ریاضی , علوم پایه 542 بازدید

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، درباره خط مماس و قائم بر منحنی و انحنا و شعاع انحنای منحنی‌ها بحث کردیم. در این آموزش، منحنی بوسان و دایره بوسان را همراه با چند مثال حل شده معرفی خواهیم کرد.

مرتبه یا درجه تماس خم‌های مسطح

فرض کنید $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ دو خم یا منحنی مسطح باشند که در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماس دارند یا اصطلاحاً همدیگر را بوسیده‌اند (شکل 1) و مشتق‌های تا مرتبه $$ (n+1 ) $$ آن‌ها موجود است.

شگل 1
شکل 1

دو منحنی $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماسی با مرتبه $$ n $$ دارند، اگر شرایط زیر برقرار باشند:

$$ \large \begin {align*}
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \\ & \ldots , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & = { g ^ { \left ( n \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) , \; \; \; \kern-0.3pt \\ { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) & \ne { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) .
\end{align*} $$

به طور خاص اگر $$ n = 1 $$ باشد، منحنی‌های $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ یک خط مماس مشترک دارند.

حالت $$ n = 0 $$ بدین معنی است که منحنی‌ها یک نقطه مشترک $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ دارند که در آن، $$ f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right) $$ است؛ اما مشتقات اول در آن نقطه برابر نیستند ($$ f’\left( {{x_0}} \right) \ne g’\left( {{x_0}} \right) $$). در این حالت، منحنی‌ها در نقطه $$M_0 $$ همدیگر را قطع می‌کنند.

می‌توانیم تفاضل بین توابع $$ \varphi \left( x \right) = g\left( x \right) – f\left( x \right) $$ را در یک همسایگی نقطه $$x _ 0 $$ در نظر بگیریم و بسط تیلور آن را با فرم پئانو (Peano’s Form) باقیمانده بنویسیم. اگر منحنی‌های $$ g (x) $$ و $$ f (x) $$ تماس مرتبه $$n $$ داشته باشند، آنگاه $$n$$ جمله اول سری صفر بوده و تفاضل $$ \varphi \left( x \right) $$ به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
\varphi \left ( x \right ) & = \frac { { { \varphi ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) ^ { n + 1 } } \\ & = { \frac { { { g ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) – { f ^ { \left ( { n + 1 } \right ) } } \left ( { { x _ 0 } } \right ) + \alpha } } { { \left ( { n + 1 } \right ) ! } } \cdot } \kern0pt { { \left ( { x – { x _0 } } \right ) ^ { n + 1 } } }
\end{align*} $$

که با $$ {\left( {x – {x_0}} \right)^{n + 1}} $$ متناسب است. در نتیجه، برای مقادیر زوج $$n $$، تفاضل $$ \varphi \left( x \right) $$ در سمت راست و چپ نقطه تماس $$ M_0 $$ علامت‌های مخالف خواهد داشت. حالت خاص $$ n = 0 $$ را در بالا بررسی کردیم.

برای $$n$$ فرد، منحنی‌های $$ y = f\left( x \right) $$ و $$ y = g\left( x \right) $$ بدون اینکه یکدیگر را قطع کنند، اصطلاحاً همدیگر را در نقطه $$ M_0 $$ می‌بوسند.

منحنی بوسان

فرض کنید معادله منحنی $$ y = f\left( x \right) $$ و دسته منحنی‌های $$ G\left( {x,y,a,b, \ldots ,\ell} \right) = 0 $$‌ با $$ n + 1 $$ پارامتر $$ a$$، $$b $$، $$ \ldots $$ و $$ l $$ داده شده است. با تغییر مقادیر پارامترها، یک منحنی را از دسته منحنی‌ها انتخاب می‌کنیم که بالاترین مرتبه ممکن تماس را با منحنی $$ y = f (x ) $$ در نقطه $$ {M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ داشته باشد. این منحنی را «منحنی بوسان» (Osculating Curve) می‌نامند.

