ^ \prime } = 2 a x + b , } \; \; \; \kern-0.3pt { g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 2 a x + b } \right ) ^ \prime } = 2 a . } $$

در نتیجه، دستگاه معادلات به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
{ e ^ { { x _ 0 } } } = a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c \\
{ e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a { x _ 0 } + b \\
{ e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a
\end{array} \right.. $$

با قرار دادن $$ {x_0} = 0 $$، داریم:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
c = 1 \\
b = 1 \\
2 a = 1
\end {array} \right.
\; \;\kern-0.3pt { \equiv \; \;
\left\{ \begin {array} { l }
a = \frac { 1 } { 2 } \\
b = 1 \\
c = 1
\end{array} \right..} $$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع نمایی در نقطه $$ x _0 = 0 $$ تماسی با مرتبه دو دارد و با فرمول زیر تعیین می‌شود:‌

$$ \large y = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 . $$

اگر معادله را به فرم زیر بنویسیم، می‌بینیم که رأس سهمی در نقطه $$ \left( { – 1,{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \right) $$ قرار دارد:

$$ \large \begin {align*}
y & = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x } \right ) + 1 } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x + 1 – 1 } \right ) + 1 } = { \frac { 1 } { 2 } { \left ( { x + 1 } \right ) ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } }
\end{align*} $$

نمودار دو منحنی بوسان در شکل ۲ نشان داده شده است.

شکل ۲
شکل ۲

مثال ۲

معادله سهمی بوسان با تابع $$ f\left( x \right) = \cos x $$ را در نقطه $$ x _0 = 0$$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم دسته سهمی‌ها سه پارامتر دارند و معادله آن‌ها با سه پارامتر $$a$$، $$b$$ و $$c$$ به صورت زیر است:

$$ \large y = a { x ^ 2 } + b x + c $$

تابع زیر را معرفی می‌کنیم:‌

$$ \large \Phi \left ( { x , a , b , c } \right) = a { x ^ 2 } + b x + c – f \left ( x \right ) $$

شرایط تماس در نقطه $$x _0 $$ به فرم زیر است:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
\Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right) = 0
\end {array} \right.. $$

در این مثال، $$ f\left( x \right) = \cos x $$ است. بنابراین، داریم:‌

$$ \large \begin {align*}
f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime = – \sin x , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ {\prime \prime} \left ( x \right ) & = \left ( { – \sin x } \right ) ^ \prime = – \cos x .
\end{align*} $$

در نتیجه، ضرایب $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به دست آورد:‌

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c – \cos { x _ 0 } = 0 \\
2 a { x _ 0 } + b + \sin { x _ 0 } = 0 \\
2 a + \cos { x _ 0 } = 0
\end {array} \right . . $$

با جایگذاری $$ {x_0} = 0 $$، داریم:

$$ \large { \left\{ \begin {array} { l }
c – 1 = 0 \\
b = 0 \\
2 a + 1 = 0
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l }
a = – \frac { 1 } { 2 } \\
b = 0 \\
c = 1
\end{array} \right..} $$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع کسینوس در نقطه $$ x _0 = 0 $$ با معادله زیر بیان می‌شود:

$$ \large
y = – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + 1 . $$

همانطور که می‌بینیم، این معادله متناظر با دو جمله اول بسط مک‌لورن تابع کسینوس است.

مثال ۳

معادله منحنیِ

$$ \large y = g \left ( x \right ) = \frac { a } { { x + b } } $$

را بیابید که با نمودار تابع لگاریتمی $$ f\left( x \right) = \ln x + 1 $$ در نقطه $$ x _ 0 = 1 $$ تماس پیدا می‌کند.

حل: دسته منحنی $$ g (x) $$ دو پارامتر $$ a $$ و $$b $$ دارد. بنابراین، این منحنی‌ها تماس مرتبه اول خواهند داشت. شرایط تماس به صورت زیر است:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end{array} \right . . $$

مشتق‌ها نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large \begin{align*}
f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \ln x + 1 } \right ) ^ \prime = \frac { 1 } { x } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ g ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \frac { a } { { x + b } } } \right ) ^ \prime = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end {align*} $$

با جایگذاری توابع و مشتقات آن‌ها، معادله‌های زیر به دست می‌آید:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
\ln { x _ 0 } + 1 = \frac { a } { { { x _ 0 } + b } } \\
\frac { 1 } { { { x _ 0 } } } = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end{array} \right.. $$

برای نقطه $$ x _ 0 = 1$$، مقادیر $$ a $$ و $$b $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin{align*}
& \left\{ \begin {array} { l }
\ln 1 + 1 = \frac { a } { { 1 + b } } \\
\frac { 1 } { 1 } = – \frac { a } { { { { \left ( { 1 + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end {array} \right . , \; \; \Rightarrow
{ \left\{ \begin {array} { l }
a = 1 + b \\
a = – \left ( { 1 + b } \right )
\end {array} \right . , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ a = – { a ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ a + { a ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ a \left ( { 1 + a } \right ) = 0 . }
\end {align*} $$

جواب بامعنی معادله اخیر $$ a = -1 $$ است. مقدار متناظر با آن نیز $$ b = -2 $$ است. بنابراین، تابع کسری که تماس مرتبه اول (یعنی یک مماس مشترک) با منحنی $$ f\left( x \right) = \ln x + 1 $$ در $$ x _ 0 = 1 $$ دارد، با معادله زیر توصیف می‌شود:‌

$$ \large y = g \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { x – 2 } } = \frac { 1 } { { 2 – x } } . $$

مثال ۴

معادله

$$ \large y = g \left ( x \right ) = a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d $$

را به گونه‌ای بنویسید که نمودار آن با منحنی $$ f\left( x \right) = \tan x $$ در نقطه $$ x _ 0 = 0 $$ تماس داشته باشد.

