مشتق توابع پارامتری – از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع پارامتری بحث خواهیم کرد.

محاسبه مشتق توابع پارامتری

رابطه بین متغیرهای $$x$$ و $$y$$ را می‌توان به‌صورت پارامتری و با استفاده از دو معادله زیر بیان کرد:

$$\large \left \{ \begin {aligned} x &= x\left( t\right) \\ y &= y\left( t\right) \end{aligned} \right.,$$

که در آن، متغیر $$t$$، یک پارامتر نامیده می‌شود. برای مثال، دو تابعِ

$$\large \left \{ \begin {aligned} x &= R \cos t \\ y &= R \sin t \end{aligned} \right.$$

فرم پارامتری دایره‌ای به مرکز مبدأ محتصات و به شعاع $$R$$ هستند. در این حالت، پارامتر $$t$$ از $$0$$ تا $$2 \pi$$ تغییر می‌کند.

اکنون می‌خواهیم عبارتی را برای مشتق تابع پارامتری پیدا کنیم. فرض کنید توابع $$x = x\left( t \right)$$ و $$y = y\left( t \right)$$، در بازه $$\alpha \lt t \lt \beta$$ مشتق‌پذیر باشند و داشته باشیم: $$x’\left( t \right) \ne 0$$. همچنین فرض کنید معکوس تابع $$x = x\left( t \right)$$، عبارت $$t = \varphi \left( x \right) v$$ است.

با استفاده از قضیه تابع معکوس می‌توان نوشت:

$$\large \frac { { d t }} { { d x}} = { t ’ _ x } = \frac { 1 } {{ { x ’ _ t } } } .$$

تابع اصلی $$y\left( x \right)$$ را می‌توان به‌صورت تابع ترکیبی زیر در نظر گرفت:

$$\large y \left( x \right) = y\left( { t \left( x \right)} \right).$$

مشتق این تابع، برابر است با:

$$\large { { y ’ _ x} = { y ’ _ t } \cdot { t ’ _ x } } = { { y ’ _ t } \cdot \frac { 1 } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } . }$$

با استفاده از این فرمول می‌توان مشتق یک تابع پارامتری را بدون بیان $$y\left( x \right)$$ در فرم صریح آن محاسبه کرد.

مثال‌ها

در ادامه، برای آشنایی بیشتر با مشتق‌گیری از توابع پارامتری، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = { t ^ 2 },\;\;y = { t ^ 3 } .$$

حل: ابتدا مشتق $$x$$ و $$y$$ را نسبت به $$t$$ محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 t,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { { t ^ 3 } } \right) ^ \prime } = 3 { t ^ 2 } . }$$

بنابراین، مشتق به‌‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } }{ { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 { t ^ 2 } } } { { 2 t } } } = { \frac { { 3 t } } { 2 }\;\left( { t \ne 0} \right).}$$

مثال ۲

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = 2 t + 1 ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = 4 t – 3 . }$$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = \left( { 2 t + 1 } \right) = 2,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = {\left( { 4 t – 3 } \right) ^ \prime } = 4.}$$

بنابراین، داریم:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { 4 } { 2 } = 2.}$$

مثال ۳

مشتق تابع پارامتری نمایی زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = { e ^ { 2 t } } ,\;\;y = { e ^ { 3t } } .$$

حل: ابتدا مشتقات را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 2 t } } } \right) ^ \prime } = 2 { e ^ { 2 t } } ,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { { e ^ { 3 t } } } \right) ^ \prime } = 3 { e ^ { 3 t } } . }$$

در نتیجه، مشتتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ برابر است با:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 { e ^ { 3 t } } } } {{ 2 { e ^ { 2 t } }} } } = { \frac { 3 } { 2 }{ e ^ { 3 t – 2 t } } } = { \frac { 3 } { 2 } { e ^ t } . }$$

مثال ۴

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large x = a t, \;\; y = b { t ^ 2 } .$$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { a t } \right) ^ \prime } = a,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { b { t ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2 b t . }$$

بنابراین، داریم:

$$\large \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x} = \frac { { {y ’_ t } }} {{ { x ’_ t } } } = \frac { { 2 bt } } { a} .$$

مثال ۵

مشتق تابع پارامتری مثلثاتی زیر را محاسبه کنید:

$$\large { x = { \sin ^ 2 } t,\;\;}\kern-0.3pt { y = { \cos ^ 2 } t . }$$

حل:‌ مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { { \sin } ^ 2 } t } \right) ^ \prime } = { 2 \sin t \cdot \cos t} = { \sin 2 t ,} }$$

$$\large { { y ’ _ t } = { \left( { { { \cos } ^ 2 } t } \right) ^ \prime } = { 2 \cos t \cdot \left( { – \sin t} \right)} = {- 2\sin t\cos t} = {- \sin 2 t .}}$$

بنابراین:

$$ \large \require{cancel}<br /> {\frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t } }} }<br /> = {\frac{{ – \cancel{\sin 2 t } }} { { \cancel {\sin 2 t } } } = – 1,\;\;}\kern-0.3pt<br /> {\;\;t \ne \frac{{\pi n}} { 2 } ,\;\;}\kern-0.3pt{n \in \mathbb{Z}.} $$

مثال ۶

مشتق تابع پارامتری هذلولوی زیر را محاسبه کنید:

$$\large { x = \sinh t,\;\;}\kern-0.3pt { y = \cosh t . }$$

حل: ابتدا مشتقات را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { \sinh t } \right) ^ \prime } = \cosh t,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( {\cosh t} \right) ^ \prime } = \sinh t . }$$

بنابراین، مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$‌ برابر است با:

$$\large { \frac { { d y } }{ { dx } } = { y ’ _ x } = \frac { { {y ’ _ t} }}{ { { x ’ _ t }} } } = { \frac { { \sinh t } }{ { \cosh t}} } = {\tanh t.}$$

مثال ۷

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$\large { x = a \cos t ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = b \sin t . }$$

حل: معادلات بالا، یک بیضی را توصیف می‌کنند. مشتق متغیرهای $$x$$ و $$y$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { a \cos t} \right) ^ \prime } = – a\sin t,\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { b \sin t } \right) ^ \prime } = b \cos t.}$$

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ برابر است با:

$$\large { \frac { { d y } }{ {d x} } = { y ’_ x } = \frac { {{ y ’_ t} } } {{ {x ’_ t } }} } = {\frac { { b \cos t } } { {\left( { – a\sin t} \right)}} } = { – \frac { b }{ a }\cot t.}$$

در این‌جا، پارامتر $$t$$ از $$-\pi$$ تا $$\pi$$ تغییر می‌کند. البته مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ در نقاط $$t = 0, \pm \pi$$ بی‌نهایت می‌شود. بنابراین، دامنه را می‌توان به‌صورت $$0 \lt \left| t \right| \lt \pi$$ نشان داد.

مثال ۸

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$\large { x = 2 { t ^ 2 } + t + 1,\;\;}\kern-0.3pt { y = 8 { t ^ 3 } + 3 { t ^ 2 } + 2.}$$

حل:‌ از هردو معادله نسبت به $$t$$ مشتق می‌گیریم:

$$\large {{x’_t} = {\left( {2{t^2} + t + 1} \right)^\prime } ={ 4t + 1,\;\;}}$$

$$\large {{ y ’_ t } = { \left( {8{ t ^ 3 } + 3 { t ^ 2 } + 2 } \right) ^ \prime } = { 24 { t ^ 2 } + 6t.}}$$

در نتیجه، مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را می‌توان به‌صورت زیر محاسبه کرد:

$$\large { \frac { { d y }} { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t }} } } = { \frac { { 2 4 { t ^ 2 } + 6 t } } {{ 4 t + 1} } } = { \frac { { 6 t \cancel {\left( { 4 t + 1 } \right)}}}{{\cancel{4t + 1 } } } = 6 t . }$$

مثال ۹

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$\large { x = \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } ,\;\;}\kern-0.3pt{ y = \arcsin t . }$$

حل: مشتق متغیرهای نسبت به پارامتر به‌شکل زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } \right) ^ \prime } = {\frac { 1 } { { 2 \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } \cdot {\left( { \sqrt {1 – { t ^ 2} } } \right) ^ \prime }} } \\ \large = { \frac { { – \cancel { 2 } t } }{{\cancel { 2 }\sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } } = { – \frac { t } { {\sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } },\;\;}$$

$$\large { { { y ’ _ t } = { \left( { \arcsin t } \right) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } } } .} }$$

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } {{ { x ’ _ t } } } } = { \frac { { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } }} } }{ { \frac { { – t } }{ { \sqrt { 1 – { t ^ 2 } } }}}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 – {t^2}} }} \cdot \frac{{\sqrt {1 – {t ^ 2 }} }}{{\left( { – t} \right)}} } = { – \frac { 1 } { t } ,}$$

که در آن، پارامتر $$t$$ در شرایط $$\left| t \right| \lt 1,\;t \ne 0$$ صدق می‌کند.

مثال 10

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = { \sin ^ 3 } t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^3}t.}$$

حل: ابتدا مشتق‌های $$x’_t$$ و $$y’_t$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { { \sin } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = { 3\,{ \sin ^ 2 } t \cos t, }\;\; }\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { { { \cos } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = { - 3 \,{ \cos ^ 2 } t \sin t . } }$$

مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$‌ برابر است با:

$$\large { \frac { { d y } }{ { d x } } = { y ’ _ x } = \frac {{ { y’ _ t} }} {{{ x ’ _ t } } } } = { \frac { { – \cancel { 3 } { { \cos } ^ { \cancel { 2} } } t \cancel{\sin t } }} { { \cancel { 3 } { { \sin } ^ { \cancel{ 2 } } } t \cancel{\cos t}}} } = { – \frac { { \cos t } } { { \sin t } } = – \cot t , }$$

که در آن، $$t \ne {\large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize}$$. محدودیت‌های مقادیر ممکن $$t$$ در شرط $${x’_t} \ne 0$$ صدق می‌کنند.

مثال ۱۱

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = \frac { { t + 1 } } { { t – 1 } }, \;\;}\kern-0.3pt{ y = \frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } . }$$

حل: مشتق هر یک از متغیرها به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { \frac { { t + 1 } } { { t – 1 } } } \right) ^ \prime } } = { \frac { { 1 \cdot \left( { t – 1 } \right) – \left( { t + 1 } \right) \cdot 1 } } { { { { \left( {t – 1} \right) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \cancel { { t } } – { 1 } – \cancel { { t } } – { 1 } } } { { { { \left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } } = { \frac { { – { 2 } } } { { { { \left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } ; }$$

$$\large { { y ’ _ t } = { \left( { \frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } } \right) ^ \prime } } = { \frac { { 1 \cdot \left( { t + 1 } \right) – \left( { t – 1 } \right) \cdot 1}}{{{{\left( { t + 1 } \right) } ^ 2 } } } } = { \frac { { \cancel { { t } } + { 1 } – \cancel { { t } } + { 1 } }} { { { { \left( { t + 1} \right) } ^ 2 } } } } = { \frac { { 2 }} { { { {\left( { t + 1 } \right) } ^ 2 } } } . }$$

در نتیجه، مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } }{ {{ x ’ _ t} } } } = {\frac{{\frac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{\left( { – 2 } \right)}}{{{{\left( {t – 1} \right)} ^ 2 } }} } } } = { – \frac{{{{\left( { t – 1 } \right) } ^ 2 } } } { { {{ \left( {t + 1 } \right) } ^ 2 } } } } = { – {\left( {\frac { { t – 1 } } { { t + 1 } } } \right) ^ 2 } . }$$

پارامتر $$t$$ می‌تواند هر مقداری داشته باشد، جز $$t = \pm 1$$ که در آن نقاط، متغیرهای $$x$$ و $$y$$ ناپیوسته هستند.

مثال ۱۲

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } ,\;\;}\kern-0.3pt { y = \ln \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right).}$$

حل: مشتق هر یک از متغیرها به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } \right) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt { { t ^ 2} + 1 } } } \cdot {\left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) ^ \prime } } \\ \large = { \frac { { \cancel { 2 } t } } { { \cancel { 2 } \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } } = { \frac { t } { { \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } ; }$$

$$\large { { y ’ _ t } = { \left( {\ln \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) } \right) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { { t ^ 2 } + 1 } } \cdot { \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right) ^ \prime } } = { \frac { { 2 t } } { { { t ^ 2 } + 1 } } . }$$

در نتیجه:

$$\large { \frac { { d y } } { { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { \frac { { 2 t} } {{{ t ^ 2 } + 1 } } } } {{\frac{t}{{\sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } }} } \\ \large = {\frac { {2 t }}{ {{ t ^ 2 } + 1 } } \cdot \frac{{\sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } { t } } = { \frac { 2 } {{ \sqrt { { t ^ 2 } + 1 } } } . }$$

مثال ۱۳

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = { e ^ t } \sin t,\;\;}\kern-0.3pt{ y = { e ^ { – t } } \cos t . }$$

حل: ابتدا مشتق‌های $$x’_t$$ و $$y’_t$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { { e ^ t } \sin t } \right) ^ \prime } } = { { \left( { { e ^ t } } \right) ^ \prime } \sin t + { e ^ t } { \left( { \sin t } \right) ^ \prime } } \\ \large = { { e ^ t } \sin t + { e ^ t } \cos t = { e ^ t } \left( { \sin t + \cos t} \right) ; }$$

$$\large { { y ’ _ t } = { \left( { { e ^ { – t } } \cos t } \right) ^ \prime } } = { { \left( { { e ^ { – t } } } \right) ^ \prime } \cos t + { e ^ { – t } } { \left( {\cos t } \right) ^ \prime } } \\ \large = { – { e ^ { – t } } \cos t + { e ^ { – t } }\left( { – \sin t} \right) } = { – { e ^ { – t } } \left( {\cos t + \sin t} \right).}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {\frac { { d y } }{ { d x } } = { y ’ _ x } = \frac { {{ y ’ _ t } }}{ { { x ’_ t }} } } = { \frac { { – { e ^ { – t } }\cancel{\left( {\cos t + \sin t} \right) } } } { {{ e ^ t } \cancel{\left( {\sin t + \cos t} \right)}}} } = { – { e ^ { – 2 t } } . }$$

مشتق، در شرایط زیر وجود دارد:

$$\large { \sin t + \cos t \ne 0,\;\;}\Rightarrow { \tan t + 1 \ne 0,\;\; } \\ \large \Rightarrow { \tan t \ne – 1,\;\; } \Rightarrow { t \ne – \frac { \pi } { 4 } + \pi n,\;\;}\kern-0.3pt{n \in \mathbb { Z } . }$$

مثال 14

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = t – \sin t,\;\;}\kern-0.3pt { y = 1 – \cos t . }$$

حل: ابتدا مشتق‌های $$x’_t$$ و $$y’_t$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { { x ’ _ t } = { \left( { t – \sin t } \right) ^ \prime } = 1 – \cos t;\;\;}\kern-0.3pt { { y ’ _ t } = { \left( { 1 – \cos t } \right) ^ \prime } = \sin t.}$$

اکنون مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را می‌نویسیم:

$$\large { \frac { { d y } }{ {d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } }}{ { { x ’_ t } } } } = { \frac { { \sin t } } { { 1 – \cos t } } . }$$

عبارت اخیر را می‌توان به‌صورت زیر ساده کرد:

$$\large { \frac { { d y }} {{ d x }} = \frac { { \sin t } }{ { 1 – \cos t }} } = { \frac { { \cancel { 2 } \cancel{\sin \frac{t}{2}}\cos \frac{t}{2}}}{{\cancel{2}{{\sin } ^ { \cancel {2 }} } \frac { t} { 2 } } } } = {\frac { { \cos \frac { t} { 2 }} } { { \sin \frac { t} { 2 }}} } = {\cot \frac {t }{ 2} }$$

که در آن $$t \ne 2\pi n,n \in \mathbb{Z}$$.

مثال 15

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large { x = 1 + \sqrt t ,\;\;}\kern-0.3pt { y = t – \frac { 1 } { { \sqrt t } },\;\;}\kern-0.3pt { \left( { t \gt 0} \right).}$$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$\large {{ x ’ _ t } = {\left( { 1 + \sqrt t } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt t }};\;\;}$$

$$\large { { y ’ _ t } = {\left( {t – \frac{1}{{\sqrt t }}} \right) ^ \prime } } = { { \left( { t – { t ^ { – \large\frac { 1 } { 2 }\normalsize}}} \right) ^ \prime } } = {1 + \frac { 1} { 2 } { t ^ { – \large\frac{3}{2}\normalsize}} } = {1 + \frac{1}{{2\sqrt {{ t ^ 3 } } }}.}$$

در نهایت، مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large {\frac { { d y } } {{ d x } } = { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } }} { {{ x ’ _ t }} } } = {\frac { { 1 + \frac { 1 }{ { 2\sqrt {{ t^ 3 } } }} }}{{\frac{1}{{2\sqrt t }}}} } = {\frac{{\frac{ { 2 \sqrt { { t ^ 3 }} + 1 } } { { 2 \sqrt { { t ^ 3 } } } }} }{ { \frac { 1 } { {2 \sqrt t }} } } } \\ \large = { \frac{{\left( {2 \sqrt { { t ^ 3 } }+ 1} \right) \cdot 2\sqrt t }}{{2\sqrt { { t ^ 3 } } }} } = {\frac{{2\sqrt { { t ^ 3 } } + 1}}{{\sqrt {{t^2}} }} } = {\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{{\left| t \right|}} } = {\frac{{2\sqrt {{ t ^ 3 }} + 1}}{t},\;\;}\kern-0.3pt \;\;t \gt 0.$$

مثال ۱۶

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large {x = {\tan ^2}t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^2}t.}$$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$\large { { x ’ _ t } = {\left( { { { \tan } ^ 2 }t} \right)^\prime } } = {2\tan t \cdot {\left( {\tan t} \right)^\prime } } \\ \large \large = {2\tan t \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} } = {\frac{{2\sin t}}{{\cos t}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} } = {\frac{{2\sin t}}{{{{\cos }^3}t}};}$$

$$\large {{y’_t} = {\left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime } } = {2\cos t \cdot {\left( {\cos t} \right)^\prime } }\\ \large = {2\cos t \cdot \left( { – \sin t} \right) } = { – 2\sin t\cos t.}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} } \\ \large = {\frac{{ – \cancel{2\sin t}\cos t}}{{\frac{{\cancel{2\sin t}}}{{{{\cos }^3}t}}}} } = { – \cos t \cdot {\cos ^3}t } = { – {\cos^4}t.}$$

که در این حالت $$t \ne {\large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize}$$.

مثال ۱۷

مشتق تابع پارامتری زیر را محاسبه کنید:

$$\large {x = \arccos \left( {1 – t} \right),\;\;}\kern-0.3pt{y = \sqrt { 2t – {t ^ 2}} .}$$

حل: ابتدا مشتق $$x’_t$$ و $$y’_t$$ را مي‌نویسیم:

$$\large {{x’_t} = {\left( {\arccos \left( {1 – t} \right)} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{\sqrt {1 – {{\left( {1 – t} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {1 – t} \right)^\prime } } \\ \large = { – \frac{1}{{\sqrt {1 – \left( {1 – 2t + {t^2}} \right)} }} \cdot \left( { – 1} \right) } = {\frac{1}{{\sqrt {\cancel{1} – \cancel{1} + 2t – {t^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {2t – {t^2}} }};}$$

$$\large { { y ’ _ t } = {\left( {\sqrt {2t – {t^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {2t – {t^2}} }} \cdot {\left( {2t – {t^2}} \right)^\prime } } \\ \large = {\frac{{2 – 2t}}{{2\sqrt {2t – {t^2}} }} } = {\frac{{1 – t}}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}.}$$

اکنون به‌راحتی می‌توانیم $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را محاسبه کنیم:

$$\large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} } = {\frac{{\frac{{1 – t}}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2t – {t^2}} }}}} } \\ \large = {\frac{{1 – t}}{{\cancel{\sqrt {2t – {t^2}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {2t – {t^2}}} }}{1} } = {1 – t.}$$

مقادیر مجاز $$t$$ را می‌توان از نامعادلات زیر به‌دست آورد:

$$ \large {\left\{ \begin{array}{l}<br /> – 1 \le 1 – t \le 1\\<br /> 2t – {t^2} \gt 0<br /> \end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow<br /> {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}<br /> {1 – t \ge – 1}\\<br /> {1 – t \le 1}\\<br /> {t\left( {2 – t} \right) \gt 0}<br /> \end{array}} \right.,\;\;} \\ \large \Rightarrow<br /> {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}<br /> { – t \ge – 2}\\<br /> { – t \le 0}\\<br /> {0 \lt t \lt 2}<br /> \end{array}} \right.,\;\;}\Rightarrow<br /> {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}<br /> {t \le 2}\\<br /> {t \ge 0}\\<br /> {0 \lt t \lt 2}<br /> \end{array}} \right.,\;\;}\Rightarrow<br /> {0 \lt t \lt 2.} $$

مثال 18

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large {x = {\sin ^4}2t,\;\;}\kern-0.3pt{y = {\cos ^4}2t.}$$

حل: مشتق توابع $$x(t)$$ و $$y(t)$$ نسبت به پارامتر $$t$$ به‌صورت زیر است:

$$\large {{x’_t} = {\left( {{{\sin }^4}2t} \right)^\prime } } = {4\,{\sin ^3}2t \cdot {\left( {\sin 2t} \right)^\prime } } \\ \large = {4\,{\sin ^3}2t \cdot 2\cos 2t } = {8\,{\sin ^3}2t\cos 2t;}$$

$$\large {{y’_t} = {\left( {{{\cos }^4}2t} \right)^\prime } } = {4\,{\cos ^3}2t \cdot {\left( {\cos 2t} \right)^\prime } } \\ \large = {4\,{\cos ^3}2t \cdot \left( { – 2\sin 2t} \right) } = { – 8\,{\cos ^3}2t\sin 2t.}$$

اکنون مشتق $$\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} \\ \large = \frac{{ – 8\,{{\cos }^3}2t\sin 2t}}{{8\,{{\sin }^3}2t\cos 2t}} = – \frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}} = – {\cot ^2}2t.$$

در این مثال، مقادیر مجاز $$t$$ در شرایط زیر صدق می‌کنند:

$$\large {{x’_t} \ne 0,\;\;}\Rightarrow {8\,{\sin ^3}2t\cos 2t \ne 0,\;\;}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^3}2t \ne 0\\ \cos 2t \ne 0 \end{array} \right.,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} 2t \ne \pi n\\ 2t \ne \frac{\pi }{2} + \pi n \end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{l} t \ne \frac{{\pi n}}{2}\\ t \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2} \end{array} \right.,\;\;}\Rightarrow {t \ne \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}.}$$

مثال ۱۹

مشتق تابع پارامتری زیر را به‌دست آورید:

$$\large {x = \arcsin {e^t},\;\;}\kern-0.3pt{y = \sqrt {1 – {e^{2t}}} .}$$

حل: مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large {{x’_t} = {\left( {\arcsin {e^t}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {{e^t}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 – {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }};}$$

$$\large {{y’_t} = {\left( {\sqrt {1 – {e^{2t}}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {1 – {e^{2t}}} }} \cdot {\left( {1 – {e^{2t}}} \right)^\prime } } \\ \large = {\frac{{ – \cancel{2}{e^{2t}}}}{{\cancel{2}\sqrt {1 – {e^{2t}}} }} } = { – \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}.}$$

بنابراین، داریم:

$$\large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} } = {\frac{{ – \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}}}{{\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 – {e^{2t}}} }}}} }\\ \large = { – \frac{{{e^{2t}}}}{{\cancel{\sqrt {1 – {e^{2t}}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {1 – {e^{2t}}}} }}{{{e^t}}} } = { – \frac{{{e^{2t}}}}{{{e^t}}} } = { – {e^t}.}$$

پارامتر $$t$$ در بازه زیر قرار دارد:

$$\large {1 – {e^{2t}} \gt 0,\;\;}\Rightarrow {{e^{2t}} \lt 1,\;\;}\\ \large \Rightarrow {{e^{2t}} \lt {e^0},\;\;}\Rightarrow {2t \lt 0,\;\;}\Rightarrow {t \lt 0}$$

یعنی پارامتر $$t$$ فقط باید منفی باشد.

مثال 20

مشتق تابع پارامتری زیر را در $$t = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ محاسبه کنید.

$$\large x = t + 2\sin \pi t, \,\,\,\, y = 3t – \cos \pi t$$

حل: مشتق دو متغیر نسبت به پارامتر $$t$$‌ به‌صورت زیر است:

$$\large {{x’_t} = {\left( {t + 2\sin \pi t} \right)^\prime } = {1 + 2\pi \cos \pi t,}\;\;} \\ \large {{y’_t} = {\left( {3t – \cos \pi t} \right)^\prime } = {3 + \pi \sin \pi t.}}$$

بنابراین، داریم:

$$\large {\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} } = {\frac{{3 + \pi \sin \pi t}}{{1 + 2\pi \cos \pi t}}.}$$

با جایگذاری $$t = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ در رابطه اخیر، می‌توان نوشت:

$$\large {\frac{{dy}}{{dx}}\left( {t = \frac{1}{2}} \right) } = {\frac{{3 + \pi \sin \frac{\pi }{2}}}{{1 + 2\pi \cos \frac{\pi }{2}}} } = {\frac{{3 + \pi \cdot 1}}{{1 + 2\pi \cdot 0}} } = {3 + \pi .}$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تقلب نامه (Cheat Sheet) مفاهیم و روابط مشتق
• مشتق توابع معکوس — از صفر تا صد
• مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد

^^