نمایش زیر را در نظر بگیرید:

$$ \large \Phi \left ( { x , a , b , \ldots , l } \right ) = G \left ( { x , f \left ( x \right ) , a , b , \ldots , l } \right ) . $$

شرایط تماس به صورت زیر هستند:

$$ \large \left\{ \begin {array} {l}
\Phi \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x_ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\Phi _ { { x ^ n } } ^ { \left ( n \right ) } \left ( { { x _ 0} , a , b , \ldots , \ell } \right ) = 0
\end{array} \right.. $$

شرایط بالا، یک دستگاه $$ n +1 $$ معادله‌ای را با $$ n + 1 $$ مجهول تشکیل می‌دهند. با حل این معادله، پارامترهای $$ a$$، $$ b $$، $$ \ldots $$ و $$ l $$ و معادله منحنی بوسان به دست می‌آیند. معمولاً مرتبه تماس منحنی بوسان، کمتر از $$ n $$ نیست (برای $$ n +1 $$ پارامتر). بنابراین، مرتبه تماس یک منحنی بوسان معمولاً یکی کمتر از تعداد پارامترها است.

دایره بوسان

در این بخش، معادله دایره بوسان را به دست می‌آوریم. فرض کنید تابع $$ y = f (x ) $$ داده شده که حداقل دو بار مشتق‌پذیر است. دسته دایره‌ها را می‌توان با معادله زیر توصیف کرد:

$$ \large { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } . $$

همانطور که می‌بینیم، در اینجا سه پارامتر داریم:‌ مختصات $$ a $$ و $$b$$ مرکز دایره و شعاع $$R$$ آن. واضح است که در این حالت، بالاترین مرتبه ممکن تماس، برابر با $$ 2 $$ است.

رابطه زیر را داریم:‌

$$ \large { \Phi \left ( { x , a , b , R } \right ) } = { { \left ( { x – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { y – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2} } $$

مشتقات تابع $$ \Phi $$ به صورت زیر هستند:‌

$$ \large \begin {align*}
{ { \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 \left ( { x – a } \right ) + 2 \left ( { y – b } \right ) y ’ , } \; \; \; \kern-0.3pt \\
{ { \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) } & = { 2 + 2 { \left ( { y ’ } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { y – b } \right ) y ^ { \prime \prime } . }
\end{align*} $$

با فرض اینکه منحنی‌ها در نقطه $$ \left( {{x_0},{y_0}} \right) $$ تماس دارند، دستگاه سه معادله‌ای زیر را برای پیدا کردن دایره بوسان به دست می‌آوریم:

$$ \large { \left\{ \begin {array} { l }
\Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , R } \right ) = 0
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ \left\{ \begin {array} { l }
{ \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 \\
2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 \\
2 + 2 \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 + 2 \left ( { { y _ 0} – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0
\end {array} \right . } $$

از معادله آخر می‌توان مقدار $$ b $$ را پیدا کرد:

$$ \large 2 + 2 { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = 0 , \; \; \Rightarrow { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = – 1 – { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { y _ 0 } – b = – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y^ { \prime \prime } _ 0 } } } , \; \; } \Rightarrow { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } }{ { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } . } $$

با جایگذاری $$ {{y_0} – b} $$ در معادله دوم، مختصه $$ a $$ مرکز دایره به دست می‌آید:

$$ \large { 2 \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) + 2 \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 0 } – a = – \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) { y ’ _ 0 } , \; \; } \\ \large \Rightarrow { { x _ 0 } – a = \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , \; \; } \Rightarrow { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } . } $$

شعاع دایره بوسان را می‌توان از معادله اول تعیین کرد:

$$ \large \begin {align*}
& { { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( {{ y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } – { R ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { { x _ 0 } – a } \right ) ^ 2 } + { \left ( { { y _ 0 } – b } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } } \right ) ^ 2 } } + { { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } , \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = { \left ( { \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } {{ { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } } \right ) ^ 2 } \cdot \kern0pt { \left [ { { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } + 1 } \right ] , } \; \; } \\ & \Rightarrow { { R ^ 2 } = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ 3 } } } { { { { \left ( { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } , \; \; } \\ & \Rightarrow { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^2 }} \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . }
\end{align*} $$

می‌بینیم که مختصات $$ a $$ و $$b $$ مرکز دایره، مختصات مرکز انحنای منحنی $$ y = f (x ) $$ در $$ x _0 $$ هستند و شعاع دایره بوسان، برابر با شعاع انحنای منحنی در نقطه تماس است.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال حل شده را بررسی می‌کنیم.

مثال 1

منحنی سهمی بوسان با تابع نمایی $$ f\left( x \right) = {e^x} $$ را در نقطه $$ x _ 0 = 0 $$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم منحنی با معادله $$ y = g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c $$ تعریف شده باشد، که سه پارامتر دارد. بنابراین، می‌توانیم فرض کنیم مرتبه تماس منحنی‌ها برابر با $$ 2 $$ است. در نتیجه، ضرایب $$ a$$، $$ b $$ و $$c$$ را می‌توان از شرایط زیر محاسبه کرد:

$$ \large
\left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end{array} \right..
$$

مشتقات توابع $$ f\left( x \right) = {e^x} $$ و $$ g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c $$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large { f ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } , } \; \; \; \kern-0.3pt { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { e ^ x } ; } \\ \large
{ g ’ \left ( x \right ) = { \left ( { a { x ^ 2 } + b x + c } \right ) ^ \prime } = 2 a x + b , } \; \; \; \kern-0.3pt { g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left ( { 2 a x + b } \right ) ^ \prime } = 2 a . } $$

در نتیجه، دستگاه معادلات به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
{ e ^ { { x _ 0 } } } = a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c \\
{ e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a { x _ 0 } + b \\
{ e ^ { { x _ 0 } } } = 2 a
\end{array} \right.. $$

با قرار دادن $$ {x_0} = 0 $$، داریم:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
c = 1 \\
b = 1 \\
2 a = 1
\end {array} \right.
\; \;\kern-0.3pt { \equiv \; \;
\left\{ \begin {array} { l }
a = \frac { 1 } { 2 } \\
b = 1 \\
c = 1
\end{array} \right..} $$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع نمایی در نقطه $$ x _0 = 0 $$ تماسی با مرتبه دو دارد و با فرمول زیر تعیین می‌شود:‌

$$ \large y = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 . $$

اگر معادله را به فرم زیر بنویسیم، می‌بینیم که رأس سهمی در نقطه $$ \left( { – 1,{\large\frac{1}{2}\normalsize}} \right) $$ قرار دارد:

$$ \large \begin {align*}
y & = \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + x + 1 = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x } \right ) + 1 } \\ & = { \frac { 1 } { 2 } \left ( { { x ^ 2 } + 2 x + 1 – 1 } \right ) + 1 } = { \frac { 1 } { 2 } { \left ( { x + 1 } \right ) ^ 2 } + \frac { 1 } { 2 } }
\end{align*} $$

نمودار دو منحنی بوسان در شکل 2 نشان داده شده است.

شکل 2
شکل 2

مثال 2

معادله سهمی بوسان با تابع $$ f\left( x \right) = \cos x $$ را در نقطه $$ x _0 = 0$$ به دست آورید.

حل: فرض می‌کنیم دسته سهمی‌ها سه پارامتر دارند و معادله آن‌ها با سه پارامتر $$a$$، $$b$$ و $$c$$ به صورت زیر است:

$$ \large y = a { x ^ 2 } + b x + c $$

تابع زیر را معرفی می‌کنیم:‌

$$ \large \Phi \left ( { x , a , b , c } \right) = a { x ^ 2 } + b x + c – f \left ( x \right ) $$

شرایط تماس در نقطه $$x _0 $$ به فرم زیر است:

$$ \large \left \{ \begin {array} { l }
\Phi \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\
{ \Phi ’ _ x } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right ) = 0 \\
{ \Phi ^ { \prime \prime } _ { x x } } \left ( { { x _ 0 } , a , b , c } \right) = 0
\end {array} \right.. $$

در این مثال، $$ f\left( x \right) = \cos x $$ است. بنابراین، داریم:‌

$$ \large \begin {align*}
f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime = – \sin x , \; \; \; \kern-0.3pt \\ f ^ {\prime \prime} \left ( x \right ) & = \left ( { – \sin x } \right ) ^ \prime = – \cos x .
\end{align*} $$

در نتیجه، ضرایب $$a$$، $$b$$ و $$c$$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به دست آورد:‌

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
a x _ 0 ^ 2 + b { x _ 0 } + c – \cos { x _ 0 } = 0 \\
2 a { x _ 0 } + b + \sin { x _ 0 } = 0 \\
2 a + \cos { x _ 0 } = 0
\end {array} \right . . $$

با جایگذاری $$ {x_0} = 0 $$، داریم:

$$ \large { \left\{ \begin {array} { l }
c – 1 = 0 \\
b = 0 \\
2 a + 1 = 0
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l }
a = – \frac { 1 } { 2 } \\
b = 0 \\
c = 1
\end{array} \right..} $$

بنابراین، سهمی بوسان با تابع کسینوس در نقطه $$ x _0 = 0 $$ با معادله زیر بیان می‌شود:

$$ \large
y = – \frac { { { x ^ 2 } } } { 2 } + 1 . $$

همانطور که می‌بینیم، این معادله متناظر با دو جمله اول بسط مک‌لورن تابع کسینوس است.

مثال 3

معادله منحنیِ

$$ \large y = g \left ( x \right ) = \frac { a } { { x + b } } $$

را بیابید که با نمودار تابع لگاریتمی $$ f\left( x \right) = \ln x + 1 $$ در نقطه $$ x _ 0 = 1 $$ تماس پیدا می‌کند.

حل: دسته منحنی $$ g (x) $$ دو پارامتر $$ a $$ و $$b $$ دارد. بنابراین، این منحنی‌ها تماس مرتبه اول خواهند داشت. شرایط تماس به صورت زیر است:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end{array} \right . . $$

مشتق‌ها نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large \begin{align*}
f ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \ln x + 1 } \right ) ^ \prime = \frac { 1 } { x } , \; \; \; \kern-0.3pt \\ g ’ \left ( x \right ) & = \left ( { \frac { a } { { x + b } } } \right ) ^ \prime = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end {align*} $$

با جایگذاری توابع و مشتقات آن‌ها، معادله‌های زیر به دست می‌آید:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
\ln { x _ 0 } + 1 = \frac { a } { { { x _ 0 } + b } } \\
\frac { 1 } { { { x _ 0 } } } = – \frac { a } { { { { \left ( { x + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end{array} \right.. $$

برای نقطه $$ x _ 0 = 1$$، مقادیر $$ a $$ و $$b $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin{align*}
& \left\{ \begin {array} { l }
\ln 1 + 1 = \frac { a } { { 1 + b } } \\
\frac { 1 } { 1 } = – \frac { a } { { { { \left ( { 1 + b } \right ) } ^ 2 } } }
\end {array} \right . , \; \; \Rightarrow
{ \left\{ \begin {array} { l }
a = 1 + b \\
a = – \left ( { 1 + b } \right )
\end {array} \right . , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ a = – { a ^ 2 } , \; \; } \Rightarrow
{ a + { a ^ 2 } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ a \left ( { 1 + a } \right ) = 0 . }
\end {align*} $$

جواب بامعنی معادله اخیر $$ a = -1 $$ است. مقدار متناظر با آن نیز $$ b = -2 $$ است. بنابراین، تابع کسری که تماس مرتبه اول (یعنی یک مماس مشترک) با منحنی $$ f\left( x \right) = \ln x + 1 $$ در $$ x _ 0 = 1 $$ دارد، با معادله زیر توصیف می‌شود:‌

$$ \large y = g \left ( x \right ) = – \frac { 1 } { { x – 2 } } = \frac { 1 } { { 2 – x } } . $$

مثال 4

معادله

$$ \large y = g \left ( x \right ) = a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d $$

را به گونه‌ای بنویسید که نمودار آن با منحنی $$ f\left( x \right) = \tan x $$ در نقطه $$ x _ 0 = 0 $$ تماس داشته باشد.

حل: در اینجا با دسته‌ای از توابع شامل چهار پارامتر سر و کار داریم. بنابراین، بالاترین مرتبه ممکن تماس منحنی‌ها برابر با $$ 3 $$ است. برای تعیین ضرایب $$ a $$، $$ b $$ $$c $$ و $$d$$ شرایط زیر را داریم:

$$ \large \left\{ \begin {array} { l }
f \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ’ \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \\
f ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = g ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right )
\end {array} \right.. $$

مشتقات توابع مکعبی به صورت زیر است:

$$ \large \begin{align*}
g ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + c x + d } \right ) ^ \prime } = 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c , \\
g ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 a { x ^ 2 } + 2 b x + c } \right ) ^ \prime } = 6 a x + 2 b , \\
g ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 6 a x + 2 b } \right ) ^ \prime } = 6 a .
\end {align*} $$

مشتقات تابع تانژانت نیز برابر است با:‌

$$ \large \begin{align*}
f ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \tan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } , \\
f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left [ { { { \left ( { \cos x } \right ) } ^ { – 2 } } } \right ] ^ \prime } } \\ & = { – 2 { \left ( { \cos x } \right ) ^ { – 3 } } \cdot \left ( { – \sin x } \right ) } = { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } , } \\
f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { 2 \sin x } } { { { { \cos } ^ 3 } x } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { 2 \sin x } \right ) } ^ \prime } { { \cos } ^ 3 } x – 2 \sin x { { \left ( { { { \cos } ^ 3 } x } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } \\ & = { \frac { { 2 \, { { \cos } ^ 3 } x + 6 \, { { \sin } ^ 2 } x \, { { \cos } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 6 } x } } } = { \frac { { 2 + 4 \, { { \sin } ^ 2 } x } } { { { { \cos } ^ 4 } x} } . }
\end {align*} $$

در نتیجه، دستگاه معادلات زیر را خواهیم دشت:

$$ \large
\left\{ \begin {array} { l }
\tan { x _ 0 } = a x _ 0 ^ 3 + b x _ 0 ^ 2 + c { x _ 0 } + d \\ \large
\frac { 1 } { { { { \cos } ^ 2 } { x _ 0 } } } = 3 a x _ 0 ^ 2 + 2 b { x _ 0 } + c \\ \large
\frac { { 2 \sin { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 3 } { x _ 0 } } } = 6 a { x _ 0 } + 2 b \\ \large
\frac { { 2 + 4 { { \sin } ^ 2 } { x _ 0 } } } { { { { \cos } ^ 4 } { x _ 0 } } } = 6 a
\end{array} \right. $$

با جایگذاری مقدار $$ x _ 0 = 0 $$، داریم:

$$ \large
{ \left\{ \begin {array} { l }
d = 0 \\
c = 1 \\
2 b = 0 \\
6 a = 2
\end {array} \right . , \; \; } \Rightarrow { \left\{ \begin {array} { l }
a = \frac { 1 } { 3 } \\
b = 0 \\
c = 1 \\
d = 0
\end{array} \right..}
$$

بنابراین، تابع مکعبی بوسان به صورت زیر است:

$$ \large y = \frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + x . $$

این منحنی، با منحنی تانژانت در مبدأ تماس مرتبه سوم دارد.

توجه کنید که تابع مکعبی حاصل، چندجمله‌ای مک‌لورن مرتبه سوم تابع تانژانت است.

مثال ۵

معادله دایره بوسان با منحنی $$ f\left( x \right) = \arctan x $$ را در نقطه $$ x _ 0 = 1 $$ بنویسید.

حل: واضح است که دو منحنی در نقطه زیر تماس دارند:‌

$$ \large \left ( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right ) = \left ( { 1 , \frac { \pi } { 4 } } \right ) . $$

مختصات و مرکز دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$ \large { a = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { b = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2} } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { R = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } \right | } } . } $$

بنابراین، مشتق‌ها به صورت زیر خواهند بود:

$$ \large { y ’ = { \left ( { \arctan x } \right ) ^ \prime } = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } . } } $$

مقادیر این مشتق‌ها در نقطه $$ x _0 = 1 $$ برابر است با:

$$ \large { { y ’ _ 0 } = y ’ \left ( 1 \right ) = \frac { 1 } { 2 } , } \; \; \; \kern-0.3pt { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } = y ^ { \prime \prime } \left ( 1 \right ) = – \frac { 1 } { 2 } .} $$

مختصات مرکز دایره بوسان نیز به صورت زیر است:

$$ \large \begin{align*}
a & = { x _ 0 } – \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } { y ’ _ 0 } = { 1 – \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } \cdot \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 9 } { 4 } = 2. 2 5 ;} \\
b & = { y _ 0 } + \frac { { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { y ^ { \prime \prime } _ 0 } } } = { \frac { \pi } { 4 } + \frac { { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) } } } = { \frac { \pi } { 4 } – \frac { 5 } { 2 } \approx – 1.71 . }
\end {align*} $$

شعاع دایره بوسان نیز برابر است با:‌

$$ \large \begin{align*}
R & = \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { { y ’ _ 0 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { { y ^ { \prime \prime } _ 0} } \right | } } = { \frac { { { { \left [ { 1 + { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \left | { – \frac { 1 } { 2 } } \right | } } } \\ & = { \frac { { { { \left ( { 1 + \frac { 1 } { 4 } } \right ) } ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { 2 } } } } = { 2 { \left ( { \frac { 5 } { 4 } } \right ) ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { \frac { { \sqrt { 1 2 5 } } } { 4 } \approx 2.80.}
\end {align*} $$

بنابراین، مرکز دایره بوسان در نقطه $$ \left ( { { \large \frac { 9 } { 4 } \normalsize } , { \large \frac { \pi } { 4 } \normalsize } – { \large \frac { 5 } { 2 } \normalsize } } \right ) $$ قرار دارد.

شکل 3
شکل 3

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *