شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
در آموزشهای قبلی مجله فرادرس، درباره مشتق و روشهای مشتقگیری بحث کردیم. در این آموزش، فرمولهای مشتق گیری عددی را معرفی میکنیم. این فرمولها، تفاضل رو به جلو، تفاضل رو به عقب و تفاضل مرکزی هستند. پیادهسازی این فرمولها در پایتون نیز ارائه شده است.
برای پیادهسازی فرمولهای مشتقگیری عددی در پایتون، تابعی به نام derivative را مینویسیم که ورودیهای آن method ،a ،f و h هستند (با مقادیر پیشفرض 'method='central و h=0.01). خروجی تابع مورد نظر، متناظر با خروجی فرمول تفاضل برای f′(a) با اندازه گام h است.
برنامه بالا را برای چند تابع ساده بررسی میکنیم. به عنوان مثال، برای تابع کسینوس، داریم:
dxd(cosx)x=0=−sin(0)=0
اگر از تابع پایتون زیر نیز استفاده کنیم، خروجی صفر را خواهد داد:
خروجی:
برای روش رو به جلو نیز داریم:
خروجی:
به عنوان مثالی دیگر، برای تابع نمایی نیز میدانیم:
dxd(ex)x=0=e0=1
با استفاده از تابع پایتون نیز داریم:
خروجی:
اگر بخواهیم از روش رو به عقب استفاده کنیم، دستور زیر را مینویسیم:
خروجی:
تابعی که نوشتیم، آرایهای از ورودیها را برای a میگیرد و مقدار مشتق را برای آن مقدار a محاسبه و به عنوان خروجی ارائه میکند. برای مثال، مشتق sin(x) را میتوانیم به صورت زیر رسم کنیم:
اکنون میخواهیم مشتق تابع نسبتاً پیچیده زیر را محاسبه و رسم کنیم:
y=(x+2ex4x2+2x+1)x
فرمولهای خطا
پرسشی که هنگام تقریب زدن پیش میآید، این است که دقت مناسب فرمولهای تفاضل رو به جلو، رو به عقب و مرکزی چقدر است؟ به همین دلیل، فرمولهای خطا را با استفاده از سری تیلور پیدا میکنیم.
توجه کنید که f′′′(x) پیوسته است (طبق فرض) و (f′′′(c1)+f′′′(c2))/2 بین f′′′(c1) و f′′′(c2) قرار دارد. بنابراین، طبق قضیه مقدار میانی، یک c بین c1 و c2 به گونهای وجود دارد که رابطه زیر برقرار باشد:
f′′′(c)=2f′′′(c1)+f′′′(c2)
K3 به گونهای است که برای همه x∈[a−h,a+h] رابطه ∣f′′′(x)∣≤K3 برقرار باشد.
مثال
در این مثال میخواهیم چندجملهای تیلور مرتبه سوم T3(x) تابع f(x)=x2+x+13ex را با مرکز x=0 و در بازه x∈[−3,3] رسم کنیم. ابتدا نمودار y=f(x) را رسم میکنیم:
اکنون ضرایب an=n!f(n)(0) را برای n=0,1,2,3 محاسبه میکنیم:
خروجی:
در نهایت، f(x) و T3(x) را با هم در یک شکل رسم میکنیم:
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام وقت بخیر
میشه روش محاسبه مشتق جزئی رو توضیح بدید
ممنون
سلام و وقت بخیر؛
برای آشنایی با نحوه محاسبه مشتق جزئی، مطالعه مطلب «مشتق جزئی — به زبان ساده» را به شما پیشنهاد میکنیم.
از همراهیتان با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
سلام
یه سری اطلاعات عددی دارم بدون تابع، چگونه مشتق اول و دوم این اعداد را بدست آورم؟
کسی می تونه راهنمایی بکنه؟
سلام خسته نباشید .. منظور از K2 , K3 در فرمول خطاها چی هستش؟ مرسی بابت وقتی که میذارید…………
سلام.
پارامترهای K2 و K3، بهترتیب، کران مشتق دوم و مشتق سوم تابع را نشان میدهند.
شاد و پیروز باشید.
ممنون
خیلی خوب توضیح دادید