حل: در اینجا با دسته‌ای از توابع شامل چهار پارامتر سر و کار داریم. بنابراین، بالاترین مرتبه ممکن تماس منحنی‌ها برابر با $$ 3 $$ است. برای تعیین ضرایب $$ a $$، $$ b $$ $$c $$ و $$d$$ شرایط زیر را داریم:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end {array} \right.. $$

مشتقات توابع مکعبی به صورت زیر است:

$$ \large \begin{align*}
g ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d } \right ) ^ \prime } = 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c , \\
g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c } \right ) ^ \prime } = 6 a x + 2 b , \\
g ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 6 a x + 2 b } \right ) ^ \prime } = 6 a .
\end {align*} $$

مشتقات تابع تانژانت نیز برابر است با:‌

$$ \large \begin{align*}
f ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } , \\
f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left [ { { { \left ( { \cos x } \right ) } ^ { – 2 } } } \right ] ^ \prime } } \\ & = { – 2 { \left ( { \cos x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } = { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } , } \\
f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { 2 \sin x } \right ) } ^ \prime } { { \cos } ^ 3 } x – 2 \sin x { { \left ( { { { \cos } ^ 3 } x } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } \\ & = { \frac { { 2 \, { { \cos } ^ 3 } x + 6 \, { { \sin } ^ 2 } x \, { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } = { \frac { { 2 + 4 \, { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 4 } x} } . }
\end {align*} $$

در نتیجه، دستگاه معادلات زیر را خواهیم دشت:

$$ \large
\left\{ \begin {array} { l }
\tan { x _ 0 } = a x _ 0 ^ 3 + b x _ 0 ^ 2 + c { x _ 0 } + d \\ \large
\frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } { x _ 0 } } } = 3 a x _ 0 ^ 2 + 2 b { x _ 0 } + c \\ \large
\frac { { 2 \sin { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 3 } { x _ 0 } } } = 6 a { x _ 0 } + 2 b \\ \large
\frac { { 2 + 4 { { \sin } ^ 2 } { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 4 } { x _ 0 } } } = 6 a
\end{array} \right. $$

با جایگذاری مقدار $$ x _ 0 = 0 $$، داریم:

$$ \large
{ \left\{ \begin {array} { l }
d = 0 \\
c = 1 \\
2 b = 0 \\
6 a = 2
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l }
a = \frac { 1 } { 3 } \\
b = 0 \\
c = 1 \\
d = 0
\end{array} \right..}
$$

بنابراین، تابع مکعبی بوسان به صورت زیر است:

$$ \large y = \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + x . $$

این منحنی، با منحنی تانژانت در مبدأ تماس مرتبه سوم دارد.

توجه کنید که تابع مکعبی حاصل، چندجمله‌ای مک‌لورن مرتبه سوم تابع تانژانت است.

مثال ۵

معادله دایره بوسان با منحنی $$ f\left( x \right) = \arctan x $$ را در نقطه $$ x _ 0 = 1 $$ بنویسید.

حل: واضح است که دو منحنی در نقطه زیر تماس دارند:‌

$$ \large \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) = \left ( { 1 , \frac { \pi } { 4 } } \right ) . $$

مختصات و مرکز دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$ \large { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2} } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . } $$

بنابراین، مشتق‌ها به صورت زیر خواهند بود:

$$ \large { y ’ = { \left ( { \arctan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } . } } $$

مقادیر این مشتق‌ها در نقطه $$ x _0 = 1 $$ برابر است با:

$$ \large { { y ’ _ 0 } = y ’ \left ( 1 \right ) = \frac { 1 } { 2 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = y ^ { \prime \prime } \left ( 1 \right ) = – \frac { 1 } { 2 } .} $$

مختصات مرکز دایره بوسان نیز به صورت زیر است:

$$ \large \begin{align*}
a & = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } = { 1 – \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 9 } { 4 } = 2. 2 5 ;} \\
b & = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } = { \frac { \pi } { 4 } + \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } } = { \frac { \pi } { 4 } – \frac { 5 } { 2 } \approx – 1.71 . }
\end {align*} $$

شعاع دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$ \large \begin{align*}
R & = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0} } \right | } } = { \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { – \frac { 1 } { 2 } } \right | } } } \\ & = { \frac { { { { \left ( { 1 + \frac { 1 } { 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } = { 2 { \left ( { \frac { 5 } { 4 } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { \frac { { \sqrt { 1 2 5 } } } { 4 } \approx 2.80.}
\end {align*} $$

بنابراین، مرکز دایره بوسان در نقطه $$ \left ( { { \large \frac { 9 } { 4 } \normalsize } , { \large \frac { \pi } { 4 } \normalsize } – { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } \right ) $$ قرار دارد.

شکل ۳
شکل ۳

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش منحنی بوسان — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی منحنی بوسان

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی مثال های یافتن منحنی بوسان

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۱۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *